Tekst źródłowy strony Współczynnik korelacji rang Spearmana

{{wyróżnienie|AnM}}
[[Plik:Spearman animacja2.gif|thumb|500px|Animacja wyjaśnia własności korelacji rangowej. Na osiach odłożone są wartości porównywanych zmiennych. Punkty symbolizują obserwacje w próbie. Współczynnik korelacji rang Spearmana jest obliczany w dwóch etapach<ref name="Koronacki" />: najpierw wykonywane jest rangowanie, czyli zastąpienie każdej zaobserwowanej wartości przez jej numer w zbiorze posortowanym rosnąco. Rangowanie pokazane jest tu w formie animacji, aby umożliwić śledzenie losów każdej z obserwacji; naprawdę żadne stadia pośrednie nie występują. Następnie obliczany jest zwykły współczynnik korelacji liniowej Pearsona<ref group="uwaga" >Jest to procedura zgodna z definicjami {{LinkWzór|1}}, {{LinkWzór|2}}, {{LinkWzór|2a}}, {{LinkWzór|2b}}, {{LinkWzór|2c}}. Estymatory {{LinkWzór|6}}, {{LinkWzór|6a}}, {{LinkWzór|7}} sprowadzają się do niej przy braku powtarzających się wartości w każdej ze zmiennych. Dowód jest w monografii {{odn|ref=nie|Kendall|1948}}.</ref>. Jest on wprawdzie wrażliwy na obserwacje odstające, jednak rangowanie zbliża je do pozostałych, dzięki czemu niweluje się ich zakłócający wpływ na wynik<ref name="odporność2">{{cytuj pismo |nazwisko = Devlin |imię = S.J. |nazwisko2 = Gnanadesikan |imię2 = R. |nazwisko3 = Kettering |imię3 = J.R. |tytuł = Robust estimation and outlier detection with correlation coefficients |czasopismo = Biometrika |rok = 1975 |oznaczenie = 62 |strony = 531–545}}</ref>. Dla pokazanych tu danych, przed rangowaniem współczynnik korelacji jest nieistotny statystycznie <math>(r=0{,}01561, \alpha=0{,}8775).</math> Ten sam współczynnik dla rang wykazuje już istotną zależność pomiędzy zmiennymi <math>(r=0{,}41702, \alpha<0{,}0001).</math> Monotoniczna nieliniowa zależność przekształca się przy rangowaniu w liniową<ref group="uwaga" >Wyprowadzenie dla ścisłej zależności rosnącej: niech <math>\overline{\overline{S}}</math> oznacza [[moc zbioru|liczbę elementów]] w zbiorze <math>S.</math> <math>(x_i\leqslant x_j\Leftrightarrow y_i\leqslant y_j),</math> stąd <math>\mbox{R}x_j=\overline{\overline {\{x_i\colon x_i\leqslant x_j\}}}=\overline{\overline{\{y_i\colon y_i\leqslant y_j\}}}=\mbox{R}y_j.</math></ref>, w wyniku czego współczynnik korelacji liniowej Pearsona, zastosowany do rang, mierzy siłę zależności monotonicznej.]]
'''Korelacja rang Spearmana''' (lub: '''korelacja rangowa Spearmana''', '''rho Spearmana''') – jedna z [[statystyka nieparametryczna|nieparametrycznych]] miar [[zależność zmiennych losowych#Zależność monotoniczna|monotonicznej zależności statystycznej]] między [[zmienna losowa|zmiennymi losowymi]]. 

Przyjmuje wartości od -1 do +1 włącznie. Skrajny wynik +1 oznacza, że wzrost jednej ze zmiennych zawsze pociąga za sobą wzrost drugiej, wynik -1 oznacza, że wzrost jednej ze zmiennych pociąga za sobą spadek drugiej, 0 to brak wykrytej zależności. W odróżnieniu od klasycznego współczynnika korelacji Pearsona, zależność ta nie musi być liniowa.

Pierwotny pomysł korelowania rang był już znany wcześniej i pochodził od [[Alfred Binet|Bineta]] i {{link-interwiki|Victor Henri|Q=Q4066893|tekst=Henriego}}, jednak współczynnik ten został solidnie opisany i rozpropagowany dopiero w 1904 przez angielskiego psychologa [[Charles Spearman|Charlesa Spearmana]]. Zauważył on, że w wielu badaniach nie da się zastosować klasycznego [[współczynnik korelacji Pearsona|współczynnika korelacji]] lub daje on fałszywie istotne wyniki ze względu na nadmiar [[Obserwacja odstająca|obserwacji odstających]].

Spearman zdefiniował swój współczynnik jako [[współczynnik korelacji Pearsona]], liczony dla [[ranga (statystyka)|rang]] zmiennych (stąd nazwa ''współczynnik korelacji rang''){{Odn|Spearman|1904|s=73}}. Obecnie stosowanych jest kilka jego wersji, nieznacznie różniących się od siebie. Ich wartości są identyczne w przypadku, gdy obserwacje każdej zmiennej w [[próba statystyczna|próbie]] nie powtarzają się. Jeśli jednak nie jest to prawdą, to współczynnik korelacji dla rang opisuje jedynie wzór {{LinkWzór|2}} i jego odmiany{{Odn|Student|1921}}. Mimo to często używany jest też prostszy wzór {{LinkWzór|7}}.

== Zastosowanie i interpretacja ==
[[Korelacja rangowa]] przyjmuje wartości z przedziału [-1,+1], ich interpretacja jest podobna do klasycznego współczynnika korelacji Pearsona, z zastrzeżeniem: w odróżnieniu od współczynnika Pearsona, który mierzy [[zależność zmiennych losowych#Zależność liniowa|liniową zależność]] między zmiennymi, a wszelkie inne związki traktuje jako zaburzone zależności liniowej, korelacja rangowa pokazuje dowolną monotoniczną zależność (także nieliniową){{Odn|Lieberson|1964}}.

[[Model statystyczny|Model]] korelacji rangowej zawiera szerszą klasę zależności niż model klasycznego współczynnika korelacji, nie obejmuje jednak wszystkich możliwych zależności. Na przykład zależność okresowa, spotykana często w analizie [[szereg czasowy|szeregów czasowych]], gdzie nosi nazwę [[wahania sezonowe|sezonowości]], nie jest wykrywana ani przez korelację Pearsona, ani Spearmana{{Odn|Lieberson|1964}}.

Jako metoda rangowa, rho Spearmana jest w niewielkim tylko stopniu wrażliwe na obserwacje odstające<ref group="uwaga" name="odporność">Odsuwając dowolną obserwację coraz bardziej od średniej, zwiększa się nieograniczenie jej wpływ na współczynnik korelacji Pearsona, gdyż ma ona coraz większy udział w kowariancji w jego liczniku oraz [[odchylenie standardowe|odchyleniach standardowych]] w mianowniku. Wpływ obserwacji odstających na korelację rangową jest już jednak ograniczony, gdyż ranga tej obserwacji po osiągnięciu wartości 1 lub <math>n</math> przestaje się zmieniać, a wraz z nią wynik.</ref><ref name="odporność2" />, dzięki czemu szczególną użyteczność znajduje w analizie danych niskiej jakości{{Odn|Spearman|1904|s=80}}.

Współczynnik korelacji Spearmana zależy wyłącznie od uporządkowania zaobserwowanych wartości. Może zatem być stosowany do dowolnych zmiennych, których wartości można uporządkować rosnąco. Klasyczny współczynnik korelacji nie ma sensownej interpretacji dla zmiennych na [[skala porządkowa|skali porządkowej]], gdyż uzależniony jest od różnic między wartościami zmiennych, które dla cech porządkowych nie są określone{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}.

Współczynnik korelacji Spearmana oraz testy jego istotności mogą być stosowane przy dowolnym [[rozkład prawdopodobieństwa|rozkładzie]] porównywanych zmiennych{{Odn|Spearman|1904|s=80}}.

Korelacja rang Spearmana może być też opisana jako nachylenie ([[Prosta#Równanie w postaci kierunkowej|współczynnik kierunkowy]]) [[prosta|prostej]] najlepiej dopasowanej (w sensie [[metoda najmniejszych kwadratów|najmniejszych kwadratów]]) do zbioru par rang{{Odn|Lieberson|1964}}. Istnieją inne, bardziej egzotyczne interpretacje, nie mają jednak znaczenia praktycznego<ref group = "uwaga">Na przykład istnieje interpretacja geometryczna tego współczynnika jako [[Przestrzeń euklidesowa|euklidesowej odległości]] wierzchołków odpowiednio skonstruowanego [[wielokomórka|''n-1''-wymiarowego wielościanu]] o <math>n!</math> wierzchołkach i równej długości krawędzi zanurzonego w przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej.{{cytuj pismo |nazwisko = Schulman |imię = Robert S. |tytuł = A Geometric Model of Rank Correlation |czasopismo = The American Statistician |oznaczenie = Vol. 33, No. 2 (May, 1979) |strony = 77–80}}</ref>.

Zależność między zmiennymi losowymi (niezależnie od tego, jakim wskaźnikiem jest mierzona) nie musi oznaczać [[przyczynowość|związku przyczynowo-skutkowego]]<ref group="uwaga">Więcej na ten temat w artykule [[zależność zmiennych losowych#Zależność a związek przyczynowo-skutkowy|zależność zmiennych losowych]].</ref>.

