Tekst źródłowy strony Wielomian

'''Wielomian''', inaczej '''suma algebraiczna'''{{fakt|data=2024-01}} – [[wyrażenie algebraiczne]] będące sumą [[jednomian]]ów<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3995794 | tytuł = wielomian | data dostępu = 2022-01-17}}</ref>; używane w różnych działach matematyki; przykładowo:
* w [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]] pomocne jest przedstawienie funkcji danego rodzaju w postaci [[Ciąg (matematyka)|ciągu]] wielomianów (bądź [[Szereg (matematyka)|szeregu]]);
* w [[Algebra|algebrze]] są one centralnym punktem zainteresowań w [[Teoria Galois|teorii Galois]], a stąd służą w [[Geometria|geometrii]] jako środek dowodowy przy wykazywaniu [[Konstrukcje klasyczne|konstruowalności]] różnych obiektów. Służą też kodowaniu własności rozmaitych obiektów (np. [[wielomian charakterystyczny]] [[Przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]]).

== Definicje ==
=== Wielomian jednej zmiennej ===
Niech <math>n</math> będzie dowolną [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]], tj. nieujemną [[Liczby całkowite|liczbą całkowitą]]: <math>n\in\mathbb{N}.</math> Wtedy '''wielomianem zmiennej''' <math>x</math> nazywa się każde [[wyrażenie algebraiczne]] postaci<ref name=":02">{{Cytuj |autor = Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein |tytuł = Wprowadzenie do algorytmów |data = 2015 |inni = Krzysztof Diks; Adam Malinowski; Daria Roszkowska; Wojciech Rytter (tłum.)|opis=Wydanie VII (I w PWN) |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN}}</ref>:
: <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\ldots+ a_1x + a_0 = \sum_{k=0}^na_kx^k,</math>

gdzie <math>a_n \neq 0.</math> [[Zmienna (matematyka)|Zmienne]] <math>a_0, a_1, \dots, a_n</math> nazywa się '''współczynnikami''' tego wielomianu<ref name="epwn" />. Mogą to być [[liczby rzeczywiste]], a w [[Algebra abstrakcyjna|algebrze abstrakcyjnej]] rozważa się też współczynniki z dowolnego innego [[Ciało (matematyka)|ciała]] lub szerzej [[Pierścień przemienny|pierścienia przemiennego]]<ref name="epwn" />. Wielomian nazywa się ''całkowitym'', ''wymiernym'', ''rzeczywistym'' lub ''zespolonym'' w zależności od zbioru, z którego pochodzą jego współczynniki{{fakt|data=2024-05}}. Zwyczajowo wielomian składający się z jednego wyrazu nazywa się ''[[jednomian]]em'', z dwóch – ''[[dwumian]]em'', a trzech – ''[[trójmian]]em''.

Liczbę <math>n</math> nazywa się [[Stopień wielomianu|stopniem wielomianu]]<ref name="epwn" />. W szczególności niezerowa [[Funkcja stała|stała]] <math>a\neq 0</math> to wielomian stopnia zerowego. Dla wielomianu zerowego, czyli składającego się z jednego wyrazu wolnego równego zeru, nie określa się stopnia lub przyjmuje się, że wynosi on <math>-\infty</math><ref group="uwaga">wynika to z konwencji dot. tego symbolu – jest on wynikiem przy dodawaniu go do dowolnej liczby i jego mnożeniu przez liczbę nieujemną.</ref>{{fakt|data=2024-05}}. Często wielomiany, których stopień wynosi <math>0, 1, 2, 3,</math> nazywa się odpowiednio: ''stałym'', ''liniowym'', ''kwadratowym'', ''sześciennym'' (związane jest to z własnościami funkcji wielomianowych z nimi skojarzonymi, zob. [[Wielomian#Funkcje wielomianowe|dalej]]).

Wielomian jest [[Asymptotyczne tempo wzrostu|asymptotycznie dodatni]], jeśli współczynnik przy wyrazie <math>a_n</math> jest dodatni. Jeśli współczynnik przy wyrazie <math>a_n</math> jest ujemny, wielomian jest asymptotycznie ujemny<ref name=":02" />.

Niezerowy wyraz bez zmiennych ma stopień 0 i nazywany jest ''wyrazem wolnym''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3998971 | tytuł = wyraz wolny | data dostępu = 2024-09-16 }}</ref>.

