Tekst źródłowy strony Złoty podział

{{Inne znaczenia|matematyki|[[złoty podział (ujednoznacznienie)|inne znaczenie tego wyrażenia]]}}
{| align=right style="text-align:center;"
| [[Plik:Golden ratio line2.svg]]
|-
|style="background:white; font-size:large; font-weight:normal;"|
<math>\varphi = \frac{\color[rgb]{0,0.5,0}a+b}{\color[rgb]{0,0,1}a} = \frac{\color[rgb]{0,0,1}a}{\color[rgb]{1,0,0}b}</math>
|-
|style="background:white; font-size:85%; font-weight:normal;"|
Złoty podział odcinka
|}
[[Plik:SimilarGoldenRectangles.svg|thumb|[[Złoty prostokąt]] z dłuższym bokiem <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> i krótszym <span style="color:red;">'''''b'''''</span>, który złączony z kwadratem o boku długości <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> utworzy [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobny]] złoty prostokąt o dłuższym boku <span style="color:green;">'''''a + b'''''</span> i krótszym <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>. Ilustruje to równanie <math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi.</math>]]

'''Złoty podział''' ([[łacina|łac.]] ''sectio aurea''), '''podział harmoniczny''', '''złota proporcja''', '''boska proporcja''' (łac. ''divina proportio'') – podział [[odcinek|odcinka]] na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej<ref>{{Encyklopedia PWN |tytuł = Złoty podział |id = 4001815 |data dostępu = 2021-07-29}}</ref>. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być [[średnia geometryczna|średnią geometryczną]] długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek obok ilustruje ten związek geometrycznie. Wyrażony algebraicznie:
: <math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi.</math>

Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się '''złotą liczbą''' i oznacza grecką literą ''[[Phi|φ]]'' (czyt. „fi”). Jej wartość wynosi:
: <math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1{,}61803\,39887\dots</math><ref group="uwaga" name="quadform">Złota proporcja może być wyznaczona za pomocą [[Ciąg kwadratowy|ciągu kwadratowego]], zaczynając od pierwszego wyrazu równego 1, następnie wyznaczając drugi wyraz <math>x,</math> gdzie stosunek <math>(x+1)/x = x/1</math> albo (mnożąc przez <math>x</math>) daje: <math>x+1 = x^2,</math> albo stąd równanie kwadratowe: <math>x^2 - x-1 = 0.</math> Następnie, przez ciąg kwadratowy, dla dodatniego <math>x = (-b + \sqrt{b^2 - 4ac})/(2a),</math> gdzie <math>a=1, b=-1, c=-1,</math> wynik dla <math>x</math> wynosi: <math>(-(-1)+\sqrt{(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-1)})/(2\cdot1)</math> lub <math>(1 + \sqrt5)/2.</math></ref>

Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na [[Akropol]]u.

Co najmniej od XX wieku wielu [[artysta|artystów]] i [[architekt]]ów tworzyło swoje dzieła z zachowaniem złotego stosunku – szczególnie w formie [[złoty prostokąt|złotego prostokąta]], w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy złotej proporcji – zgodnie z poglądem, że takie proporcje wyglądają [[estetyka|estetycznie]] (zobacz [[Złoty podział#Zastosowania i obserwacje|Zastosowania i obserwacje]] poniżej). Złoty prostokąt może być rozcięty na kwadrat i mniejszy prostokąt o tych samych [[Proporcja (arytmetyka)|proporcjach]] co rozcinany. [[Matematyk|Matematycy]], począwszy od [[Euklides]]a, badali złoty podział z powodu jego wyjątkowych i interesujących własności. Złoty podział jest także używany w analizie [[rynek finansowy|rynków finansowych]], w strategiach takich jak [[zniesienia Fibonacciego]] ({{W języku|en|''Fibonacci retracement''}}).

'''Złoty podział''' ([[łacina|łac.]] ''sectio aurea'') jest często nazywany '''złotym stosunkiem''' lub '''złotym środkiem'''<ref name="livio">{{Cytuj książkę |nazwisko = Livio |imię = Mario |tytuł = The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number |url = http://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ |rok = 2002 |wydawca = Broadway Books |miejsce = New York |isbn = 0-7679-0815-5}}</ref><ref>Piotr Sadowski, ''The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight'', Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996.</ref><ref name="dunlap">Richard A. Dunlap, ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers'', World Scientific Publishing, 1997.</ref>. Inne nazwy obejmują '''złoty sposób'''<ref name="Elements 6.3">Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 6, Definition 3.</ref>, '''średni podział''', '''boską proporcję''', '''boski podział''' (łac. ''sectio divina''), złotą proporcję, '''złote cięcie'''<ref>Summerson John, ''Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture'' (New York: W.W. Norton, 1963), s. 37. „I to samo stosuje się w architekturze do [[prostokąt]]a reprezentującego te i inne stosunki (np. „złote cięcie”). Jedyna wartość tych stosunków to ich bogactwo intelektualne i sugerowanie rytmu w wykonaniu”.</ref>, '''złotą liczbę''' i '''środek [[Fidiasz]]a'''<ref>Jay Hambidge, ''Dynamic Symmetry: The Greek Vase'', New Haven CT: Yale University Press, 1920.</ref><ref>William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, ''Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference'', Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003.</ref><ref name="Pacioli">Pacioli, Luca. ''[[De divina proportione]]'', Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.</ref>.

== Wartość liczbowa ==
{| class="wikitable" style="float:right; margin:10px;"
|[[Dwójkowy system liczbowy|Dwójkowo]]
| 1,1001111000110111011…
|-
| [[Dziesiętny system liczbowy|Dziesiętnie]]
| 1,6180339887498948482…
|-
| [[Szesnastkowy system liczbowy|Szesnastkowo]]
| 1,9E3779B97F4A7C15F39…
|-
| [[Ułamek łańcuchowy]]
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
| [[Ułamek|Ułamek zwykły]]
| <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
|-
| [[Szereg (matematyka)|Szereg nieskończony]]
| <math>\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}</math>
|}

Dwie wielkości <math>a</math> i <math>b</math> są w ''złotym stosunku'' <math>\varphi,</math> jeżeli:
: <math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.</math>

Jedna metoda znajdowania wartości <math>\varphi</math> to rozpoczęcie od lewej strony. Z [[Rozdzielność|rozdzielenia]] w powyższej równości dzielenia względem dodawania i podstawienie <math>b/a = 1/\varphi</math> wynika
: <math>\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi},</math>

czyli
: <math>1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi.</math>

Mnożąc obustronnie przez <math>\varphi,</math> otrzymujemy
: <math>\varphi + 1 = \varphi^2.</math>

Przegrupowując wyrazy, powyższą równość sprowadza się do postaci ogólnej [[Równanie kwadratowe|równania kwadratowego]]:
: <math>\varphi^2 - \varphi - 1 = 0.</math>

Ma ono dwa rozwiązania [[liczby rzeczywiste|rzeczywiste]]:
: <math>\frac{1\pm\sqrt 5}{2},</math>

z których jedno jest dodatnie:
: <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}6180339887\dots</math>

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:
: <math>\frac{1}{\varphi} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \varphi-1\approx 0{,}618033989.</math>

== Historia ==
[[Plik:Phi uc lc.svg|thumb|200px|Matematyk [[Mark Barr]] zaproponował użycie pierwszej litery imienia greckiego rzeźbiarza [[Fidiasz]]a, ''phi'', do oznaczenia złotej liczby. Zazwyczaj używana jest mała litera (φ). Czasami, duża litera (Φ) oznacza [[Liczba odwrotna|Odwrotność]] złotego podziału, 1/φ<ref name="MathWorld GR Conjugate" />.]]
Złoty podział fascynował zachodnich intelektualistów o różnych profesjach od co najmniej 2400 lat. Według [[Mario Livio|Maria Livia]]:

{{Cytat
 |treść = Wielu z największych matematycznych umysłów w historii, od [[Pitagoras]]a i [[Euklides]]a w [[starożytna Grecja|starożytnej Grecji]], przez średniowiecznego włoskiego matematyka [[Fibonacci|Leonarda z Pizy]] i renesansowego astronoma [[Johannes Kepler|Johannesa Keplera]], do współczesnych naukowców takich jak oksfordzki fizyk [[Roger Penrose]] spędziło niezliczone godziny nad tym prostym złotym podziałem i jego własnościami. Jednakże fascynacja złotą proporcją nie jest ograniczona jedynie do matematyków. Biolodzy, artyści, muzycy, historycy, architekci, psycholodzy, a nawet mistycy zastanawiali się i debatowali nad przyczynami jego powszechności i własności. W rzeczywistości, można prawdopodobnie powiedzieć, że złoty podział inspirował myślicieli wszystkich dziedzin bardziej niż żadna inna liczba w historii matematyki<ref>Mario Livio, ''The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number'', s. 6.</ref>.
}}

[[Starożytna Grecja|Starożytni greccy]] matematycy rozpoczęli badania nad tym, co nazywamy dzisiaj złotym podziałem z powodu jego częstej obecności w [[geometria|geometrii]]. Podział linii w „złoty sposób” (złoty podział) jest istotny w geometrii foremnych [[pentagram]]ów i [[pięciokąt|pentagonów]]. Grecy zazwyczaj przypisywali odkrycie tego związku [[Pitagoras]]owi albo jego [[pitagorejczycy|uczniom]]. Pentagram foremny ze wpisanym pentagonem był symbolem pitagorejczyków.

[[Elementy Euklidesa|Elementy]] [[Euklides]]a ({{W języku|el|Στοιχεῖα}}) podają pierwszą znaną zapisaną definicję pojęcia określanego dzisiaj jako złoty podział: „Prosta linia jest ''podzielona w złoty sposób'', gdy stosunek całej linii do większego odcinka jest równy stosunkowi większego do mniejszego”{{r|Elements 6.3}}. Euklides nie używa nigdzie nazwy z odniesieniem do złota (ta pojawi się dopiero w XIX w.), używa określenia „skrajne i średnia”, co zapewne ma odnosić się do stosunków jakie tworzą wartości powstałe w wyniku podziału (całość, część większa, część mniejsza), wśród których są skrajne (minimalna i maksymalna) oraz średnia. W ''Elementach'' kilka zaproponowanych propozycji ([[twierdzenie|twierdzeń]] w dzisiejszym rozumieniu) i ich dowody stosują złoty podział<ref>Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 2, Proposition 11; Book 4, Propositions 10–11; Book 13, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.</ref>. Niektóre z tych propozycji pokazują, że złoty podział jest [[liczby niewymierne|liczbą niewymierną]].

Nowożytna historia złotego podziału zaczyna się od ''[[De divina proportione]]'' [[Luca Pacioli]]ego z 1509 roku, które pobudziło wyobraźnię artystów, architektów, naukowców i mistyków matematycznymi i innymi własnościami złotego podziału.

[[Plik:Michael Maestlin.jpg|thumb|[[Michael Maestlin]] po raz pierwszy opublikował dziesiętne przybliżenie złotego podziału w 1597.]]

Pierwsze znane przybliżenie (odwrotności) złotego podziału w postaci [[ułamek dziesiętny|ułamka dziesiętnego]] wynoszące „około 0,6180340” zostało zapisane w 1597 przez [[Michael Maestlin|Michaela Maestlina]] z [[Uniwersytet w Tybindze|Uniwersytetu w Tybindze]] w liście do swojego byłego studenta [[Johannes Kepler|Johannesa Keplera]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html |tytuł = The Golden Ratio |praca = The MacTutor History of Mathematics archive |data dostępu = 2007-09-18}}</ref>.

Od XX wieku złoty podział oznaczany jest [[Alfabet grecki|grecką literą]] '''''Φ''''' lub '''''φ''''' ([[phi]], od [[Fidiasz]]a, rzeźbiarza, który podobno zastosował go w swoich dziełach) lub rzadziej jako '''''τ''''' ([[tau]], pierwsza litera [[Język starogrecki|starogreckiego]] rdzenia τομή – znaczącego ''ciąć'')<ref name="livio" /><ref>{{MathWorld |tytuł = Złoty podział |adres = GoldenRatio}}</ref>.

