Tekst źródłowy strony Wektor

{{Inne znaczenia|pojęcia nauk ścisłych|[[wektor (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego wyrazu]]}}
[[Plik:Wektor by Zureks.svg|thumb|250px|Ilustracja wektora]]
'''Wektor'''{{u|łac}} – [[obiekt matematyczny]] opisywany za pomocą wielkości: ''modułu'' (nazywanego też – zdaniem niektórych niepoprawnie – ''długością''{{u|dłu}} lub ''wartością''{{u|brzezowski}}), ''kierunku'' wraz ze ''zwrotem'' (określającym orientację wzdłuż danego kierunku); istotny przede wszystkim w [[matematyka|matematyce]] elementarnej, [[inżynieria|inżynierii]] i [[fizyka|fizyce]].

Wiele [[działanie algebraiczne|działań algebraicznych]] na [[liczby rzeczywiste|liczbach rzeczywistych]] ma swoje odpowiedniki dla wektorów: mogą być one [[dodawanie|dodawane]], [[odejmowanie|odejmowane]], [[Mnożenie|mnożone]] przez liczbę i [[Inwersja (geometria)|odwracane]]. Operacje te spełniają znane prawa algebraiczne: [[przemienność|przemienności]], [[łączność (matematyka)|łączności]], [[Rozdzielność|rozdzielności]] (odejmowanie traktowane jest jako szczególny przypadek dodawania). Suma dwóch wektorów o tym samym początku może być znaleziona geometrycznie za pomocą [[reguła równoległoboku|reguły równoległoboku]]. Mnożenie przez liczbę, w tym kontekście nazywaną zwykle ''[[skalar (matematyka)|skalarem]]'', zmienia moduł wektora, tzn. rozciąga go lub ściska zachowując jego kierunek oraz jeżeli liczba jest dodatnia zachowuje zwrot, a gdy ujemna zmienia [[zwrot wektora]].

[[Układ współrzędnych kartezjańskich|Współrzędne kartezjańskie]] są spójnym środkiem opisu wektorów i operacji na nich. Wektor staje się [[Para uporządkowana#Trójki, czwórki, …, n-ki uporządkowane|ciągiem]] liczb rzeczywistych nazywanymi ''składowymi'' skalarnymi. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar są wykonywane składowa po składowej (zob. [[przestrzeń współrzędnych]]).

Wektory odgrywają ważną rolę w [[fizyka|fizyce]]: [[prędkość]] oraz [[przyspieszenie]] poruszającego się obiektu oraz [[siła]] działająca na ciało mogą być opisane za pomocą wektorów. Wiele innych [[wielkość fizyczna|wielkości fizycznych]] może być rozpatrywanych jako wektory. Matematyczna reprezentacja wektora fizycznego zależy od [[układ współrzędnych|układu współrzędnych]] wykorzystanego do jego opisu. Inne obiekty podobne wektorom, które opisują wielkości fizyczne i ulegają przekształceniom w podobny sposób wraz ze zmianą układu współrzędnych to [[pseudowektor]]y i [[tensor]]y.

== Ogólne ==
[[Plik:Vector AB from A to B.svg|thumb|Wektor z ''A'' do ''B'']]

Wielkościami charakteryzującymi wektory są: moduł (w matematyce liczba nieujemna, a w fizyce [[wymiar wielkości fizycznej|liczba nieujemna pomnożona przez jednostkę]]) oraz kierunek wraz ze zwrotem. Graficznie przedstawia się je często jako [[odcinek]] o wyróżnionym kierunku, zwykle jako strzałkę, której długość symbolizuje moduł, kierunek odpowiada kierunkowi prostej zawierającej odcinek i zwrot, który wskazuje grot strzałki.

W [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] wektory można rozumieć dwojako:
* jako dowolne odcinki (kierunek i moduł) z wyróżnioną kolejnością punktów końcowych (zwrot)<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Wektor | id = 4010387 | data dostępu = 2021-07-21}}</ref>, takie wektory nazywa się '''wektorami zaczepionymi''';
* jako sam kierunek wraz ze zwrotem oraz modułem, przy czym punkt początkowy (zaczepienia) nie jest istotny, wtedy mówi się o '''wektorach swobodnych'''.

Każdy wektor zaczepiony można przekształcić w wektor swobodny, „zapominając” o jego początku, a każdy wektor swobodny w zaczepiony, wskazując konkretny punkt zaczepienia wektora (kierunek, zwrot i moduł wyznaczają wtedy punkt końcowy).

Wektor o ''początku'' (''punkcie zaczepienia'') w <math>A</math> i ''końcu'' (''punkcie końcowym'') w <math>B</math> oznacza się zwykle symbolem <math>\overrightarrow{AB}</math> lub podobnymi. Wówczas długość odcinka opisuje moduł, a kierunek (ze zwrotem) wskazuje [[translacja (matematyka)|przesunięcie]] <math>B</math> względem <math>A,</math> czyli miarę tego, jak bardzo powinno się przesunąć punkt <math>A,</math> aby „przenieść” (zgodnie z etymologią) go do punktu <math>B.</math>

Tak więc dwa wektory zaczepione <math>\overrightarrow{AB}</math> oraz <math>\overrightarrow{CD}</math> dają ten sam wektor swobodny, jeżeli maja ten sam moduł oraz kierunek i zwrot, równoważnie: są one uważane za tożsame, jeżeli czworokąt <math>ABDC</math> jest [[równoległobok]]iem. Jeśli przestrzeń euklidesowa ma wyróżniony [[początek (matematyka)|początek]], to wektor swobodny jest równoważny wektorowi zaczepionemu o tej samej wartości i kierunku (oraz zwrocie), jeżeli jego punkt zaczepienia jest początkiem przestrzeni.

