Tekst źródłowy strony Wielokąt foremny

[[Plik:Regular polygons qtl1.svg|mały|Przykładowe wielokąty foremne, mające od trzech do ośmiu boków]]

'''Wielokąt foremny''' – [[wielokąt]], który ma wszystkie [[kąt]]y wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3995779 | tytuł = wielokąt | data dostępu = 2024-11-03 }}</ref>.

Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek ''zdegenerowany'', wyglądałby on jak zwykły [[odcinek]], a kąt między bokami wynosiłby&nbsp;0°.

Trójkąt foremny jest określany jako [[trójkąt równoboczny]], czworokąt foremny – jako [[kwadrat]].

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk [[Carl Friedrich Gauss]], który w [[1801]] odkrył, że <math>n</math>-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego [[cyrkiel|cyrkla]] i [[linijka|linijki]] (tzw. [[konstrukcje klasyczne]]) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n</math> jest liczbą postaci <math>2^k p_1 p_2 \dots p_s,</math> gdzie <math>p_1, p_2, \dots, p_s</math> są różnymi [[liczby Fermata|liczbami pierwszymi Fermata]]. Twierdzenie to jest dziś znane jako [[twierdzenie Gaussa-Wantzela]].

Wszystkie wielokąty foremne są [[Zbiór wypukły|figurami wypukłymi]]. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobne]].

== Wzory ==
Przyjęte oznaczenia:
: <math>n</math> – liczba boków wielokąta foremnego,
: <math>a</math> – długość jednego boku wielokąta.

* Wzór na miarę [[kąt wewnętrzny|kąta wewnętrznego]] (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:
: <math>\gamma=\frac{\pi(n-2)}{n} \mathrm{ rad} \,\! = \frac{180^\circ\cdot(n-2)}{n}.</math>

* Wzór na miarę [[kąt środkowy|kąta środkowego]] (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
: <math>\beta=\frac{2\pi}{n} \mathrm{ rad} \,\!=\frac{360^\circ}{n}.</math>

* Wzór na [[promień (geometria)|promień]] [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]] na wielokącie foremnym:
: <math>R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{cosec}\frac{\pi}{n}.</math>

* Wzór na promień [[okrąg wpisany|okręgu wpisanego]] w wielokąt foremny:
: <math>r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}.</math>

* Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
: <math>\begin{align}
a &= 2\sqrt{R^2-r^2} \\
&= 2R \sin \frac{\pi}{n} \\
&= 2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{n}.
\end{align}</math>

* Wzór na [[obwód (geometria)|obwód]] wielokąta foremnego:
: <math>L=n \cdot a.</math>

* Wzory na [[pole powierzchni]] wielokąta foremnego:
: <math>\begin{align}
S &= \frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n} \\
&= \frac{nar}{2} \\
&= nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n} \\
&= nR^2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n} \\
&= \frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}.
\end{align}</math>

* Wzór na długości [[przekątna|przekątnych]] wielokąta foremnego:
: <math>d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},</math>

: gdzie <math>k\in\mathbb{N},\ 1\leqslant k\leqslant n-3.</math>

* Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
: <math>\gamma=\frac{\pi}{n} \mathrm{ rad} \,\!=\frac{180^\circ}{n}.</math>

== Tabela wielokątów foremnych ==
Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.
{| class="wikitable"
|-
! Nazwa
! Ilustracja
! Liczba boków
! [[Kąt wewnętrzny|Miara kąta wewnętrznego]]
! [[Konstrukcje klasyczne|Konstruowalny<br>cyrklem i linijką?]]
|-
|align=center| [[Trójkąt równoboczny]]
|align=center| [[Plik:Regular triangle.svg|40px]]
|align=center| 3
|align=center| <math>60^\circ</math>
|align=center| {{tak}}
|-
|align=center| [[Kwadrat]]
|align=center| [[Plik:Regular quadrilateral.svg|40px]]
|align=center| 4
|align=center| <math>90^\circ</math>
|align=center| {{tak}}
|-
|align=center| [[Pięciokąt]] foremny
|align=center| [[Plik:Regular pentagon.svg|40px]]
|align=center| 5
|align=center| <math>108^\circ</math>
|align=center| {{tak}}
|-
|align=center| [[Sześciokąt]] foremny
|align=center| [[Plik:Regular hexagon.svg|40px]]
|align=center| 6
|align=center| <math>120^\circ</math>
|align=center| {{tak}}
|-
|align=center| [[Siedmiokąt]] foremny
|align=center| [[Plik:Regular heptagon.svg|40px]]
|align=center| 7
|align=center| <math>{128\tfrac{4}{7}}^\circ</math>
|align=center| {{nie}}
|-
|align=center| [[Ośmiokąt]] foremny
|align=center| [[Plik:Regular octagon.svg|40px]]
|align=center| 8
|align=center| <math>135^\circ</math>
|align=center| {{tak}}
|-
|align=center| [[Dziewięciokąt foremny]]
|align=center| [[Plik:Regular nonagon.svg|40px]]
|align=center| 9
|align=center| <math>140^\circ</math>
|align=center| {{nie}}
|-
|align=center| [[Dziesięciokąt foremny]]
|align=center| [[Plik:Regular decagon.svg|40px]]
|align=center| 10
|align=center| <math>144^\circ</math>
|align=center| {{tak}}
|}

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|wielokąt foremny}}
* [[wzór Picka]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = RegularPolygon | tytuł = Regular Polygon }} [dostęp 2024-11-03].

{{Wielokąty}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Wielokąty foremne| ]]