Tekst źródłowy strony Wartość własna układu

'''Wartości własne układu''' – miejsca zerowe [[wielomian charakterystyczny układu|wielomianu charakterystycznego układu]], czyli [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastki]] [[równanie charakterystyczne|równania charakterystycznego]]. Wartości własne układu są zarazem [[Wektory i wartości własne|wartościami własnymi]] [[macierz]]y układu. Tylko wśród wartości własnych mogą się znaleźć '''bieguny układu''' – bieguny transmitancji operatorowej (zob. też [[Biegun (analiza zespolona)|biegun na płaszczyźnie zespolonej]]), tzn. miejsca zerowe mianownika transmitancji, przy których transmitancja przestaje być określona.

Niech dana będzie [[transmitancja operatorowa|transmitancja]]
: <math>G(s)=\frac{b_ns^m+\ldots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0}</math>

i odpowiadające jej [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)|równania stanu]] (dla modelu ciągłego) w postaci:
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t),</math>

gdzie:
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}.</math>

Macierze stanu łączy z [[transmitancja operatorowa|transmitancją]] następująca zależność:
: <math>G(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D},</math>

wówczas [[równanie charakterystyczne]] ma postać:
: <math>\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})=s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0.</math>

Wartości własne układu są pierwiastkami powyższego równania charakterystycznego i zarazem wartościami własnymi macierzy układu <math>\mathbf{A},</math> co wynika z powyższego określenia.

Ważną cechą wartości własnych macierzy jest to, że są one niezmiennicze dla klasy [[macierz#Klasy macierzy a wybór bazy|macierzy podobnych]] (cecha podobieństwa łączy np. macierz <math>\mathbf{A}</math> ze wszystkimi macierzami typu <math>\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}</math>). Potwierdza to spostrzeżenie, że nieosobliwe przekształcenie współrzędnych stanu nie zmienia zasadniczych właściwości układu. Właściwości te są w istocie określone przez [[Wektory i wartości własne|wartości własne]], które są jednoznaczne w odróżnieniu od współrzędnych stanu i macierzy <math>\mathbf{A}</math> układu.

Zasadnicze znaczenie ma związek wartości własnych z przebiegami dynamicznymi w układzie. Można to zauważyć rozpatrując liniowy dynamiczny [[układ swobodny]]. [[Macierz przejścia (automatyka)|Macierz podstawowa]] rozwiązań tego układu <math>e^{A(t - t_0)}</math> jest transformatą odwrotną macierzy <math>(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}.</math> Wspólnym mianownikiem wszystkich elementów macierzy <math>e^{A(t - t_0)}</math> jest wyznacznik <math>\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}),</math> czyli [[wielomian charakterystyczny układu|wielomian charakterystyczny]], który można zapisać w postaci rozłożonej na czynniki
: <math>\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A})=(s-s_1)(s-s_2)\dots(s-s_n).</math>

Wobec tego transformata odwrotna macierzy <math>(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}</math> powinna zawierać wśród swoich elementów wszystkie wyrażenia o postaci <math>e^{s_1 t},</math> <math>e^{s_2 t},\dots,</math> <math>e^{s_n t}.</math> Stąd wynika wniosek ogólny: jeśli w [[układ swobodny|rozwiązaniu swobodnym]] pojawił się wyraz <math>e^{at}</math> (gdzie <math>a</math> było wartością własną), to również w rozwiązaniu swobodnym układu <math>n</math>-tego [[rząd układu dynamicznego|rzędu]] pojawią się wyrażenia typu <math>e^{s_i t}</math> <math>(i=1,\dots,n)</math> przy czym <math>s_i</math> są wartościami własnymi.

W kontekście równań stanu wartości własne (ściślej wartości własne macierzy układu) bywają też nazywane '''modami''' (ang. ''mode''). Przy realizacji układu z macierzą diagonalną (zob. [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)#Postacie kanoniczne|macierz układu w postaci diagonalnej]]), jeśli bieguny układu są rzeczywiste i pojedyncze, to znajdują się one na przekątnej macierzy układu. Każde z równań w takim układzie (odpowiadające wartości własnej leżącej na przekątnej macierzy układu) reprezentuje inną zmienną stanu (inną składową wektora stanu) i osobny sposób zachowania (ang. ''mode of behaviour''). Stąd też utożsamienie wartości własnych (biegunów) z ''modami'' układu. Istotnie przez ''mod'' rozumie się wówczas składową obecną w przebiegu czasowym związaną z danym biegunem układu. O ile bieguny obrazują zachowanie układu w [[płaszczyzna S|dziedzinie s]], to mody związane są z charakterystykami czasowymi układu (charakterystykami obrazującymi zachowanie układu w dziedzinie czasu).

Innymi słowy: [[Macierz przejścia (automatyka)|odpowiedź swobodna]] <math>x(t)=e^{A(t)}x_0</math> układu dynamicznego jest zależna przede wszystkim od wartości własnych macierzy <math>\mathbf{A}.</math> Każda ze składowych tej odpowiedzi może być bowiem wyrażona przez [[Kombinacja liniowa|kombinację liniową]] (sumę) składników o postaci typu <math>e^{\lambda t}</math> (a w przypadku wartości własnych zespolonych także typu <math>e^{\sigma t} \sin\omega t</math> i <math>e^{\sigma t} \cos\omega t,</math> gdzie <math>\sigma,</math> <math>\omega</math> odpowiadają określonym składowym zespolonych wartości własnych – rzeczywistym i urojonym) mnożonych ewentualnie przez <math>t</math> w odpowiedniej potędze. Przyjęło się nazywać wartości własne ''biegunami'' [[Układ swobodny|układu opisanego jednorodnym równaniem stanu]], zaś wyżej wymienione eksponencjalne i [[harmoniczna|harmoniczne]] składniki tej odpowiedzi ''modami'' tego układu.

Aby zmienić sposób zachowania układu można stłumić niektóre mody, co odpowiada właściwej selekcji modu i właściwej zmianie położenia odpowiadającego mu bieguna. Stosuje się wówczas [[przesuwanie biegunów]] zwane też ''sterowaniem modalnym''. Przesuwanie biegunów to jedna z fundamentalnych technik projektowania układów regulacji. Całkowite stłumienie modu polega na „skasowaniu” odpowiedniego czynnika w mianowniku transmitancji układu (czyli bieguna układu) przez odpowiedni czynnik w liczniku transmitancji układu (czyli przez zero układu). Z uwagi na problemy ze [[Stabilność układu automatycznej regulacji|stabilnością]] w przypadku niedokładnego „kasowania”, działanie takie jest odpowiednie tylko w przypadku biegunów leżących w lewej półpłaszczyźnie [[płaszczyzna S|płaszczyzny S]].

== Zobacz też ==
* [[równanie charakterystyczne]]
* [[twierdzenie Cayleya-Hamiltona]]
* [[Wektory i wartości własne|wartość własna]]
* [[wielomian charakterystyczny układu]]

[[Kategoria:Teoria sterowania]]