Tekst źródłowy strony Wcięcie kątowe w przód

'''Wcięcie kątowe w przód''' – jedno z podstawowych zagadnień geodezyjnych powszechnie stosowane do zagęszczania [[Osnowa geodezyjna|osnów]] poziomych.

Metoda pozwala wyznaczyć współrzędne pojedynczego szukanego (wcinanego) [[punkt (geometria)|punktu]] ''W''. Wcięcie kątowe jest jednoznacznie wyznaczalne, ponieważ liczba obserwacji ''u'' jest równa liczbie niewiadomych ''n'', którymi są współrzędne (X<sub>W</sub>,Y<sub>W</sub>) punktu wcinanego. Punkt wcinany ''W'' zazwyczaj jest niedostępny. 

W przypadku gdy punkty '''A''' i '''B''' są punktami [[osnowa geodezyjna|osnowy geodezyjnej]] o znanych współrzędnych geodezyjnych, wówczas wcinany punkt ''W'', po wykonaniu pomiarów i obliczeniu współrzędnych, będzie punktem osnowy niższego rzędu.

== Dane ==
: [[Plik:Wciecie kątowe 1.svg]]
Danymi są dwa [[kąt poziomy|kąty poziome]] α i β pomierzone w trójkącie ABW na stanowiskach A i B, będących punktami o znanych współrzędnych.

== Opis metody 1 ==
: [[Plik:Wcięcie kątowe 2.svg]]
* [[Obliczanie azymutu|Obliczamy azymuty]] A<sub>AB</sub> i A<sub>BA</sub>
* Następnie obliczamy odległość |AB| ze wzoru{{LinkWzór|1}}: 
{{wzór|<math>c=|AB|=\sqrt{(X_A-X_B)^2+(Y_A-Y_B)^2}</math>|1}}
* Obliczenie azymutów A<sub>AW</sub> i A<sub>BW</sub> boków wcinanych AW i BW, zgodnie z rysunkiem wynoszą odpowiednio: A<sub>AW</sub>=A<sub>AB-</sub>α i A<sub>BW</sub>=A<sub>BA+</sub>β.
* Obliczamy długości boków wcinanych a, b na podstawie [[twierdzenie sinusów|twierdzenia sinusów]].
{{wzór|<math>
\begin{matrix}
a=\cfrac{c}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \sin \alpha \\
b=\cfrac{c}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \sin \beta
\end{matrix}
</math>|2}}
* Obliczamy przyrost współrzędnych boków wcinających AW i BW:
{{wzór|<math>
\begin{matrix}
\Delta X_{AW}=b \cdot \cos A_{AW} \\
\Delta Y_{AW}=b \cdot \sin A_{AW}
\end{matrix}
</math>|3}}
oraz
{{wzór|<math>
\begin{matrix}
\Delta X_{BW}=a \cdot \cos A_{BW} \\
\Delta Y_{BW}=a \cdot \sin A_{BW}
\end{matrix}
</math>|4}}
* Dwukrotne obliczamy współrzędne punktu W
** na podstawie współrzęnych punktu A i przyrostów boku AW {{LinkWzór|3}}: X<sub>W</sub>=X<sub>A</sub>+ΔX<sub>AW</sub>, Y<sub>W</sub>=Y<sub>A</sub>+ΔY<sub>AW</sub>
** na podstawie współrzęnych punktu B i przyrostów boku BW {{LinkWzór|4}}: X<sub>W</sub>=X<sub>B</sub>+ΔX<sub>BW</sub>, Y<sub>W</sub>=Y<sub>B</sub>+ΔY<sub>BW</sub>
Pełna zgodność obu par wyników stanowi pierwszą kontrolę rachunkową.
* Aby dokonać drugiej kontroli poprawności wyznaczenia współrzędnych punktu W należy obliczyć dwoma sposobami wartość trzeciego kąta γ trójkąta ABW:
** na podstawie obserwacji wyjściowych, jako dopełnienia pomierzonych kątów α i β do 200<sup>[[grad (kąt)|g]]</sup> lub 180[[stopień (kąt)|°]]. γ=200<sup>g</sup>-(α + β)
** na podstawie wyników obliczeń, tj. współrzędnych punktu wciętego ''W'' i współrzędnych punktów znanych: A, B. Kąt γ obliczamy jako różnicę azymutów odcinków przyległych do niego: γ=A<sub>WA</sub>-A<sub>WB</sub>
Rezultaty obu obliczeń powinny być jednakowe.

== Opis metody 2 ==
Obliczenie za pomocą [[Forma rachunkowa (Hausbrandta)|symboli Hausbrandta]].
{{wzór|
<math>
(X_W,Y_W)=
\begin{array}{|cc|cc|}
X_A & Y_A & X_B & Y_B \\
-1 & \operatorname{ctg} \beta & +1 & \operatorname{ctg} \alpha
\end{array}_{\,(1,2)}
</math>
|5}}
Po przekształceniu do postaci algebraicznej otrzymujemy dwa równania
{{wzór|
<math>
\begin{matrix}
X_W=\cfrac{+X_A \cdot \operatorname{ctg} \beta +Y_A +X_B \cdot \operatorname{ctg} \alpha-Y_B}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}
\\
Y_W=\cfrac{-X_A +Y_A \cdot \operatorname{ctg} \beta +X_B +Y_B \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}
\end{matrix}
</math>
|6}}
* Kontrolę wcięcia przeprowadzamy tak samo jak w ramach metody 1, tj. przez dwukrotne obliczenie kąta γ:
* z dopełnienia kątów α i β do 200<sup>g</sup> lub 180°. γ=200<sup>g</sup>-(α + β)
* ze współrzędnych punktów A, B i W jw. lub z [[Forma rachunkowa (Hausbrandta)|symboli Hausbrandta]]:
{{wzór|
<math>
\operatorname{tg} \gamma =
\begin{vmatrix}
\Delta X_{WA} & \Delta Y_{WA} \\
\Delta X_{WB} & \Delta Y_{WB}
\end{vmatrix}_0
</math>
|7}}

== Zobacz też ==
* [[Wcięcie liniowe w przód]]

== Bibliografia ==
* Jagielski Andrzej, ''Geodezja II'', Wydawnictwo P.W.STABILL, {{ISBN|978-83-922884-3-5}} str.254, ({{ISBN|83-918598-2-7}}, str.232)

[[Kategoria:Metody obliczeń geodezyjnych]]
[[Kategoria:Metody pomiarów geodezyjnych]]
[[Kategoria:Osnowy geodezyjne]]