=== Wielomian wielu zmiennych ===
''Stopniem wyrazu'' (niezerowego) nazywa się sumę stopni wszystkich zmiennych tego wyrazu. Wielomian nazywa się ''jednorodnym'', jeśli wszystkie jego wyrazy są tego samego stopnia<ref name="epwn-wj">{{Encyklopedia PWN | id = 3995796 | tytuł = wielomian jednorodny | data dostępu = 2024-05-22 }}</ref>. ''[[Stopień wielomianu|Stopniem wielomianu]]'' (niezerowego) nazywa się największy stopień wyrazu i oznacza symbolem <math>\deg</math><ref group="uwaga">Niekiedy stosuje się również oznaczenie <math>\operatorname{st}</math> (od ''stopień'').</ref>. Jeżeli istnieje tylko jeden wyraz o najwyższym stopniu, to współczynnik przy nim stojący nazywa się ''najstarszym'' lub ''wiodącym''. ''Wielomian unormowany'' (bądź ''moniczny'', od ang. ''monic'') to wielomian, którego najstarszy współczynnik jest równy jedności.

== Zarys ==
Dla niezerowych wielomianów <math>f, g</math> zachodzą zależności:
: <math>\deg(f + g) \leqslant \max(\deg f, \deg g),</math>
: <math>\deg(fg) = \deg f + \deg g</math><ref group="uwaga">Ta równość w [[Pierścień (matematyka)|pierścieniu z dzielnikami zera]] staje się nierównością.</ref>.

=== Przykład ===
[[Wyrażenie algebraiczne|Wyrażenie]]
: <math>-5x^2y</math>

jest wyrazem. Jego współczynnikiem jest <math>-5,</math> zmiennymi są <math>x</math> oraz <math>y,</math> przy czym stopień zmiennej <math>x</math> wynosi dwa, zaś zmiennej <math>y</math> równy jest jeden. Stopniem całego wyrazu jest suma stopni zmiennych, stąd stopień powyższego wyrazu równy jest 3. Może więc być on traktowany jako jednomian, a zatem i wielomian.

Wielomian jest sumą wyrazów. Następujące wyrażenie jest wielomianem:
: <math>\underbrace{3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{wyraz}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{wyraz}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{wyraz}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}.</math>

Zwykle wielomian jednej zmiennej przedstawia się w postaci, w której wyrazy wyższego stopnia stoją przed wyrazami niższego. Powyższy wielomian składa się z trzech wyrazów, jest więc trójmianem: pierwszy z nich jest drugiego stopnia, drugi – pierwszego stopnia, a trzeci ma stopień zerowy. Pierwszy wyraz, który zawiera zmienną <math>x</math> o wykładniku <math>2,</math> ma współczynnik 3. Napis <math>-5x</math> oznacza <math>+ (-5)x,</math> a więc współczynnikiem środkowego wyrazu jest <math>-5,</math> nie zaś <math>5.</math> Trzeci wyraz jest wolny. Ponieważ stopień niezerowego wielomianu dany jest jako największy ze wszystkich stopni wyrazów, to powyższy wielomian ma stopień równy dwa.

=== Postać ===
Ogólnie każde wyrażenie, które można przekształcić w wielomian za pomocą podstawowych własności działań ([[Przemienność|przemienności]], [[Łączność (matematyka)|łączności]] i [[Rozdzielność|rozdzielności]]) uważane jest za wielomian. Przykładowo wyrażenie <math>(x+1)^3</math> jest wielomianem, ponieważ można je przekształcić do postaci <math>x^3 + 3x^2 + 3x + 1.</math> Podobnie
: <math>\frac{x^3}{12}</math>

uważane jest za poprawny wyraz wielomianu. Chociaż zawiera dzielenie, to jest ono równoważne <math>\tfrac{1}{12}x^3,</math> gdzie <math>\tfrac{1}{12}</math> jest stałą, może więc pełnić rolę współczynnika. W ogólności jednak dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną nie tworzy wielomianu. Na przykład
: <math>\frac{1}{x^2 + 1}</math>

nie jest wielomianem, podobnie
: <math>(5 + y)^x,</math>

gdyż ma wykładnik zawierający zmienną.

Ponieważ [[odejmowanie]] może być traktowane jak dodawanie [[Liczba przeciwna|liczby przeciwnej]], a [[potęgowanie]] o [[Liczby naturalne|naturalnym]] wykładniku jako wielokrotne [[mnożenie]], wielomiany mogą być tworzone ze stałych i zmiennych wyłącznie za pomocą dwóch działań: dodawania i mnożenia.

Każdy wielomian można przekształcić do postaci beznawiasowej wykonując wszystkie możliwe działania na wyrażeniach algebraicznych, nazywana jest ona czasem ''postacią kanoniczną''. Każdy wielomian jednej zmiennej jest równoważny z wielomianem postaci:
: <math>a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0.</math>

== Funkcje wielomianowe ==
'''Wartością''' wielomianu nazywa się wartość otrzymaną po podstawieniu danej liczby w miejsce zmiennej (lub tylu liczb w miejsce zmiennych ile ich jest w przypadku wielomianów wielu zmiennych) w wielomianie i wykonanie wszystkich dodawań i mnożeń w wielomianie (tzw. [[ewaluacja]]).