=== Kalendarium ===
Kalendarium według Priyi Hemenway<ref name="Hemenway,P">{{Cytuj książkę |nazwisko = Hemenway |imię = Priya |tytuł = Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science |rok = 2005 |wydawca = Sterling |miejsce = New York |isbn = 1-4027-3522-7 |strony = 20–21}}</ref>
* [[Fidiasz]] (490–430 p.n.e.) stworzył figury [[Partenon]]u, które wydają się zachowywać złote proporcje.
* [[Platon]] (427–347 p.n.e.) w swoim dialogu [[Timajos (dialog)|Timajos]] (gr. ''Τίμαιος'') opisuje pięć możliwych wielościanów foremnych ([[Wielościan foremny|Wielościany platońskie]]: [[czworościan foremny|czworościan]], [[Sześcian (geometria)|sześcian]], [[ośmiościan foremny|ośmiościan]], [[dwunastościan foremny|dwunastościan]] i [[dwudziestościan foremny|dwudziestościan]]), z których niektóre są powiązane ze złotym podziałem<ref>{{cytuj stronę |url = http://classics.mit.edu/Plato/timaeus.html |tytuł = Timaeus |autor = Platon |autor link = Platon |data = 360 p.n.e. (Benjamin Jowett trans.) |opublikowany = The Internet Classics Archive |data dostępu = 2006-05-30}}</ref>.
* [[Euklides]] (ok. 325 – ok. 265 p.n.e.) w swoich ''[[Elementy Euklidesa|Elementach]]'' podał pierwszą pisaną definicję złotego podziału nazwaną w tłumaczeniu na polski „w złoty sposób” (gr. ἄκρος καὶ μέσος λόγος)<ref name="Elements 6.3" />.
* [[Fibonacci]] (1170–1250) wspomina [[Ciąg (matematyka)|serię liczb]] zwaną dziś jego imieniem w swoim ''[[Liber abaci]]''; stosunek kolejnych wyrazów [[Ciąg Fibonacciego|Ciągu Fibonacciego]] zbliża się do złotego podziału asymptotycznie.
* [[Luca Pacioli]] (1445–1517) określa złoty podział jako „doskonałą proporcję” w swoim ''Divina Proportione''.
* [[Michael Maestlin]] (1550–1631) publikuje pierwsze znane przybliżenie (odwrotności) złotego podziału jako [[ułamek dziesiętny]].

[[Plik:Kepler triangle.svg|thumb|Trójkąt Keplera]]
* [[Johannes Kepler]] (1571–1630) udowadnia, że złoty podział jest granicą stosunku kolejnych liczb Fibonacciego<ref name="tatt">{{Cytuj książkę |autor = James Joseph Tattersall |tytuł = Elementary number theory in nine chapters |url = http://books.google.com/?id=QGgLbf2oFUYC&pg=PA29&dq=golden-ratio+limit+fibonacci+ratio+kepler&q=golden-ratio%20limit%20fibonacci%20ratio%20kepler |wydanie = 2. |wydawca = [[Cambridge University Press]] |rok = 2005 |isbn = 9780521850148 |strony = 28}}</ref>, i opisuje złoty stosunek jako „drogi skarb”: „Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest [[twierdzenie Pitagorasa]], a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu”. Te dwa „skarby” są obecne w [[Trójkąt Keplera|trójkącie Keplera]].
* [[Charles Bonnet]] (1720–1793) wskazuje, że na spirali modelującej [[ulistnienie]], kąty zaznaczone przez kolejne liście skręcające [[prawoskrętność|zgodnie]] i przeciwnie do wskazówek zegara często są do siebie w stosunku takim, jaki zachodzi pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego.
* [[Martin Ohm]] (1792–1872) jest uważany za pierwszego, który użył określenia ''goldener Schnitt'' (złoty podział) do opisu tego stosunku, w 1835<ref>{{Cytuj książkę |autor = Underwood Dudley |tytuł = Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will |url = http://books.google.com/?id=r6WpMO_hREYC&pg=PA245&dq=%22goldener+Schnitt%22+ohm |wydawca = Springer |rok = 1999 |isbn = 3-7643-5978-1 |strony = 245}}</ref>.
* [[Édouard Lucas]] (1842–1891) nadaje ciągowi znanemu dziś jako ciąg Fibonacciego jego współczesną nazwę.
* Mark Barr (XX wiek) proponuje grecką literę fi ('''φ'''), pierwszą literę imienia greckiego rzeźbiarza Fidiasza jako [[symbol]] złotego podziału<ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Cook |imię = Theodore Andrea |tytuł = The Curves of Life |url = http://books.google.com/?id=ea-TStM-07EC&pg=PA420&dq=phi+mark+barr+intitle:The+intitle:Curves+intitle:of+intitle:Life |rok = 1979 |wydawca = Dover Publications |miejsce = New York |isbn = 0-486-23701-X}}</ref>.
* [[Roger Penrose]] (1931 –) odkrywa [[Parkietaż Penrose’a|symetryczny nieokresowy wzór]] zachowujący złoty stosunek w dziedzinie [[parkietaż]]u, który prowadzi do odkrycia [[kwazikryształ]]ów.
{{Clear}}

== Zastosowania i obserwacje ==
=== Estetyka ===
''[[De divina proportione]]'', trzytomowe dzieło [[Luca Pacioli]]ego opublikowano w 1509. Pacioli, [[I Zakon franciszkański|franciszkański]] [[Zakon mniszy|mnich]], znany jest głównie jako matematyk, ale był również wyedukowanym pasjonatem sztuki. ''De Divina Proportione'' zgłębia matematykę złotego podziału. Chociaż często mówi się, że Pacioli doradzał użycie złotego podziału w celu uzyskania pięknych, harmonijnych proporcji, Livio wskazuje, że ta interpretacja jest związana z błędem z 1799 roku, a Pacioli w rzeczywistości zalecał stosowanie [[Witruwiusz|witruwiańskiego]] systemu proporcji<ref name="livio" />. Pacioli zauważał również katolickie, religijne znaczenie podziału, z którego bierze się tytuł pracy. Ilustrowana rysunkami wielościanów foremnych autorstwa [[Leonardo da Vinci|Leonarda da Vinci]], długoletniego przyjaciela i współpracownika Pacioliego, ''De Divina Proportione'' miała duży wpływ na pokolenia artystów i architektów.

=== Architektura ===
[[Plik:Acropolis of Athens 01361.JPG|thumb|250px|Wiele proporcji [[Partenon]]u uznaje się za zachowujące złoty podział.]]
[[Fasada]] Partenonu, jak również wiele elementów na niej i w innych miejscach są określane przez niektórych jako zawierające się w złotych prostokątach<ref>Van Mersbergen, Audrey M., ''Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic'', „Communication Quarterly”, Vol. 46 No. 2, 1998, s. 194–213.</ref>. Inni akademicy zaprzeczają, że Grecy mieli jakiekolwiek estetyczne skojarzenia ze złotym podziałem. Na przykład Midhat J. Gazalé mówi: „Jednakże aż do Euklidesa własności matematyczne złotego podziału nie były studiowane. W ''Elementach'' (308 p.n.e.) grecki matematyk zaledwie określał go jako ciekawą liczbę niewymierną, związaną ze złotym sposobem podziału odcinka. Jego występowanie zostało zauważone w foremnych pięciokątach i dziesięciokątach, jak również w dwunastościanie ([[wielościan foremny|wielościanie foremnym]], którego ściany są pięciokątami foremnymi). Jest to naprawdę znamienne, że wielki Euklides w przeciwieństwie do pokoleń mistyków po nim traktował tę liczbę trzeźwo taką, jak jest, bez dodawania jej własności innych niż te, które posiada”<ref>{{Cytuj |autor = Midhat J. Gazalé |tytuł = Gnomon |data = 1999 |isbn = 0-691-00514-1 |miejsce = Princeton, N.J. |wydawca = Princeton University Press |oclc = 40298400}}</ref>. Również [[Keith Devlin]] twierdzi: „Zdecydowanie, często powtarzane twierdzenie, że Partenon w Atenach jest oparty na złotym podziale, nie jest potwierdzone przez żadne prawdziwe pomiary. Tak naprawdę cała historia o Grekach i złotym podziale wydaje się być bez podstaw. Jedyne, co wiemy na pewno, to to, że Euklides w swoim sławnym podręczniku ''Elementy'', napisanym około 300 p.n.e., pokazał jak obliczyć jego wartość”<ref>Keith J. Devlin, ''The Math Instinct: Why You’re A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs)'' New York: Thunder’s Mouth Press, 2005, {{ISBN|1-56025-672-9}}.</ref>. Bardziej współczesne źródła takie jak [[Witruwiusz]] omawiają wyłącznie proporcje możliwe do zapisania jako liczby całkowite, tzn. wymierne w przeciwieństwie do proporcji niewymiernych.

Geometryczna analiza [[Meczet Sidi Ukby|Wielkiego Meczetu]] z [[Kairuan]]u ujawnia konsekwentne zastosowanie złotego podziału w wystroju, zgodnie z twierdzeniami Boussory i Mazouza<ref>Boussora, Kenza and Mazouz, Said, ''The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan'', Nexus Network Journal, vol. 6 no. 1 (Spring 2004), [http://www.emis.de/journals/NNJ/BouMaz.html The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan by Boussora and Mazouz in the Nexus Network Journal vol. 6 no. 1 (Spring 2004)].</ref>. Można znaleźć go w ogólnych proporcjach planu i w wymiarach miejsca modlitwy, sądu i [[minaret]]u. Boussora i Mazouz badali również wcześniejsze teorie archeologiczne dotyczące meczetu i przedstawili konstrukcje geometryczne oparte na złotym podziale przez zastosowanie ich do planu meczetu w celu sprawdzenia ich hipotezy.

Szwajcarski [[architekt]] [[Le Corbusier]], sławny ze swojego wkładu we [[modernizm (architektura)|współczesny]] [[styl międzynarodowy]], oparł swoją filozofię projektowania na harmonii i proporcjach. Jego wiara w porządek matematyczny wszechświata była blisko związana ze złotym podziałem i ciągiem Fibonacciego, który opisał jako „rytmy widoczne dla oka i wyraźnie powiązane ze sobą. A rytmy te są podstawą wszelkich działalności człowieka. Wybrzmiewają one w człowieku przez nieuchronność organiczną, tę samą, która powoduje wyprowadzenie złotego podziału przez dzieci, starców, dzikusów i wykształconych”<ref>Le Corbusier, ''The Modulor'', s. 25, as cited in Padovan, Richard, ''Proportion: Science, Philosophy, Architecture'' (1999), s. 316, Taylor and Francis, {{ISBN|0-419-22780-6}}.</ref>.

Le Corbusier jawnie użył złotego podziału w swoim systemie skali proporcji architektonicznych [[Modulor]]. Uważał ten system za kontynuację długiej tradycji [[Witruwiusz]]a, „[[Człowiek witruwiański|człowieka witruwiańskiego]]” Leonarda da Vinci, prac [[Leone Battista Alberti|Leona Battisty Albertiego]] i innych używających proporcji ciała ludzkiego do udoskonalenia wyglądu i funkcjonalności [[architektura|architektury]]. Oprócz złotego podziału Le Corbusier oparł system na [[antropometria|pomiarach ciała ludzkiego]], [[Ciąg Fibonacciego|ciągu Fibonacciego]], i jednostkach podwójnych. Rozciągnął powiązania złotego podziału z proporcjami ciała ludzkiego do ekstremum: podzielił swoją modelową wysokość człowieka na dwie części w złotym stosunku na wysokości pępka, następnie podzielił uzyskane odcinki również w tej proporcji na wysokości kolan i szyi; używał tych proporcji w swoim systemie Modulor. Villa Stein w [[Garches]] Le Corbusiera z 1927 jest przykładem zastosowania systemu Modulor. Prostokątny plan willi, elewacja i wewnętrzna struktura są dobrym przybliżeniem złotych prostokątów<ref>Le Corbusier, ''The Modulor'', s. 35, as cited in Padovan, Richard, ''Proportion: Science, Philosophy, Architecture'' (1999), s. 320. Taylor & Francis. {{ISBN|0-419-22780-6}}: „Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section”.</ref>.

