Tekst źródłowy strony Wielkość (arytmetyka odcinków)

[[Plik:Geometrie exemple2.png|thumb|Jedna z konstrukcji arytmetyki odcinków; fragment oryginalnej pracy Kartezjusza (1637)]]
'''Wielkość''' ('''wielkość geometryczna''') – archaiczne pojęcie matematyczne, stanowiące w XVII-wiecznej [[arytmetyka odcinków (Kartezjusz)|arytmetyce odcinków]] pomost pomiędzy geometrią a algebrą.

__SPIS__

W matematyce od czasów starożytnych (np. ''[[Elementy]]'' [[Euklides]]a) aż do XVIII wieku (np. ''[[Geometria (Kartezjusz)|Geometria]]'' [[René Descartes|Kartezjusza]]) [[algebra]] była ściśle związana z interpretacją [[geometria|geometryczną]]{{odn|Kartezjusz|s=206}}, co spowalniało rozwój algebry{{odn|Kartezjusz|s=291}}. Dla ówczesnych matematyków rozwiązaniami równań były [[odcinek|odcinki]], a własności algebraiczne były dowodzone poprzez odpowiednie konstrukcje geometryczne{{odn|Kartezjusz|s=291}}. Ujęcie to sformalizował Kartezjusz w ''Geometrii'', definiując [[arytmetyka odcinków (Kartezjusz)|arytmetykę odcinków]]{{odn|Kartezjusz|s=146–165}}.

W matematyce starożytnej słowo ''wielkość'' (''μεγενος'') oznaczało zarówno: odcinek, figurę, bryłę oraz kąt{{odn|Kartezjusz|s=206}}.

W matematyce XVII-wiecznej ''wielkość'' (''quantité'') była pojęciem pomiędzy geometrią a algebrą. ''Wielkość'' w ujęciu arytmetyki odcinków oznaczała odcinek, ale oprócz tego wielkość mogła być rozwiązaniem równania wielomianowego{{odn|Kartezjusz|s=206}}. Stąd rozwiązaniami równań nie były liczby ani długości odcinków, lecz odcinki rozumiane jako ''wielkości''{{odn|Kartezjusz|s=206}}. Jednak, oprócz najbardziej klasycznego rozumienia ''wielkości'' jako odcinka, równorzędnie występowały również pojęcia takie jak np. ''wielkość powierzchni'', ''wielkość kątów''{{odn|Kartezjusz|s=206}}.

Takie ujęcie ''wielkości'' (jako odcinka) przyczyniło się do wprowadzenia nowych oznaczeń{{odn|Kartezjusz|s=206}}. Podczas gdy zwykłe odcinki już od czasów starożytnych oznaczano dwiema dużymi literami, np. <math>AB,</math> <math>CD,</math> odcinki będące ''wielkościami'' oznaczano małymi literami początku alfabetu, np. <math>a,</math> <math>b,</math> gdy były „znane”, oraz końca alfabetu, np. <math>x,</math> <math>y,</math> gdy były „nieznane”{{odn|Kartezjusz|s=206}}.

Np. w ''Geometrii'' Kartezjusza niewiadoma <math>x</math> równania algebraicznego jest nazywana ''wielkością <math>x</math>'', co zgadza się z założeniem, że rozwiązaniem problemu jest odcinek{{odn|Kartezjusz|s=206}}.

== Wartość wielkości ==
René Descartes (w ''[[Geometria (Kartezjusz)|Geometrii]]'') wprowadził również pojęcie ''wartości wielkości'', którego używa w kontekście rozwiązywania równań{{odn|Kartezjusz|s=206}}. Definiuje je następująco:
{{Cytat
 |treść = Wiedząc, że w każdym równaniu, ile nieznana wielkość<ref group="uwaga">''Quantité''.</ref> ma wymiarów, tyle może być różnych pierwiastków, to znaczy wartości<ref group="uwaga>''Valeurs''.</ref> tej wielkości.
 |autor = 
 |źródło = {{odn|Kartezjusz|s=372}}
 |styl = środek
}}