== Korelacja rang Spearmana zmiennych losowych ==
Ta wersja ma znaczenie w statystyce teoretycznej. Wartości dowolnych [[statystyka (funkcja)|miar statystycznych]] wyliczanych z próby wygodnie jest uważać za [[estymator]]y (przybliżenia) [[miara rozkładu|miar]] liczonych na podstawie rozkładu zmiennej losowej, z którego próba była losowana. W przypadku miar korelacji, dla zmiennych <math>X</math> i <math>Y</math> będzie to dwuwymiarowy rozkład [[Zmienna losowa|wektora]] <math>(X,Y).</math>

Korelacja rang Spearmana zmiennych losowych <math>X</math> i <math>Y</math> wyrażona jest wzorem{{odn|Kendall|1948|s=108–109}}{{odn|Kowalczyk|Pleszczyńska|Ruland|2004|s=237, 66}}
: {{wzór|<math>\rho_S=\operatorname{corr}\big( \tilde{\mbox{F}}_X(X), \tilde{\mbox{F}}_Y(Y)\big),</math>|1}}

gdzie:
: <math>\operatorname{corr}</math> – [[współczynnik korelacji Pearsona]]<ref group="uwaga">Współczynnik korelacji obliczany jest dla zmiennych losowych. Dystrybuanta nie jest zmienną losową, ale już złożenie <math>F_\zeta(\zeta)</math> zmienną losową jest, gdyż jest funkcją przyporządkowującą liczby rzeczywiste [[zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzeniom losowym]]. Podobnie <math>\tilde{\mbox{F}}_\zeta(\zeta).</math> Użycie <math>\tilde{\mbox{F}}_\zeta(\zeta)</math> zamiast <math>F_\zeta(\zeta)</math> jest niezbędne, aby oddać sposób wyliczania rang wiązanych dla zmiennych dyskretnych. Zob. {{odn|ref=nie|Kendall|1948|s=108–109}}.</ref>,
: <math>\tilde{\mbox{F}}_\zeta(u)=\frac{F_\zeta(u)+F_\zeta(u^-)}{2},</math>
: <math>\mbox{F}_\zeta(u)</math> – [[dystrybuanta]] zmiennej <math>\zeta</math> w punkcie <math>u,</math>
: <math>\mbox{F}_\zeta(u^-)</math> – lewostronna [[granica funkcji|granica]] <math>\mbox{F}_\zeta(u)</math> w punkcie <math>u.</math>

Dla [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|ciągłych]] zmiennych losowych zachodzi <math>\tilde{\mbox{F}}_\zeta(u)=\mbox{F}_\zeta(u)</math> i wzór ten sprowadza się do<ref name="Foundations">{{cytuj pismo |nazwisko = Trivedi |imię = Pravin K. |nazwisko2 = Zimmer |imię2 = David M. |tytuł = Copula Modeling: An Introduction for Practitioners |url = http://www.nowpublishers.com/product.aspx?product=ECO&doi=0800000005&section=x1-59r4 |czasopismo = Foundations and Trends in Econometrics |wolumin = 1 |numer = 1 |doi = 10.1561/0800000005 |data dostępu = 2008-05-16}}</ref>
: {{wzór|<math>\rho_S=\operatorname{corr}\big( \mbox{F}_X(X),\mbox{F}_Y(Y)\big) =12\operatorname{cov}\big( \mbox{F}_X(X),\mbox{F}_Y(Y)\big),</math>|1a}}

gdzie
: <math>\mbox{F}_X(X),\mbox{F}_Y(Y)</math> – dystrybuanty porównywanych zmiennych,
: <math>\operatorname{cov}</math> – [[kowariancja]].

== Korelacja rang Spearmana z próby ==
W praktyce współczynnik korelacji rang oblicza się dla próby statystycznej. Używane do tego wzory można uważać za [[estymator]]y (przybliżenia) korelacji rang danej wzorem {{LinkWzór|1}} lub korelacji rang istniejącej w [[populacja statystyczna|populacji statystycznej]]{{odn|Kendall|1948|s=109–110}}. Przybliżenia nie są jednak tym samym, co wartość przybliżana. Ich wyniki będą zatem dla odróżnienia oznaczane przez <math>r_S,</math> podobnie jak w literaturze.

Współczynnik obliczany jest w następujący sposób{{odn|Yule|Kendall|1966|s=276}}:
: 1. Dla każdej porównywanej zmiennej dokonywane jest niezależnie rangowanie, czyli:
:: 1a. Zaobserwowane wartości danej zmiennej porządkowane są rosnąco.
:: 1b. Każdej wartości <math>x_i</math> przypisywana jest ranga <math>\mbox{R}x_i</math> równa pozycji danej wartości w rosnącym porządku (najmniejsza uzyskuje rangę 1, kolejna 2 itd.).
:: 1c. W przypadku gdy dana wartość występuje wielokrotnie, każde z wystąpień ma przypisaną tę samą rangę równą [[Średnia arytmetyczna|średniej arytmetycznej]] pozycji w rosnącym porządku (tzw. [[ranga (statystyka)#Ranga wiązana|ranga wiązana]] lub powiązana, ang. ''tied rank''). Tym samym mogą występować rangi ułamkowe, np. ranga 1,5.
: 2. Po powrocie do pierwotnego porządku wartości w zmiennych obliczana jest korelacja rangowa z jednego ze wzorów omówionych poniżej ({{LinkWzór|2}}, {{LinkWzór|2a}}, {{LinkWzór|2b}}, {{LinkWzór|2c}}, {{LinkWzór|6}}, {{LinkWzór|6a}}, {{LinkWzór|6b}}, {{LinkWzór|7}}). Istnieją różne wzory, gdyż poszczególne estymatory korelacji rang mają różne własności. Jeśli nie ma rang wiązanych, wszystkie one dają ten sam wynik. Jeśli występują rangi wiązane, to wzór {{LinkWzór|2}} i jego odmiany są zgodne z pierwotną koncepcją Spearmana. Pomimo to często używany jest wzór {{LinkWzór|7}}, jak twierdzi część autorów, nieprawidłowo<ref name="Jokiel" />{{odn|Jażdżewska|2013|s=165-166}}{{odn|Maksimowicz-Ajchel|2007|s=174}}{{odn|Łuszniewicz|Słaby|2008|s= 332-335}}<ref name="Gregory" />{{Odn|Norcliffe|Nowosielska|1986|s=116-117}}.

=== Wzory uwzględniające rangi wiązane ===
==== Oryginalna propozycja Spearmana ====
W oryginalnym ujęciu Spearmana, jego korelacja rang jest współczynnikiem korelacji Pearsona liczonym dla rang zmiennych zamiast ich surowych wartości, co jest bezpośrednim przełożeniem wzoru {{LinkWzór|1}} na język rang{{Odn|Spearman|1904|s=73}}{{odn|Kendall|1948|s=29}}.
: {{wzór|<math>r_S=\operatorname{corr}(\mbox{R}X,\mbox{R}Y)</math>|2}}

gdzie:
: <math>\operatorname{corr}</math> – klasyczny współczynnik korelacji,
: <math>\mbox{R}X</math> – rangi zmiennej <math>X</math> w próbie,
: <math>\mbox{R}Y</math> – rangi zmiennej <math>Y</math> w próbie.

Wzór ten można uważać za próbkowy odpowiednik wzoru {{LinkWzór|1}}. Rozpisanie wzoru na korelację Pearsona prowadzi do{{odn|Kendall|1948|s=109–110}}
: {{wzór|<math>\begin{align}
r_S &= \frac{\operatorname{cov}(\mbox{R}X,\mbox{R}Y)} {\sqrt{\operatorname{var}(\mbox{R}X)\operatorname{var}(\mbox{R}Y)}} \\
&= \frac{\mbox{E}(\mbox{R}X\cdot\mbox{R}Y) -\mbox{E}(\mbox{R}X)\cdot\mbox{E}(\mbox{R}Y)} {\sqrt{\mbox{E}(\mbox{R}X^2)-\mbox{E}^2(\mbox{R}X)}\cdot \sqrt{\mbox{E}(\mbox{R}Y^2)-\mbox{E}^2(\mbox{R}Y)}}
\end{align}</math>|2a}}

; Wersja oparta na różnicy rang
Ten sam estymator można też zapisać w innej, równoważnej wersji jako{{odn|Kendall|1948|s=29}}{{odn|Yule|Kendall|1966|s=277}}:
: {{wzór|<math>r_S=\frac{\frac{1}{6}(n^3-n)-\left( \sum\limits_{i=1}^n d_i^2 \right) -T_X-T_Y}\sqrt{\left(\frac{1}{6}(n^3-n)-2T_X\right)\left(\frac{1}{6}(n^3-n)-2T_Y\right)},</math>|2b}}

gdzie:
: {{wzór|<math>d_i=\mbox{R}x_i-\mbox{R}y_i,</math>|3}}
: {{wzór|<math>T_X=\frac{1}{12}\sum_j (t_j^3-t_j),</math>|4}}
: {{wzór|<math>T_Y=\frac{1}{12}\sum_k (u_k^3-u_k),</math>|5}}
: <math>t_j</math> jest liczbą obserwacji w próbie posiadających tę samą <math>j</math>-tą wartość rangi zmiennej <math>X,</math>
: <math>u_k</math> jest liczbą obserwacji w próbie posiadających tę samą <math>k</math>-tą wartość rangi zmiennej <math>Y,</math>
: sumowanie przebiega po wszystkich wartościach rang – wystarczy zsumować rangi wiązane, bo dla pozostałych <math>t_j^3-t_j=1^3-1=0</math> (analogicznie <math>u_k</math>); gdy w danej zmiennej nie ma rang wiązanych, <math>T_X</math> lub <math>T_Y</math> jest równe zeru.

; Wersja dla tablicy dwudzielczej
Rozkład porządkowych zmiennych losowych w próbie można przedstawić w formie [[Tabela krzyżowa|tablicy dwudzielczej]] (tablicy kontyngencji), w której kolumny odpowiadają uszeregowanym wartościom jednej zmiennej (oznaczonej przez <math>X</math>), wiersze uszeregowanym wartościom drugiej zmiennej (oznaczonej przez <math>Y</math>), a w komórkach tablicy znajdują się liczności <math>n_{ij}.</math>

Wzór {{LinkWzór|2}} przyjmuje wtedy postać{{odn|Agresti|1976|s=49–51}}:
: {{wzór|<math>r_S=\frac{\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^k (F_{i+}-\tfrac{n}{2})(F_{+j}-\tfrac{n}{2})n_{ij}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^m (F_{i+}-\tfrac{n}{2})^2 n_{i+} \cdot \sum\limits_{j=1}^k (F_{+j}-\tfrac{n}{2})^2 n_{+j}},</math>|2c}}

gdzie:
: <math>i, j</math> – odpowiednio indeksy wierszy oraz kolumn,
: <math>m, k</math> – odpowiednio liczba wierszy oraz kolumn,
: <math>F_{k+}=\left( \sum\limits_{i=1}^k n_{i+}\right) -\tfrac{1}{2}n_{k+},</math>
: <math>F_{+k}=\left( \sum\limits_{j=1}^k n_{+j}\right) -\tfrac{1}{2}n_{+k},</math>
: <math>n_{i+}</math> – suma <math>i</math>-tego wiersza,
: <math>n_{+j}</math> – suma <math>j</math>-tej kolumny,
: <math>n</math> – suma całej tabeli.