Inny szwajcarski architekt, [[Mario Botta]], oparł wiele swoich planów na figurach geometrycznych. Kilka prywatnych domów, które zaprojektował w [[Szwajcaria|Szwajcarii]], składa się z kwadratów i kół, sześcianów i walców. W domu jego autorstwa w [[Origlio]] złoty stosunek panuje pomiędzy centralną i bocznymi częściami domu<ref>Urwin, Simon. ''Analysing Architecture'' (2003), s. 154–155, {{ISBN|0-415-30685-X}}.</ref>.

W swojej ostatniej książce Jason Elliot sugeruje, że złoty podział został użyty przez projektantów placu [[Plac Imama|Naghsz-e Dżahan]] i przyległego [[Meczet Szejcha Lotfollaha|meczetu szejcha Lotfollaha]]<ref>{{Cytuj książkę |autor = Jason Elliot |tytuł = Mirrors of the Unseen: Journeys in Iran |url = http://books.google.com/?id=Gcs4IjUx3-4C&pg=PA284&dq=intitle:%22Mirrors+of+the+Unseen%22+golden-ratio+maidan |rok = 2006 |strony = 277, 284 |wydawca = Macmillan |isbn = 9780312301910}}</ref>.

=== Malarstwo ===
[[Plik:Pentagram and human body (Agrippa).jpg|thumb|Rysunek ciała ludzkiego w pentagramie sugeruje powiązania ze złotym podziałem<ref name="Sadowski" />.]]
Szesnastowieczny filozof [[Heinrich Cornelius Agrippa|Heinrich Agrippa]] narysował człowieka na pentagramie wpisanym w koło, co sugeruje związek ze złotym podziałem<ref name="Sadowski">{{cytuj książkę |autor = Piotr Sadowski |tytuł = The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight |url = http://books.google.com/books?id=RNFqRs3Ccp4C&pg=PA124 |wydawca = University of Delaware Press |rok = 1996 |isbn = 9780874135800 |strony = 124}}</ref>.

Ilustracje [[wielościan]]ów [[Leonardo da Vinci|Leonarda da Vinci]] w ''[[De divina proportione|De Divina Proportione]]'' (''O Boskich Proporcjach'') i jego poglądy, że niektóre proporcje ciała zachowują złoty stosunek, doprowadziły niektórych akademików do spekulacji, że stosował on złoty podział w swoich obrazach<ref>[[George W. Hart]]: ''[http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html Leonardo da Vinci’s Polyhedra]''.</ref>. Jednak sugestie, że np. jego ''[[Mona Lisa]]'' zachowuje złote proporcje, nie jest poparta w żadnych zapisach samego Leonarda<ref>{{cytuj stronę |url = http://plus.maths.org/issue22/features/golden/ |tytuł = The golden ratio and aesthetics |autor = Livio, Mario |data dostępu = 2008-03-21}}</ref>.

[[Salvador Dalí]] pod wpływem prac [[Matila Ghyka|Matili Ghyki]]<ref>{{cytuj odcinek |autorzy = Salvador Dali |data = 2008 |tytuł = The Dali Dimension: Decoding the Mind of a Genius |format=DVD |język = en |opublikowany = Media 3.14-TVC-FGSD-IRL-AVRO |url = http://www.dalidimension.com/eng/index.html}}</ref>, jawnie użył złotego podziału w swoim arcydziele ''[[Sakrament Ostatniej Wieczerzy]]''. Wymiary płótna są wymiarami złotego prostokąta. Ogromny dwunastościan przedstawiony w perspektywie tak, że jego krawędzie są do siebie w złotych proporcjach, jest zawieszony ponad i za Jezusem, dominując w kompozycji<ref name="livio" /><ref>{{Cytuj |autor = Susan Nicodemus Gilkey |tytuł = Teaching Mathematics in the Block |data = 1998 |isbn = 1-883001-51-X |inni = Carla Herndon Hunt |miejsce = Larchmont, N.Y. |wydawca = Eye On Education |s = 44, 47 |oclc = 38010630}}</ref>.

[[Piet Mondrian|Mondrian]] podobno często używał złotego podziału w swoich geometrycznych obrazach<ref>Bouleau, Charles, ''The Painter’s Secret Geometry: A Study of Composition in Art'' (1963), s. 247–248, Harcourt, Brace & World, {{ISBN|0-87817-259-9}}.</ref>, chociaż niektórzy eksperci (włączając krytyka [[Yve-Alain Bois|Yve’a-Alaina Boisa]]) kwestionowali to twierdzenie<ref name="livio" />.

Badanie statystyczne 565 dzieł sztuki różnych wielkich malarzy, przeprowadzone w 1999, wykazało, że ci artyści nie użyli złotego podziału w wymiarach swoich płócien. Badanie stwierdziło, że średni stosunek dwóch boków badanych obrazów wynosi 1,34, ze średnimi dla poszczególnych malarzy obejmującymi od 1,04 (Goya) do 1,46 (Bellini)<ref>{{cytuj |autor = Agata Olariu |tytuł = Golden Section and the Art of Painting |arxiv = physics/9908036 |czasopismo = arXiv Physics and Society (physics.soc-ph) |data = 18 Aug 1999}}</ref>. Z drugiej strony, Pablo Tosto wymienił ponad 350 dzieł znanych artystów, z których ponad 100 miało płótna o proporcjach złotego prostokąta i pierwiastka z 5, natomiast inne proporcje takie jak pierwiastki z 2, 3, 4 i 6<ref>Tosto, Pablo, ''La composición áurea en las artes plásticas – El número de oro'', Librería Hachette, 1969, s. 134–144.</ref>.
{{Clear}}

=== Wymiary książek ===
[[Plik:Medieval manuscript framework.svg|thumb|Przedstawienie proporcji średniowiecznego rękopisu. Według [[Jan Tschichold|Jana Tschicholda]]: „Proporcje strony 2:3. Proporcje marginesów 1:1:2:3. Obszar tekstu w złotej proporcji”<ref>[[Jan Tschichold]]. ''The Form of the Book'', s. 43, Fig. 4. „Framework of ideal proportions in a medieval manuscript without multiple columns. Determined by Jan Tschichold 1953. Page proportion 2:3. margin proportions 1:1:2:3, Text area proportioned in the Golden Section. The lower outer corner of the text area is fixed by a diagonal as well”.</ref>.]]
Według [[Jan Tschichold|Jana Tschicholda]]<ref>{{Cytuj |autor = [[Jan Tschichold]] |tytuł = The Form of the Book |data = 1991 |isbn = 0-88179-116-4 |miejsce = Point Roberts, Washington |wydawca = Hartley & Marks |oclc = 24429154}}</ref>:

<blockquote>Był czas, gdy odstępstwa od naprawdę pięknych proporcji strony <math>2{:}3,\ 1{:}\sqrt 3</math> i złotego podziału były rzadkie. Wiele książek wydanych między 1550 i 1770 stosują te proporcje z dokładnością do pół milimetra.</blockquote>

=== Badania postrzegania ===
Badania psychologów od [[Gustav Theodor Fechner|Fechnera]] były nakierowane na sprawdzenie hipotezy, że złoty podział gra rolę w ludzkim postrzeganiu [[piękno|piękna]]. Podczas gdy Fechner wykrył preferencje do wybierania prostokątów o proporcjach zbliżonych do złotego podziału, dalsze próby uważnego sprawdzenia tego twierdzenia były co najmniej niejednoznaczne<ref name="livio" /><ref>[http://plus.maths.org/issue22/features/golden/ The golden ratio and aesthetics], by Mario Livio.</ref>.

=== Muzyka ===
[[Ernő Lendvaï]] określa dzieła [[Béla Bartók|Béli Bartóka]] jako bazujące na dwóch przeciwstawnych systemach: opartym na złotym podziale i [[Skala góralska|skali akustycznej]]<ref>Lendvai, Ernő (1971). ''Béla Bartók: An Analysis of His Music''. London: Kahn and Averill.</ref>, jednakże inni akademicy muzyki odrzucają te analizy<ref name="livio" />. W ''[[Muzyka na smyczki, perkusję i celestę|Muzyce na smyczki, perkusję i czelestę]]'' Bertóka postęp ksylofonu zachodzi w odstępach 1:2:3:5:8:5:3:2:1<ref name="Smith">Smith, Peter F. ''[http://books.google.com/books?id=ZgftUKoMnpkC&pg=PA83&dq=bartok+intitle:The+intitle:Dynamics+intitle:of+intitle:Delight+intitle:Architecture+intitle:and+intitle:Aesthetics&as_brr=0&ei=WkkSR5L6OI--ogLpmoyzBg&sig=Ijw4YifrLhkcdQSMVAjSL5g4zVk The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics]'' (New York: Routledge, 2003), s. 83, {{ISBN|0-415-30010-X}}.</ref>. Francuski kompozytor [[Erik Satie]] użył złotego podziału w kilku swoich dziełach, zasugerowano m.in. jego użycie w ''Sonneries de la Rose+Croix''<ref>{{Cytuj |autor = Alan M. Gillmor |tytuł = Erik Satie |data = 1988 |data dostępu = 2023-09-07 |isbn = 978-0-333-46329-1 |wydawca = Macmillan |s = 86–89 |url = https://books.google.pl/books/about/Erik_Satie.html?id=KVjGAgAACAAJ&redir_esc=y |język = en}}</ref>.

Złoty podział widoczny jest również w organizacji sekcji muzyki [[Claude Debussy|Debussy’ego]] ''[[Reflets dans l'eau]] (Odbicia w wodzie)'', z ''Images'' (1. seria, 1905), w których „sekwencja klawiszy jest zaznaczona w odstępach 34, 21, 13 i 8, a główna kulminacja w pozycji phi”<ref name="Smith" />.

Muzykolog Roy Howat zaobserwował, że formalne granice [[Morze (Debussy)|''La Mer'']] odpowiadają dokładnie złotemu podziałowi<ref>{{Cytuj książkę |autor = Roy Howat |tytuł = Debussy in Proportion: A Musical Analysis |url = https://books.google.pl/books?id=4bwKykNp24wC |wydawca = Cambridge University Press |rok = 1983 |isbn = 0-521-31145-4}}</ref>. Trezise określa to jako „warte zauważenia”, ale ostrzega, że żadne pisemne czy zachowane dowody nie wskazują, że Debussy świadomie użył tych proporcji<ref>{{Cytuj książkę |autor = Simon Trezise |tytuł = Debussy: La Mer |url = http://books.google.com/?id=THD1nge_UzcC&pg=PA53&dq=inauthor:Trezise+golden+evidence |wydawca = Cambridge University Press |rok = 1994 |isbn = 0-521-44656-2 |strony = 53}}</ref>.

[[Pearl Drums]] wykonuje otwory w swoich modelach Masters Premium w oparciu o złoty podział. Firma twierdzi, że taka konfiguracja usprawnia odpowiedź basów i zgłosiła [[patent]] na to rozwiązanie<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.pearldrum.com/premium-birch.asp |tytuł = Pearl Masters Premium |opublikowany = Pearl Corporation |archiwum = https://web.archive.org/web/20080616052832/http://www.pearldrum.com/premium-birch.asp |zarchiwizowano = 2008-06-16 |data dostępu = 2007-12-02}}</ref>.

Według opinii Leona Harkleroada, „Niektóre z najbardziej chybionych prób powiązania muzyki i matematyki wykorzystywały ciąg Fibonacciego i powiązany z nim złoty podział”<ref>{{Cytuj książkę |autor = Leon Harkleroad |tytuł = The Math Behind the Music |url = http://books.google.com/?id=C3dsb7Qysh4C&pg=RA4-PA120&dq=misguided+music+mathematics+%22golden+ratio%22 |wydawca = Cambridge University Press |rok = 2006 |isbn = 0-521-81095-7}}</ref>.