Przyporządkowanie każdej liczbie odpowiadającej jej wartości wielomianu jest pewną [[Funkcja|funkcją]]. Oznacza to, że dowolny wielomian wyznacza pewną funkcję zwaną '''funkcją wielomianową'''. W skończonych ciałach jednej funkcji wielomianowej może odpowiadać więcej niż jeden wielomian<ref group="uwaga">Funkcji <math>X\to X,</math> gdzie zbiór <math>X</math> ma <math>N</math> elementów, jest <math>N^N,</math> zaś wielomianów o współczynnikach z tego zbioru jest przeliczalnie wiele.</ref>. Np. w pierścieniu wielomianów <math>\mathbf F_3[x]</math> wielomiany <math>x^3+2x, \ \ x^5+2x, \ \ x^4+2x^2</math> wyznaczają tę samą funkcję wielomianową.

Analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcja <math>f</math> jednej zmiennej nazywana jest funkcją wielomianową, jeżeli:
: <math>f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0</math>
: co w skrócie można zapisać w postaci
:: <math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</math>
dla wszystkich argumentów <math>x,</math> gdzie <math>n</math> jest liczbą naturalną, a <math>a_0, a_1, \dots, a_n</math> są stałymi współczynnikami. Niekiedy obliczenie wartości wielomianu można przeprowadzić efektywniej za pomocą tzw. [[Schemat Hornera|schematu Hornera]]:
: <math>((\dots(a_n x + a_{n-1})x + \ldots + a_2)x + a_1)x + a_0.</math>

Przykładowo funkcja <math>f</math> ze zbioru [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] w siebie zdefiniowana wzorem
: <math>f(x) = x^3 - x</math>

jest jednoargumentową funkcją wielomianową. Można również zdefiniować wieloargumentowe funkcje wielomianowe za pomocą wielomianów wielu zmiennych, np.
: <math>f(x, y)= 2x^3 + 4x^2y + xy^5 + y^2 - 7.</math>

Do najważniejszych, a zarazem najprostszych funkcji wielomianowych zalicza się [[Funkcja stała|funkcję stałą]], [[Funkcja liniowa|funkcję liniową]], [[Funkcja kwadratowa|funkcję kwadratową]] (nazywaną popularnie ''trójmianem kwadratowym''). Funkcje wielomianowe są ważną klasą [[Funkcja regularna|funkcji gładkich]]. W [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]] pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie<ref group="uwaga">W pierścieniu nieskończonym bez [[Dzielnik zera|dzielników zera]] każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.</ref>. Jednak w algebrze bywa to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu [[Arytmetyka modularna#Definicja|Z<sub>2</sub>]] wielomiany <math>x^2</math> i <math>x</math> definiują te same funkcje, gdyż <math>0^2=0</math> oraz <math>1^2=1.</math>

=== Równania wielomianowe ===
{{Zobacz też|równanie liniowe|równanie kwadratowe|równanie sześcienne|równanie czwartego stopnia}}'''Równanie wielomianowe''' to [[równanie]], w którym przyrównywane są dwa wielomiany. Wielomiany uważa się za równe, jeżeli mają one równe współczynniki przy odpowiadających sobie wyrazach. Przykładem równania może być
: <math>3x^2 + 4x - 5 = 0.</math>

W przypadku równań wielomianowych zmienna uważana jest za [[Niewiadoma|niewiadomą]], a zadaniem jest znalezienie wszystkich możliwych wartości dla których obie strony równania przyjmują tę samą wartość (w ogólności może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie). Równanie wielomianowe może być przeciwstawione '''tożsamościom wielomianowym''', takim jak <math>(x + y)(x - y) = x^2 - y^2,</math> gdzie obie strony przedstawiają ten sam wielomian pod różnymi postaciami, dlatego też jakiekolwiek obliczenie wartości obu stron zawsze da równość.

Równanie, w którym wielomian jednej zmiennej jest przyrównywany do zera, nazywa się [[Równanie algebraiczne|równaniem algebraicznym]]. Przykładem może być powyższe równanie wielomianowe. W strukturach uporządkowanych, takich jak [[liczby rzeczywiste]], czy [[Liczby wymierne|wymierne]], ale nie [[Liczby zespolone|zespolone]], można również rozpatrywać [[Nierówność#Nierówność algebraiczna|nierówności algebraiczne]].