Jeżeli obiekty tego rodzaju należy wyróżnić spośród [[wektor (ujednoznacznienie)|innych rodzajów wektorów]], to nazywane są one niekiedy wektorami '''geometrycznymi''', '''przestrzennymi''' lub '''euklidesowymi'''. Pojęcie wektora uogólnia się na większą liczbę wymiarów i w bardziej abstrakcyjnych podejściach, które mają o wiele szersze zastosowania.

=== Przykłady jednowymiarowe ===
[[Siła]] określona jako „15 N w prawo” ma współrzędną 15 N, o ile wektor bazowy skierowany jest w prawo oraz −15 N, jeżeli wektor bazowy skierowany jest w lewo. Moduł wektora wynosi w obu przypadkach 15 N. [[Przemieszczenie (fizyka)|Przemieszczenie]] określone jako „4 m w prawo” ma współrzędną 4 m, jeśli wektor bazowy skierowany jest w prawo i −4 m, gdy wektor bazowy skierowany jest w lewo. W obu przypadkach długość wektora wynosi 4 m. [[Praca (fizyka)|Praca]] wykonana przez siłę przy tym przemieszczeniu wynosi w obu przypadkach 60 J.

=== Fizyka i inżynieria ===
Wektory są podstawowymi pojęciami w naukach fizycznych. Mogą być wykorzystane do reprezentowania dowolnej wielkości mającej kierunek, takiej jak [[prędkość]], której modułem jest [[szybkość]]. Przykładowo prędkość ''5 metrów na sekundę w górę'' może być przedstawiona jako wektor <math>(0, 5)</math> (w przestrzeni dwuwymiarowej, gdzie oś ''y'' skierowana jest w „górę”). Inną wielkością reprezentowaną przez wektor jest [[siła]], ponieważ ma moduł i kierunek (ze zwrotem). Wektory mogą również opisywać wiele innych wielkości fizycznych takich jak [[przemieszczenie (fizyka)|przemieszczenie]], [[przyspieszenie]], [[pęd (fizyka)|pęd]] oraz [[moment pędu|kręt]]. Inne wektory fizyczne, takie jak [[pole elektryczne]], czy [[pole magnetyczne|magnetyczne]], są reprezentowane przez układ wektorów skojarzonych z każdym punktem przestrzeni fizycznej, to jest [[pole wektorowe]].

=== Przestrzeń kartezjańska ===
{{Osobny artykuł|przestrzeń euklidesowa#Przestrzeń kartezjańska|o1=przestrzeń kartezjańska}}
W [[układ współrzędnych kartezjańskich|układzie współrzędnych kartezjańskich]] wektor może być przedstawiony poprzez wskazanie współrzędnych punktów początkowego i końcowego. Przykładowo, punkty <math>A = (1, 0, 0)</math> oraz <math>B = (0, 1, 0)</math> w przestrzeni określają wektor zaczepiony <math>\overrightarrow{AB}</math> wskazujący z punktu <math>x = 1</math> na osi ''x'' do punktu <math>y = 1</math> na osi ''y''.

Zwykle we współrzędnych kartezjańskich rozważa się wektory swobodne. Jest on zwykle określany przez współrzędne punktu końcowego odpowiadającego mu wektora zaczepionego, którego punkt początkowy jest początkiem układu <math>O = (0, 0, 0).</math> Na przykład wektor swobodny reprezentowany przez <math>(1, 0, 0)</math> jest wektorem długości jednostkowej wskazującym w kierunku dodatnim osi ''x''.

Reprezentacja wektorów za pomocą współrzędnych umożliwia wyrażenie cech algebraicznych wektorów w dogodny liczbowy sposób. Przykładowo sumą wektorów <math>(1, 2, 3)</math> oraz <math>(-2, 0, 4)</math> jest wektor
: <math>(1, 2, 3) + (-2, 0, 4) = (1 - 2, 2 + 0, 3 + 4) = (-1, 2, 7).</math>

=== Wektory euklidesowe i afiniczne ===
W geometrii i fizyce można czasami w naturalny sposób przypisać do wektora ''długość'' (moduł) oraz kierunek. Okazuje się, że pojęcie kierunku jest ściśle związane z pojęciem ''kąta'' między dwoma wektorami. Jeżeli określona jest długość wektorów, to można również określić [[iloczyn skalarny]] – iloczyn dwóch wektorów o wartości skalarnej – który daje wygodną charakteryzację algebraiczną tak długości (pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie), jak i kąta (funkcja iloczynu skalarnego między dowolnymi dwoma wektorami). W trzech wymiarach można określić dodatkowo [[iloczyn wektorowy]], który dostarcza algebraicznej charakteryzacji [[Pole powierzchni|pola]] i [[orientacja (geometria)|orientacji]] w przestrzeni [[równoległobok]]u wyznaczonego za pomocą dwóch wektorów (będących jego bokami).

