Tekst źródłowy strony Wzór całkowy Cauchy’ego

[[Plik:ComplexResiduesExample.png|mały|Ilustracja do wzoru całkowego Cauchy'ego w analizie zespolonej. Wykonane za pomocą MuPad.]]
'''Wzór całkowy Cauchy’ego''' – istotny wzór [[Analiza zespolona|analizy zespolonej]]. Wyraża fakt, że [[funkcja holomorficzna]] zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Załóżmy, że <math>U</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] zawartym w <math>\mathbf C</math> oraz <math>f\colon U \to \mathbf C</math> jest funkcją holomorficzną, a koło <math>D = \{z: |z - z_0| \leqslant r\}</math> zawiera się w <math>U.</math> Niech <math>\gamma</math> będzie okręgiem tworzącym brzeg <math>D.</math> Wówczas dla każdego <math>a</math> należącego do wnętrza <math>D</math> zachodzi<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3883637 | tytuł = Cauchy’ego wzór całkowy | data dostępu = 2021-09-03 }}</ref>:
:: <math>f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\, dz,</math>

gdzie krzywa <math>\gamma</math> jest zorientowana dodatnio względem swego [[Wnętrze (matematyka)|wnętrza]] (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

== Przykład użycia ==
Rozważmy funkcję
:: <math>f(z) = \frac{z^2}{z^2+2z+2}</math>

oraz kontur <math>C,</math> opisany zależnością: <math>|z| = 2.</math>

Aby znaleźć całkę <math>f(z)</math> po konturze, poszukujemy [[Punkt osobliwy|punktów osobliwych]] funkcji <math>f(z).</math> Funkcję <math>f</math> możemy zapisać:
:: <math>f(z) = \frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}</math> gdzie <math>z_1 = -1+i, \quad z_2 = -1-i.</math>

Otrzymane punkty mają [[Wartość bezwzględna|moduł]] mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z [[Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego|lematu Cauchy’ego-Goursat’a]], możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów <math>z_1</math> i <math>z_2,</math> gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury <math>C_1</math> wokół <math>z_1</math> oraz <math>C_2</math> wokół <math>z_2.</math>

Zatem w <math>C_1</math> zdefiniowana poniżej funkcja <math>g_1</math> jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu <math>z_2</math>).
:: <math>g_1(z) = \frac{z^2}{z-z_2}</math>

dlatego:
:: <math>\oint\limits_{C_1} \frac{\left(\frac{z^2}{z-z_2}\right)}{z-z_1}\,dz = 2\pi i\frac{z_1^2}{z_1-z_2}.</math>

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:
:: <math>g_2(z)=\frac{z^2}{z-z_1}</math>
:: <math>\oint\limits_{C_2} \frac{\left(\frac{z^2}{z-z_1}\right)}{z-z_2}\,dz=2\pi i\frac{z_2^2}{z_2-z_1}.</math>

Całka po obszarze <math>C</math> jest sumą dwóch powyższych całek:
:: <math>\begin{align}
\oint\limits_C \frac{z^2}{z^2+2z+2}\,dz
&= \oint\limits_{C_1} \frac{\left(\frac{z^2}{z-z_2}\right)}{z-z_1}\,dz + \oint\limits_{C_2} \frac{\left(\frac{z^2}{z-z_1}\right)}{z-z_2}\,dz \\[1ex]
&= 2\pi i\left(\frac{z_1^2}{z_1-z_2}+\frac{z_2^2}{z_2-z_1}\right) \\[1ex]
&= 2\pi i(-2) \\[1ex]
&= -4\pi i.
\end{align}</math>

== Zobacz też ==
* [[Augustin Louis Cauchy]]
* [[twierdzenie podstawowe Cauchy’ego]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza zespolona]]