== Działania ==
* Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem.
* [[Pochodna formalna|Pochodna wielomianu]] jest wielomianem
*: <math>\left(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0\right)' = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1.</math>
* [[Funkcja pierwotna]] ([[całka]]) wielomianu jest wielomianem
*: <math>\int\!\left(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0\right)dx = \tfrac{a_n}{n+1} x^{n+1} + \tfrac{a_{n-1}}{n} x^n + \ldots + a_0 x + c.</math>

=== Dodawanie i mnożenie ===
Dodawanie i mnożenie wielomianów zapisanych w postaci uporządkowanej można wykonywać w postaci analogicznej do dodawania i mnożenia liczb w [[System liczbowy|pozycyjnym systemie liczbowym]]. Przykład dodawania dwóch wielomianów:
: {| cellspacing="0"
|- align="right"
|
| <math>3x^6</math>
| <math>-2x^5</math>
| <math>+8x^4</math>
| <math>+8x^3</math>
| <math>-3x^2</math>
| <math>+7x</math>
| <math>+1</math>
|- align="right"
| <math>+\quad{}</math>
|style="border-bottom:1px solid black"|
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>4x^5</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>+x^4</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>+9x^3</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>-12x^2</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>+6x</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>-5</math>
|- align="right"
|
| <math>3x^6</math>
| <math>+2x^5</math>
| <math>+9x^4</math>
| <math>+17x^3</math>
| <math>-15x^2</math>
| <math>+13x</math>
| <math>-4</math>
|}
Przykład mnożenia dwóch wielomianów:
: {| cellspacing="0"
|- align="right"
|
|
| <math>-2x^3</math>
| <math>+5x^2</math>
| <math>+6x</math>
| <math>-3</math>
|- align="right"
|
| <math>\cdot\quad{}</math>
|style="border-bottom:1px solid black"|
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>+3x^2</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>+x</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>-4</math>
|- align="right"
|
|
| <math>8x^3</math>
| <math>-20x^2</math>
| <math>-24x</math>
| <math>+12</math>
|- align="right"
|
| <math>-2x^4</math>
| <math>+5x^3</math>
| <math>+6x^2</math>
| <math>-3x</math>
|
|- align="right"
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>-6x^5</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>+15x^4</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>+18x^3</math>
|style="border-bottom:1px solid black"| <math>-9x^2</math>
|style="border-bottom:1px solid black"|
|style="border-bottom:1px solid black"|
|- align="right"
| <math>-6x^5</math>
| <math>+13x^4</math>
| <math>+31x^3</math>
| <math>-23x^2</math>
| <math>-27x</math>
| <math>+12</math>
|}

=== Dzielenie ===
{{Zobacz też|funkcja wymierna|twierdzenie o dzieleniu z resztą|o2=dzielenie z resztą}}Iloraz dwóch wielomianów nie musi być wielomianem, jednak każdy wielomian <math>f</math> można przedstawić w postaci
: <math>f = gh + r,</math>

gdzie <math>g,h,r</math> są wielomianami, przy czym stopień wielomianu <math>r</math> jest mniejszy niż stopień <math>g</math> i wielomiany <math>h</math> oraz <math>r</math> są jednoznacznie wyznaczone.

Operacja ta jest równoważna dzieleniu wielomianu <math>f</math> przez <math>g</math> z resztą. Jeżeli reszta <math>r</math> jest wielomianem zerowym, to:
* mówi się, że wielomian <math>f</math> jest ''podzielny'' przez <math>g</math><ref name="epwn-ow">{{Encyklopedia PWN | id = 3959017 | tytuł = podzielność wielomianów | data dostępu = 2024-05-22 }}</ref>;
* <math>g</math> nazywa się ''dzielnikiem'' wielomianu <math>f.</math>

Algorytm dzielenia wielomianów z resztą jest analogiczny do dzielenia [[Liczby całkowite|liczb całkowitych]] z resztą. Algorytmem, który zakończy się z całą pewnością, jest [[algorytm Euklidesa]], bywa on również wykorzystywany do wyznaczania ''[[Największy wspólny dzielnik|największego wspólnego dzielnika]]'', <math>\operatorname{nwd},</math> dwóch wielomianów, czyli wielomianu jak najwyższego stopnia, który dzieli oba z nich; <math>\operatorname{nwd}</math> wyznaczony jest w tym przypadku z dokładnością do stałej<ref group="uwaga">Stałej niezerowej; dokładniej, [[Element odwracalny|elementu odwracalnego]] w zbiorze współczynników.</ref>.

[[Twierdzenie Bézouta]] mówi, że <math>a</math> jest pierwiastkiem wielomianu <math>f(x)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f</math> jest podzielny przez <math>x-a.</math> Stąd w przypadku dzielenia przez dwumian postaci <math>x-a</math> często stosuje się również [[schemat Hornera]].