Dziś estymator {{LinkWzór|2}} jest standardowym wzorem używanym np. przez pakiety statystyczne [[SAS (program)|SAS]] oraz [[SPSS]]{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=355–356}}, a także w uwzględniających rangi wiązane pracach naukowych z dziedziny statystyki{{odn|Taylor|1987|s=411}}. W podręcznikach statystyki oraz w pracach naukowych z innych dziedzin nadal jednak popularny jest podany dalej wzór {{LinkWzór|7}}, ze względu na stopień komplikacji wzorów {{LinkWzór|2a}} lub {{LinkWzór|2b}}, utrudniający ręczne obliczenia, mimo że w obliczeniach wykonywanych na komputerze wzór {{LinkWzór|2}} jest nawet prostszy w zastosowaniu<ref group="uwaga">Np. w pakiecie [[Microsoft Excel]] dostępna jest funkcja ''WSPÓŁCZYNNIK.KORELACJI'' obliczająca korelację Pearsona. Wystarczy zastosować ją do porangowanego zbioru zamiast implementować samodzielnie wzór {{LinkWzór|7}}.</ref>.

Niekiedy estymator {{LinkWzór|2}}/{{LinkWzór|2a}}/{{LinkWzór|2b}}/{{LinkWzór|2c}} nazywany jest „skorygowaną korelacją rangową”.

Poprawka do wzoru na <math>r_s</math> w przypadku rang wiązanych wynikająca z zastosowania wzorów {{LinkWzór|2}}/{{LinkWzór|2a}}/{{LinkWzór|2b}}/{{LinkWzór|2c}} jest obszernie dyskutowana w monografii Kendalla. Lehmann wykazuje asymptotyczną zbieżność do rozkładu normalnego, w przypadku, gdy liczba rang wiązanych jest ograniczona.

==== Wzór dla rang wiązanych powstałych przez agregację ====
Powtarzające się wartości zmiennych, a tym samym rangi wiązane, mogą powstawać na dwa sposoby w zależności od natury badanego zjawiska:
# jako odzwierciedlenie prawdziwych powtarzających się wartości w populacji – przykładem może być zastosowanie korelacji rangowej do obliczania zależności dwóch zmiennych na skali porządkowej, takich jak wykształcenie: dwie osoby mogą mieć to samo wykształcenie, powstanie wówczas ranga wiązana;
# jako efekt [[agregacja (statystyka)|pogrupowania]] (agregacji) wartości zmiennych w kilka rozłącznych przedziałów, a następnie przypisania jednej wartości ([[centroid]]) do każdej z nich – taka sytuacja ma miejsce np. gdy opracowywane są wyniki ankiet, w których badanych poproszono o przedziałowe określenie jakiejś wielkości, takiej jak dochód. Rangi wiązane powstają wówczas w sposób sztuczny.

Podczas agregacji tracona jest informacja o zróżnicowaniu obserwacji wewnątrz każdego przedziału, co sprawia, że zmienne, które przed agregacją nie miały identycznych rang, po agregacji mogą już mieć taki sam porządek. Agregacja jest zwykle zabiegiem wymuszonym warunkami badania, którego wpływ na wyniki powinien być jak najmniejszy. Przydatny byłby więc estymator, szacujący korelację rangową zmiennych przed agregacją na podstawie danych po agregacji. Taki estymator osiągałby wartości <math>\pm 1</math> tylko przy próbie bez rang wiązanych.

Kendall proponuje aby w przypadku rang wiązanych powstałych sztucznie stosować w mianowniku [[wariancja|wariancje]] takie, jak gdyby rang wiązanych nie było (gdyż tak jest w hipotetycznej nieskończonej populacji, dla której korelacja rangowa jest estymowana). Uzyskany w ten sposób estymator jest [[wartość oczekiwana|wartością oczekiwaną]] współczynnika korelacji rang obliczonego dla tych samych zmiennych przed agregacją (przy założeniu, że każda kombinacja rang prowadząca po agregacji do obserwowanej próby jest jednakowo prawdopodobna){{odn|Kendall|1948|s=32}}.

; Postać ogólna
W ogólnym przypadku, po uwzględnieniu rang wiązanych, wariancja rang wynosi:
: <math>\operatorname{var}(\mbox{R}X)=\frac{n(n+1)}{12}-\frac{T_X}{n-1},</math>

gdzie współczynnik <math>T_X</math> jest zdefiniowany tak jak wcześniej, wzorem {{LinkWzór|4}}.

W przypadku braku rang wiązanych, <math>T_X=T_Y=0,</math> wariancje są zależne tylko od <math>n,</math> w szczególności nie zależą od rozkładu zmiennych przed rangowaniem<ref name="Koronacki">{{odn|ref=nie|Koronacki|Mielniczuk|2006|s=473}}.</ref>:
: <math>\operatorname{var}(\mbox{R}X)=\operatorname{var}(\mbox{R}Y) =\frac{n(n+1)}{12}.</math>

Niezależnie od tego, czy pojawiły się rangi wiązane, czy nie, średnia rang jest zależna jedynie od liczności próby<ref name="Krysicki" />:
: <math>\mbox{E}(\mbox{R}X)=\mbox{E}(\mbox{R}Y)=\frac{n+1}{2}.</math>

Podstawiając powyższe równania do wzoru {{LinkWzór|2a}}, uzyskuje się<ref name="Koronacki" />:
: {{wzór|<math>r_S=\frac{3\sum\limits_{i=1}^n\big( (2\mbox{R}x_i-n-1)(2\mbox{R}y_i-n-1)\big) }{n(n^2-1)}=\frac{12}{n(n^2-1)}\sum\limits_{i=1}^n \mbox{R}x_i\mbox{R}y_i-\frac{3(n+1)}{n-1}.</math>|6}}

; Wersja oparta na różnicy rang
Ten estymator można zapisać w równoważnej postaci jako{{odn|Kendall|1948|s=29}}:
: {{wzór|<math>r_S=1-\frac{6\left( \sum\limits_{i=1}^n d_i^2+T_X+T_Y\right) }{n^3-n},</math>|6a}}

gdzie <math>d_i, T_X, T_Y</math> są zdefiniowane, jak wyżej, wzorami {{LinkWzór|3}}, {{LinkWzór|4}}, {{LinkWzór|5}}.

; Wersja dla tablicy dwudzielczej
Dla tablic dwudzielczych estymator {{LinkWzór|6}} przyjmuje postać{{odn|Kowalczyk|Pleszczyńska|Ruland|2004|s=238}}
: {{wzór|<math>r_S=3\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^k (U_{i-1}+U_i-1)(V_{j-1}+V_j-1)\frac{n_{ij}}{n},</math>|6b}}

gdzie:
: <math>U_i=\frac{n_{1+}+\ldots+n_{i+}}{n},</math>
: <math>V_j=\frac{n_{+1}+\ldots+n_{+j}}{n},</math>
: <math>n_{i+}</math> – suma <math>i</math>-tego wiersza,
: <math>n_{+j}</math> – suma <math>j</math>-tej kolumny,
: <math>n</math> – suma całej tabeli.

Istnieje jeszcze inny estymator dla tablic dwudzielczych, zaproponowany przez Stuarta{{odn|Agresti|1976|s=49–51}}{{odn|Stuart|1963|s=23-24}}.

=== Wzór nieuwzględniający rang wiązanych ===
Często stosowanym estymatorem jest{{odn|Kendall|1948|s=8}}:
: {{wzór|<math>r_S = 1 - \frac{6 \sum\limits_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2 - 1)},</math>|7}}

gdzie (tak jak wcześniej)
: <math>d_i=\mbox{R}x_i-\mbox{R}y_i</math>

to różnica między rangami zmiennych <math>X</math> i <math>Y</math> dla obserwacji <math>i.</math>

W przypadku gdy nie ma rang wiązanych (połączonych), czyli wartości nie powtarzają się w obrębie próby dla żadnej ze zmiennych z osobna, wzór {{LinkWzór|7}} daje te same wyniki, co każdy z podanych wcześniej estymatorów {{LinkWzór|2}}<ref name="Krysicki">{{odn|ref=nie|Krysicki|Bartos|Dyczka|Królikowska|2006|s=230–231}}.</ref> i {{LinkWzór|6}}. Jeśli choć jedna ranga jest wiązana, każdy z nich daje inny wynik.

Wzór {{LinkWzór|7}} jest używany ze względu na prostotę obliczeń istotną dla kalkulacji wykonywanych bez pomocy komputera i do dziś jest popularny w podręcznikach{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}. Estymator ten ma jednak nieoczekiwane własności w przypadku wystąpienia rang wiązanych, np.
* nie jest wówczas prawdą, iż <math>r_S(X,-Y)= -r_S(X,Y),</math>
* nie jest wtedy zgodny z pierwotną definicją korelacji rang Spearmana jako zwykłego współczynnika korelacji liczonego dla rang{{Odn|Student|1921}},
* dla zmiennych dyskretnych, minimalną wartością jego granicy, przy rozmiarze próby dążącym do nieskończoności, jest{{odn|Stuart|1963|s=23-24}}
:: {{wzór|<math>\frac{2}{(\min(m_X,m_Y))^2}-1,</math>|8}}
: gdzie:
:: <math>m_X</math> to liczba różnych wartości przyjmowanych przez zmienną <math>X</math>
:: <math>m_Y</math> to liczba różnych wartości zmiennej <math>Y.</math>
* Wynika stąd, że estymator ten jest dla zmiennych dyskretnych [[estymator#Zgodność|niezgodny]] i [[estymator#Asympotyczna nieobciążoność|asymptotycznie obciążony]]<ref group= "uwaga" >Gdy zmienne są dyskretne, to dla dostatecznie dużej próby zawsze będą istniały rangi wiązane (bo różnych wartości zmiennych będzie mniej niż obserwacji). Wówczas granica estymatora {{LinkWzór|7}} dla rozmiaru próby dążącego do nieskończoności będzie nie mniejsza niż dana wzorem {{LinkWzór|8}}. Tymczasem estymowana korelacja {{LinkWzór|1}} może przyjąć nawet wartość <math>\rho= -1,</math> co dowodzi asymptotycznego obciążenia i niezgodności tego estymatora.</ref>, w odróżnieniu od estymatora {{LinkWzór|2}}.