=== Projekty techniczne ===
Niektóre źródła wskazują, że złoty podział jest szeroko używany w codziennych projektach, np. kształcie pocztówek, kart do gry, plakatów, szerokoekranowych telewizorów, zdjęć i włączników światła<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Jones |imię = Ronald |tytuł = The golden section: A most remarkable measure |czasopismo = The Structurist |wolumin = 11 |rok = 1971 |strony = 44–52 |cytat = Who would suspect, for example, that the switch plate for single light switches are standardized in terms of a Golden Rectangle?}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor = Art Johnson |tytuł = Famous problems and their mathematicians |url = http://books.google.com/?id=STKX4qadFTkC&pg=PA45&dq=switch+%22golden+ratio%22#v=onepage&q=switch%20%22golden%20ratio%22&f=false |wydawca = Libraries Unlimited |rok = 1999 |isbn = 9781563084461 |strony = 45 |cytat = The Golden Ratio is a standard feature of many modern designs, from postcards and credit cards to posters and light-switch plates.}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor = Alexey Stakhov, Scott Olsen, Scott Anthony Olsen |tytuł = The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science |url = http://books.google.com/?id=K6fac9RxXREC&pg=PA21&dq=%22credit+card%22+%22golden+ratio%22+rectangle#v=onepage&q=%22credit%20card%22%20%22golden%20ratio%22%20rectangle&f=false |wydawca = World Scientific |rok = 2009 |isbn = 9789812775825 |strony = 21 |cytat = A credit card has a form of the golden rectangle.}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor = Simon Cox |tytuł = Cracking the Da Vinci code: the unauthorized guide to the facts behind Dan Brown’s bestselling novel |url = http://books.google.com/?id=TbjwhwLCEeAC&q=%22golden+ratio%22+postcard&dq=%22golden+ratio%22+postcard |wydawca = Barnes & Noble Books |rok = 2004 |isbn = 9780760759318 |cytat = The Golden Ratio also crops up in some very unlikely places: widescreen televisions, postcards, credit cards and photographs all commonly conform to its proportions.}}</ref>.

=== Przyroda ===
[[Plik:Aeonium tabuliforme.jpg|thumb|Powiększenie [[Aeonium tabuliforme]] z rodziny [[Gruboszowate|gruboszowatych]] w parku [[Trädgårdsföreningen]], [[Göteborg]]]]
[[Adolf Zeising]], który interesował się głównie matematyką i filozofią, odkrył złoty podział wyrażony w ułożeniu gałęzi na pniu roślin i w nerwach liści. Rozszerzył swoje badania na szkielety zwierząt i rozgałęzienia ich żył i nerwów, proporcje składników chemicznych i geometrię kryształów, a nawet użycie proporcji w dziełach artystycznych. W zjawiskach tych uznał złoty podział za uniwersalne prawo<ref>{{Cytuj książkę |autor = Richard Padovan |tytuł = Proportion |url = http://books.google.com/?id=Vk_CQULdAssC&pg=PA306&dq=%22contained+the+ground-principle+of+all+formative+striving%22 |wydawca = Taylor & Francis |rok = 1999 |isbn = 9780419227809 |strony = 305–306}}</ref>. W związku ze swoim schematem ciała ludzkiego opartego na złotym podziale, Zeising podał w 1854 uniwersalne prawo „w którym zawarta jest podstawowa zasada każdego dążenia do piękna i spełnienia w działaniach przyrody i sztuki, zgodnie z którym działają wszystkie struktury, formy i proporcje, kosmiczne i osobne, organiczne i nieorganiczne, dźwiękowe i świetlne, ale które najpełniej realizują się w formie ludzkiej”<ref>Zeising, Adolf, ''Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers'', Leipzig, 1854, preface.</ref>.

W 2003 [[Volkmar Weiss|Volkmar]] i Harald Weissowie przeanalizowali dane psychometryczne i rozważania teoretyczne, dochodząc do wniosku, że złoty podział jest podstawą cyklu fal mózgowych<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Weiss |imię = Volkmar |nazwisko2 = Weiss |imię2 = Harald |tytuł = The golden mean as clock cycle of brain waves |url = http://www.v-weiss.de/chaos.html |czasopismo = Chaos, Solitons and Fractals |wolumin = 18 |rok = 2003 |strony = 643–652 |doi = 10.1016/S0960-0779(03)00026-2 |wydanie = 4}}</ref>. W 2008 zostało to potwierdzone doświadczalnie przez zespół neurobiologów<ref>{{Cytuj |autor = Anita K. Roopun, M.A Kramer, L.M Carracedo, M Kaiser, C.H Davies, R.D Traub, N.J Kopell, M.A Whittington |tytuł = Temporal interactions between cortical rhythms |czasopismo = Frontiers in Neuroscience |wolumin = 2 |numer = 2 |data = 2008 |s = 145–154 |doi = 10.3389/neuro.01.034.2008 |pmid = 19225587 |pmc = 2622758}}</ref>.

W 2010 pismo „Science” ogłosiło, że złoty podział jest obecny w skali atomowej w rezonansie magnetycznym spinów w kryształach niobanu kobaltu<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.eurekalert.org/pub_releases/2010-01/haog-grd010510.php |tytuł = Golden ratio discovered in a quantum world |opublikowany = Eurekalert.org |data = 2010-01-07 |data dostępu = 2011-10-31}}</ref>.

Kilku badaczy zasugerowało powiązania między złotym podziałem a [[Genom człowieka|ludzkim genomem]] [[Kwas deoksyrybonukleinowy|DNA]]<ref>J.C. Perez (1991), [http://golden-ratio-in-dna.blogspot.com/2008/01/1991-first-publication-related-to.html ''Chaos DNA and Neuro-computers: A Golden Link''], in „Speculations in Science and Technology” vol. 14 no. 4, {{ISSN|0155-7785}}.</ref><ref>Yamagishi, Michel E.B., and Shimabukuro, Alex I. (2007), [https://archive.is/20130104194824/http://www.springerlink.com/content/p140352473151957/?p=d5b18a2dfee949858e2062449e9ccfad&pi=0 ''Nucleotide Frequencies in Human Genome and Fibonacci Numbers''], in „Bulletin of Mathematical Biology”, {{ISSN|0092-8240}} (print), {{ISSN|1522-9602}} (online). [https://link.springer.com/article/10.1007/s11538-007-9261-6 PDF full text].</ref><ref>{{cytuj pismo |autor = Perez, J.-C |tytuł = Codon populations in single-stranded whole human genome DNA are fractal and fine-tuned by the Golden Ratio 1.618 |czasopismo = Interdisciplinary Sciences: Computational Life Science |rok = 2010 |miesiąc = September |wolumin = 2 |wydanie = 3 |strony = 228–240 |pmid = 20658335 |doi = 10.1007/s12539-010-0022-0}}</ref>.

Jednakże niektórzy twierdzą, że wiele z obserwowanych wystąpień złotego podziału w przyrodzie, w szczególności w wymiarach zwierząt, jest tak naprawdę błędnych<ref>Pommersheim, James E., Tim K. Marks, and Erica L. Flapan, eds. 2010. Number Theory: A lively Introduction with Proofes, Applications, and Stories. John Wiley and Sons: 82.</ref>.

=== Optymalizacja ===
Złoty podział jest kluczowym elementem [[Metoda złotego podziału|metody złotego podziału]].

=== Finanse ===
Złoty podział i powiązane liczby są używane na [[rynek finansowy|rynkach finansowych]]. Jest on stosowany w algorytmach handlowych, aplikacjach i strategiach. Niektóre z typowych form to: wiatrak Fibonacciego, łuk Fibonacciego, odbicie Fibonacciego i rozszerzenie czasu Fibonacciego<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.investopedia.com/terms/f/fibonaccilines.asp |tytuł = Fibonacci Numbers/Lines Definition |opublikowany = Investopedia.com |data = |data dostępu = 2011-04-02}}</ref>.

== Matematyka ==
=== Sprzężenie złotego podziału ===
Ujemny pierwiastek równania kwadratowego dla '''φ''' (pierwiastek sprzężony) wynosi
: <math>-\frac{1}{\varphi} = 1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0{,}61803\,39887\dots</math>

[[Wartość bezwzględna]] tej liczby (≈ 0,618) odpowiada stosunkowi długości w odwrotnej kolejności (długość krótszego odcinka przez długość dłuższego odcinka, <math>b/a</math>), i jest czasami określana jako ''sprzężenie złotego podziału''<ref name="MathWorld GR Conjugate">{{MathWorld | tytuł = Golden Ratio Conjugate | adres = GoldenRatioConjugate}}</ref>. Jest tam oznaczona przez dużą literę Phi ('''Φ'''):
: <math>\Phi = \frac{1}{\varphi} = \frac{1}{1{,}61803\,39887\dots} = 0{,}61803\,39887\dots</math>

Równoważnie, '''Φ''' może być wyrażone jako
: <math>\Phi = \varphi -1 = 1{,}61803\,39887\ldots -1 = 0{,}61803\,39887\dots</math>

Ilustruje to wyjątkową własność złotego podziału wśród liczb dodatnich, a mianowicie, że
: <math>\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1.</math>

natomiast jego odwrotność:
: <math>\frac{1}{\Phi} = \Phi + 1.</math>

Oznacza to, że 0,61803...+1 = 1:0,61803...

=== Krótkie dowody niewymierności ===
==== Sprzeczność w wyrażeniu nieskracalnym ====
Przypomnijmy, że:
: całość to dłuższa część plus krótsza część;
: całość do dłuższej części jest równa dłuższej części do krótszej.

Jeżeli oznaczymy całość <math>n</math>, a dłuższą część <math>m,</math> to drugie stwierdzenie powyżej staje się
: <math>n</math> do <math>m</math> jest równe <math>m</math> do <math>n-m,</math>

lub algebraicznie:
: <math>\frac nm = \frac{m}{n-m}.\qquad (*)</math>

Jeżeli <math>\varphi</math> jest wymierne, to <math>\varphi</math> jest ułamkiem <math>n/m</math>, gdzie <math>n</math> i <math>m</math> są całkowite. Możemy określić takie <math>n/m,</math> że jest ono nieskracalne, a <math>n</math> i <math>m</math> są dodatnie. Ale jeżeli <math>n/m</math> jest nieskracalne, to równość oznaczona (*) powyżej mówi, że <math>m/(n-m)</math> jest również nieskracalne. Prowadzi to do sprzeczności, która wynika z założenia, że <math>\varphi</math> jest wymierne.

==== Wyprowadzenie z niewymierności √5 ====
Inny krótki dowód – może bardziej znany – niewymierności złotej proporcji korzysta z tego, że dodawanie i [[mnożenie]] są [[działanie algebraiczne|działaniami wewnętrznymi]] zbioru [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]]. Jeżeli <math>\textstyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> jest wymierne, to <math>\textstyle2\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \sqrt{5}</math> jest również wymierne, co prowadzi do sprzeczności, ponieważ wiadomo, że pierwiastek [[liczby naturalne]]j niebędącej [[potęgowanie|kwadratem]] jest niewymierny.

=== Alternatywne formy ===
[[Plik:Golden mean.png|thumb|Przybliżenie złotego środka przez aproksymacje ułamka łańcuchowego]]
Wzór <math>\varphi = 1 + 1/\varphi</math> może być rozwinięty rekurencyjnie w celu uzyskania [[ułamek łańcuchowy|ułamka łańcuchowego]] złotej liczby<ref>{{Cytuj książkę |autor = Max. Hailperin, Barbara K. Kaiser, and Karl W. Knight |tytuł = Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme |url = http://books.google.com/?id=yYyVRueWlZ8C&pg=PA63&dq=continued-fraction+substitute+golden-ratio |wydawca = Brooks/Cole Pub. Co |rok = 1998 |isbn = 0-534-95211-9}}</ref>:
: <math>\varphi = [1; 1, 1, 1, \dots] = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>

oraz jego odwrotności:
: <math>\varphi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \dots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>

Kolejne [[Aproksymacja|aproksymacje]] tych ułamków łańcuchowych (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, … lub 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, …) są stosunkami kolejnych [[Ciąg Fibonacciego|liczb Fibonacciego]].