Iloraz wielomianów nazywany jest '''[[Wyrażenie wymierne|wyrażeniem wymiernym]]''', zaś funkcję go realizującą nazywa się '''[[Funkcja wymierna|funkcją wymierną]]'''. Oto przykład
: <math>\frac{2x^3+8x-4}{4x^2-3x}.</math>

Wyrażenia wymierne (funkcje wymierne) pełnią względem wielomianów (funkcji wielomianowych) rolę podobną do [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] względem [[Liczby całkowite|liczb całkowitych]].

Wielomian <math>x^2 - 9</math> jest podzielny przez <math>x + 3,</math> jego ilorazem jest <math>x - 3.</math>

== Pierwiastki ==
'''Pierwiastek''' wielomianu <math>f(x)</math> to taka liczba <math>a,</math> dla której dwumian <math>x-a</math> dzieli bez reszty wielomian <math>f.</math> '''[[Miejsce zerowe|Miejscem zerowym]]''' funkcji wielomianowej nazywa się taką wartość zmiennej (lub wartości zmiennych w przypadku wielomianu wielu zmiennych), dla której wartość funkcji wielomianowej wynosi 0, innymi słowy jest to rozwiązanie równania algebraicznego. Zbiór miejsc zerowych funkcji wielomianowej pokrywa się ze zbiorem pierwiastków odpowiadającego jej wielomianu, o czym mówi [[twierdzenie Bézouta]].

''Stopniem'' równania algebraicznego nazywa się stopień wielomianu niezerowego. Istnieją wzory pozwalające rozwiązać każde równanie stopnia [[Równanie liniowe|pierwszego]], [[Równanie kwadratowe|drugiego]], [[Równanie sześcienne|trzeciego]] i [[Równanie czwartego stopnia|czwartego]]. Udowodniono, że efektywne znalezienie rozwiązań równań wyższych stopni przez wykorzystanie podstawowych działań arytmetycznych wraz z pierwiastkowaniem na ogół nie jest możliwe ([[twierdzenie Abela-Ruffiniego]]).

=== Krotność ===
'''Krotnością''' pierwiastka <math>a</math> wielomianu <math>f(x)</math> nazywa się największą liczbę naturalną <math>k</math> taką, że wielomian <math>f</math> dzieli się bez reszty przez wielomian <math>(x-a)^k.</math> Jeżeli pierwiastek ma krotność równą co najmniej 2, to zwykle nazywa się go ''wielokrotnym'' (''dwu-'', ''trzy-'', ''cztero-'', ''pięciokrotnym'' itd.), jeżeli wynosi ona 1, nazywa się go ''jednokrotnym''.

Jeżeli <math>a</math> jest (co najmniej) dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu <math>f,</math> to <math>a</math> jest także pierwiastkiem [[Pochodna formalna|pochodnej]] <math>f'</math> wielomianu <math>f.</math> [[Twierdzenie odwrotne]] nie jest prawdziwe{{fakt|data=2022-01}}.

=== Rozkład na czynniki ===
Wszystkie wielomiany jednej zmiennej o rzeczywistych lub zespolonych współczynnikach mogą być przedstawione w postaci iloczynu zespolonych wielomianów liniowych:
: <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 = a_n (x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n).</math>

gdzie <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math> są pierwiastkami wielomianu. Liczba iloczynów jest równa sumie krotności wszystkich pierwiastków, co wynika z [[Zasadnicze twierdzenie algebry|zasadniczego twierdzenia algebry]] i [[Twierdzenie Bézouta|twierdzenia Bézouta]].

Wielomian rzeczywisty jednej zmiennej można rozłożyć na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwyżej drugiego stopnia. Czynniki nieliniowe mają wtedy postać <math>x^2 + px + q,</math> przy czym <math>p^2 < 4q.</math> Każdy taki czynnik odpowiada dwóm [[Sprzężenie|sprzężonym]] pierwiastkom [[Liczby zespolone|zespolonym]]. Nie istnieje podobna reguła dla wielomianów wymiernych.

[[Rozkład na czynniki]] przeprowadza się zwykle jednym z następujących sposobów:
* za pomocą [[Wzory skróconego mnożenia|wzorów skróconego mnożenia]],
* znajdując pierwiastek i wykorzystując [[twierdzenie Bézouta]];
* wykorzystując wzory [[Leopold Kronecker|Kroneckera]] i [[Charles Hermite|Hermite’a]] (dla dowolnych wielomianów), bądź ich uogólnienia dane przez [[Felix Klein|Kleina]].

; Przykład
Wielomian
: <math>x^3 + x^2 - x - 1</math>

można zapisać w postaci
: <math>(x + 1)^2 (x - 1),</math>

stąd <math>-1</math> jest pierwiastkiem dwukrotnym, zaś <math>1</math> pierwiastkiem jednokrotnym tego wielomianu.