Część autorów uważa, że można ten estymator stosować tylko przy braku rang wiązanych, w przeciwnym wypadku jego stosowanie jest błędem{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}{{odn|Myers|Well|2003|s=508}}<ref>{{odn|ref=nie|Yule|Kendall|1966|s=277}}. Cytat: „Czasami można napotkać w zastosowaniach także inne wzory. Na przykład wzór {{LinkWzór|7}} ''[w oryginale 11.16]'' stosuje się czasem bez zmian do rang połączonych. Jest to z pewnością błędem”.</ref>. Inni autorzy stosują go także wówczas<ref name="Jokiel">{{cytuj książkę |nazwisko = Jokiel |imię = B. |nazwisko2 = Kostrubiec |imię2 = B. |tytuł = Statystyka z elementami matematyki dla geografów |rok = 1981 |miejsce = Warszawa |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |strony = 264–265}}</ref>{{odn|Jażdżewska|2013|s=165-166}}{{odn|Maksimowicz-Ajchel|2007|s=174}}{{odn|Łuszniewicz|Słaby|2008|s= 332-335}}<ref name="Gregory">{{cytuj książkę |nazwisko = Gregory |imię = S. |tytuł = Metody statystyki w geografii |rok = 1976. |miejsce = Warszawa |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |strony = 234–238}}</ref>. Niektórzy uważają, że wzór można stosować, jeśli rang wiązanych jest nie więcej niż jedna czwarta ogółu i nie występują rangi wiązane z więcej niż dwóch obserwacji{{Odn|Norcliffe|Nowosielska|1986|s=116-117}}{{odn|Siegel|1957|s=206-210}}. Pakiety statystyczne SAS oraz SPSS używają podanego wcześniej bardziej ogólnego wzoru {{LinkWzór|2}}{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=355–356}}.

Niekiedy wzór {{LinkWzór|7}} nazywany jest „nieskorygowaną korelacją rangową” w odróżnieniu od „skorygowanej korelacji rangowej” {{LinkWzór|2}}. Jest to związane z postacią wzoru {{LinkWzór|2b}}, który przypomina wzór {{LinkWzór|7}} z dodaną „korektą na rangi wiązane”.

=== Własności ===
* Współczynnik jest unormowany{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}<ref name="Krysicki" />:
: <math>-1\leqslant r_S(X,Y)\leqslant +1;</math>
* Im bardziej wartości oddalone są od zera, tym większa siła związku między zmiennymi;
* Gdy każda zmienna jest [[funkcja monotoniczna|ściśle rosnącą funkcją]] drugiej (np. <math>x_i=y_i^3</math>), występuje idealna zgodność rang i ich korelacja przyjmuje wartość +1{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}<ref name="Krysicki" />;
** W szczególności wartość ta jest przyjmowana, gdy zmienna jest korelowana sama ze sobą:
: <math>r_S(X,X)=+1;</math>
* Gdy każda zmienna jest ściśle malejącą funkcją drugiej zmiennej, występuje maksymalna niezgodność rang i ich korelacja przyjmuje wartość –1{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}<ref name="Krysicki" />;
** W szczególności wartość ta jest przyjmowana, gdy zmienna <math>X</math> korelowana jest z <math>-X{:}</math>
: {{wzór|<math>r_S(X,-X)= -1;</math> |9}}
* Dla niezależnych zmiennych losowych wartością oczekiwaną estymatorów jest 0, a rozkład każdego z nich nie zależy od rozkładu zmiennych przed rangowaniem<ref name="Koronacki" />;
* Zachodzi symetria ze względu na zamianę zmiennych:
: <math>r_S(X,Y)=r_S(Y,X);</math>
* Zachodzi symetria ze względu na zmianę znaku zmiennej:
: {{wzór|<math>r_S(X,Y) = -r_S(X,-Y) = -r_S(-X,Y).</math> |10}}

W przypadku wystąpienia rang wiązanych część z tych własności nie jest spełniona dla niektórych estymatorów. Dla estymatora {{LinkWzór|7}} nie są prawdziwe własności {{LinkWzór|9}} i {{LinkWzór|10}}, a estymator {{LinkWzór|6}}/{{LinkWzór|6a}}/{{LinkWzór|6b}} nie osiąga wartości <math>\pm 1.</math>

Matematyczne własności rho Spearmana mają związek z [[tożsamość Czebyszewa|tożsamością Czebyszewa]] oraz [[twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych|twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych]].

=== Przykład ===
: {| class="wikitable" style="text-align: center"
!numery obserwacji <math>i</math>
|1
|2
|3
|4
|5
|-
!wartości <math>x_i</math>
|1,1
|1,57
|0,51
|1,1
|1,1
|-
!wartości <math>y_i</math>
|1,2
|1
|2,3
|1
|18
|-
!rangi <math>\mbox{R}x_i</math>
|3
|5
|1
|3
|3
|-
!rangi <math>\mbox{R}y_i</math>
|3
|1,5
|4
|1,5
|5
|-
!kwadraty różnic rang <math>d_i^2</math>
|0
|12,25
|9
|2,25
|4
|}

We wzorach {{LinkWzór|7}}, {{LinkWzór|2b}} i {{LinkWzór|6a}} wykonywane są pośrednie obliczenia:
: <math>\sum\limits_{i=1}^n d_i^2=(3-3)^2+(5-1{,}5)^2+(1-4)^2+(3-1{,}5)^2+(3-5)^2=27{,}5.</math>

W {{LinkWzór|2b}} i {{LinkWzór|6a}} także:
: <math>T_X=\frac{1}{12}(3^3-3)=2</math>
(jest jedna ranga wiązana, mają ją trzy obserwacje),

: <math>T_Y=\frac{1}{12}(2^3-2)=0{,}5</math>
(jest jedna ranga wiązana, mają ją dwie obserwacje).

Po podstawieniu do wzorów otrzymuje się:
: {| class="wikitable"
!estymator
!wynik
|-
|{{LinkWzór|2}}, {{LinkWzór|2a}}, {{LinkWzór|2b}}, {{LinkWzór|2c}}
|<math>r_S\approx -0{,}5735</math>
|-
|{{LinkWzór|6}}, {{LinkWzór|6a}}, {{LinkWzór|6b}}
|<math>r_S= -0{,}5</math>
|-
|{{LinkWzór|7}}
|<math>r_S= -0{,}375</math>
|}

=== Testowanie istotności statystycznej ===
{{Wikibooks|Tablica rozkładu t-Studenta|Tablica rozkładu t-Studenta}}
Aby przetestować istotność statystyczną korelacji rangowej, wykorzystuje się fakt, iż przy założeniu [[weryfikacja hipotez statystycznych|hipotezy zerowej]] o niezależności zmiennych losowych <math>X</math> i <math>Y</math> oraz niezależności od siebie par <math>(x_i,y_i)</math><ref group="uwaga" >To założenie jest konieczne, co pokazuje przykład dwóch procesów [[błądzenie losowe|błądzenia losowego]]. Procesy mogą być niezależne od siebie, ale kolejne obserwacje są od siebie zależne, co sprawia, że nie każda para rang jest jednakowo prawdopodobna. Przykłady oraz omówienie: {{cytuj pismo |nazwisko = Keller-McNulty |imię = Sallie |nazwisko2 = McNulty |imię2 = Mark |tytuł = The Independent Pairs Assumption in Hypothesis Tests Based on Rank Correlation Coefficients |czasopismo = The American Statistician |oznaczenie = Vol. 41, No. 1 (Feb., 1987) |strony = 40–41}}</ref> rozkład statystyki
: <math>t=r_S\sqrt\frac{n-2}{1-r_S^2}</math>

korelacji rangowej dąży wraz ze wzrostem liczebności próby do [[rozkład Studenta|rozkładu Studenta]] o <math>n-2</math> stopniach swobody, gdzie <math>n</math> jest licznością próby{{odn|Kendall|1948|s=48}}. Po obliczeniu tej statystyki korzysta się z tablic rozkładu Studenta lub komputera w celu obliczenia [[poziom istotności|poziomu istotności]] <math>\alpha.</math>

Rozkład ten jest wyprowadzany przy założeniu braku rang wiązanych, jednak [[Maurice Kendall|Kendall]] twierdzi, że w przypadku istnienia rang wiązanych poprawka do testu nie jest konieczna{{odn|Kendall|1948|s=48}}.