Równanie <math>\varphi^2 = 1 + \varphi</math> również produkuje łańcuchowy [[pierwiastek kwadratowy]], tzn.:
: <math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \ldots}}}}</math>

Można z niego wyprowadzić nieskończony ciąg o granicy phi<ref>Brian Roselle, [http://sites.google.com/site/goldenmeanseries/ „Golden Mean Series”].</ref>:
: <math>\varphi = \frac{13}{8} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}.</math>

Również:
: <math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ,</math>
: <math>\varphi = \frac{1}{2}\operatorname{cosec}(\pi/10) = \frac{1}{2}\operatorname{cosec} 18^\circ,</math>
: <math>\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ,</math>
: <math>\varphi = 2\sin(3\pi/10)=2\sin 54^\circ.</math>

Równania te wyrażają fakt, że długość przekątnej pięciokąta foremnego jest <math>\varphi</math> razy dłuższa niż długość jego boku, a podobny stosunek występuje w [[pentagram]]ie.

Także pole pod wykresem funkcji <math>\frac{\sin x}{\sqrt{2-2\cos x}}</math> dla <math>x\in \left[0;\frac{3\pi}{5}\right]{:}</math>
: <math>\varphi = \int_0^\frac{3\pi}{5} \frac{\sin x}{\sqrt{2-2\cos x}}dx</math>

=== Geometria ===
[[Plik:FakeRealLogSpiral.svg|thumb|350px|Przybliżona i rzeczywista [[złota spirala|złote spirale]]. <span style="color:green;">Zielona</span> spirala jest utworzona z ćwierć-okręgów stycznych do wnętrza każdego kwadratu, podczas gdy <span style="color:maroon;">czerwona</span> spirala to złota spirala, typ [[spirala logarytmiczna|spirali logarytmicznej]]. Zachodzące na siebie części są oznaczone na <span style="color:olive;">żółto</span>. Długość boku kwadratu podzielona przez długość boku kolejnego, mniejszego kwadratu równa jest złotej proporcji.]]
Liczba <math>\varphi</math> pojawia się często w [[geometria|geometrii]], szczególnie w figurach o [[symetria figury|symetrii]] pentagonalnej.
Długość [[przekątna|przekątnej]] [[pięciokąt]]a foremnego jest <math>\varphi</math> razy dłuższa od jego boku.
Wierzchołki [[dwudziestościan foremny|dwudziestościanu]] foremnego są takie jak wierzchołki [[3 (liczba)|trzech]] [[prostopadłość|prostopadłych]] do siebie [[złoty prostokąt|złotych prostokątów]].

Nie jest znany ogólny [[algorytm]] ustawiający daną liczbę węzłów równomiernie na sferze, według dowolnej z kilku definicji równomiernego rozdziału (np. zobacz ''[[problem Thomsona]]''). Jednakże użyteczne przybliżenie powstaje przez podział sfery na równoległe pasy o równej [[powierzchnia|powierzchni]] i rozmieszczenie po jednym węźle na południkach oddalonych o złoty podział okręgu, tzn. 360°/φ {{Unicode|≅}} 222,5°. Metoda ta została użyta do ustawienia 1500 luster zbudowanego przy udziale studentów [[sztuczny satelita|satelity]] [[Starshine-3]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2001/ast09oct_1/ |tytuł = A Disco Ball in Space |opublikowany = NASA |data = 2001-10-09 |data dostępu = 2007-04-16}}</ref>.
{{Clear}}

==== Podział odcinka ====
===== Pierwszy sposób konstrukcji =====
[[Plik:Golden ratio rectangle construction.svg|center|400px|Przykład konstrukcji złotego prostokąta]]
Kolejne kroki konstrukcji:
# Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku <math>a.</math>
# Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku).
# Weź [[odcinek]] łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek <math>c</math>) i odłóż go ze środka boku na [[prosta|prostej]], w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu).
# Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość <math>b.</math> Odcinek ten wystarczy odłożyć w boku wyjściowego kwadratu.
Długości początkowego odcinka <math>a</math> i znalezionego <math>b</math> pozostają w złotym stosunku, <math>\frac a b=\varphi,</math> wyznaczają więc '''złoty podział'''.

====== Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji ======
Znaleziony w trzecim kroku odcinek <math>c</math> jest przeciwprostokątną [[trójkąt prostokątny|trójkąta prostokątnego]] o przyprostokątnych <math>a</math> i <math>\frac a 2.</math> Na mocy [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]]:
: <math>c^2 = a^2 + \left( \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\;a^2,</math>

zatem jego długość:
: <math>c = \frac{\sqrt 5}{2}\;a.</math>

Odkładając odcinek <math>c</math> w prawo ze środka boku kwadratu, otrzymaliśmy odcinek (dłuższy bok prostokąta) o długości:
: <math>\frac{a}{2} + c,</math>

zaś za <math>b</math> przyjęliśmy część (czerwoną) pozostałą po skróceniu o odcinek <math>a</math> (czarny):
: <math>b = \frac{a}{2} + c - a,</math>

czyli:
: <math>b = c - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt 5 - 1}{2}\;a.</math>

Stosunek długości <math>\frac a b</math> wynosi:
: <math>\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt 5 - 1} = \frac{\sqrt 5 + 1}{2} = \varphi,</math>

czyli równy jest złotej liczbie. Konstrukcja prowadzi więc do złotego podziału.

===== Drugi sposób konstrukcji =====
[[Plik:Goldener Schnitt Konstr beliebt.svg|thumb|250px|Podział odcinka według złotego stosunku]]
[[Odcinek]] można podzielić według złotej proporcji zgodnie z następującą [[konstrukcje klasyczne|konstrukcją geometryczną]]:
* Najpierw skonstruuj odcinek BC prostopadły do danego odcinka AB, przechodzący przez koniec B, o długości równej połowie długości AB. Odrysuj przeciwprostokątną AC.
* Wykreśl okrąg o środku w C i promieniu BC. Przetnie on przeciwprostokątną AC w punkcie D.
* Wykreśl okrąg o środku w A i promieniu AD. Przetnie on dany odcinek AB w punkcie S. Ten punkt dzieli dany odcinek AB w złotym stosunku.
{{Clear}}

==== Złoty trójkąt, pięciokąt i pentagram ====
[[Plik:Golden triangle (math).svg|thumb|[[Złoty trójkąt]]]]

===== Złoty trójkąt =====
<!-- UWAGA, nagłówek sekcji ‘Złoty trójkąt’ jest adresem linku ze strony [[Złoty trójkąt (ujednoznacznienie)]]. -->
Złoty trójkąt może być opisany jako [[trójkąt równoramienny]] ABC o własności takiej, że [[metoda równego podziału|bisekcja]] kąta C tworzy nowy [[trójkąt]] CXB [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobny]] do danego trójkąta.

Jeśli kąt BCX = α, to XCA = α wynikając z bisekcji, a CAB = α dzięki podobieństwu trójkątów; ABC = 2α z powodu równoramienności trójkąta ABC, a BXC = 2α przez podobieństwo. Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc 5α = 180, dając α = 36°. Tak więc kąty złotego trójkąta wynoszą 36°-72°-72°. Kąty pozostałego rozwartokątnego trójkąta równoramiennego AXC (czasami zwanego złotym gnomonem) wynoszą 36°-36°-108°.

Załóżmy, że XB ma długość 1, a długość BC oznaczymy jako <math>\varphi.</math> Z powodu równoramienności trójkątów XC = XA i BC = XC, a więc są one również długości <math>\varphi.</math> Długość AC = AB jest przez to równa <math>\varphi+1.</math> Jednakże trójkąt ABC jest podobny do CXB, więc AC/BC = BC/BX, przez co długość AC równa jest <math>\varphi^2.</math> Z tego <math>1 = \varphi^2 = \varphi+1,</math> potwierdzając, że <math>\varphi</math> to złota liczba.

Podobnie, stosunek powierzchni większego trójkąta AXC do mniejszego CXB jest równa <math>\varphi,</math> podczas gdy [[liczba odwrotna|odwrotna]] proporcja to <math>\varphi-1.</math>

===== Pięciokąt =====
W pięciokącie foremnym stosunek boku do przekątnej to <math>\Phi</math> (tzn. <math>1/\varphi</math>), natomiast przekątne przecinają się w złotym stosunku<ref name="Pacioli" />.

===== Konstrukcja Odoma =====
[[Plik:Odom.svg|thumb|218px|<math>\tfrac{|AB|}{|BC|}=\tfrac{|AC|}{|AB|}=\phi</math>]]
[[George Phillips Odom Jr|George Odom]] podał niezwykle prostą konstrukcję <math>\varphi</math> wykorzystującą [[trójkąt równoboczny]]: jeżeli wpiszemy trójkąt równoboczny w okrąg, a odcinek łączący środki dwóch boków jest przedłużony do przecięcia z okręgiem w dowolnym z dwóch miejsc, to te trzy punkty są do siebie w złotej proporcji. Jest to bezpośredni skutek [[Potęga punktu|twierdzenia o przecinających się cięciwach]] i może być użyte do utworzenia pięciokąta foremnego, konstrukcji, która zwróciła uwagę wybitnego kanadyjskiego geometry [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxetera]], który opublikował ją w imieniu Odoma jako rysunek w „[[American Mathematical Monthly]]” opatrzony jednym słowem „Oto!”<ref>{{cytuj stronę |url = http://mathcentral.uregina.ca/qq/database/QQ.09.02/mary1.html |tytuł = Quandaries and Queries |autor = Chris and Penny |opublikowany = Math Central |data dostępu = 2011-10-23}}</ref>.

===== Pentagram =====
[[Plik:Pentagram-phi.svg|thumb|Pentagram pokolorowany w celu rozróżnienia jego odcinków o różnej długości. Wszystkie cztery długości są do siebie w złotym stosunku.]]
Złoty podział gra istotną rolę w geometrii [[pentagram]]u. Wszystkie odcinki brzegowe przecinają się ze sobą w złotym stosunku. Również stosunek długości krótszego odcinka do odcinka ograniczonego przez dwie przecinające się krawędzie (bok pięciokąta wewnątrz pentagramu) wynosi <math>\varphi,</math> jak przedstawia czterokolorowa ilustracja.

Pentagram zawiera dziesięć [[trójkąt równoramienny|trójkątów równoramiennych]]: pięć ostrokątnych i pięć rozwartokątnych. We wszystkich z nich stosunek długości dłuższego boku do krótszego wynosi <math>\varphi.</math> Trójkąty ostrokątne są [[złoty trójkąt|złotymi trójkątami]]. Rozwartokątne są złotymi gnomonami.

===== Twierdzenie Ptolemeusza =====
[[Plik:Ptolemy Pentagon.svg|thumb|Złoty podział w pięciokącie foremnym może być wyliczony z [[twierdzenie Ptolemeusza|twierdzenia Ptolemeusza]]]]
Własności pięciokąta foremnego związane ze złotym podziałem mogą być udowodnione przez zastosowanie [[twierdzenie Ptolemeusza|twierdzenia Ptolemeusza]] do czworoboku utworzonego przez usunięcie jednego z jego wierzchołków. Jeżeli dłuższy bok czworoboku i przekątne oznaczymy jako <math>b,</math> a krótsze boki jako <math>a,</math> to twierdzenie Ptolemeusza daje <math>b^2=a^2+ab</math> z czego wynika
: <math>\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.</math>

==== Skalowalność trójkątów ====
Rozważmy [[trójkąt]] o bokach długości <math>a,b</math> i <math>c</math> w kolejności malejącej. Zdefiniujemy „skalowalność” trójkąta jako mniejszy z dwóch stosunków <math>a/b</math> i <math>b/c.</math> Skalowalność jest zawsze mniejsza od <math>\varphi</math> i może dowolnie zbliżać się do <math>\varphi</math><ref>„[[American Mathematical Monthly]]”, s. 49–50, 1954.</ref>.

==== Trójkąt, którego boki tworzą postęp geometryczny ====
Jeżeli długości boków trójkąta tworzą [[ciąg geometryczny]] i są w stosunku <math>1 : r : r^2,</math> gdzie <math>r</math> wspólną proporcją, to <math>r</math> musi znajdować się w przedziale <math>\varphi-1<r<\varphi,</math> co jest skutkiem [[nierówność trójkąta|nierówności trójkąta]] (suma dowolnych dwóch boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego boku). Gdyby <math>r=\varphi</math> to dwa krótsze boki byłyby długości 1 i <math>\varphi,</math> ale ich suma wynosiłaby <math>\varphi^2,</math> dlatego <math>r<\varphi.</math> Podobne uzasadnienie pokazuje, że <math>r>\varphi-1.</math> Trójkąt, którego boki są w stosunku <math>1 : \sqrt\varphi : \varphi</math> jest trójkątem prostokątnym (ponieważ <math>1 + \varphi = \varphi^2</math>) znanym jako [[trójkąt Keplera]]<ref name="herz" />.