=== Szukanie pierwiastków ===
Oprócz rozkładu na czynniki istnieje szereg metod ułatwiających wyznaczanie pierwiastków danego wielomianu. Niżej, tam gdzie wspomina się o liczbie pierwiastków, stosowana będzie konwencja mówiąca, iż równa jest ona sumie krotności wszystkich pierwiastków wielomianu.
* [[Zasadnicze twierdzenie algebry]]: każdy wielomian zespolony stopnia <math>n</math> ma pierwiastek zespolony. Wynika z tego, że każdy wielomian zespolony ma dokładnie <math>n</math> pierwiastków zespolonych.
* Pierwiastki zespolone wielomianu rzeczywistego występują jako pary liczb wzajemnie sprzężonych.
* Wielomian rzeczywisty stopnia <math>n</math> ma <math>n</math> pierwiastków rzeczywistych lub o parzystą liczbę mniej; w szczególności, wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty.
* [[Twierdzenie Sturma]] pozwala wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w przedziale <math>(a, b).</math>
* [[Twierdzenie Hurwitza]] pozwala rozstrzygnąć, czy wszystkie pierwiastki wielomianu rzeczywistego leżą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej.
* Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu całkowitego: jeżeli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego o niezerowym wyrazie wolnym, to jest ona [[dzielnik]]iem wyrazu wolnego<ref group="uwaga">Jeśli <math>c</math> jest pierwiastkiem wielomianu <math>a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0,</math> to <math>c(a_n c^{n-1} + \ldots + a_2 x + a_1) = -a_0</math> (skoro <math>a_0 \ne 0,</math> to również <math>c \ne 0</math>) skąd <math>a_n c^{n-1} + \ldots + a_2 x + a_1 = -a_0/c;</math> lewa strona jest całkowita (z założenia), zatem prawa również, czyli <math>a_0</math> istotnie jest dzielnikiem <math>c.</math></ref>.
* Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego: jeżeli ułamek nieskracalny <math>\tfrac{p}{q} \in \mathbb Q</math> jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego, to <math>p</math> jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz <math>q</math> jest dzielnikiem współczynnika wiodącego<ref group="uwaga">Wniosek z powyższego twierdzenia – należy rozważyć wielomian pomnożony przez <math>q.</math></ref>.
* [[Wzory Viète’a]] łączą pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami.
* Dla dowolnego wielomianu <math>f</math> wielomian <math>\frac{f}{\operatorname{NWD}(f, f')}</math> jest wielomianem mającym te same pierwiastki co wyjściowy, lecz wszystkie są jednokrotne.
* [[Rugownik]] dwóch wielomianów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólny pierwiastek.
* Reguła [[René Descartes|Kartezjusza]]: liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2. Zamieniając <math>x</math> na <math>-x</math> można oszacować liczbę ujemnych pierwiastków; przykładowo wielomian
*: <math>x^3 + x^2 - x - 1</math>
: ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni – zmiana znaku występuje przy przejściu od współczynnika przy drugim wyrazie do współczynnika przy trzecim.

== Wykresy ==
[[Plik:Polynomialdeg2.svg|mały|300px|Funkcja wielomianowa stopnia 2: <math>\begin{align}f(x)={}&x^2-x-2\\={}&(x+1)(x-2)\end{align}</math>]]
[[Plik:Polynomialdeg3.svg|mały|300px|Funkcja wielomianowa stopnia 3: <math>\begin{align}f(x)={}&\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}x-2\\={}&\frac{1}{4}(x+4)(x+1)(x-2)\end{align}</math>]]
[[Plik:Polynomialdeg4.svg|mały|300px|Funkcja wielomianowa stopnia 4: <math>\begin{align}f(x)={}&\frac{1}{14}(x+4)(x+1)\\\cdot\ &(x-1)(x-3)+0{,}5\end{align}</math>]]
[[Plik:Polynomialdeg5.svg|mały|300px|Funkcja wielomianowa stopnia 5: <math>\begin{align}f(x)={}&\frac{1}{20}(x+4)(x+2)\\\cdot\ &(x+1)(x-1)(x-3)+2\end{align}</math>]]

W [[Układ współrzędnych kartezjańskich|prostokątnym układzie współrzędnych]]:
* Wykres przecina on pionową oś w punkcie <math>(0, a_0),</math> gdzie <math>a_0</math> to wyraz wolny tego wielomianu;
* Wielomian zerowy i wielomian stopnia zerowego posiadają wykres będący [[Prosta|prostą]] równoległą do poziomej osi;
* Wykresem wielomianu stopnia pierwszego jest prosta o współczynniku kierunkowym równym najstarszemu współczynnikowi wielomianu;
* Wykresem wielomianu stopnia drugiego lub wyższego jest [[krzywa]] ciągła, niebędąca prostą. Wykresem wielomianu stopnia drugiego jest [[Parabola (matematyka)|parabola]].
* W odciętej, gdzie pierwiastek wielomianu jest parzystokrotny, krzywa jest styczna do poziomej osi. W przeciwnym przypadku, krzywa przecina poziomą oś układu współrzędnych.