Inni autorzy z kolei zalecają stosowanie poprawki na ciągłość (przez dodanie lub odjęcie <math>\tfrac{6}{n^3-n}</math>){{odn|Pitman|1937|s=225-232}}.{{Wikibooks|Tablica rozkładu normalnego|Tablica rozkładu normalnego}}
Dla liczebności próby dążącej do nieskończoności, rozkład rho Spearmana dąży do [[rozkład normalny|rozkładu normalnego]] o wartości oczekiwanej równej prawdziwej wartości <math>\rho_S</math> w populacji i wariancji{{odn|Hotelling|Pabst|1936|s=29-43}}<ref group ="uwaga">Istnieją dokładniejsze oszacowania wariancji rho w próbie, np. w pracy<br>{{cytuj pismo |nazwisko = David |imię = F.N. |nazwisko2 = Mallows |imię2 = C.L. |tytuł = The Variance of Spearman’s Rho in Normal Samples |czasopismo = Biometrika |oznaczenie = Vol. 48, No. 1/2 (Jun., 1961) |strony = 19–28}}<br>podano następujące oszacowanie:
: <math>\operatorname{var}(r_s)=\frac{1}{n-1}+\frac{36}{\pi^2 n(n-1)(n+1)^2}</math><math>{}\,\big[n^3(-0{,}42863279\rho_S^2+0{,}08354697\rho_S^4+0{,}04257246\rho_S^6{}</math><math>{}+0{,}01687474\rho_S^8+0{,}00664071\rho_S^{10}+0{,}00270655\rho_S^{12}){}</math><math>{}+n^2(0{,}15513010\rho_S^2-0{,}057362293\rho_S^4-0{,}18443407\rho_S^6{}</math><math>{}-0{,}02271732\rho_S^8+0{,}00757524\rho_S^{10}+0{,}01429883\rho_S^{12}){}</math><math>{}+n(0{,}36837259\rho_S^2+0{,}44738882\rho_S^4-0{,}08427574\rho_S^6{}</math><math>{}-0{,}27929901\rho_S^8-0{,}19943375\rho_S^{10}-0{,}13861060\rho_S^{12}){}</math><math>{}+(0{,}07179677\rho_S^2+0{,}06467162\rho_S^4+0{,}21015257\rho_S^6{}</math><math>{}+0{,}28589798\rho_S^8+0{,}31704425\rho_S^{10}+0{,}07923733\rho_S^{12})\big].</math></ref> <math>\tfrac{1}{n-1},</math> stąd używana jest też inna statystyka{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=353}}:
: <math>z=r_S\sqrt{n-1},</math>

której rozkład przy założeniu hipotezy zerowej dąży wraz ze wzrostem liczności próby do standardowego rozkładu normalnego <math>\mbox{N}(0,1).</math>

Część autorów sugeruje stosowanie poprawki na ciągłość, która jednak nie daje znaczącego wzrostu dokładności przybliżenia{{odn|Olds|1949|s=117-118}}.
{{Wikibooks|Tablica wartości krytycznych dla współczynnika korelacji rang Spearmana|Tablica wartości krytycznych dla współczynnika korelacji rang Spearmana}}[[Plik:Rho Spearmana dla H0, N=5.png|thumb|300px|Rozkład rho Spearmana dla 5-elementowej próby z dwóch niezależnych zmiennych losowych<ref>Dane do wykresu z {{odn|ref=nie|Kendall|Kendall|Smith|1939|s=255}}</ref>]]
Postulowano również stosowanie średniej arytmetycznej statystyki opartej na rozkładzie <math>t</math> i normalnym{{odn|Iman|Conover|1978|s=269-283}}.

Dla małych prób wszystkie te wzory są niedokładne (statystyka oparta na rozkładzie <math>t</math> jest zazwyczaj nieco lepsza niż statystyka <math>z</math>), ale można sprawdzić komputerowo wszystkie [[permutacja|permutacje]] rang lub skorzystać z tablic. Często stosuje się przy tym inną statystykę (nazywaną czasem Hotellinga-Pabst): <math>\sum_{i=1}^n d_i^2.</math> Należy przy tym zauważyć, że między tymi statystykami zachodzi związek liniowy, a więc ich stosowanie prowadzi do identycznych wyników. Dokładne tablice rozkładu dla wielkości populacji do 25 można znaleźć w pracy{{odn|Maciak|2009|s=113-133}}.

[[Weryfikacja hipotez statystycznych|Hipotezą alternatywną]] może być albo:
: <math>H_1\colon \rho_S\ne 0</math>

(co prowadzi do dwustronnego [[obszar krytyczny testu|obszaru krytycznego]]) albo
: <math>H_1\colon \rho_S>0</math> lub <math>H_1\colon \rho_S<0</math>

(co prowadzi do jednostronnego obszaru krytycznego).

Dla omawianego powyżej przykładu, dwustronnego obszaru krytycznego i wyliczeń według trzech estymatorów otrzymuje się następujące wartości:
: {| class="wikitable"
! estymator
! <math>r_S</math>
! <math>t</math>
! <math>z</math>
! <math>\alpha</math> (przybliżenie rozkładem Studenta)
! <math>\alpha</math> (przybliżenie rozkładem normalnym)
! <math>\alpha</math> (wartość dokładna)
|-
| {{LinkWzór|2}}, {{LinkWzór|2a}}, {{LinkWzór|2b}}, {{LinkWzór|2c}}
| <math>-0{,}5735</math>
| <math>-1{,}2127</math>
| <math>-1{,}2824</math>
| <math>0{,}312</math>
| <math>0{,}0998</math>
| <math>0{,}35</math>
|-
| {{LinkWzór|6}}, {{LinkWzór|6a}}, {{LinkWzór|6b}}
| <math>-0{,}5</math>
| <math>-1{,}0000</math>
| <math>-1{,}118</math>
| <math>0{,}391</math>
| <math>0{,}1318</math>
| <math>0{,}45</math>
|-
| {{LinkWzór|7}}
| <math>-0{,}375</math>
| <math>-0{,}7006</math>
| <math>-0{,}8385</math>
| <math>0{,}534</math>
| <math>0{,}2009</math>
| <math>0{,}5167</math>
|}

W tabeli podano wartość <math>\alpha</math> wyliczoną za pomocą przybliżenia rozkładem Studenta, z rozkładu normalnego i wreszcie dokładnie – z tablic. Dla tak małej próby przybliżenie rozkładem Studenta daje różnice rzędu 0,05, co może mieć znaczenie przy określaniu istotności statystycznej. Przybliżenie rozkładem normalnym jest w tym wypadku mniej dokładne. Dla małych prób konieczne jest więc stosowanie tablic lub symulacji komputerowych. Przy liczebności próby dążącej do nieskończoności różnica zmniejsza się i coraz bardziej uzasadnione jest stosowanie rozkładu Studenta, ewentualnie rozkładu normalnego, co jednak z reguły da nieco większy od Studenta błąd wyznaczania istotności.

Znacznie dokładniejsze wyniki przynosi stosowanie przybliżenia opartego na krzywych Pearsona II typu, metodzie opisanej przez Oldsa<ref group="uwaga" >Jest to funkcja postaci <math>y=y_0(1-\tfrac{x^2}{a^2})^m,</math> gdzie parametry <math>y_0,</math> <math>a^2</math> i <math>m</math> zależą od liczebności rozkładu. Krzywa ta daje przybliżenie funkcji rozkładu prawdopodobieństwa; ponieważ do celów testów statystycznych przydatna jest dystrybuanta rozkładu Spearmana, konieczne jest obliczenie wartości prawdopodobieństwa dla wszystkich wartości większych (lub mniejszych) od interesującej nas wartości.</ref>{{odn|Olds|1938|s=133-148}}. Najdokładniejsze wyniki przynosi przybliżenie oparte na skorygowanym przy pomocy szeregu Edgewortha rozkładzie normalnym{{odn|David|Kendall|Stuart|1951|s=131-140}}. Implementację tego przybliżenia jako funkcję w programie [[Mathematica]] można znaleźć w pracy. Tam też dokonano porównania różnych metod aproksymacji statystyki Spearmana{{odn|Maciak|2009|s=113-133}}.

Istnieją też stabelaryzowane rozkłady korelacji rangowej dla innych założeń, np. <math>\rho=0{,}4.</math> Odpowiednie tabele podaje praca Fritza i Henze’a{{odn|Henze|1979|s=459-464}}.

== Związki z innymi współczynnikami i metodami statystycznymi ==
=== Współczynnik korelacji Pearsona ===
Współczynniki te określają innego rodzaju zależność między zmiennymi (Pearson – zależność liniową, Spearman – dowolną monotoniczną), czasem jednak korelacja rang jest używana jako [[statystyka odpornościowa|odporna]] wersja klasycznego współczynnika korelacji Pearsona{{odn|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}. W takiej roli widział ją zresztą sam Spearman{{Odn|Spearman|1904|s=81}}.

Jest to uzasadnione w przypadku zakładanej liniowej zależności między zmiennymi w warunkach zanieczyszczenia próby obserwacjami odstającymi. Korelacja rangowa jest bowiem znacznie bardziej odporna na obserwacje odstające, które potrafią skrajnie zaburzyć wynik zwykłego współczynnika korelacji Pearsona<ref group="uwaga" name="odporność" /><ref name="odporność2" />. Wartości tych dwóch współczynników nie są jednak wtedy równe – korelacja rangowa daje na ogół (nie zawsze) wyniki nieco bliższe zeru.

W szczególności dla [[wielowymiarowy rozkład normalny|dwuwymiarowego rozkładu normalnego]] zachodzi{{odn|Kowalczyk|Pleszczyńska|Ruland|2004|s=239}}:
: <math>\rho_S=\tfrac{6\arcsin(\rho/2)}{\pi},</math>
: <math>\rho=2\sin\tfrac{\pi\rho_S}{6},</math>

gdzie:
: <math>\rho_S</math> – współczynnik korelacji Spearmana pomiędzy zmiennymi (wzór {{LinkWzór|1}}),
: <math>\rho</math> – współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy zmiennymi.

Zależność ta jest ścisła przy braku rang wiązanych i nieskończonej populacji. Dla skończonej próby zależność między estymatorami Spearmana <math>r_S</math> i Pearsona <math>r</math> różni się od tego wyidealizowanego przypadku. Wartość oczekiwana wynosi wtedy dla każdego z podanych estymatorów{{odn|Moran|1948|s=203-206}}:
: <math>\mbox{E}(r_S)=\tfrac{6}{\pi}\left( \tfrac{n-1}{n+1}\arcsin \tfrac{1}{2}\rho+\tfrac{1}{n+1}\arcsin \rho\right).</math>

Współczynnik korelacji rang Spearmana jest więc [[Estymator|estymatorem obciążonym]] (także asymptotycznie) i niezgodnym współczynnika korelacji Pearsona. Naturalnie na tej samej zasadzie współczynnik korelacji Pearsona będzie obciążonym, niezgodnym i nieefektywnym estymatorem korelacji rangowej Spearmana{{odn|Moran|1948|s=203-206}}.

Rho Spearmana jest też przy założeniu rozkładu dwuwymiarowego normalnego mniej [[Estymator|efektywne]] niż współczynnik korelacji Pearsona liczony klasycznym wzorem, bez rangowania. Dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego [[błąd standardowy]] korelacji Pearsona liczonej za pomocą wzoru:
: {{wzór|<math>r=2\sin\tfrac{\pi r_S(X,Y)}{6},</math> |11}}

(gdzie <math>r_S</math> to dowolny z estymatorów rho Spearmana), jest ok. 1,88 raza większy od błędu korelacji liczonej za pomocą klasycznego wzoru bez rangowania{{odn|Kendall|1948|loc=rozdział 9}}:
: <math>r=\tfrac{\operatorname{cov}(X,Y)} {\sqrt{\operatorname{var}X\operatorname{var}Y}}</math>
Jednak, gdy obserwacje nie spełniają założenia o normalności rozkładu, szczególnie gdy pojawiają się obserwacje odstające, wzór {{LinkWzór|11}} często daje lepsze oszacowanie korelacji liniowej. Jeszcze dokładniejszy jest współczynnik [[tau Kendalla]]{{odn|Moran|1948|s=203-206}}.

