Tekst źródłowy strony Wolna przestrzeń Banacha nad przestrzenią metryczną

'''Wolna przestrzeń Banacha nad przestrzenią metryczną''' – konstrukcja pozwalająca na stowarzyszenie z daną [[przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]] ''M'' z wyróżnionym punktem [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] ''F''(''M''), na której [[operator liniowy ograniczony|operatory liniowe]] w pewnym sensie linearyzują [[Warunek Lipschitza|odwzorowania lipschitzowskie]] na ''M''. Pojęcie to zostało sformalizowane przez Godefroya i Kaltona<ref>G. Godefroy, N.J. Kalton, [https://kaltonmemorial.missouri.edu/assets/docs/sm2003c.pdf Lipschitz-free Banach spaces]. ''[[Studia Mathematica|Studia Math]]''., '''159''' (2003), no. 1,
121-141.</ref>.

== Konstrukcja ==
Niech (''M'', ''d'') będzie przestrzenią metryczną z wyróżnionym punktem 0 ∈ ''M''. Wówczas rodzina Lip<sub>0</sub>(''M'') złożona z wszystkich skalarnych funkcji lipschitzowskich ''f'' na ''M'', które spełniają warunek ''f''(0) = 0 jest przestrzenią Banacha z normą
: <math>\|f\|= \sup\Big\{ \frac{ |f(x)-f(y)| }{d(x,y)}\colon x,y\in M, x\neq y\Big\}.</math>

Odwzorowanie ''δ'': ''M'' → Lip<sub>0</sub>(''M'') określone zależnością
: <math>\langle f, \delta(a)\rangle = f(a)\;\;\;(f\in \mbox{Lip}_0(M), a\in M)</math>
jest [[izometria|izometrią]]. Przestrzeń 
: <math>F(X) = \overline{\mbox{span}}\{\delta(a)\colon a\in M\}</math>
nazywana jest ''wolną przestrzenią Banacha nad przestrzenią metryczną M''. Gdy ''M'' jest przestrzenią Banacha zwyczajowo za punkt wyróżniony wybiera się zero przestrzeni ''M''. Czasami dla podkreślenia dziedziny odwzorowania ''δ'' używa się symbolu ''δ''<sub>''M''</sub>.

== Własności ==
Poniżej ''M'' oznacza przestrzeń metryczną z wyróżnionym punktem 0 ∈ ''M''.
* [[Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|Przestrzeń sprzężona]] ''F''(''M'')* jest w naturalny sposób izometrycznie izomorficzna z Lip<sub>0</sub>(''M'').
* Jeżeli ''A'' ⊆ ''M'', 0 ∈ ''A'', to ''F''(''A'') ⊆ ''F''(''M'').
* Niech ''f'': ''M'' → ''M'' będzie odwzorowaniem lipschitzowskim spełniającym warunek ''f''(0) = 0. Wówczas istnieje taki ograniczony operator liniowy ''T'': ''F''(''M'') → ''F''(''M''), którego norma jest równa stałej Lipschitza funkcji ''f'', iż ''T''|<sub>''δ''(''M'')</sub> = ''f''.
* Niech ''M'' będzie przestrzenią Banacha. Wówczas odwzorowanie ''δ'' jest izometrią, która nie jest [[Pochodna Gâteaux|różniczowalna w sensie Gâteaux]].
:: ''Dowód''. Gdyby funkcja ''t'' → ''δ''(''u'' + ''tv'') była różniczkowalna w sensie Gâteaux w zerze, to w szczególności, dla każdego ''f'' ∈ Lip<sub>0</sub>(''M'') funkcja ''t'' → ''f''(''u'' + ''tv'') byłaby różniczkowalna w zerze. To jednak nie jest możliwe w przypadku, gdy 
::: ''f''(''x'') = ||x - u|| - ||u||.

== Przykłady ==
* Przestrzeń ''F''(''R'') jest izomorficzna z ''L''<sub>1</sub> jednak ''F''(''R''<sup>2</sup>) nie jest izomorficzna z podprzestrzenią ''L''<sub>1</sub><ref>A. Naor, G. Schechtman, Planar earthmover is not in ''L''<sub>1</sub>, ''SIAM J. Comput.'' '''37''' (3) (2007), 804–826.</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Przestrzenie Banacha]]
[[Kategoria:Przestrzenie metryczne]]