Tekst źródłowy strony Wzór Blacka-Scholesa

{{Integracja|Model Blacka-Scholesa}}
'''Wzór Blacka-Scholesa''' to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny [[Opcja|opcji]] na kupno [[Akcja (finanse)|akcji]] lub towarów na [[giełda|giełdzie]].

== Wzór Blacka-Scholesa dla [[opcja europejska|europejskiej]] [[opcja kupna|opcji kupna]] ==
Niech:
: <math>C</math> – cena opcji kupna,
: <math>S</math> – aktualna cena instrumentu bazowego,
: <math>X</math> – cena rozliczenia opcji,
: <math>T</math> – termin wygaśnięcia opcji (liczony w latach),
: <math>r</math> – wysokość stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji (stawka wyrażona w skali roku),
: <math>\Phi(\dots)</math> – [[dystrybuanta]] standardowego [[rozkład normalny|rozkładu normalnego]],
: <math>\sigma</math> – współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (ang. ''volatility'').

:: <math>C = S \Phi\left(
\frac{\ln\frac{S}{X} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T}
\right) - X e^{-rT} \Phi\left(
\frac{\ln\frac{S}{X} + \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T}
\right).</math>

== Wzór Blacka-Scholesa dla [[opcja europejska|europejskiej]] [[opcja sprzedaży|opcji sprzedaży]] ==
<math>P</math> – cena opcji sprzedaży

:: <math>P = X e^{-rT} \Phi\left(
\frac{- \ln\frac{S}{X} - \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T}
\right) - S \Phi\left(
\frac{- \ln\frac{S}{X} - \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T}
\right).</math>

== Uzasadnienie wzoru ==
Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna – analogicznie dla innych rodzajów opcji.

W chwili, w której możemy wykorzystać opcję, objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.

Cena rynkowa w chwili realizacji <math>S_T</math> jest pewną zmienną losową. Wartość oczekiwana zysku z realizacji opcji wynosi więc:
: <math>E\left( S_T - X \right)^+ = \int\limits_X^{+\infty} (S_T - X) P(S_T) dS_T.</math>

Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu <math>T</math> jest warta <math>e^{rT},</math> wartość opcji jest <math>e^{rT}</math> razy mniejsza od spodziewanego zysku:
: <math>C = e^{-rT} \int\limits_X^{+\infty} (S_T - X) P(S_T) dS_T = e^{-rT} \left(
\int\limits_X^{+\infty} S_T P(S_T) dS_T -
\int\limits_X^{+\infty} X P(S_T) dS_T
\right),</math>

gdzie <math>S_T</math> – cena akcji w chwili <math>T</math> – jest zmienną losową.

Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu
: <math>Y_k = \ln \frac{S_{k+1}}{S_k}</math>

jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym <math>\sigma</math> i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku – <math>N(r,\sigma^2).</math>

Tak więc
: <math>S_T = S_0 \times e^{\ln \frac{S_1}{S_0}} \times
e^{\ln \frac{S_2}{S_1}} \times \ldots \times e^{\ln \frac{S_T}{S_{T-1}}}
= S_0 e^{Y_0 + \ldots + Y_{T-1}} = S_0 e^Y,</math>

gdzie <math>Y</math> jest sumą <math>T</math> niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład <math>N(Tr,T\sigma^2)</math>
: <math>\begin{align}
C & = e^{-rT} \left(
\int\limits_{S_T > X} S_T P(S_T) dS_T - X \int\limits_{S_T > X} P(S_T) dS_T
\right) \\
& = e^{-rT} \left(
\int\limits_{S_0 e^Y > X} S_0 e^Y P(Y) dY - X \int\limits_{S_0 e^Y > X} P(Y) dY
\right) \\
& = e^{-rT} \left(
\int\limits_{Y > \ln \frac{X}{S_0}} S_0 e^Y P(Y) dY - X \int\limits_{Y > \ln \frac{X}{S_0}} P(Y) dY
\right) \\
& = e^{-rT} \left(
S_0 \int\limits_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} e^Y P(Y) dY - X \int\limits_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} P(Y) dY
\right).\end{align}</math>

Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej <math>rT</math> i wariancji <math>\sigma^2 T.</math> Musimy jednak przekształcić pierwszą do wygodniejszej postaci.

<math>Y</math> możemy [[standaryzacja (statystyka)|standaryzować]], odejmując średnią <math>rT</math> i dzieląc przez odchylenie standardowe <math>\sigma \sqrt T,</math> w wyniku czego otrzymujemy zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.
: <math>\begin{align}
C &=
S_0 e^{-rT} \int\limits_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} e^Y P_{N(rT,\sigma^2T)}(Y) dY
- X e^{-rT} \int\limits_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} P_{N(rT,\sigma^2T)}(Y) dY \\
& =
S_0 e^{-rT} \int\limits_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} e^Y P_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt T}\right) dY
- X e^{-rT} \int\limits_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} P_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt T}\right) dY.
\end{align}</math>

Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:
: <math>e^Y P_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt T}\right)
= e^Y \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac 1 2 \frac{(Y-rT)^2}{\sigma^2 T}}
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac 1 2 \frac{(Y-rT)^2 + 2\sigma^2TY}{\sigma^2 T}}.</math>

== Zobacz też ==
* [[Instrument pochodny|instrumenty pochodne]]
* [[model Blacka-Scholesa]]

[[Kategoria:Matematyka finansowa]]
[[Kategoria:Instrumenty pochodne]]