Nie zawsze jest jednak możliwe lub pożądane określenie długości wektora w naturalny sposób. Jest tak nawet w przypadku najprostszych uogólnień wektorów przestrzennych, tj. elementów abstrakcyjnych rzeczywistych [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych/wektorowych]] (które uogólniają pojęcie wektorów swobodnych) i [[przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznych]] (stanowiących uogólnienie wektorów zaczepionych). Odpowiednikiem długości wektora w przypadku przestrzeni wektorowych może być dowolna [[Przestrzeń unormowana|norma]] (lub [[Przestrzeń unormowana#Pseudonorma. Przestrzeń pseudounormowana|pseudonorma]], jak w przypadku [[Przestrzeń Minkowskiego|przestrzeni Minkowskiego]]) określona na tej przestrzeni.

=== Uogólnienia ===
W fizyce, jak i matematyce, wektor jest często utożsamiany z [[Para uporządkowana#Trójki, czwórki, …, n-ki uporządkowane|krotką]], czyli listą liczb, która uzależniona jest od pewnego pomocniczego układu współrzędnych lub [[układ odniesienia|układu odniesienia]] (ang. ''reference frame''). Jeżeli współrzędne są przekształcane, np. poprzez obrót lub rozciąganie, to składowe wektora również ulegają przekształceniu. Sam wektor nie zmienia się, lecz zmienia się jego układ odniesienia, tak więc jego składowe (czyli miary wzięte względem danego układu odniesienia) również muszą się zmienić, aby odzwierciedlić wspomnianą zmianę. Wektor nazywany jest ''kowariantym'' bądź ''kontrawariantnym'' w zależności od wzajemnego wpływu na siebie przekształcenia składowych wektora oraz przekształcenia współrzędnych. Zobacz [[kowariancja i kontrawariancja wektorów]]. [[Tensor]]y są kolejnym rodzajem wielkości zachowującym się w ten sposób; w rzeczywistości wektor jest szczególnym przypadkiem tensora.

W czystej matematyce wektor to dowolny element [[przestrzeń liniowa|przestrzeni wektorowej (liniowej)]] nad pewnym [[ciało (matematyka)|ciałem]], który często przedstawiany jest jako [[Przestrzeń współrzędnych|wektor współrzędnych]]. Wektory opisane w tym artykule są szczególnym przypadkiem tej definicji, ponieważ są kontrawariantne względem otaczającej przestrzeni. Pojęcie kontrawariancji ujmuje intuicję fizyczną stojącą za ideą wektora mającego „moduł i kierunek”.

== Reprezentacje ==
[[Plik:Vector from A to B.svg|mały|Strzałka wektora wskazująca z ''A'' do ''B'']]
[[Plik:Notation for vectors in or out of a plane.svg|thumb|Z lewej: wektor wskazujący za diagram, od widza. Z prawej: wektor wskazujący przed diagram, w kierunku widza. Można utożsamić odpowiednio z lotkami strzały i jej grotem.]]
[[Plik:Plane Cartesian vector.png|thumb|Wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej przedstawiający położenie punktu ''A'' o współrzędnych (2, 3).]]
[[Plik:Spatial vector.png|mały]]

Wektory oznaczane są zwykle pogrubioną małą literą, np. <math>\mathbf a,</math> czasami dodatkowo pochyloną, np. <math>a</math> (dużymi literami oznacza się często [[macierz]]e). Inne konwencje obejmują przypadki <math>\vec{a}</math> lub <math>\underline a,</math> szczególnie przy piśmie odręcznym. Niekiedy korzysta się z [[tylda|tyldy]] (~) lub falistego podkreślenia pod symbolem, które są konwencją oznaczania pogrubienia. Jeżeli wektor reprezentuje skierowaną [[odległość]] lub [[przemieszczenie (fizyka)|przemieszczenie]] z punktu <math>A</math> do <math>B</math> (zob. rysunek), to oznacza się go czasami jako <math>\overrightarrow{AB}</math> lub <math>\underline{AB}.</math> Z symbolu daszka (^) korzysta się zwykle do oznaczenia [[Wektor jednostkowy|wersorów]] (wektorów jednostkowych, czyli wektorów o długości jednostkowej), np. <math>\boldsymbol{\hat a}.</math>

Wektory przedstawia się zwykle na wykresach czy diagramach jako strzałki (skierowane [[odcinek|odcinki]]), jak pokazano na rysunku. Tutaj punkt <math>A</math> nazywany jest ''początkiem'', ''ogonem'', ''podstawą'', ''punktem zaczepienia'' lub ''punktem początkowym''; punkt <math>B</math> nazywa się ''głową'', ''końcem'', ''punktem końcowym''. Długość strzałki jest proporcjonalna do [[wielkość (matematyka)|wielkości]] wektora, a kierunek wskazywany przez strzałkę określa kierunek (i zwrot) wektora.

Niekiedy konieczne jest zaznaczenie wektora [[prostopadłość|prostopadłego]] do [[płaszczyzna|płaszczyzny]] dwuwymiarowego diagramu. Wektory te przedstawia się za pomocą małych okręgów. Okrąg z kropką w środku (Unicode U+2299 ⊙) oznacza wektor wskazujący przed diagram, w kierunku widza. Kółko z wpisanym w niego krzyżykiem (Unicode U+2297 ⊗) oznacza wektor wskazujący za diagram, w kierunku od widza. O symbolach tych można myśleć jak o oglądaniu ostrza [[grot (broń)|grotu]] [[strzała|strzały]] od przodu oraz oglądaniu [[statecznik (lotnictwo)|lotki]] strzały od tyłu.