Wykresy wielomianów można badać używając metod analizy matematycznej (przecięcia z osiami, [[Punkt przegięcia|punkty przegięcia]], wypukłość, zachowanie w nieskończoności itd.)

== Zastosowania ==
=== Analiza matematyczna ===
Wielomiany ze względu na swoje „silne” własności ([[Funkcja ciągła|ciągłość]], [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalność]]) odgrywają ważną rolę w [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]].

Wielomiany służą przybliżaniu ([[Aproksymacja|aproksymacji]]) funkcji. Do ważniejszych wyników w tej dziedzinie należą:
* [[Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa|Twierdzenie Weierstrassa]]: każdą funkcję ciągłą na [[Przedział (matematyka)|przedziale domkniętym]] można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.
* [[Wielomiany ortogonalne|Układy wielomianów ortogonalnych]] takie jak [[wielomiany Czebyszewa]] i [[Wielomiany Legendre’a|Legendre’a]].

=== Analiza numeryczna ===
Mając dany dowolny <math>n+1</math>-elementowy zbiór punktów <math>\{(x_0, y_0), (x_1,y_1), \dots, (x_n, y_n)\}</math> w którym <math>x_i</math> są parami różne, istnieje wielomian stopnia co najwyżej <math>n</math> którego wykres przechodzi przez te punkty. Zagadnienie znalezienia tego wielomianu nazywa się [[Interpolacja wielomianowa|interpolacją wielomianową]]. Interpolacja może służyć do przybliżania funkcji wielomianami.

Wielomian interpolacyjny istnieje dokładnie jeden. W szczególności wynika stąd, że jeśli dwa wielomiany stopnia nie większego od <math>n</math> przyjmują takie same wartości w <math>n+1</math> punktach to są równe.

Do interpolowania można używać [[Interpolacja wielomianowa#Wielomian Lagrange'a|postaci Lagrange’a]] i [[Postać Newtona wielomianu|postaci Newtona]].

=== Algebra liniowa ===
W ujęciu [[Algebra liniowa|algebry liniowej]] każdy wielomian jest [[Kombinacja liniowa|kombinacją liniową]] [[Funkcja potęgowa|funkcji potęgowych]] postaci <math>x \mapsto x^k,</math> gdzie <math>k = 0, 1, 2, \dots</math> Zbiór wielomianów rzeczywistych lub urojonych jest [[Podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] przestrzeni wszystkich funkcji określonych odpowiednio na <math>\mathbb R</math> lub <math>\mathbb C.</math> [[Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa]] mówi, że [[Pierścień wielomianów|przestrzeń wielomianów]] jest [[Zbiór gęsty|zbiorem gęstym]] w [[Przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] <math>C\left([a, b]\right)</math> z [[Przestrzeń unormowana|normą supremum]].

Ważnym obiektem związanym z pojęciami [[macierz]]y oraz [[Przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] jest ich [[wielomian charakterystyczny]].

=== Algorytmika ===
Naiwny algorytm obliczenia wartości wielomianu w punkcie wymaga <math>1 + 2 + \ldots + n = \Theta(n^2)</math> mnożeń (zob. [[asymptotyczne tempo wzrostu]]). Zapisując wielomian w postaci:
: <math>a_0 + x (a_1 + x (\dots x (a_{n-1} + a_n x)\dots))</math>

potrzebny czas skraca się do <math>\Theta(n).</math> Powyższy sposób obliczania, nazywany [[Schemat Hornera|schematem Hornera]], może służyć również do szybkiego dzielenia wielomianu przez [[dwumian]] <math>x-a.</math> Po znalezieniu pierwiastka równania można dzięki temu szybko obniżyć jego stopień.

Naiwny algorytm mnożenia dwóch wielomianów stopnia <math>n</math> wymaga czasu <math>\Theta(n^2).</math> Za pomocą [[Szybka transformacja Fouriera|szybkiej transformaty Fouriera]] (FFT) czas ten można zmniejszyć do <math>\Theta(n \log n).</math> Mówiąc w uproszczeniu, algorytm mnożenia wpierw przedstawia czynniki za pomocą listy ich wartości w zespolonych pierwiastkach z 1 (ewaluacja), dokonuje mnożenia i powraca do pierwotnej postaci (interpolacja).