Współczynnik korelacji Pearsona nie zakłada żadnej postaci rozkładu porównywanych zmiennych, jednak wzory na jego istotność statystyczną zakładają już dwuwymiarowy rozkład normalny. W wielu przypadkach warunek ten nie jest spełniony i nie da się łatwo sprawdzić, czy wyniki korelacji Pearsona są przejawem rzeczywistej zależności. Istotność współczynnika korelacji rangowej daje się zawsze określić, gdyż rozkład rang nie zależy od rozkładu porównywanych zmiennych, o ile nie ma rang wiązanych, a nawet wtedy testy istotności nie są znacząco zaburzone{{odn|Kendall|1948|s=48}}.

=== Inne miary korelacji rangowej ===
[[Korelacja rangowa]] to szersze pojęcie niż korelacja rang Spearmana. Korelacja to ogólnie w statystyce [[zależność zmiennych losowych]]. Miary tej zależności wyliczane na bazie rang zwane są miarami korelacji rangowej.

Wymienione poniżej miary nie są jednak uznawane za estymatory korelacji rang Spearmana – są odrębnymi współczynnikami o odrębnej interpretacji. Istnieją też inne, nie wymienione tutaj, współczynniki korelacji rangowej.

; Miara Spearmana
Miara Spearmana (ang. ''Spearman’s footrule''<ref>Tłumaczenie nazwy za: [http://isi.cbs.nl/glossary/term3079.htm słownik International Statistical Institute].</ref>) to współczynnik zaproponowany w tej samej pracy, co rho Spearmana{{Odn|Spearman|1904|s=87}}, liczony podobnie jak we wzorze {{LinkWzór|7}}, jednak z [[Wartość bezwzględna|wartością bezwzględną]] w miejsce kwadratu i z wynikającą z tego inną normalizacją:
: <math>R = 1- {\frac {3 \sum\limits_{i=1}^n |d_i|}{n^2 - 1}}</math>

Jak pokazał Pearson<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Pearson |imię = K. |tytuł = Mathematical contribution to the theory of evolution. XVI On further methods of determining correlation |wydawca = Cambridge University Press |rok = 1907 |seria = Drapers’ Co. Res. Mem., Biometric Series IV}}</ref>, współczynnik ten nie ma dobrych własności statystycznych, w szczególności choć osiąga +1, nie osiąga nigdy wartości -1, z wyjątkiem przypadku <math>n=2</math>{{odn|Mielke|Berry|2001}}.

; Tau Kendalla
Inną miarą korelacji rangowej dwóch zmiennych jest tzw. [[tau Kendalla]]. Między tymi wartościami zachodzą nierówności{{odn|Durbin|Stuart|1951|s=303-309}}<ref name="Foundations" />:
: <math>\tfrac{3}{2}\tau-\tfrac{1}{2}\leqslant r_S\leqslant \tfrac{1}{2}+\tau-\tfrac{1}{2}\tau^2\ \text{ dla }\ \tau\geqslant 0,</math>
: <math>\tfrac{1}{2}\tau^2+\tau-\tfrac{1}{2}\leqslant r_S\leqslant \tfrac{3}{2}\tau+\tfrac{1}{2}\ \text{ dla }\ \tau\leqslant 0.</math>

Podawane jest też grubsze oszacowanie{{odn|Daniels|1950|s=171-181}}:
: <math>-1\leqslant 3\tau-2r_S\leqslant 1.</math>

Można też pokazać, że jeśli przedstawić łączny rozkład dwuwymiarowy zmiennych <math>X</math> i <math>Y</math> w postaci unormowanej do jedności [[macierz stochastyczna|macierzy prawdopodobieństwa]] <math>m\times k</math> o elementach <math>[p_{ij}],</math> wówczas obydwie te wielkości dają się przedstawić za pomocą średnich ważonych z [[minor]]ów stopnia drugiego{{odn|Kowalczyk|2000}}. W tym ujęciu rho Spearmana jest ważonym współczynnikiem tau Kendalla.
: <math>r_S=\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{q=i+1}^m\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{r=j+1}^k w_{ijqr}\begin{vmatrix}
p_{ij} & p_{ir}\\
p_{qj} & p_{qr}
\end{vmatrix},</math>

: <math>\tau=\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{q=i+1}^m\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{r=j+1}^k 2\begin{vmatrix}
p_{ij} & p_{ir}\\
p_{qj} & p_{qr}
\end{vmatrix},</math>

gdzie:
: <math>w_{ijqr}=12\left( \mbox{Sc}_{row}(q)-\mbox{Sc}_{row}(i)\right) \left( \mbox{Sc}_{col}(r)-\mbox{Sc}_{col}(j)\right),</math>
: <math>\mbox{Sc}_{row}(i)=\left( \sum_{a=1}^{i-1}\sum_{b=1}^k p_{ab}\right) +\frac{1}{2}\sum_{b=1}^k p_{ib},</math>
: <math>\mbox{Sc}_{col}(j)=\left( \sum_{a=1}^m\sum_{b=1}^{j-1}p_{ab}\right) +\frac{1}{2}\sum_{a=1}^m p_{aj}.</math>

Kendall i Stuart pokazali<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Kendall |imię = M.G. |nazwisko2 = Stuart |imię2 = A. |tytuł = The Advanced Theory of Statistics |rok = 1973 |tom = 2 |wydanie = 3 |miejsce = New York |wydawca = Hafner}}</ref>, że dla niezależnych zmiennych korelacja między tau i rho wynosi co najmniej 0,98 i dąży do 1 dla <math>n\to\infty.</math> (Wspólny rozkład tau Kendalla i rho Spearmana w swojej monografii podaje Kendall.) Nie oznacza to jednak, że ich wyniki są proporcjonalne dla [[Zmienne zależna i niezależna|zmiennych zależnych]], a dla takich właśnie na ogół liczy się korelację.

=== Uogólnienia rho Spearmana ===
; Chi kwadrat Friedmana
Rho Spearmana jest znormalizowaną i przeskalowaną do przedziału <math>[-1,1]</math> miarą [[chi kwadrat Friedmana]] dla dwóch zmiennych. Jeśli wartość chi kwadrat Friedmana wynosi <math>X,</math> to<ref>{{cytuj stronę |url = http://rweb.stat.umn.edu/R/library/SuppDists/html/Spearman.html |tytuł = R documentation: Spearman’s rho |nazwisko = Wheeler |imię = Bob |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/20080305032407/http://rweb.stat.umn.edu/R/library/SuppDists/html/Spearman.html |zarchiwizowano = 2008-03-05 |data dostępu = 2008-05-18}}</ref>
: <math>r_S=\frac{X}{n-1}-1.</math>

; L Page’a
Kolejnym uogólnieniem rho Spearmana na przypadek wielu zmiennych jest [[test L Page'a]]. Korelację rangową można stosować jako metodę sprawdzania, czy zmienna <math>X</math> ma ten sam porządek rang co zmienna <math>Y.</math> Test L Page’a podaje z jakim prawdopodobieństwem [[ciąg (matematyka)|ciąg]] zmiennych <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> ma pewne zadane ustawienie. Jego wynik można też podać w formie współczynnika z zakresu <math>[-1,1],</math> który dla <math>k=1</math> sprowadza się do korelacji rang Spearmana<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.psychology.nottingham.ac.uk/staff/pal/stats/C81MSA/Overheads/Lecture%208.pdf |tytuł = Nonparametric Tests of Trend |nazwisko = Bibby |imię = Peter |język = en |opublikowany = School of Psychology; University of Nottingham |archiwum = https://web.archive.org/web/20040622000626/http://www.psychology.nottingham.ac.uk/staff/pal/stats/C81MSA/Overheads/Lecture%208.pdf |zarchiwizowano = 2004-06-22 |data dostępu = 2008-05-29}}</ref>.

=== Analiza odpowiedniości oparta na rho Spearmana ===
Klasyczna [[analiza odpowiedniości]] (inna nazwa: analiza korespondencji) jest metodą statystyczną, która wszystkim możliwym wartościom dwóch [[skala nominalna|zmiennych nominalnych]] przyporządkowuje takie liczby (tzw. skory), aby przy pewnych założeniach maksymalizować współczynnik korelacji Pearsona między tymi zmiennymi.

Istnieje odpowiednik klasycznej analizy odpowiedniości, zwany [[gradacyjna analiza odpowiedniości|gradacyjną analizą odpowiedniości]] (ang. ''Grade Correspondence Analysis''; GCA), który maksymalizuje rho Spearmana<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Ciok |imię = A. |nazwisko2 = Kowalczyk |imię2 = T. |nazwisko3 = Pleszczyńska |imię3 = E. |nazwisko4 = Szczesny |imię4 = W. |tytuł = Algorithms of grade correspondence-cluster analysis |czasopismo = The Collected Papers of Theoretical and Applied Computer Science |rok = 1995 |wolumin = 6 |numer = 1–4 |strony = 3–20}}</ref> lub tau Kendalla<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Kowalczyk |imię = T. |nazwisko2 = Niewiadomska-Bugaj |imię2 = M. |tytuł = Grade Correspondence Analysis Based on Kendall’s tau |czasopismo = Data Science Classification and Related Methods. VI Conference of the International Federation of Classification Societes, Rome, July 21–24, Institutio Nazionale de Statistica, Roma |rok = 1998 |strony = 182–185}}</ref>.

== Krytyka ==
Te same własności rho Spearmana, które zwolennicy metod rangowych uważają za zalety, przeciwnicy mają za wady. Sam Spearman, który traktował swój współczynnik wyłącznie jako odporne na obserwacje odstające przybliżenie korelacji Pearsona, uważał za wadę fakt, że mierzy ona także zależność nieliniową{{Odn|Spearman|1904|s=81}}.