Reprezentacja wektorowa bywa nieporęczna przy prowadzeniu obliczeń za pomocą wektorów. Wektory w <math>n</math>-wymiarowej przestrzeni euklidesowej mogą być przedstawione w [[układ współrzędnych kartezjańskich|układzie współrzędnych kartezjańskich]]. Punkt końcowy może być utożsamiony z uporządkowaną listą <math>n</math> liczb rzeczywistych ([[Para uporządkowana#Trójki, czwórki, …, n-ki uporządkowane|''n''-tką]]). Przykładowo w dwóch wymiarach (zob. rysunek) wektor z początku <math>O = (0, 0)</math> do punktu <math>A = (2, 3)</math> zapisuje się zwykle jako
: <math>\mathbf a = (2, 3).</math>

Domyślnie przyjmuje się, że punkt zaczepienia wektora pokrywa się w tym wypadku z początkiem, dlatego też wyraźne zaznaczenie punktu zaczepienia w <math>\overrightarrow{OA}</math> uważa się za zbędne i rzadko się z niego korzysta.

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (lub <math>\mathbb R^3</math>) wektory utożsamiane są z trójkami liczb odpowiadającym współrzędnym kartezjańskim punktu końcowego <math>(a, b, c),</math>
: <math>\mathbf a = (a, b, c).</math>

Liczby te układa się często w [[Przestrzeń współrzędnych|wektor kolumnowy]] lub [[Przestrzeń współrzędnych|wektor wierszowy]], w szczególności jeżeli rozpatruje się dodatkowo [[macierz]]e, np.:
: <math>\mathbf a = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix},</math>
: <math>\mathbf a = \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}.</math>

Innym sposobem zapisu wektora trójwymiarowego jest wprowadzenie trzech wektorów [[baza standardowa|bazy standardowej]]:
: <math>\mathbf e_1 = (1, 0, 0),\; \mathbf e_2 = (0, 1, 0),\; \mathbf e_3 = (0, 0, 1).</math>
Mają one intuicyjną interpretację wektorów długości jednostkowej wskazujących odpowiednio w kierunku rosnącym osi ''x'', ''y'' oraz ''z'' [[układ współrzędnych kartezjańskich|układu współrzędnych kartezjańskich]], czasami określa się je jako [[Wektor jednostkowy|wersory]] tych osi. Za ich pomocą można przedstawić dowolny wektor z <math>\mathbb R^3</math> w postaci:
: <math>(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a\mathbf e_1 + b\mathbf e_2 + c\mathbf e_3.</math>

Niekiedy w nauczaniu początkowym fizyki te trzy szczególne wektory są oznaczane jako <math>\boldsymbol i, \boldsymbol j, \boldsymbol k</math> (bądź <math>\boldsymbol{\hat x}, \boldsymbol{\hat y}, \boldsymbol{\hat z}</math>), ale taki zapis koliduje z [[Konwencja sumacyjna Einsteina|konwencją sumacyjną]] wykorzystywaną w wyższych matematyce i fizyce oraz inżynierii.

Wykorzystanie wersorów kartezjańskich, takich jak <math>\boldsymbol{\hat x}, \boldsymbol{\hat y}, \boldsymbol{\hat z},</math> jako [[baza (przestrzeń liniowa)|bazy]] w której wyrażony jest wektor nie jest obowiązkowe. Wektory można również przedstawić za pomocą [[układ współrzędnych walcowych|walcowych]] wektorów jednostkowych <math>\boldsymbol{\hat r}, \boldsymbol{\hat\theta}, \boldsymbol{\hat z}</math> lub [[układ współrzędnych sferycznych|sferycznych]] wektorów jednostkowych <math>\boldsymbol{\hat r}, \boldsymbol{\hat \theta}, \boldsymbol{\hat \phi}.</math> Dwa ostatnie sposoby są dogodniejsze podczas rozwiązywania problemów mających odpowiednio symetrię cylindryczną, bądź sferyczną.

== Podstawowe własności ==
W tej sekcji wykorzystywany jest [[układ współrzędnych kartezjańskich]] z wektorami bazowymi
: <math>\mathbf e_1 = (1, 0, 0),\; \mathbf e_2 = (0, 1, 0),\; \mathbf e_3 = (0, 0, 1),</math>
przy czym przyjmuje się, że wszystkie wektory mają początek układu za wspólny punkt zaczepienia. Wektor <math>\mathbf a</math> będzie zapisywany jako
: <math>\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3.</math>

=== Równość ===
Dwa wektory są równe, jeżeli mają równe wartości i kierunki (wraz ze zwrotami). Równoważnie będą one równe, jeśli odpowiadające współrzędne tych wektorów będą równe. Tak więc dwa wektory
: <math>\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3.</math>
oraz
: <math>\mathbf b = b_1\mathbf e_1 + b_2\mathbf e_2 + b_3\mathbf e_3.</math>
są równe, jeżeli
: <math>a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2,\quad a_3 = b_3.</math>

