Tekst źródłowy strony Wcięcie liniowe w przód

'''Wcięcie liniowe''' lub '''wcięcie długościowe''' – jedno z podstawowych zagadnień geodezyjnych powszechnie stosowane do zagęszczania [[Osnowa geodezyjna|osnów]] poziomych. 

Metoda pozwala wyznaczyć współrzędne pojedynczego szukanego (wcinanego) [[punkt (geometria)|punktu]] ''W''. Wcięcie liniowe jest jednoznacznie wyznaczalne, ponieważ liczba obserwacji ''u'' jest równa liczbie niewiadomych ''n'', którymi są współrzędne (X<sub>W</sub>,Y<sub>W</sub>) punktu wcinanego.

W przypadku gdy punkty '''A''' i '''B''' są punktami [[osnowa geodezyjna|osnowy geodezyjnej]] o znanych współrzędnych geodezyjnych, wówczas wcinany punkt ''W'', po wykonaniu pomiarów i obliczeniu współrzęnych, będzie punktem osnowy niższego rzędu.

== Dane ==
: [[Plik:Wcięcie liniowe 1.svg]]

W celu obliczenia współrzędnych szukanego punktu ''W'', musimy znać współrzędne dwóch innych punktów <math>A=(X_A, Y_A),\ B=(X_B, Y_B)</math> oraz ich [[odległość|odległości]] od szukanego punktu, odpowiednio ''a'' i ''b''.

== Opis metody 1 ==
[[Plik:Wcięcie liniowe 2.svg]]

Obliczamy odległość |AB| ze wzoru: 
{{wzór|<math>c=|AB|=\sqrt{(X_A-X_B)^2+(Y_A-Y_B)^2}</math>|1}}

Obliczamy kąty wewnętrzne <math>\alpha,\ \beta\ i\ \gamma</math> z [[Twierdzenie cosinusów|twierdzenia Carnota (cosinusów)]]:

{{wzór|
<math>
\begin{cases}
 \cos\alpha =\cfrac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}   =\cfrac{C_a}{2bc} \\
 \cos\beta  =\cfrac{\ \ a^2-b^2+c^2}{2ac}=\cfrac{C_b}{2ac} \\
 \cos\gamma =\cfrac{\ \ a^2+b^2-c^2}{2ab}=\cfrac{C_c}{2ab}
\end{cases}
</math>
|2}}

Wyrażenia C<sub>a</sub>, C<sub>b</sub>, C<sub>c</sub> noszą nazwę karnotianów:

{{wzór|
<math>
\begin{cases}
 C_a=-a^2+b^2+c^2 \\
 C_b=\ \ a^2-b^2+c^2 \\
 C_c=\ \ a^2+b^2-c^2
\end{cases}
</math>
|3}}

Suma karnotianów jest równa sumie kwadratów boków trójkąta, co można wykorzystać do kontroli ich obliczenia:
{{wzór|
<math>
C_a+C_b+C_c = a^2+b^2+c^2 \ 
</math>
|4}}
Kontrolą obliczenia wartości kątów α, β, γ na podstawie twierdzenia cosinusów jest ich suma, która powinna wynosić dokładnie 

180<sup>[[Stopień (kąt)|o]]</sup> (200<sup>[[Grad (kąt)|g]]</sup>).

Po wyliczeniu kątów wewnętrznych dalszy ciąg obliczeń prowadzimy jak dla [[Wcięcie kątowe w przód|wcięcia kątowego w przód]].

== Opis metody 2 ==
Kolejnym sposobem rozwiązania wcięcia liniowego jest obliczenie współrzędnych X<sub>W</sub>, Y<sub>W</sub> na podstawie wzoru {{linkWzór|5}} opartego na 
pomocniczych [[Forma rachunkowa (Hausbrandta)|symbolach rachunkowych Hausbrandta]]:
{{wzór|
<math>
(X_W,Y_W)=
\begin{array}{|cc|cc|}
X_A & Y_A & X_B & Y_B \\
-4P & C_b & +4P & C_a
\end{array}_{\,(1,2)}
</math>
|5}}
Po przekształceniu do postaci algebraicznej otrzymujemy dwa równania
{{wzór|
<math>
 \begin{matrix}
X_W=\cfrac{+X_A \cdot C_b+Y_A \cdot 4P+X_B \cdot C_a-Y_B \cdot 4P}{C_a+C_b}
\\
Y_W=\cfrac{-X_A \cdot 4P+Y_A \cdot C_b+X_B \cdot 4P +Y_B \cdot C_a}{C_a+C_b}
\end{matrix}
</math>
|6}}
gdzie 4P to poczwórne pole trójkąta ABW wyrażone wzorem:
{{wzór|
<math>
4P=\sqrt{C_a \cdot C_b + C_a \cdot C_c + C_b \cdot C_c}
</math>
|7}}

== Zobacz też ==
* [[Wcięcie kątowe w przód]]

== Bibliografia ==
* Jagielski Andrzej, ''Geodezja II'', Wydawnictwo P.W.STABILL, {{ISBN|978-83-922884-3-5}} str 260, ({{ISBN|83-918598-2-7}} str 238)

[[Kategoria:Metody obliczeń geodezyjnych]]
[[Kategoria:Metody pomiarów geodezyjnych]]
[[Kategoria:Osnowy geodezyjne]]