== Uogólnienia ==
=== Szeregi potęgowe ===
Zniesienie ograniczenia dotyczącego liczby wyrazów prowadzi do pojęcia [[Szereg potęgowy|szeregu potęgowego]]. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy (często ich istotność wynika właśnie z tego faktu), co ułatwia badanie ich własności. Przykładowo [[funkcja wykładnicza]] <math>\exp(x)</math> ma rozwinięcie:
: <math>\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots</math>

Każdy wielomian będący wynikiem wzięcia pewnej skończonej liczby (zwykle początkowych) wyrazów tej sumy jest przybliżeniem funkcji. Rozwijanie funkcji w szeregi jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są [[Funkcje elementarne|elementarne]] (zob. [[funkcje specjalne]]).

=== Pierścienie wielomianów ===
{{Zobacz też|pierścień wielomianów}}

Inną możliwością jest zdefiniowanie wielomianów jako skończonych napisów formalnych, w których współczynniki wzięte są z dowolnego [[Pierścień (matematyka)|pierścienia]]. Tego typu napisy dla ''porządnych'' pierścieni umożliwiają nawet uprawianie analizy, gdzie wiele pojęć zdefiniowanych jest także formalnie ([[Pochodna formalna|pochodna]], [[Funkcja pierwotna|pierwotna]] wielomianu).

=== Inne ===
Kolejnym uogólnieniem jest [[szereg formalny]] będący połączeniem dwóch powyższych możliwości.

Pójściem w innym kierunku jest przyzwolenie na wyrazy o wykładnikach [[Liczby całkowite|całkowitych]], a nie tylko naturalnych – wielomiany takie nazywa się [[Wielomian Laurenta|wielomianami Laurenta]]. Rozszerzenie wielomianów Laurenta w sposób podobny do rozszerzenia zwykłych wielomianów do szeregów potęgowych nazywa się [[Szereg Laurenta|szeregiem Laurenta]].

== Zobacz też ==
{{Siostrzane projekty
 |commons = Polynomial
 |słownik = wielomian
 |books   = Matematyka dla liceum/Wielomiany
}}
* [[wielomiany trygonometryczne]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Opial |imię = Zdzisław |autor link = Zdzisław Opial |tytuł = Algebra wyższa |rok = 1974 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]]}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Cormen |imię = Thomas H. |nazwisko2 = Leiserson |imię2 = Charles E. |nazwisko3 = Rivest |imię3 = Ronald L. |nazwisko4 = Stein |imię4 = Clifford |tytuł = Wprowadzenie do algorytmów |rok = 2005 |data = 2005 |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |isbn = 83-204-3149-2 |rozdział = ''Wielomiany i FFT''}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Dobrowolska |imię = Małgorzata |nazwisko2 = Karpiński |imię2 = Marcin |nazwisko3 = Lech |imię3 = Jacek |tytuł = Matematyka II: podręcznik dla liceum i technikum |miejsce = Gdańsk |rok = 2008 |strony = 39 |wydawca = [[Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe]]}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} Artykuły na Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-23]:
** ''[https://zpe.gov.pl/a/wielomiany/DhUXgn2kW Wielomiany]'';
** Michał Niedźwiedź, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/D1AZgTfJG Wielomian jednej zmiennej]'';
** Michał Niedźwiedź, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DZhd2ibQx Wielomian wielu zmiennych]''.
* {{otwarty dostęp}} ''[http://smurf.mimuw.edu.pl/uczesie/?q=wielomiany Wielomiany]'', serwis „Uczę się”, [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego]] (MIM UW), smurf.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-05-23].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/playlist?list=PLUchO7GuOkaAhw94TRdUkcppinFUDc4EE Algebra – wprowadzenie do wielomianów]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]] [dostęp 2024-05-23].
* {{otwarty dostęp}} Wiktor Bartol, ''[https://www.youtube.com/watch?v=EiY9oK26KRU Wielomiany – o pierwiastkach i nie tylko]'', [[Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej]] (MiNI [[Politechnika Warszawska|PW]]), kanał „Archipelag Matematyki” na [[YouTube]], 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=uIeHBfpCb-w Liczby zespolone cz. VII. Wielomiany]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = Polynomial | tytuł = Polynomial }} [dostęp 2024-03-07].
** {{MathWorld | adres = HomogeneousPolynomial | tytuł = Homogeneous Polynomial }} [dostęp 2024-09-16].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Polynomial Polynomial]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-03-12].

{{Wielomiany}}
{{Funkcje elementarne}}
{{Teoria grup}}
{{Algebry nad ciałami liczbowymi}}
{{Teoria porządku}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Wielomiany| ]]