=== Dodawanie i odejmowanie ===
Suma wektorów <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> to wektor dany wzorem
: <math>\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1)\mathbf e_1 + (a_2 + b_2)\mathbf e_2 + (a_3 + b_3)\mathbf e_3.</math>

Dodawanie może być przedstawione graficznie jako umieszczenie punktu początkowego strzałki <math>\mathbf b</math> w punkcie końcowym strzałki <math>\mathbf a,</math> a następnie narysowanie strzałki od punktu początkowego <math>\mathbf a</math> do punktu końcowego <math>\mathbf b.</math> Narysowana strzałka przedstawia wektor <math>\mathbf a + \mathbf b</math> jak pokazano niżej:

[[Plik:Vector addition.svg|center|250px|Dodawanie dwóch wektorów '''a''' oraz '''b''']]

Ten sposób dodawania nazywana jest niekiedy ''metodą równoległoboku'', ponieważ <math>\mathbf a</math> i <math>\mathbf b</math> są bokami [[równoległobok]]u, a <math>\mathbf a + \mathbf b</math> jest jedną z jego przekątnych. Jeżeli <math>\mathbf a</math> i <math>\mathbf b</math> są wektorami zaczepionymi o tym samym punkcie zaczepienia, to będzie on również punktem zaczepienia <math>\mathbf a + \mathbf b.</math> Można sprawdzić geometrycznie, iż <math>\mathbf a + \mathbf b = \mathbf b + \mathbf a</math> oraz <math>(\mathbf a + \mathbf b) + \mathbf c = \mathbf a + (\mathbf b + \mathbf c).</math>

Różnica <math>\mathbf a</math> i <math>\mathbf b</math> dana jest jako
: <math>\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1)\mathbf e_1 + (a_2 - b_2)\mathbf e_2 + (a_3 - b_3)\mathbf e_3.</math>

Odejmowanie dwóch wektorów może być zdefiniowane geometrycznie w następujący sposób: aby odjąć <math>\mathbf b</math> od <math>\mathbf a</math> należy umieścić początki <math>\mathbf a</math> i <math>\mathbf b</math> w tym samym punkcie, a następnie narysować strzałkę od punktu końcowego <math>\mathbf b</math> do punktu końcowego <math>\mathbf a.</math> Strzałka ta reprezentuje wektor <math>\mathbf a - \mathbf b</math> jak pokazano niżej:

[[Plik:Vector subtraction.svg|center|125px|Odejmowanie dwóch wektorów '''a''' oraz'''b''']]

=== Mnożenie przez skalar ===
[[Plik:Scalar multiplication by r=3.svg|thumb|Mnożenie skalarne wektora o współczynniku 3 rozciąga wektor.]]

Wektor może być również pomnożony lub prze''skalowany'' za pomocą [[liczby rzeczywiste]]j <math>r.</math> W kontekście [[analiza wektorowa|standardowej algebry wektorów]] liczby te nazywane są często '''skalarami''' (od ''skalowania''), aby odróżnić je od wektorów. Działanie mnożenia wektora przez skalar nazywane jest czasem ''mnożeniem skalarnym''. Wektor wynikowy to
: <math>r\mathbf a = (r a_1)\mathbf e_1 + (r a_2)\mathbf e_2 + (r a_3)\mathbf e_3.</math>

Intuicyjnie mnożenie przez skalar <math>r</math> rozciąga wektor o współczynnik równy <math>r.</math> Geometrycznie może to być przedstawione (przynajmniej w przypadku, gdy <math>r</math> jest całkowite) przez umieszczenie <math>r</math> kopii wektora w linii tak, by punkt końcowy jednego wektora był punktem początkowym kolejnego.

Jeżeli <math>r</math> jest ujemne, to zmienia się kierunek (zwrot) wektora: obraca się on o kąt 180°. Niżej znajdują się dwa przykłady (dla <math>r = -1</math> i <math>r = 2</math>):

[[Plik:Scalar multiplication of vectors2.svg|center|250px|Mnożenia skalarne 2'''a''' oraz –'''a''' wektora '''a''']]

Mnożenie przez skalar jest [[Rozdzielność|rozdzielne]] względem dodawania wektorów następującym sensie:
: <math>r(\mathbf a + \mathbf b) = r\mathbf a + r\mathbf b</math> dla dowolnych wektorów <math>\mathbf a, \mathbf b</math> oraz wszystkich skalarów <math>r.</math>
Można pokazać, że <math>\mathbf a - \mathbf b = \mathbf a + (-1)\mathbf b.</math>

=== Długość ===
'''Długość''', '''moduł''' lub '''[[przestrzeń unormowana|norma]]''' wektora <math>\mathbf a</math> oznaczana jest symbolem <math>\|\mathbf a\|</math> lub rzadziej <math>|\mathbf a|,</math> której nie powinno się mieszać z [[wartość bezwzględna|wartością bezwzględną]] („normą” skalarną). Niekiedy nazywa się ją także niepoprawnie '''wartością wektora'''{{u|brzezowski}}.

Długość wektora <math>\mathbf a</math> może być obliczona za pomocą [[przestrzeń unormowana#Norma euklidesowa|normy euklidesowej]],
: <math>\|\mathbf a\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2},</math>
co jest konsekwencją [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]], ponieważ wektory bazowe <math>\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3</math> są [[ortogonalność|ortogonalnymi]] wektorami jednostkowymi.

