Tekst źródłowy strony Wektory i wartości własne

{{dopracować|wygładzić połączony artykuł; przejść od intuicji przez algebrę liniową po analizę funkcjonalną}}

'''Wektory i wartości własne''' – wielkości opisujące [[przekształcenie liniowe|endomorfizm]] danej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]]; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala [[podobieństwo|podobieństwa]] tych wektorów.

Najczęściej [[przekształcenie liniowe]] wyraża się jako [[macierz]], która działa na [[wektor]]y; wówczas stosuje się nazwy ''wektor własny macierzy''<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Wektor własny macierzy | id = 4010388 | data dostępu = 2021-07-21}}</ref>, ''wartość własna macierzy''. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o ''stanach własnych operatora'', ''funkcjach własnych funkcjonału'' itp.

== Definicje ==
Niech <math>X</math> będzie [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K,</math> zaś <math>\mathrm T</math> oznacza pewien jej [[endomorfizm]], tzn. [[przekształcenie liniowe]] tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego [[wektor zerowy|niezerowego]] wektora <math>x</math> przestrzeni spełniony jest warunek
: <math>\mathrm Tx = \lambda x,</math>

gdzie <math>\lambda</math> jest pewnym [[skalar (matematyka)|skalarem]], to <math>x</math> nazywa się '''wektorem własnym'''<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Wektor własny przekształcenia liniowego | id = 4948765| data dostępu = 2021-07-21}}</ref>, a <math>\lambda</math> nazywa się '''wartością własną''' przekształcenia <math>\mathrm T</math><ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Wartość własna | id = 4010386| data dostępu = 2021-07-21}}</ref>.

Danej wartości własnej <math>\lambda</math> operatora <math>\mathrm T</math> odpowiada zbiór
: <math>X_\lambda(T) = \{x\in X\colon Tx = \lambda x\},</math>

który jest [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] przestrzeni <math>X.</math> Jest ona nazywana '''podprzestrzenią własną''' odpowiadającą wartości własnej <math>\lambda,</math> gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora <math>\mathrm T.</math> Jej [[baza (przestrzeń liniowa)|wymiar]] nazywa się '''wielokrotnością''' lub '''krotnością geometryczną''' wartości własnej <math>\lambda.</math>

Często zakłada się, że <math>K</math> jest ciałem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] bądź [[liczby zespolone|zespolonych]], zaś na <math>X</math> określona jest [[przestrzeń liniowo-topologiczna|topologia liniowa]]. W zastosowaniach (np. [[równanie różniczkowe|równania różniczkowe]]) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na [[przestrzeń Banacha|przestrzeniach Banacha]], [[przestrzeń Hilberta|Hilberta]] itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że <math>X</math> jest pewną przestrzenią Banacha, a <math>\mathrm T\colon X\to X</math> jest ustalonym operatorem liniowym i [[funkcja ciągła|ciągłym]].

== Własności ==
* Jeżeli <math>\mathrm T</math> jest [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|samosprzężonym]] operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta <math>X,</math> to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są [[ortogonalność|ortogonalne]].
* Jeżeli <math>\lambda \in K</math> jest wartością własną operatora <math>\mathrm T,</math> to <math>|\lambda|\leqslant \|\mathrm T\|</math> (założenie [[przestrzeń zupełna|zupełności]] przestrzeni jest tu nieistotne).
* Liczba <math>\lambda \in K</math> jest wartością własną operatora <math>\mathrm T</math> wtedy i tylko wtedy, gdy operator <math>\mathrm T_\lambda = \lambda I-T</math> nie jest [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowy]].
* Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są [[liniowa niezależność|liniowo niezależne]].
* Jeśli macierz <math>\mathbf A</math> potraktować jako [[macierz przekształcenia liniowego]] pewnej przestrzeni liniowej <math>V,</math> to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
* Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi <math>V,</math> to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

== Przykłady ==
=== Przestrzenie skończenie wymiarowe ===
{{osobny artykuł|widmo macierzy}}
Przekształcenie liniowe <math>\mathrm A</math> skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi [[baza (przestrzeń liniowa)|bazami]] można przedstawić za pomocą [[macierz]]y <math>\mathbf A</math> nazywanej [[macierz przekształcenia liniowego|macierzą przekształcenia liniowego]].

Endomorfizmowi <math>\mathrm A</math> na skończeniewymiarowej przestrzeni <math>X</math> odpowiada macierz kwadratowa <math>\mathbf A,</math> a jego wartości własne <math>w_\mathbf A(\lambda)</math> są [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastkami]] [[wielomian charakterystyczny|wielomianu charakterystycznego]] tej macierzy.
: <math>w_\mathbf A(\lambda) = \det(\mathbf A - \lambda \mathbf I),</math>

gdzie <math>\mathbf I</math> jest [[macierz jednostkowa|macierzą jednostkową]].

Mając wartości własne <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> można obliczyć odpowiadające im wektory własne <math>\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n</math> rozwiązując równania postaci
: <math>(\mathbf A - \lambda_i \mathbf I) \cdot \mathbf x_i = 0</math>

ze względu na wektory <math>\mathbf x_i.</math>

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy '''[[widmo (matematyka)|widmo punktowe]]''' operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o ''widmie macierzy''. Jeżeli macierz <math>\mathbf A</math> jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są [[liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]]. [[macierz transponowana|Transponowanie macierzy]] nie zmienia jej wartości własnych.

=== Równanie całkowe jednorodne Fredholma ===
{{osobny artykuł|jądro operatora całkowego|równanie całkowe Fredholma}}
Niech <math>X = L^2(a,b)</math> będzie [[przestrzeń Lp|przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a]] na przedziale <math>(a, b)</math> oraz niech <math>K(s, t)</math> będzie [[funkcja całkowalna|funkcją całkowalną z kwadratem]] w zbiorze
: <math>Q = (a,b) \times (a,b).</math>

Można wykazać, że odwzorowanie <math>\mathrm T\colon X\to X,</math> dane wzorem
: <math>(Tx)(s) = \int\limits_a^bK(s,t)x(t)dt,</math>

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy <math>K(s, t) = \overline{K(t, s)},</math> to <math>\mathrm T</math> jest [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|operatorem samosprzężonym]], a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

== Zobacz też ==
* [[diagonalizacja]]
* [[postać Jordana]]
* [[równanie własne]]
* [[wartość własna układu]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Musielak |imię = Julian |autor link = Julian Musielak |tytuł = Wstęp do analizy funkcjonalnej |miejsce = Warszawa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok = 1976}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Szymon Charzyński, ''[https://www.youtube.com/watch?v=tx2Z79Bn1qo Wprowadzenie do wartości własnych i wektorów własnych]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 21 grudnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=TKjwzbzqWZo Przekształcenia liniowe cz. V. Wartości własne i wektory własne]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].

{{Przekształcenia liniowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Wektory]]
[[Kategoria:Obiekty określone dla macierzy kwadratowych]]
[[Kategoria:Endomorfizmy liniowe]]
[[Kategoria:Analiza spektralna]]