Tekst źródłowy strony Wzór Bethego-Blocha

[[Plik:StoppingHinAlBethe.png|mały|Siła hamowania Al dla protonów i wzór Bethe'go]]
'''Wzór Bethego-Blocha, wzór Bethego''' – w fizyce, [[wyrażenie algebraiczne|wyrażenie]] określające straty [[energia kinetyczna|energii kinetycznej]] [[Cząstka|cząstki naładowanej]] przy przechodzeniu przez ośrodek materialny, spowodowane [[jonizacja|jonizacją]] atomów ośrodka. Wyprowadzony przez [[Hans Bethe|Hansa Bethego]] w roku [[1930]].

== Wyrażenie matematyczne ==
Współcześnie wzór ten zapisywany jest w postaci<ref>[http://pdg.lbl.gov/ Particle Data Group].</ref>
:: <math>-\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=\frac{4\pi N_\mathrm A Z \rho}{A m_\mathrm m m_\mathrm ec^2}
\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{z^2}{\beta^2}
\left[\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2m_\mathrm ec^2\beta^2\ T_\max}{\left(1-\beta^2\right) I^2}\right)
-\beta^2 -\frac{\delta}{2}\right],
</math>

gdzie:
: <math>\mathrm{d}E/\mathrm{d}x</math> – strata energii cząstki na jednostkę przebytej odległości,
: <math>N_\mathrm A</math> – [[Stała Avogadra|liczba Avogadro]],
: <math>Z,</math> <math>A</math> – [[liczba atomowa]] i [[liczba masowa]] atomów ośrodka,
: <math>m_\mathrm m</math> – [[masa molowa|jednostka masy molowej]] ośrodka,
: <math>\rho</math> – [[gęstość]] ośrodka,
: <math>m_\mathrm e</math> – [[masa (fizyka)|masa]] elektronu
: <math>e</math> – [[ładunek elektryczny|ładunek elementarny]],
: <math>z</math> – ładunek cząstki w jednostkach <math>e</math> (ładunek cząstki <math>q = ze</math>),
: <math>\beta</math> – prędkość cząstki w jednostkach [[prędkość światła|prędkości światła]] w próżni <math>(\beta = v/c),</math>
: <math>\varepsilon_0</math> – [[przenikalność elektryczna]] próżni,
: <math>T_\max</math> – maksymalna energia kinetyczna, jaka może być przekazana elektronowi w pojedynczym [[zderzenie|zderzeniu]] (patrz poniżej),
: <math>I</math> – średnia energia jonizacji, w [[elektronowolt]]ach,
: <math>\delta/2</math> – poprawka na gęstość pola, istotna przy wyższych energiach (patrz poniżej)

Maksymalna energia, która może być przekazana elektronowi w jednym zderzeniu, zależy od masy cząstki <math>M</math> i jej prędkości w następujący sposób:
:: <math>T_\max= \frac{2 m_\mathrm e c^2 \beta^2 \gamma^2}{1+2\gamma m_\mathrm e/M + (m_\mathrm e/M)^2},</math>

gdzie <math>\gamma=1\Big/\sqrt{(1-\beta^2)}</math> jest czynnikiem relatywistycznym.

Poprawka <math>\delta</math> wynika z faktu, że efekty elektrostatycznej polaryzacji ośrodka zmniejszają zasięg oddziaływania pola cząstki. Zasięg pola w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu rośnie relatywistycznie jak <math>\ln\beta\gamma,</math> dlatego znaczenie tej poprawki rośnie ze wzrostem energii (czynnika <math>\gamma</math>). Przy bardzo dużych energiach poprawka opisywana jest w przybliżeniu wzorem:
:: <math>\frac{\delta}{2} \approx \ln\frac{\hbar\omega_\mathrm p}{I} + \ln\beta\gamma -\frac{1}{2},</math>

gdzie <math>\omega_\mathrm p</math> jest [[częstość plazmowa|częstością plazmową]] ośrodka, a <math>\hbar</math> to tzw. [[Stała Plancka|h kreślone(stała Diraca)]].

Należy pamiętać, że wzór powyższy podaje '''średnią''' stratę energii. Całkowita strata energii na jonizację jest sumą przypadkowych strat w zderzeniach z pojedynczymi elektronami ośrodka. Proces utraty energii jest więc [[proces stochastyczny|procesem stochastycznym]], w którym utrata energii podlega [[fluktuacja|fluktuacjom]]. Fluktuacje te są szczególnie istotne przy przechodzeniu przez cienkie warstwy materiału, bądź w mediach rozrzedzonych (np. w gazach). Zmienność rzeczywistych strat energii opisywana jest zwykle [[rozkład Landaua|rozkładem Landaua]].

=== Zależność jonizacji od prędkości ===
Dla powolnych cząstek dominujący jest czynnik <math>1/\beta^2</math> przed nawiasem. Oznacza to, że straty energii maleją szybko z rosnącą prędkością cząstki.

Dla szybkich cząstek <math>\beta^2\approx 1</math> i dominujący staje się logarytmiczny wzrost z prędkością czynnika w nawiasie kwadratowym. Straty energii rosną więc powoli ze wzrostem prędkości (energii) cząstki.

Minimum funkcji opisywanej Wzorem Bethego leży w przybliżeniu przy <math>\beta\gamma=3.</math> Cząstkę o prędkości spełniającej ten związek nazywamy '''cząstką minimalnej jonizacji'''. W praktyce, ponieważ wzrost jonizacji z prędkością jest bardzo powolny, mianem cząstek minimalnej jonizacji określa się często cząstki powyżej tej granicy, aż do energii, przy której istotne stają się radiacyjne straty energii (patrz poniżej).

== Zakres stosowalności ==
Wzór Bethego-Blocha podaje z dobrą dokładnością ([[rząd wielkości|rzędu]] 1%) straty energii cząstek „umiarkowanie relatywistycznych”, o [[pęd (fizyka)|pędzie]] pomiędzy około 0,05 a 100 <math>m_0c.</math> Dla cząstek bardzo powolnych konieczne staje się wprowadzenie poprawek związanych m.in. z faktem, że część elektronów jest znacznie silniej związana z jądrem, niż średni potencjał jonizacji. Dla bardzo wysokich energii istotne stają się poprawki radiacyjne. Wzór nie stosuje się do [[elektron]]ów, które silnie tracą energię przez [[promieniowanie hamowania]].

== Nazwa ==
Powyższy wzór został wyprowadzony przez [[Hans Bethe|Hansa Bethego]] i powinien być poprawnie nazywany ''wzorem Bethego''. [[Felix Bloch]] dostarczył następującego przybliżonego wyrażenia na średnią [[energia jonizacji|energię jonizacji]] ''I'' atomu ośrodka, użytą przez Bethego w opublikowanym przez niego wyrażeniu.
: <math>I=(10\,\mathrm{eV})\cdot Z.</math>

Obecnie najczęściej przedstawia się wzór Bethego formie przedstawionej powyżej, używając tablicowych wartości ''I'', zamiast przybliżenia Blocha. Mimo to nazwa ''wzór Bethego-Blocha'' utarła się na tyle, że jest nadal powszechnie używana.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* [http://www.if.pw.edu.pl/~fornal/bethe-bloch/ Program obrazujący przechodzenie promieniowania przez materię przy użyciu wzoru Bethego-Blocha]

[[Kategoria:Fizyka jądrowa]]
[[Kategoria:Fizyka cząstek elementarnych]]
[[Kategoria:Prawa elektromagnetyczne]]