Okazuje się, że jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]] wektora przez siebie:
: <math>\|\mathbf a\| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}.</math>

=== Iloczyn skalarny ===
{{Osobny artykuł|iloczyn skalarny}}
'''Iloczyn skalarny''' dwóch wektorów <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> (czasami nazywany '''[[przestrzeń unitarna|iloczynem wewnętrznym]]''') oznaczany symbolem <math>\mathbf a \cdot \mathbf b</math> określony jest jako:
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \|\mathbf a\| \|\mathbf b\| \cos \theta,</math>
gdzie <math>\theta</math> jest rozwartością [[kąt]]a między <math>\mathbf a</math> a <math>\mathbf b</math> (zob. [[funkcje trygonometryczne]], aby uzyskać wyjaśnienie cosinusa). Geometrycznie oznacza to, że <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> są kreślone z tego samego punktu początkowego, a następnie długość <math>\mathbf a</math> jest mnożona przez długość składowej <math>\mathbf b</math> wskazującej w tym samym kierunku, co <math>\mathbf a.</math>

Iloczyn skalarny może być zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych każdego wektora jak następuje:
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.</math>

=== Wektor jednostkowy ===
{{Osobny artykuł|wersor}}
[[Plik:Vector normalization.svg|thumb|Normalizowanie wektora '''a''' do wektora jednostkowego '''â''']]

'''Wektor jednostkowy''' lub '''wersor''' to dowolny wektor o długości jeden; zwykle korzysta się z nich do wskazywania kierunku (zwrotu). Wektor dowolnej długości może być podzielony przez jego długość tak, by stał się wektorem jednostkowym. Operacja ta znana jest jako '''normalizowanie''' bądź '''normalizacja''' wektora. Wektor jednostkowy oznaczany jest często za pomocą daszka, np. <math>\mathbf{\hat a}.</math>

Aby znormalizować wektor <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math> należy przeskalować go przez odwrotność jego długości <math>\|\mathbf a\|,</math> tzn.
: <math>\mathbf{\hat a = \frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|} = \frac{a_1}{\|\mathbf a\|}\mathbf e_1 + \frac{a_2}{\|\mathbf a\|}\mathbf e_2 + \frac{a_3}{\|\mathbf a\|}\mathbf e_3}</math>

=== Wektor zerowy ===
{{Osobny artykuł|wektor zerowy}}
'''Wektor zerowy''' to wektor o długości zero. Zapisany za pomocą współrzędnych ma postać <math>(0, 0, 0).</math> Zapisuje się go zwykle jako <math>\vec 0,</math> <math>\mathbf 0</math> lub po prostu <math>0.</math> W przeciwieństwie do pozostałych wektorów nie ma on kierunku i nie może być znormalizowany (to znaczy nie ma wektora jednostkowego, który byłby wielokrotnością wektora zerowego). Suma wektora zerowego i dowolnego wektora <math>\mathbf a</math> wynosi <math>\mathbf a,</math> tzn. <math>\mathbf 0 + \mathbf a = \mathbf a.</math>

=== Iloczyn wektorowy ===
[[Plik:Cross product vector.svg|thumb|Ilustracja iloczynu wektorowego.]]
{{Osobny artykuł|iloczyn wektorowy}}

'''Iloczyn wektorowy''' (nazywany również '''iloczynem zewnętrznym''', ang. ''outer product'') ma sens jedynie w trzech wymiarach. Różni się on od iloczynu skalarnego głównie tym, że wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest wektor. Iloczyn wektorowy <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> jest wektorem prostopadłym tak do <math>\mathbf a,</math> jak i do <math>\mathbf b</math> i jest zdefiniowany jako

: <math>\mathbf a \times \mathbf b = \|\mathbf a\| \|\mathbf b\| \sin(\theta)\,\mathbf n,</math>
gdzie <math>\theta</math> jest rozwartością kąta między <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b,</math> a <math>\mathbf n</math> jest wektorem jednostkowym [[prostopadłość|prostopadłym]] jednocześnie do <math>\mathbf a</math> i <math>\mathbf b,</math> który uzupełnia układ [[reguła prawej dłoni|prawoskrętny]]. Ograniczenie prawoskrętności jest niezbędne, ponieważ istnieją ''dwa'' wektory jednostkowe, które są równocześnie prostopadłe do <math>\mathbf a</math> i <math>\mathbf b,</math> mianowicie <math>\mathbf n</math> oraz <math>-\mathbf n.</math>

Iloczyn wektorowy <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> jest określony tak, by <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf a \times \mathbf b</math> również były układem prawoskrętnym (jednakże <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> nie muszą być koniecznie [[ortogonalność|ortogonalne]]). Jest to tzw. [[reguła prawej dłoni]].

Długość <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> może być interpretowana jako pole równoległoboku o bokach <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b.</math>

Iloczyn wektorowy może być zapisany jako
: <math>\mathbf a \times \mathbf b = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf e_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\mathbf e_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf e_3.</math>

Przy wolnym wyborze orientacji przestrzennej (tzn. zezwalając tak na prawoskrętne, jak i lewoskrętne układy współrzędnych) iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest [[pseudowektor]]em, a nie wektorem (zob. niżej).