==== Złoty trójkąt, romb i trzydziestościan rombowy ====
[[Plik:GoldenRhombus.svg|thumb|Jeden z rombów trzydziestościanu rombowego]]
[[Plik:Rhombictriacontahedron.svg|thumb|Wszystkie ściany trzydziestościanu rombowego są złotymi rombami]]
[[Złoty romb]] to taki [[romb]], w którym długości przekątnych są do siebie w złotym stosunku. [[Trzydziestościan rombowy]] to [[zbiór wypukły|wielościan wypukły]] mający szczególną własność: wszystkie jego ściany są złotymi rombami. W [[trzydziestościan rombowy|trzydziestościanie rombowym]] [[kąt dwuścienny]] między dwoma przyległymi rombami wynosi 144°, czyli dwa razy więcej niż kąt między ramionami [[złoty trójkąt|złotego trójkąta]] i cztery razy więcej od jego najostrzejszego kąta.

=== Związek z ciągiem Fibonacciego ===
Własności złotego podziału i [[ciąg Fibonacciego|ciągu Fibonacciego]] są blisko powiązane ze sobą. Ciąg Fibonacciego to:
: <math>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,\dots</math>

[[Wzór jawny]] (znany jako wzór [[Jacques Philippe Marie Binet|Bineta]], mimo że był znany już [[Abraham de Moivre|Abrahamowi de Moivremu]]) dla ciągu Fibonacciego zawiera złoty stosunek:
: <math>F(n) = \frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5} = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5}.</math>

[[Plik:Fibonacci spiral 34.svg|thumb|250px|[[Spirala Fibonacciego]] przybliżająca [[złota spirala|złotą spiralę]], używając kwadratów o powierzchni wyrazów ciągu Fibonacciego do 34.]]

Złoty podział jest [[granica (matematyka)|granicą]] stosunków kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego (a także każdego ciągu opartego na podobnych zasadach), co po raz pierwszy wykazał [[Johannes Kepler|Kepler]]<ref name="tatt" />:
: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi.</math>

Innymi słowy, kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać, obliczając ilorazy sąsiednich [[ciąg Fibonacciego|liczb Fibonacciego]], co daje kolejno:
: <math>\frac 1 1,\frac 2 1,\frac 3 2,\frac 5 3,\frac 8 5,\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\dots</math>

Już ostatni z wymienionych tu ułamków przybliża złotą liczbę z dokładnością do 0,001.

[[Rekurencja|Definicja rekurencyjna]] powyższego ciągu ma postać:
: <math>\varphi_0=1,</math>
: <math>\varphi_{n+1}=1+\frac{1}{\varphi_n},</math>

natomiast powyższa granica przyjmuje postać:
: <math>\varphi_n\to\varphi.</math>

Tym samym, jeżeli wyraz ciągu Fibonacciego jest podzielony przez swojego bezpośredniego poprzednika w ciągu, to iloraz jest przybliżeniem <math>\varphi;</math> np. 987/610&nbsp;≈&nbsp;1,6180327868852. Przybliżenia te są niższe lub wyższe od <math>\varphi,</math> i zbiegają się do <math>\varphi</math> wraz z postępem ciągu:
: <math>\sum_{n=1}^\infty|F(n)\varphi-F(n+1)| = \varphi.</math>

Bardziej ogólnie:
: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+a)}{F(n)} = \varphi^a.</math>

powyżej podane są ilorazy następujących po sobie wyrazów ciągu Fibonacciego w przypadku, gdy <math>a = 1.</math>

Poza tym kolejne potęgi <math>\varphi</math> są do siebie w zgodzie z [[równanie rekurencyjne|równaniem rekurencyjnym]] Fibonacciego:
: <math>\varphi^{n+1} = \varphi^n + \varphi^{n-1}.</math>

Powyższa równość pozwala zredukować każdy wielomian <math>\varphi</math> do równania liniowego. Na przykład:
: <math>\begin{align}
3\varphi^3 - 5\varphi^2 + 4 & = 3(\varphi^2 + \varphi) - 5\varphi^2 + 4 \\
& = 3[(\varphi + 1) + \varphi] - 5(\varphi + 1) + 4 \\
& = \varphi + 2 \approx 3{,}618.
\end{align}</math>

Nie jest to jednak wyjątkowa własność <math>\varphi</math>. Wielomiany w dowolnym [[równanie kwadratowe|równaniu kwadratowym]] <math>x</math>  można zredukować analogicznie, stosując:
: <math>x^2=ax+b</math>

dla danych współczynników <math>a,b</math> takich, że <math>x</math> spełnia równanie. Nawet bardziej ogólnie, każda [[funkcja wymierna]] (z wymiernymi współczynnikami) z nieredukowalnym wielomianem <math>n</math>-tego stopnia na liczbach wymiernych może być zredukowana do wielomianu stopnia <math>n-1.</math> Wyrażone w terminach [[Ciało (matematyka)|teorii ciał]], jeżeli α jest podstawą nieredukowalnego wielomianu stopnia <math>n</math>-tego, to <math>\mathbb{Q}(\alpha)</math> ma stopień <math>n</math> ponad <math>\mathbb{Q},</math> o podstawie <math>\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}.</math>

=== Symetrie ===
Złota liczba i jej odwrotność <math>\varphi_\pm = (1\pm \sqrt{5})/2</math> mają zbiór symetrii, które je zachowują i łączą. Obie są zachowane przez [[funkcja homograficzna|funkcje homograficzne]] <math>x, 1/(1-x), (x-1)/x,</math> – ten fakt odpowiada równości i definicji równania kwadratowego.
Następnie są one podstawione przez trzy mapy <math>1/x, 1-x, x/(x-1)</math> – są one odwrotnościami, symetrycznymi po <math>1/2</math> i (odwrotnie) symetrycznymi po 2.

Co więcej, te mapy są podgrupą [[grupa modularna|grupy modularnej]] <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbf{Z})</math> izomorficznej do [[grupa permutacji|grupy symetrycznej]] na 3 literach, <math>S_3,</math> odpowiadających [[działanie grupy na zbiorze|stabilizatorowi]] zbioru <math>\{0,1,\infty\}</math> 3 punktów standardowych [[linia projekcyjna|linii projekcyjnej]], a symetrie te odpowiadają mapie ilorazu <math>S_3 \to S_2</math> – podgrupie <math>C_3 < S_3</math> składającej się z 3-cyklowej i równanie <math>() (0 1 \infty) (0 \infty 1)</math> stablilizuje to dwie liczby, a 2-cyklowa podmienia je, tworząc mapę.

=== Inne własności ===
Złoty podział ma najprostsze wyrażenie (i najwolniejszą zbieżność) jako rozwinięcie [[ułamek łańcuchowy|ułamka łańcuchowego]] dowolnej liczby niewymiernej (zobacz ''Formy alternatywne'' powyżej). Z tego powodu jest to jeden z najgorszych przypadków [[Aproksymacja diofantyczna|twierdzenia aproksymacji Lagrange’a]]. Może to być przyczyna tego, że kąty zbliżone do złotego podziału często pojawiają się w [[ulistnienie|ulistnieniu]] rosnących roślin.

Określający [[wielomian]] kwadratowy i sprzężony związek prowadzą do wartości dziesiętnych, których części ułamkowe wynoszą <math>\varphi{:}</math>
: <math>\varphi^2 = \varphi + 1 = 2{,}618\dots</math>
: <math>\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 = 0{,}618\dots</math>

Kolejne potęgi <math>\varphi</math> zawierają te wartości 0,618…; 1,0; 1,618…; 2,618…; bardziej ogólnie,
każda kolejna potęga <math>\varphi</math> jest równa sumie dwóch bezpośrednio poprzedzających potęg:
: <math>\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} = \varphi \cdot \operatorname{F}_n + \operatorname{F}_{n-1}.</math>

Przez to łatwo można podzielić dowolną potęgę <math>\varphi</math> na wielokrotność <math>\varphi</math> i stałą. Wielokrotność i stała są zawsze kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego. Prowadzi to do kolejnej własności dodatnich potęg <math>\varphi{:}</math>

Jeżeli <math>\lfloor n/2 - 1 \rfloor = m,</math> to:
: <math>\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-3} + \ldots + \varphi^{n-1-2m} + \varphi^{n-2-2m},</math>
: <math>\varphi^n - \varphi^{n-1} = \varphi^{n-2}.</math>

Kiedy złota liczba jest podstawą [[system liczbowy|systemu liczbowego]] (zobacz [[Złoty system liczbowy]]), każda liczba całkowita ma skończoną reprezentację mimo faktu, że <math>\varphi</math> jest niewymierna, natomiast każdy ułamek jest nieskończony.

Złota liczba jest [[podstawowa jednostka|podstawową jednostką]] [[Ciało liczbowe|ciała liczbowego]] <math>\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math> i jest [[liczba Pisota-Vijayaraghavana|liczbą Pisota-Vijayaraghavana]]<ref>{{MathWorld | adres = PisotNumber | tytuł = Liczba Pisota-Vijayaraghavana}}</ref>. W ciele <math>\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math> mamy <math>\varphi^n = \frac{L n + F n \sqrt{5}}{2},</math> gdzie <math>L_n</math> jest <math>n</math>-tą [[Liczba Lucasa|liczbą Lucasa]].

Złoty podział pojawia się też w [[Geometria hiperboliczna|geometrii hiperbolicznej]] jako maksymalna długość od punktu na boku [[trójkąt potrójnie asymptotyczny|trójkąta potrójnie asymptotycznego]] do bliższego z jego pozostałych dwóch boków: ta odległość to długość boku [[trójkąt równoramienny|trójkąta równoramiennego]] utworzonego przez punkty styczności koła wpisanego w trójkąt potrójnie asymptotyczny i wynosi <math>4 \ln\varphi</math><ref>[http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GeoHyper/KBModele/Biss3KB.html Horocycles exinscrits: une propriété hyperbolique remarquable], cabri.net, retrieved 2009-07-21.</ref>.

Złoty podział pojawia się w rozwiązaniu [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowego]] <math>f'(x)=f^{-1}(x)</math> które wynosi <math>f(x) = \sqrt[\varphi]\frac{1}{\varphi} x^\varphi</math> (przy sprawdzeniu korzystamy z równości <math>1/\varphi = \varphi - 1</math> oraz <math>1 = 1/\varphi + 1/\varphi^2</math>)<ref>{{Cytuj stronę |url = https://www.youtube.com/watch?v=rNUfiQgj6ZI |tytuł = A very interesting differential equation. |nazwisko = Penn |imię = Michael |data = 2020 |data dostępu = 2022-11-28}}</ref>

=== Rozwinięcie dziesiętne ===
Rozwinięcie dziesiętne złotej liczby może być bezpośrednio wyliczone z wyrażenia
: <math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2},</math>

gdzie √5 ≈ 2,2360679774997896964. [[Pierwiastek kwadratowy z 5]] może być obliczony za pomocą [[Metody obliczania pierwiastka kwadratowego#Metoda babilońska|metody babilońskiej]], zaczynając od początkowego przybliżenia takiego jak <math>x\varphi = 2</math> i [[Iteracja|iterując]]
: <math>x_{n+1} = \frac{(x_n + 5/x_n)}{2}</math>

dla <math>n=1,2,3,\dots,</math> aż różnica <math>x_n</math> i <math>x_{n-1}</math> wyniesie zero, do żądanej liczby miejsc po przecinku.