Twórca klasycznego współczynnika korelacji, [[Karl Pearson]], krytykował niezależność od rozkładu korelacji rang:

{{Cytat
 |treść = Żadne dwie korelacje rangowe nie są w najmniejszym stopniu rzetelne czy porównywalne, dopóki nie założymy, że rozkłady są tego samego typu (…) wynikającego z hipotezy rozkładu normalnego (…) Dr Spearman zasugerował, że szeregi rang powinny być typem korelowanym, lecz nie uznał tej korelacji rangowej za odskocznię (…) umożliwiającą osiągnięcie prawdziwej korelacji.
 |autor = Prof. Karl Pearson
 |źródło = Further Methods in Correlation<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Pearson |imię = Karl |tytuł = Further Methods in Correlation |czasopismo = Drapers’ Company Res. Mem. (Biometric Ser.) |oznaczenie = IV. (1907) |strony = 25}} Oryginalny cytat: ''No two rank correlations are in the least reliable or comparable unless we assume that the frequency distributions are of the same general character (…) provided by the hypothesis of normal distribution. (…) Dr. Spearman has suggested that rank in a series should be the character correlated, but he has not taken this rank correlation as merely the stepping stone (…) to reach the true correlation.''</ref>
 |styl = środek
}}

Przy okazji tej krytyki pierwszy raz w historii użyto określenia „korelacja rangowa”<ref>{{cytuj stronę |url = http://members.aol.com/jeff570/r.html |tytuł = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics |nazwisko = Miller |imię = Jeff |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/19991003205123/http://members.aol.com/jeff570/r.html |zarchiwizowano = 1999-10-03 |data dostępu = 2008-05-27}}</ref>.

== Historia ==
Pomysł korelowania rang był już znany przed Spearmanem i pochodził od Bineta i Henriego<ref name="Binet">{{cytuj książkę |nazwisko = Binet |imię = A. |nazwisko2 = Henri |imię2 = V. |tytuł = La Fatigue Intellectuelle |miejsce = Paris |rok = 1898 |strony = 232}},<br>{{cytuj książkę |nazwisko = Binet |imię = A. |nazwisko2 = Henri |imię2 = V. |tytuł = L’Année Psychologique |miejsce = Paris |rok = 1898 |tom = IV |strony = 155}},<br>podane za pracą Studenta wymienioną w bibliografii.</ref>. Redakcja czasopisma Biometrika w przypisie pracy [[William Sealy Gosset|Studenta]] zaznaczyła, że „ich wywód był bardzo niejasny i chyba nie zauważyli, że korelacja zmiennych różni się od korelacji rang”<ref>Oryg. ''Their process is very obscure and they also do not appear to have realised that the correlation of variates is not that of ranks.''</ref>.

Współczynnik został solidnie opisany, zbadany i rozpropagowany dopiero w [[1904]] przez angielskiego psychologa Charlesa Spearmana{{Odn|Spearman|1904|s=73}}<ref group="uwaga" name="rok 1906">Niekiedy (np. w podręczniku {{odn|ref=nie|Jóźwiak|Podgórski|2006|s=352}}) podawana jest błędnie data 1906, gdy praca ta została przedrukowana przez ''British Journal of Psychology''.</ref>. Praca Spearmana była opisem różnych metod korelacji dla psychologów, m.in. korelacji Pearsona dla rang (choć Spearman nie zapisał swojej metody w postaci wzoru). Autor zauważył też, że w wielu badaniach nie da się zastosować klasycznego współczynnika korelacji Pearsona lub daje on nieistotne albo fałszywie istotne wyniki ze względu na nadmiar obserwacji odstających, natomiast problemy te znikają po rangowaniu{{Odn|Spearman|1904|s=73}}. Nadal traktował jednak korelację rang jedynie jako poszerzenie możliwości współczynnika korelacji Pearsona, choć znał różnice między nimi.

Koncepcja rang wiązanych nie była jeszcze znana w początkach XX wieku – została ona wprowadzona później przez Pearsona{{Odn|Student|1921}}. Wówczas znany był już wzór {{LinkWzór|7}}, wyprowadzony naturalnie przy założeniu braku rang wiązanych. Student (William Sealy Gosset) w pracy z 1921 zauważył, że wzór {{LinkWzór|7}} nie zgadza się z definicją Spearmana w przypadku rang wiązanych (sprowadzającą się wówczas do wzoru {{LinkWzór|2}}) i podał wzór {{LinkWzór|2b}}, wyprowadził też wzór na wariancję korelacji rangowej.

W 1948 [[Maurice Kendall]] napisał monografię ''Rank Correlation Methods'', w której szczegółowo zbadał własności rho Spearmana i związki z własnym współczynnikiem tau Kendalla.

Nacisk Spearmana na budowę stabilnych metod statystycznych, niezależnych od konkretnych parametrów rozkładu, został uogólniony w [[filozofia nauki|filozofii nauki]] do tzw. '''zasady Spearmana''' (ang. ''Spearman’s Principle'')<ref name="Principle" />:

{{Cytat
 |treść = Załóżmy, że wybieramy między dwoma modelami, z których obydwa pasują do posiadanych danych. Załóżmy, że dane te doprowadziły nas do przypuszczenia, że pewne odpowiedzialne za nie zjawiska podporządkowują się pewnym zależnościom. Załóżmy, że obydwa rywalizujące ze sobą modele odzwierciedlają te zależności. Zasada Spearmana mówi, że jeżeli pierwszy z modeli generuje te zależności bez względu na wartości przyporządkowywane do jego „wolnych parametrów”, a drugi tylko dla konkretnych wartości swoich wolnych parametrów, przy czym nie ma innych przesłanek wyboru, to powinniśmy przedkładać pierwszy model nad drugi.
 |autor = Marc Lange
 |źródło = Spearman’s Principle<ref name="Principle">{{cytuj pismo |nazwisko = Lange |imię = Marc |tytuł = Spearman’s Principle |czasopismo = Brit.J.Phil.Sci. |wolumin = 46 |data = 1995 |strony = 503–521 |cytat = ''Suppose that we are deciding between two models that both fit the particular data we have on hand. Suppose that these data have already led us to believe that the phenomena responsible for them conform to certain ‘constraints’. Suppose that each of the two competing models yields these constraints. Spearman’s Principle says that if one model generates these constraints no matter what values are assigned to that model’s ‘free parameters’, whereas the other model yields these constraints only for particular values of its free parameters, then, other things being equal, we should prefer the first model to the second.''}}</ref>
 |styl = środek
}}

Podejście to dało początek całej nowej dziedzinie statystyki, zwanej [[statystyka odpornościowa|statystyką odpornościową]] (ang. ''robust statistics''<ref group ="uwaga" >Pierwsze użycie terminu ''robust'' nastąpiło w 1953, choć już Spearman zdawał sobie sprawę z odporności swojego współczynnika na obserwacje odstające.</ref>), zajmującej się budową metod statystycznych odpornych na obserwacje odstające.

== Oznaczenia ==
W literaturze spotyka się różne oznaczenia korelacji rang Spearmana:
{{Układ wielokolumnowy |szerokość=15em|
<math>\rho</math>
* Kendall (wzór {{LinkWzór|7}})
* Yule, Kendall (także wzór {{LinkWzór|2b}})
<math>\rho_a</math>
* Kendall (wzory {{LinkWzór|6}},{{LinkWzór|6a}})
<math>\rho_b</math>
* Kendall (wzory {{LinkWzór|2}},{{LinkWzór|2b}})
* Agresti{{odn|Agresti|1976|s=49–51}} (wzór {{LinkWzór|2c}})
<math>r_S</math>
* Koronacki, Mielniczuk
* Jokiel, Kostrubiec<ref name="Jokiel" />
* Norcliffe{{Odn|Norcliffe|Nowosielska|1986|s=116-117}}
* Jóźwiak, Podgórski dla korelacji z próby
* Krysicki et al.<ref name="Krysicki" />
<math>\rho_g</math>
* Kendall dla korelacji między zmiennymi losowymi
<math>\rho_S</math>
* Jóźwiak, Podgórski dla korelacji między zmiennymi losowymi
<math>\rho^*</math>
* Kowalczyk, Pleszczyńska, Ruland
<math>R_{xy}</math>
* Maksimowicz-Ajchel{{odn|Maksimowicz-Ajchel|2007|s=174}}
* Hammerl, Sambor<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Hammerl |imię = R. |nazwisko2 = Sambor |imię2 = J. |tytuł = Statystyka dla językoznawców |wydawca = Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego |miejsce = Warszawa |rok = 1990}}</ref>
<math>R_{rr}</math>
* Piechota<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Piechota |imię = Jacek |tytuł = Statystyka nieparametryczna. Modele i zadania |wydawca = WPHU „Opta” |miejsce = Warszawa |rok = 1996 |isbn = 83-87253-00-6}}</ref>
<math>r'</math>
* Mathworld<ref name="Mathworld">{{MathWorld|adres=SpearmanRankCorrelationCoefficient |tytuł=Spearman Rank Correlation Coefficient |data dostępu=27 maja 2008}}</ref>
}}