== Ujemne wielkości ==
[[Plik:Wallis1.png|thumb|Fragment oryginalnej pracy Wallisa (1685), w którym wyjaśniana jest natura liczb ujemnych]]
Ponieważ ówczesne rozumienie liczby nie dopuszczało liczb ujemnych (wielkość była odcinkiem, a odcinek nie może mieć ujemnej długości, zatem niewiadomej <math>x</math> nie może być przypisana ''wartość'' ujemna), a ujemne wielkości pojawiały się w obliczeniach matematycznych, Kartezjusz musiał podjąć specjalne zabiegi językowe{{odn|Kartezjusz|s=206}}{{odn|Kartezjusz|s=290, 291}}. Wprowadził pojęcie ''[[fałszywy pierwiastek|fałszywego pierwiastka]]''{{odn|Kartezjusz|s=206}}.
{{Cytat
 |treść = Zdarza się jednak często, że niektóre z pierwiastków są fałszywe lub mniejsze od niczego; jeśli zakładamy, że <math>x</math> określa również brak wielkości <math>5,</math> wtedy otrzymujemy: <math>x+5=0,</math> które będąc pomnożone przez <math>x^3-9xx+26x-24=0,</math> daje <math>x^4-4x^3-19xx+106x-120=0</math> równanie z czterema pierwiastkami, mianowicie z trzema prawdziwymi <math>2,3,4,</math> oraz jednym fałszywym <math>5.</math>
 |autor = 
 |źródło = {{odn|Kartezjusz|s=372}}
 |styl = środek
}}

Interpretacja ''wielkości'' jako odcinka, a czasem także figury płaskiej, bryły i kąta, stanowiła problem w zrozumieniu liczb ujemnych{{odn|Kartezjusz|s=291}}. [[Arytmetyka odcinków (Kartezjusz)|Arytmetyka odcinków Kartezjusza]] stanowiła istotny krok w uwalnianiu się od tej interpretacji, sprowadzając operacje na różnych ''wielkościach'' (w ujęciu antycznym) do operacji na odcinkach (''wielkościach'' w ujęciu Kartezjusza){{odn|Kartezjusz|s=291}}, a pojęcie ''fałszywego pierwiastka'' było początkiem pojmowania liczb ujemnych przez matematyków.

Jednak przełomu w pokonywaniu trudności związanych z pojęciem ''wielkości ujemnych'' dokonał dopiero [[John Wallis]] w dziele ''Treatise of Algebra'' (1685){{odn|Kartezjusz|s=291}}.

{{Cytat
 |treść =
Niemożliwe jest, aby dowolna wielkość (...) była ujemna. Nie jest bowiem możliwe, aby wielkość była mniejsza od niczego, czy aby liczba była mniejsza niż nic. Jednakże założenie o wielkościach ujemnych, gdy tylko poprawnie rozumiane, nie jest ani absurdalne, ani nieużyteczne. (...)

Dla przykładu przyjmijmy, że mężczyzna przesunął się do przodu (z A do B) o 5 jardów, a następnie cofnął się (z B do C) o 2 jardy. Wówczas na pytanie, o ile się przesunął (w całym tym marszu), gdy znalazł się w C, albo o ile jardów przesunął się w stosunku do A, odpowiem (odejmując 2 od 5), że przesunął się o 3 jardy (bo <math>+5-2=+3</math>).

[[Plik:Wallis2.png|center|400px]]

Gdy jednak przesunie się o 5 jardów do B, a następnie cofnie o 8 jardów do D i wtedy zapytamy, o ile się przesunął z A, gdy znalazł się w D, to odpowiem, że o -3 jardy (ponieważ <math>+5-8=-3</math>), to znaczy przesunął się w lewo o 3 jardy mniej niż nic. (...) W rezultacie -3 dobrze definiuje punkt C; przy czym nie do przodu, jak się spodziewano, ale do tyłu względem A. Zatem +3 oznacza 3 jardy do przodu, a -3 oznacza 3 jardy do tyłu, ciągle jednak na tej samej linii prostej.
 |autor = 
 |źródło = <ref>John Wallis, ''Treatise of Algebra'', Oxford 1685.</ref> – tłumaczenie: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka
 |styl = środek
}}

Wallis do zobrazowania swojego rozumowania posłużył się osią liczbową (w cytacie powyżej znajduje się skan rysunku z oryginalnej pracy Wallisa z 1685). Fragment ten jest cenny również dlatego, że zawiera prawdopodobnie pierwsze w historii matematyki przedstawienie osi liczbowej{{odn|Kartezjusz|s=292}}.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |autor = Kartezjusz |autor link = René Descartes |tytuł = Geometria |inni = tłum. i kom. Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka |wydawca = TAiWPN UNIWERSITAS |miejsce = Kraków  |data = 2015 |isbn = 978-83-242-2759-4 |odn = {{odn/id|Kartezjusz}}}}

[[Kategoria:Archaiczne pojęcia matematyczne]]