Algorytm babiloński dla √5 jest odpowiednikiem [[Metoda Newtona|metody Newtona]] dla rozwiązania równania <math>x^2-5=0.</math> W jej bardziej ogólnej formie można zastosować metodę Newtona bezpośrednio do dowolnego [[Równanie algebraiczne|równania algebraicznego]], włącznie z równaniem <math>x^2-x-1=0</math> określającym złoty podział. Daje to iteracje zbiegające do samej złotej liczby.
: <math>x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 1}{2x_n - 1},</math>

dla odpowiedniego przybliżenia początkowego <math>x\varphi</math> takiego jak <math>x\varphi=1.</math> Nieco szybsza metoda polega na przekształceniu równania jako <math>x-1-1/x=0,</math> przez co iteracja Newtona zmienia się w
: <math>x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 2x_n}{x_n^2 + 1}.</math>

Wszystkie te iteracje [[Zbieżność kwadratowa|zbiegają się kwadratowo]]; tzn. każdy krok w przybliżeniu podwaja liczbę cyfr rozwiązania. Przez to złoty podział jest stosunkowo łatwo obliczyć z [[Duże liczby całkowite|dowolną dokładnością]]. Czas potrzebny do obliczenia <math>n</math> cyfr złotej liczby jest proporcjonalny do czasu potrzebnego na dzielenie dwóch <math>n</math>-cyfrowych liczb. Jest to znacząco szybsze niż znane algorytmy dla [[Liczba przestępna|liczb przestępnych]] [[pi|'''π''']] i [[Podstawa logarytmu naturalnego|'''''e''''']].

Prostą do implementacji alternatywą jest policzenie dwóch dużych kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego i wyliczenie ich ilorazu. Stosunek liczb Fibonacciego <math>F_{25001}</math> – <math>F_{25000},</math> każdej o ponad 5000 cyfrach, daje ponad 10 000 cyfr znaczących złotej liczby.

Złota liczba <math>\varphi</math> została wyznaczona z dokładnością kilku milionów cyfr dziesiętnych {{OEIS|id=A001622}}. Alexis Irlande dokonał obliczeń i weryfikacji pierwszych 17 000 000 000 cyfr<ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.matematicas.unal.edu.co/airlande/phi.html.en |tytuł = The golden number to 17 000 000 000 digits |opublikowany = Universidad Nacional de Colombia |rok = 2008 |archiwum = https://web.archive.org/web/20100106000322/http://www.matematicas.unal.edu.co/airlande/phi.html.en |zarchiwizowano = 2010-01-06 |data dostępu = 2012-07-07}}</ref>.

== Ostrosłupy ==
[[Plik:Pyramid-bild2.2 hc.png|thumb|250px|Przekrój ostrosłupa foremnego o podstawie kwadratu jest opisany przez swój środkowy trójkąt, którego boki to [[apotema]] ostrosłupa (przeciwprostokątna), połowa podstawy (a/2), i wysokość (h); zaznaczony jest też kąt nachylenia ściany. Proporcje matematyczne b:h:a wynoszące <math>1:\sqrt{\varphi}:\varphi</math> i <math>3:4:5</math> i <math>1:4/\pi:1{,}61899</math> są wyjątkowo interesujące ze względu na związek z piramidami egipskimi.]]
Piramidy egipskie, jak również przypominające je foremne [[ostrosłup]]y o podstawie [[kwadrat]]u można badać z uwzględnieniem złotego podziału i innych stosunków.

=== Ostrosłupy i trójkąty ===
Ostrosłup, w którym apotema (pochylona wysokość dzieląca boczną ścianę na pół) jest <math>\varphi</math> razy dłuższa od połowy szerokości podstawy nazywa się czasem ''złotym ostrosłupem''. Trójkąt równoramienny będący boczną ścianą takiego ostrosłupa można utworzyć z dwóch połówek podzielonego wzdłuż przekątnej złotego prostokąta (o wymiarach połowy podstawy na apotemę), łącząc dłuższe przyprostokątne tworzące apotemę. Wysokość takiego ostrosłupa wynosi <math>\sqrt\varphi</math> razy połowa podstawy (tzn. nachylenie ściany bocznej wynosi <math>\sqrt\varphi</math>); kwadrat wysokości jest równy powierzchni ściany bocznej, <math>\varphi</math> razy powierzchnia połowy podstawy.

Środkowy [[trójkąt prostokątny]] takiego „złotego” ostrosłupa (zobacz rysunek), o bokach <math>1:\sqrt\varphi:\varphi</math> jest sam w sobie interesujący, pokazując przez [[twierdzenie Pitagorasa]] związek <math>\sqrt\varphi = \sqrt{\varphi^2 - 1}</math> lub <math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi}.</math> Ten „[[trójkąt Keplera]]”<ref>{{Cytuj książkę |autor = Radio, Astraea Web |tytuł = The Best of Astraea: 17 Articles on Science, History and Philosophy |url = |wydawca = Astrea Web Radio |isbn = 1-4259-7040-0 |rok = 2006}}</ref> jest jedynym trójkątem prostokątnym o długościach boków w [[ciąg geometryczny|ciągu geometrycznym]]<ref name="herz">{{Cytuj książkę |autor = Roger Herz-Fischler |tytuł = The Shape of the Great Pyramid |url = http://books.google.com/?id=066T3YLuhA0C&pg=PA81&dq=kepler-triangle+geometric |wydawca = Wilfrid Laurier University Press |rok = 2000 |isbn = 0-88920-324-5}}</ref>, tak samo jak trójkąt 3–4–5 jest jedynym trójkątem prostokątnym o długościach boków w [[ciąg arytmetyczny|ciągu arytmetycznym]]. Kąt o tangensie <math>\sqrt\varphi</math> odpowiada kątowi utworzonemu przez bok piramidy z podstawą, 51,827…° (51°49′38)<ref>Midhat Gazale, ''Gnomon: From Pharaohs to Fractals'', Princeton Univ. Press, 1999.</ref>.

Prawie identyczny kształt ostrosłupa, ale o wymiernych proporcjach jest opisany w [[Papirus Rhinda|papirusie matematycznym Rhinda]] (źródle większej części współczesnej wiedzy o starożytnej [[Matematyka egipska|matematyce egipskiej]]), oparty na trójkącie 3:4:5<ref name="maor" />; nachylenie ściany bocznej odpowiadające tangensowi 4/3 wynosi 53,13° (53 stopni i 8 minut)<ref name="Herkommer">{{cytuj stronę |url = http://www.herkommer.org/pyramid/pyramid.htm |tytuł = The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence |data = 2014-02-24 |data dostępu = 2015-01-16}}</ref>. Pochyła wysokość, czyli apotema jest 5/3, tzn. 1,666… razy dłuższa od połowy podstawy. Papirus Rhinda zawiera inny problem ostrosłupa, znowu z wymiernym nachyleniem (wyrażonym jako kotangens). Matematyka egipska nie obejmowała pojęcia liczb niewymiernych<ref>[[Lancelot Hogben]], ''Mathematics for the Million'', London: Allen & Unwin, 1942, s. 63, as cited by Dick Teresi, ''Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Maya'', New York: Simon & Schuster, 2003, s. 56.</ref>, i odwrotne nachylenie wymierne (kotangens, pomnożony przez współczynnik 7 do przeliczenia do ich standardowej jednostki dłoni na [[Amma (jednostka)|ammę]]) było użyte przy wznoszeniu piramid<ref name="maor" />.

Innym ostrosłupem o proporcjach niemal identycznych jak „złoty” ostrosłup jest taki o obwodzie 2 razy dłuższym od wysokości, tzn. h:b = 4:π. Kąt nachylenia boku tego trójkąta wynosi 51,854° (51°51′), co jest wartością zbliżoną do 51,827° – kąta w [[trójkąt Keplera|trójkącie Keplera]]. Ten związek z piramidami odpowiada [[przypadek matematyczny|przypadkowi matematycznemu]] <math>\sqrt\varphi \approx 4/\pi.</math>

Znane są piramidy egipskie o proporcjach bardzo podobnych do opisanych ostrosłupów<ref name="Herkommer" />.

=== Piramidy egipskie ===
W połowie XIX wieku Röber badał różne piramidy egipskie, m.in. Chefrena, Mykerinosa, niektóre z Gizy, Sakkary i Abusiru. Zauważył, że połowa podstawy piramidy wynosi połowę boku, tworząc trójkąt rozpoznany przez innych badaczy jako [[trójkąt Keplera]]; sugerowano również wiele innych teorii matematycznych dotyczących kształtu piramid<ref name="herz" />.

Jedna z piramid egipskich jest wyjątkowo zbliżona do „złotego ostrosłupa” – [[Piramida Cheopsa|Wielka Piramida]] (znana również jako piramida Cheopsa). Jej nachylenie wynoszące 51°52′ jest bardzo zbliżone do nachylenia „złotego” ostrosłupa równego 51°50′ i nachylenia opartej na π piramidy równego 51°51′; inne piramidy w Gizie (Chefrena, 52°20′ i Mykerinosa, 50°47′)<ref name="maor">[[Eli Maor]], ''Trigonometric Delights'', Princeton Univ. Press, 2000.</ref> są również dość zbliżone. Kwestia czy konstrukcja tych piramid ma jakiś związek ze złotym podziałem jest jedynie przedmiotem spekulacji<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Burton |imię = David M. |tytuł = The history of mathematics: an introduction |url = http://books.google.com/books?id=GKtFAAAAYAAJ |wydanie = 4 |wydawca = WCB McGraw-Hill |rok = 1999 |isbn = 0-070-09468-3 |strony = 56}}</ref> Kilka innych piramid egipskich również posiada wymiary o proporcjach zbliżonych do 3:4:5<ref name="Herkommer" />.

Pobudzając kontrowersje na temat autorstwa piramid [[Eric Temple Bell]], matematyk i historyk ogłosił w 1950 że matematycy egipscy nie potrafiliby obliczyć wysokości boku piramidy ani jego stosunku do wysokości piramidy poza przypadkiem piramidy 3:4:5, ponieważ trójkąt 3:4:5 był trójkątem prostokątnym jedynym znanym Egipcjanom, którzy nie znali twierdzenia Pitagorasa ani pojęcia liczb niewymiernych takich jak π i φ<ref>Eric Temple Bell, ''The Development of Mathematics'', New York: Dover, 1940, s. 40.</ref>.

Michael Rice<ref>Rice, Michael, ''Egypt’s Legacy: The Archetypes of Western Civilisation, 3000 to 30 B.C.'', s. 24, Routledge, 2003, {{ISBN|0-415-26876-1}}.</ref> zaznacza, że główni historycy [[Architektura i rzeźba starożytnego Egiptu|architektury egipskiej]] kwestionowali znajomość przez Egipcjan złotego podziału i jego obecność w konstrukcji piramid, cytując Giedona (1957)<ref>S. Giedon, 1957, The Beginnings of Architecture, The A.W. Mellon Lectures in the Fine Arts, 457, as cited in Rice, Michael, ''Egypt’s Legacy: The Archetypes of Western Civilisation, 3000 to 30 B.C'', s. 24, Routledge, 2003.</ref>. Historycy nauki od zawsze debatowali, czy Egipcjanie znali go, czy też nie, dochodząc zwykle do wniosku, że jego obecność w budynkach egipskich jest wynikiem przypadku<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Markowsky |imię = George |tytuł = Misconceptions about the Golden Ratio |url = http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf |czasopismo = College Mathematics Journal |data = |rok = 1992 |miesiąc = January |wolumin = 23 |wydanie = 1 |doi = 10.2307/2686193 |jstor = 2686193 |wydawca = Mathematical Association of America |strony = 2–19 |data dostępu =}}</ref>.

W 1859 [[Piramidologia|piramidolog]] [[John Taylor (pisarz)|John Taylor]] twierdził, że w [[piramida Cheopsa|Wielkiej Piramidzie]] złoty podział jest reprezentowany przez stosunek wysokości boku, nachylonego pod kątem [[theta|θ]] do podłoża, do połowy długości boku kwadratowej podstawy, równoznaczny z [[Funkcje trygonometryczne|sekansem]] kąta θ<ref>Taylor, ''The Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It?'', 1859.</ref>. Dwie powyższe wartości wynoszą odpowiednio około 186,4 i 115,2 m. Ich stosunek to złoty stosunek z dokładnością do większej ilości cyfr od dokładności ich pierwszego zmierzenia. Podobnie, [[Howard Vyse]], według Matili Ghyki<ref>Matila Ghyka, ''The Geometry of Art and Life'', New York: Dover, 1977.</ref>, ogłosił, że przy wysokości piramidy równej 148,2 m i połowy podstawy równej 116,4 m stosunek wysokości boku i połowy podstawy daje wynik 1,6189, co również daje dokładność przekraczającą błąd pomiaru.