== Zobacz też ==
* [[metody rangowe]]
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu statystyki|przegląd zagadnień z zakresu statystyki]]
* [[współczynnik korelacji Pearsona]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor = Alan Agresti |tytuł = The Effect of Category Choice on Some Ordinal Measures of Association |czasopismo = Journal of the American Statistical Association |data = 1976-03 |data dostępu = 2024-12-31 |wolumin = 71 |numer = 353 |s = 49 |doi = 10.2307/2285729 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = H. E. Daniels |tytuł = Rank Correlation and Population Models |czasopismo = Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology |data = 1950-07-01 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 1369-7412 |wolumin = 12 |numer = 2 |s = 171–181 |doi = 10.1111/j.2517-6161.1950.tb00054.x |url = https://academic.oup.com/jrsssb/article/12/2/171/7026584 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = J. Durbin, A. Stuart |tytuł = Inversions and Rank Correlation Coefficients |czasopismo = Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology |data = 1951-07-01 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 1369-7412 |wolumin = 13 |numer = 2 |s = 303–309 |doi = 10.1111/j.2517-6161.1951.tb00095.x |url = https://academic.oup.com/jrsssb/article/13/2/303/7026657 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Iwona Jażdżewska |tytuł = Statystyka dla geografów |data = 2013 |data dostępu = 2024-12-30 |isbn = 978-83-7525-984-1 |wydanie = Wyd. 2 |miejsce = Łódź |wydawca = Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Jóźwiak |imię = Janina |nazwisko2 = Podgórski |imię2 = Jarosław |tytuł = Statystyka od podstaw |wydawca = Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne |miejsce = Warszawa |rok = 2006 |wydanie = VI zmienione |isbn = 83-208-1615-7 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kendall |imię = Maurice G. |autor link = Maurice Kendall |tytuł = Rank Correlation Methods |miejsce = Londyn |wydawca = Charles Griffin & Company Limited |rok = 1948 |odn = tak}}
* {{Cytuj |autor = S. T. David, M. G. Kendall, A. Stuart |tytuł = Some Questions of Distribution in the Theory of Rank Correlation |czasopismo = Biometrika |data = 1951-06 |data dostępu = 2024-12-31 |wolumin = 38 |numer = 1/2 |s = 131 |doi = 10.2307/2332322 |url = https://www.jstor.org/stable/2332322?origin=crossref|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Koronacki |imię = Jacek |nazwisko2 = Mielniczuk |imię2 = Jan |tytuł = Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne|WNT]] |miejsce = Warszawa |rok = 2006 |isbn = 83-204-3242-1 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kowalczyk |imię = Teresa |tytuł = Link between grade measures of dependence and of separability of pairs of conditional distributions |wydawca = Statistics and Probability Letters 46 |data = 2000 |strony = 371–379 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kowalczyk |imię = Teresa |nazwisko2 = Pleszczyńska |imię2 = Elżbieta |autor link2 = Elżbieta Pleszczyńska |nazwisko3 = Ruland |imię3 = Fred |tytuł = Grade Models and Methods for Data Analysis with Applications for the Analysis of Data Populations |rok = 2004 |seria = Studies in Fuzziness and Soft Computing vol. 151 |wydawca = Springer Verlag |miejsce = Berlin Heidelberg New York |isbn = 9783540211204 |odn = tak}}
* {{cytuj |autor = W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski |tytuł = Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna |wydawca = PWN |isbn = 83-01-14292-8 |miejsce = Warszawa |data = 2006 |s = 230–231 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Lehmann |imię = E.L. |tytuł = Nonparametrics:Statistical methods based on ranks |miejsce = San Francisco |rok = 1975}}
* {{Cytuj |autor = Andrzej Łuszniewicz, Teresa Słaby |tytuł = Statystyka z pakietem komputerowym Statistica PL: teoria i zastosowania |data = 2008 |data dostępu = 2024-12-30 |isbn = 978-83-255-0113-6 |wydanie = Wyd. 3 zm |opis = Metody Ilościowe |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwo C. H. Beck|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Alicja Maksimowicz-Ajchel |tytuł = Wstęp do statystyki: metody opisu statystycznego |data = 2007 |data dostępu = 2024-12-30 |isbn = 978-83-235-0267-8 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Jerome L. Myers, A. Well |tytuł = Research design and statistical analysis |data = 2003 |data dostępu = 2024-12-31 |isbn = 978-0-8058-4037-7 |wydanie = 2nd ed |miejsce = Mahwah, N.J |wydawca = Lawrence Erlbaum Associates|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Glen Norcliffe, Ewa Nowosielska |tytuł = Statystyka dla geografów: wprowadzenie |data = 1986 |data dostępu = 2024-12-30 |isbn = 978-83-01-06310-8 |miejsce = Warszawa |wydawca = Państ. Wydaw. Naukowe|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = C. Spearman |tytuł = The Proof and Measurement of Association between Two Things |czasopismo = The American Journal of Psychology |data = 1904-01 |data dostępu = 2024-12-30 |wolumin = 15 |numer = 1 |s = 72-101 |doi = 10.2307/1412159 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = [[William Sealy Gosset|Student]] |tytuł = An Experimental Determination of the Probable Error of Dr Spearman's Correlation Coefficients |czasopismo = Biometrika |data = 1921-07 |data dostępu = 2024-12-30 |wolumin = 13 |numer = 2/3 |s = 263-282 |doi = 10.2307/2331754 |odn = tak}}
* {{Cytuj |autor = Fritz H.-H. Henze |tytuł = The Exact Noncentral Distributions of Spearman's r and Other Related Correlation Coefficients |czasopismo = Journal of the American Statistical Association |data = 1979-06 |data dostępu = 2024-12-31 |wolumin = 74 |numer = 366 |s = 459 |doi = 10.2307/2286356 |url = https://www.jstor.org/stable/2286356?origin=crossref|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Harold Hotelling, Margaret Richards Pabst |tytuł = Rank Correlation and Tests of Significance Involving No Assumption of Normality |czasopismo = The Annals of Mathematical Statistics |data = 1936-03 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 0003-4851 |wolumin = 7 |numer = 1 |s = 29–43 |doi = 10.1214/aoms/1177732543 |url = http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177732543 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Ronald L. Iman, W. J. Conover |tytuł = Approximations of the critical region for spearman’s rho with and without ties present |czasopismo = Communications in Statistics - Simulation and Computation |data = 1978-01 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 0361-0918 |wolumin = 7 |numer = 3 |s = 269–282 |doi = 10.1080/03610917808812076 |url = http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610917808812076 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = M. G. Kendall, Sheila F. H. Kendall, B. Babington Smith |tytuł = The Distribution of Spearman's Coefficient of Rank Correlation in a Universe in which all Rankings Occur an Equal Number of Times: |czasopismo = Biometrika |data = 1939-01 |data dostępu = 2024-12-31 |wolumin = 30 |numer = 3/4 |s = 251 |doi = 10.2307/2332649 |url = https://www.jstor.org/stable/2332649?origin=crossref|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Stanley Lieberson |tytuł = Limitations in the Application of Non-Parametric Coefficients of Correlation |czasopismo = American Sociological Review |data = 1964-10 |data dostępu = 2024-12-30 |wolumin = 29 |numer = 5 |s = 744 |doi = 10.2307/2091428 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Wojciech Maciak |tytuł = Exact null distribution for n ≤25 and probability approximations for Spearman's score in an absence of ties |czasopismo = Journal of Nonparametric Statistics |data = 2009-01 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 1048-5252 |wolumin = 21 |numer = 1 |s = 113–133 |doi = 10.1080/10485250802401038 |url = http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10485250802401038 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Paul W. Mielke, Kenneth J. Berry |tytuł = Permutation methods: a distance function approach |data = 2001 |data dostępu = 2024-12-31 |isbn = 978-0-387-98882-5 |opis = Springer series in statistics |miejsce = New York Berlin Heidelberg |wydawca = Springer|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = P. A. P. Moran |tytuł = Rank Correlation and Product-Moment Correlation |czasopismo = Biometrika |data = 1948-05 |data dostępu = 2024-12-31 |wolumin = 35 |numer = 1/2 |s = 203 |doi = 10.2307/2332641 |url = https://www.jstor.org/stable/2332641?origin=crossref|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Edwin G. Olds |tytuł = Distributions of Sums of Squares of Rank Differences for Small Numbers of Individuals |czasopismo = The Annals of Mathematical Statistics |data = 1938-06 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 0003-4851 |wolumin = 9 |numer = 2 |s = 133–148 |doi = 10.1214/aoms/1177732332 |url = http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177732332 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Edwin G. Olds |tytuł = The 5% Significance Levels for Sums of Squares of Rank Differences and a Correction |czasopismo = The Annals of Mathematical Statistics |data = 1949-03 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 0003-4851 |wolumin = 20 |numer = 1 |s = 117–118 |doi = 10.1214/aoms/1177730099 |url = http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730099 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = E. J. G. Pitman |tytuł = Significance Tests Which May be Applied to Samples from Any Populations. II. The Correlation Coefficient Test |czasopismo = Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology |data = 1937-07-01 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 1369-7412 |wolumin = 4 |numer = 2 |s = 225–232 |doi = 10.2307/2983647 |url = https://academic.oup.com/jrsssb/article/4/2/225/7026452 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Sidney Siegel |tytuł = Nonparametric Statistics for the Behavioural Sciences |czasopismo = The Journal of Nervous and Mental Disease |data = 1957-07 |data dostępu = 2024-12-31 |issn = 0022-3018 |wolumin = 125 |numer = 3 |s = 497 |doi = 10.1097/00005053-195707000-00032 |url = http://journals.lww.com/00005053-195707000-00032 |język = en|odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Alan Stuart |tytuł = Calculation of Spearman's Rho for Ordered Two-Way Classifications |czasopismo = The American Statistician |data = 1963-10 |data dostępu = 2024-12-31 |wolumin = 17 |numer = 4 |s = 23 |doi = 10.2307/2682594 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = Jeremy M. G. Taylor |tytuł = Kendall's and Spearman's Correlation Coefficients in the Presence of a Blocking Variable |czasopismo = Biometrics |data = 1987-06 |data dostępu = 2024-12-31 |wolumin = 43 |numer = 2 |s = 409 |doi = 10.2307/2531822 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Yule |imię = George Udny |nazwisko2 = Kendall |imię2 = Maurice G. |autor link2 = Maurice Kendall |tytuł = Wstęp do teorii statystyki |rok = 1966 |wydawca = PWN |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{cytuj stronę |url = http://www.wessa.net/rankcorr.wasp |tytuł = Spearman Rank Correlation – Free Statistics Software (Calculator) |język = en |data dostępu = 2008-07-15}} – internetowy kalkulator obliczający korelację rangową według wzorów {{LinkWzór |7}} i {{LinkWzór |2}}.
* {{cytuj stronę |url = http://geographyfieldwork.com/SpearmansRank.htm |tytuł = Spearman’s Rank Correlation Coefficient |autor = Barcelona Field Studies Centre S.L |język = en |data dostępu = 2008-07-15}} – przykład zastosowania korelacji rangowej do badania zależności cen w Barcelonie od położenia sklepu w mieście

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Miary zależności]]
[[Kategoria:Statystyka nieparametryczna]]