=== Iloczyn mieszany ===
{{Osobny artykuł|iloczyn mieszany}}
'''Iloczyn mieszany''' w rzeczywistości nie jest nowym działaniem, lecz sposobem stosowania dwóch pozostałych operatorów mnożenia względem trzech wektorów. Iloczyn mieszany, oznaczany niekiedy <math>(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c),</math> zdefiniowany jest jako:
: <math>(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c).</math>

Ma on trzy podstawowe zastosowania:
* wartość bezwzględna tego iloczynu to objętość [[równoległościan]]u o wierzchołkach określonych za pomocą jego czynników;
* jest on równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wektory są [[liniowa niezależność|liniowo zależne]], co można łatwo uzasadnić uwagą, iż trzy wektory które nie mają objętości, muszą leżeć na wspólnej płaszczyźnie;
* jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wektory <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math> są prawoskrętne.

Wyrażony za pomocą składowych (''względem prawoskrętnej bazy ortonormalnej''), myśląc o trzech wektorach ułożonych w wiersze (bądź kolumny, ale z zachowaniem kolejności), iloczyn mieszany jest po prostu [[wyznacznik]]iem 3×3-[[macierz]]y mającej trzy wektory wpisane w rzędy
: <math>(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = \left|\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}\right|.</math>

Iloczyn mieszany jest [[przekształcenie liniowe|liniowy]] względem wszystkich trzech czynników i [[przekształcenie antysymetryczne|antysymetryczny]] w następującym sensie:
: <math>(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = (\mathbf c\; \mathbf a\; \mathbf b) = (\mathbf b\; \mathbf c\; \mathbf a) = -(\mathbf a\; \mathbf c\; \mathbf b) = -(\mathbf b\; \mathbf a\; \mathbf c) = -(\mathbf c\; \mathbf b\; \mathbf a).</math>

=== Różne bazy kartezjańskie ===
Wszystkie dotychczasowe przykłady obejmowały wektory wyrażone za pomocą tej samej bazy, mianowicie <math>\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3.</math> Jednakże wektor może być przedstawiony za pomocą dowolnej liczby różnych baz, które nie muszą do siebie przystawać i nadal pozostaje on tym samym wektorem. Przykładowo dla określonego wcześniej wektora <math>\mathbf a</math> jest
: <math>\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 = u\mathbf n_1 + v\mathbf n_2 + w\mathbf n_3,</math>
gdzie <math>\mathbf n_1, \mathbf n_2, \mathbf n_3</math> stanowią inną bazę ortonormalną niezgodną z <math>\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3.</math> Wartości <math>u, v, w</math> są dobrane tak, by suma wektorów dawała w wyniku dokładnie <math>\mathbf a.</math>

Napotkanie wektorów wyrażonych w różnych bazach nie należy do rzadkości (np. jedna baza jest przypisana do Ziemi, druga do poruszającego się pojazdu). Aby przeprowadzić wiele z określonych wyżej działań należy mieć wektory wyrażone w tej samej bazie. Jednym z prostszych sposobów przedstawienia wektora znanego w jednej bazie za pomocą innej jest wykorzystanie macierzy kolumnowych reprezentującej wektory w każdej z baz oraz trzeciej macierzy zawierającej informacje kojarzące ze sobą dwie bazy. Przykładowo, aby znaleźć wartości <math>u, v, w</math> określające <math>\mathbf a</math> w bazie <math>\mathbf n_1, \mathbf n_2, \mathbf n_3</math> można skorzystać z [[mnożenie macierzy|mnożenia macierzy]] postaci
: <math>\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix},</math>

gdzie każdy element macierzy <math>c_{ij}</math> jest [[cosinus kierunkowy|cosinusem kierunkowym]] wiążącym <math>\mathbf n_i</math> z <math>\mathbf e_j</math>{{r|dynon16}}. Pojęcie ''cosinusa kierunkowego'' odnosi się do [[funkcje trygonometryczne|cosinusa]] kąta między dwoma wektorami jednostkowymi, który równy jest też ich [[#Iloczyn skalarny|iloczynowi skalarnemu]]{{r|dynon16}}.

Oznaczywszy <math>\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3</math> zbiorczo jako bazę <math>\mathbf e</math> oraz <math>\mathbf n_1, \mathbf n_2, \mathbf n_3</math> jako bazę <math>\mathbf n</math> macierz zawierającą wszystkie współczynniki <math>c_{ij}</math> nazywa się '''[[Macierz przekształcenia liniowego|macierzą przejścia]]''' z <math>\mathbf e</math> do <math>\mathbf n,</math> '''[[macierz obrotu|macierzą obrotu]]''' od <math>\mathbf e</math> do <math>\mathbf n</math> (ponieważ można ją sobie wyobrażać jako „obrót” wektora z jednej bazy do innej) lub '''[[cosinus kierunkowy|macierzą cosinusów kierunkowych]]''' z <math>\mathbf e</math> do <math>\mathbf n</math>{{r|dynon16}} (ponieważ zawiera ona cosinusy kierunkowe).