== Fizyka ==
=== Stała grawitacji ===
Choć nie wiadomo dokładnie dlaczego dla [[Stała grawitacji|stałej grawitacji]] z bardzo dobrym przybliżeniem najlepszej wartości eksperymentalnej z 2010 roku zachodzi
związek<ref>{{cytuj pismo |autor = Kalinski, M |tytuł = QED-Like Simple High Order Perturbative Relation between the Gravitational Constant G and the Planck Constant h |url = https://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=108615 |czasopismo = Journal of High Energy Physics, Gravitation and Cosmology |rok = 2021 |wolumin = 7 |strony = 595 |wydanie = 2 |doi = 10.4236/jhepgc.2021.72034}}</ref>
: <math>G = \frac{\varphi^2}{2} \frac{\hbar c}{m_e^2} \alpha^{21} = \frac{\varphi+1}{2} \frac{\hbar c}{m_e^2} \alpha^{21} = 6{,}67323 \cdot 10^{-11} \operatorname\frac{m^3}{kg\, s^2},</math>

gdzie <math>c</math> to [[prędkość światła]], <math>\hbar</math> zredukowana [[stała Plancka]], <math>m_e</math> [[Masa spoczynkowa elektronu|masa elektronu]] a <math>\alpha</math> [[stała struktury subtelnej]].

=== Stała struktury subtelnej ===
Z dobrym przybliżeniem dla [[stała struktury subtelnej|stałej struktury subtelnej]] <math>\alpha</math>
: <math>1/\alpha=20 \varphi^4=137{,}082039325.</math>

== Wątpliwe obserwacje ==
Przykłady kwestionowanych obserwacji zastosowania złotego podziału obejmują następująco:
* Historyk John Man uznał, że strony [[Biblia Gutenberga|Biblii Gutenberga]] zostały „oparte na kształcie złotego podziału”. Jednakże zgodnie z pomiarami samego Mana stosunek wysokości do szerokości to 1,45<ref>Man, John, ''Gutenberg: How One Man Remade the World with Word'' (2002), s. 166–167, Wiley, {{ISBN|0-471-21823-5}}. „The half-folio page (30,7&nbsp;×&nbsp;44,5&nbsp;cm) was made up of two rectangles–the whole page and its text area–based on the so called ‘golden section’, which specifies a crucial relationship between short and long sides, and produces an irrational number, as pi is, but is a ratio of about 5:8”.</ref>.
* Niektóre szczególne proporcje ciał wielu zwierząt (łącznie z ludźmi<ref name="pheasant">{{Cytuj książkę |nazwisko = Pheasant |imię = Stephen |tytuł = Bodyspace |miejsce = London |wydawca = Taylor & Francis |rok = 1998 |isbn = 0748400672}}</ref><ref name="vanLaack">{{Cytuj książkę |nazwisko = van Laack |imię = Walter |tytuł = A Better History Of Our World: Volume 1 The Universe |miejsce = Aachen |wydawca = van Laach GmbH |rok = 2001}}</ref>) i części muszli mięczaków<ref name="dunlap" /> oraz głowonogów często określane są jako złoty stosunek. W rzeczywistości istnieje duże zróżnicowanie tych wartości u różnych osobników, a brana pod uwagę proporcja często znacznie różni się od złotej proporcji<ref name="pheasant" />. Stosunek kolejnych paliczków palców i śródręcza jest często określany jako przybliżenie złotego podziału<ref name="vanLaack" />. Muszla [[nautilus (zwierzęta)|łodzika]], której wzrost naśladuje [[spirala logarytmiczna|spiralę logarytmiczną]] jest często przywoływana, zwykle razem z twierdzeniem, że każda spirala logarytmiczna ma związek ze złotym podziałem, a czasami z twierdzeniem, że wielkość każdej nowej komory do poprzedniej to złoty stosunek<ref name="moscovich">[[Ivan Moscovich]], ''Ivan Moscovich Mastermind Collection: The Hinged Square & Other Puzzles'', New York: Sterling, 2004.</ref>. Jednakże pomiary muszli łodzików nie potwierdzają tych twierdzeń<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Peterson |imię = Ivars |tytuł = Sea shell spirals |url = https://archive.is/20120525232618/http://www.sciencenews.org/view/generic/id/6030/title/Sea_Shell_Spirals |czasopismo = Science News}}</ref>.
* Proporcje różnych części roślin (liczba liści na gałąź, średnica [[Figura geometryczna|figur geometrycznych]] wewnątrz kwiatów) często określane są jako ukazujące złote proporcje u kilku gatunków<ref>Derek Thomas, ''Architecture and the Urban Environment: A Vision for the New Age'', Oxford: Elsevier, 2002.</ref>. W rzeczywistości istnieją znaczące różnice między osobnikami, zmiany sezonowe i wiekowe u tych gatunków. Chociaż złoty podział można znaleźć w niektórych proporcjach u niektórych osobników w szczególnym okresie ich życia, to nie ma jednakowego stosunku w ich proporcjach.
* Przy inwestycjach niektórzy praktycy [[Analiza techniczna|analizy technicznej]] używają złotego podziału do zaznaczenia odbicia poziomu cen albo ograniczenia ich wzrostu dla akcji lub towarów; po znaczącej zmianie ceny nowe odbicie i ograniczenie rzekomo można znaleźć w pobliżu cen będących w złotym stosunku do poprzednich<ref>Np. Osler pisał, że „Częste są 38,2% i 61,8% powtórzenia ostatnich wzrostów i spadków” w {{Cytuj pismo |autor = Osler, Carol |tytuł = Support for Resistance: Technical Analysis and Intraday Exchange Rates |url = http://web.archive.org/web/20070512155447/http://ftp.ny.frb.org/research/epr/00v06n2/0007osle.pdf |czasopismo = Federal Reserve Bank of New York Economic Policy Review |rok = 2000 |wolumin = 6 |wydanie = 2 |strony = 53–68}}</ref>. Użycie złotego podziału w inwestowaniu jest również związanie z bardziej złożonymi wzorcami opisanymi przez [[ciąg Fibonacciego]] (np. [[teoria fal Elliotta]] i [[odbicie Fibonacciego]]). Jednakże inni analitycy rynkowi opublikowali analizy sugerujące, że te procenty i wzory nie mają oparcia w danych<ref>[[Roy Batchelor]] and Richard Ramyar, [https://www.webcitation.org/5reh6NujR?url=http://www.cass.city.ac.uk/media/stories/resources/Magic_Numbers_in_the_Dow.pdf „Magic numbers in the Dow”], 25th International Symposium on Forecasting, 2005, s. 13, 31. [http://www.telegraph.co.uk/finance/2947908/Not-since-the-big-is-beautiful-days-have-giants-looked-better.html „Not since the ‘big is beautiful’ days have giants looked better”], Tom Stevenson, „[[The Daily Telegraph]]”, Apr. 10, 2006, and „Technical failure”, „[[The Economist]]”, Sep. 23, 2006, are both popular-press accounts of Batchelor and Ramyar’s research.</ref>.

== Zobacz też ==
* [[kanon (sztuka)]]
* [[parkietaż Penrose’a]]
* [[podziały metaliczne]]
* [[section d’Or]]
* [[srebrny podział]]
* [[złota funkcja]]
* [[złoty kąt]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Dalsza lektura ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Doczi |imię = György |tytuł = The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture |rok = 2005 |wydawca = Shambhala Publications |miejsce = Boston |isbn = 1-59030-259-1 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Huntley |imię = H.E. |tytuł = The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty |url = |rok = 1970 |wydawca = Dover Publications |miejsce = New York |isbn = 0-486-22254-3 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Livio |imię = Mario |tytuł = The Golden Ratio: The Story of PHI, the World’s Most Astonishing Number |url = |wydanie = Hardback |rok = 2002 |wydawca = Broadway (Random House) |miejsce = NYC |isbn = 0-767-90815-5 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Joseph |imię = George G. |tytuł = The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics |url = |wydanie = New |rok = 2000 |wydawca = Princeton University Press |miejsce = Princeton, NJ |isbn = 0-691-00659-8 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Sahlqvist |imię = Leif |tytuł = Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design |wydanie = 3rd Rev. |rok = 2008 |wydawca = BookSurge |miejsce = Charleston, SC |isbn = 1-4196-2157-2 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Schneider |imię = Michael S. |tytuł = A Beginner’s Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science |url = |rok = 1994 |wydawca = HarperCollins |miejsce = New York |isbn = 0-06-016939-7 |język = en}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Stakhov |imię = A.P. |tytuł = The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science |url = |rok = 2009 |wydawca = World Scientific Publishing |miejsce = Singapore |isbn = 978-981-277-582-5 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Walser |imię = Hans |tytuł = The Golden Section |url = |inni = Peter Hilton trans. |rok = 2001 |wydawca = The Mathematical Association of America |miejsce = Washington, DC |isbn = 0-88385-534-8 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Scimone |imię = Aldo |tytuł = La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica |rok = 1997 |wydawca = Sigma Edizioni |miejsce = Palermo |isbn = 9788872319932 |język = it}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Аракелян |imię = Грант |tytuł = Математика и История Золотого Сечения |wydawca = Логос |rok = 2014 |isbn = 978-5-98704-663-0 |język = ru}}

== Linki zewnętrzne ==
{{Commonscat|Golden ratio}}
'''Polskojęzyczne'''
* {{Cytuj stronę |url = http://psychologiafotografii.pl/kompozycja-magiczna-liczba-phi-w-fotografii/ |tytuł = Kompozycja – złoty podział w fotografii |opublikowany = Psychologia fotografii}}
* {{Cytuj stronę |url = http://www.katedra.uksw.edu.pl/posiedzenia/pos21.htm |tytuł = Kwadrat, koło i złota proporcja. Nowa interpretacja klasycznej konstrukcji geometrycznej (ref. Janusz Kapusta) |opublikowany = Katedra Historii Filozofii Starożytnej i Średniowiecznej Wydziału Filozofii Chrześcijańskiej Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie}}
* {{Cytuj stronę |url = http://taat.pl/narzedzia/zloty_podzial/ |tytuł = Kalkulator złotego podziału |archiwum = https://web.archive.org/web/20070625221421/http://taat.pl/narzedzia/zloty_podzial/ |zarchiwizowano = 2007-06-25 |data dostępu = 2007-06-24}}
'''Anglojęzyczne'''
* {{MathWorld | tytuł = Złoty podział | adres = GoldenRatio}}
* {{Cytuj stronę |url = http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ |tytuł = Golden Section |autor = Michael Schreiber |opublikowany = [[Wolfram Demonstrations Project]] |język = en}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko = Schneider |imię = Robert P. |tytuł = A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers |czasopismo = arXiv |arxiv = 1109.3216 |język = en}}
* {{Cytuj stronę |url = http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html |tytuł = The Myth That Will Not Go Away |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/20070523075937/http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html |zarchiwizowano = 2007-05-23 |opublikowany = Mathematical Association of America |data = 2007 |data dostępu = 2012-07-07}}
* {{Cytuj stronę |url = http://www.physorg.com/news180531747.html |tytuł = Researcher explains mystery of golden ratio |opublikowany = [[PhysOrg]] |data = 2009-12-21 |język = en}}
* {{Cytuj stronę |url = http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi.html |tytuł = The Golden section ratio: Phi |nazwisko = Knott |imię = Ron |data = |język = en}}
* {{Cytuj stronę |url = http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm |tytuł = The Pentagram & The Golden Ratio |nazwisko = Green |imię = Thomas M. |data = 2005-06 |archiwum = https://web.archive.org/web/20071105084747/http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm |zarchiwizowano = 2007-11-05 |język = en |data dostępu = 2007-11-30}}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=MIxvZ6jwTuA Beyond the Golden Ratio]'', kanał PBS Infinite Series na [[YouTube]], 26 stycznia 2018 [dostęp 2024-08-29].

{{Stałe matematyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Podziały metaliczne]]
[[Kategoria:Geometria euklidesowa]]
[[Kategoria:Stałe matematyczne]]