Własnością macierzy obrotu jest to, że jej [[macierz odwrotna]] jest równa do jej [[macierz transponowana|transpozycji]]. Oznacza to, że macierz obrotu z <math>\mathbf e</math> do <math>\mathbf n</math> jest transpozycją macierzy obrotu z <math>\mathbf n</math> do <math>\mathbf e.</math>

=== Pozostałe bazy ===
Baza zastosowanego wyżej [[układ współrzędnych kartezjańskich|układu współrzędnych kartezjańskich]] jest [[baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] [[ortonormalność|ortonormalna]], tzn. wektory bazowe są [[ortogonalność|ortogonalne]], a przy tym [[Wektor jednostkowy|jednostkowe]]. Powyższe wyniki przenoszą się również na pozostałe bazy ortonormalne, takie jak [[układ współrzędnych walcowych|walcowa]] o wektorach jednostkowych <math>\boldsymbol {\hat r}, \boldsymbol{\hat \theta}, \boldsymbol{\hat z}</math> lub [[układ współrzędnych sferycznych|sferyczna]] z wektorami jednostkowymi <math>\boldsymbol {\hat r}, \boldsymbol {\hat \theta}, \boldsymbol {\hat \phi}.</math>

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar również uogólniają się w naturalny sposób, o ile wektory bazowe są [[liniowa niezależność|liniowo niezależne]]. W takich bazach można określić także iloczyn skalarny, jednak traci on swoją interpretację jako długość.

=== Pozostałe wymiary ===
z wyjątkiem iloczynów wektorowego i mieszanego, powyższe wzory uogólniają się na dwa i więcej wymiarów. Na przykład dodawanie uogólnia się na dwa wymiary następująco:
: <math>(a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2) + (b_1\mathbf e_1 + b_2\mathbf e_2) = (a_1 + b_1)\mathbf e_1 + (a_2 + b_2)\mathbf e_2,</math>

a na cztery wymiary:
: <math>\begin{align}(a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + a_4\mathbf e_4) & + (b_1\mathbf e_1 + b_2\mathbf e_2 + b_3\mathbf e_3 + b_4\mathbf e_4) \\ & = (a_1 + b_1)\mathbf e_1 + (a_2 + b_2)\mathbf e_2 + (a_3 + b_3)\mathbf e_3 + (a_4 + b_4)\mathbf e_4\end{align}.</math>

Iloczyn wektorowy uogólnia się na [[Forma różniczkowa#Iloczyn zewnętrzny form. Algebra Zewnętrzna|iloczyn zewnętrzny]] (ang. ''exterior product''), którego wynikiem jest [[p-wektor|biwektor]], który w ogólności nie jest wektorem. W dwóch wymiarach jest to po prostu skalar
: <math>(a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2) \wedge (b_1\mathbf e_1 + b_2\mathbf e_2) = a_1 b_2 - a_2 b_1.</math>

[[Siedmiowymiarowy iloczyn wektorowy]] jest podobny do iloczynu wektorowego w tym, że jego wynik jest siedmiowymiarowym wektorem ortogonalnym do swoich dwóch argumentów.

== Zobacz też ==
{{Siostrzane projekty
 |commons   = Category:Vector mathematics
 |słownik   = wektor
 |wikiwerek = Vectors
}}'''Przestrzenie'''
* [[przestrzeń afiniczna]] (odróżnia wektory od [[punkt (geometria)|punktów]])
* [[przestrzeń Banacha]]
* [[przestrzeń funkcyjna]]
* [[przestrzeń Hilberta]]

'''Wielkości geometryczne:'''
* [[czterowektor]] (w 4-wymiarowej [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]])
* [[Współrzędne krzywoliniowe|kowariancja i kontrawariancja wektorów]]
* [[tensor]]
* [[tensor metryczny]]
* [[układ współrzędnych]]
* [[wektor normalny]]
* [[wektor styczny]]
* [[wiązka wektorowa]]
* [[współrzędne krzywoliniowe]]

'''Obiekty liczbowe'''
* [[kwaterniony]]
* [[liczby zespolone]]

== Uwagi ==
{{Uwagi|
<ref name="brzezowski">Wartość wektora to w matematyce po prostu wektor (np. funkcja o wartościach wektorowych), więc niektórzy dydaktycy postulują niestosowanie tej nomenklatury – zob. [http://www.ptf.agh.edu.pl/SN/brzezowski.pdf opinię (punkt 9)] dra Sławomira Brzezowskiego z UJ, autora podręcznika fizyki do LO z klasy II.</ref>
<ref name="dłu">Długość sugeruje jednostkę długości, podczas gdy wektor może mieć zupełnie inną jednostkę.</ref>
<ref name="łac">Od [[łacina|łac.]] [now.] ''vector'', „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od ''vehere'', „nieść”; ''via'', „droga”.</ref>
}}

== Przypisy ==
{{Przypisy|
<ref name="dynon16">{{cytuj książkę |nazwisko = Kane |imię = Thomas R. |tytuł = Dynamics Online |wydawca = OnLine Dynamics, Inc. |miejsce = Sunnyvale, California |rok = 1996 |strony = 20–22 |rozdział = 1-6 Direction Cosines}}</ref>
}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę | url = http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/vector_identities.pdf | tytuł = Tożsamości wektorowe | opublikowany = wwwppd.nrl.navy.mil | archiwum = https://web.archive.org/web/20120801005307/http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/vector_identities.pdf | zarchiwizowano = 2012-08-01}} {{lang|en}} ([[Portable Document Format|PDF]])

{{Algebra liniowa}}
{{Teoria grup}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Wektory| ]]
[[Kategoria:Geometria]]