Tekst źródłowy strony Wartość bezwzględna

'''Wartość bezwzględna''', '''moduł''' – dla danej [[liczby rzeczywiste]]j wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo <math>5</math> jest wartością bezwzględną tak liczby <math>5,</math> jak liczby <math>-5.</math>

Uogólnienia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych można odnaleźć w wielu innych miejscach. Przykładowo wartość bezwzględną można zdefiniować dla [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Wartość bezwzględna | id = 3876849| data dostępu = 2021-07-21}}</ref>, [[kwaterniony|kwaternionów]], [[pierścień uporządkowany|pierścieni uporządkowanych]], [[ciało (matematyka)|ciał]] czy [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]]. W wielu różnych kontekstach matematycznych i fizycznych pojęcie wartości bezwzględnej wykazuje bliski związek z pojęciami wielkości, [[odległość|odległości]], czy też [[przestrzeń metryczna|metryki]] oraz [[przestrzeń unormowana|normy]].

== Terminologia i notacja ==
Wprowadzenie terminu „moduł”, jako ''jednostki miary'' we francuskim, przypisuje się [[Jean-Robert Argand|Jean-Robertowi Argandowi]] w [[1806]] roku, szczególnie w odniesieniu do liczb zespolonych<ref>[http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 Nahin].</ref><ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O’Connor i Robertson].</ref><ref>[http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com].</ref>. Niżej „wartość bezwzględna” odnosić się będzie przede wszystkim do liczb rzeczywistych, „moduł” zaś do liczb zespolonych i kwaternionów, ciał i pierścieni.

Notacja <math>|a|</math> oznaczająca wartość bezwzględną <math>a</math> została wprowadzona przez [[Karl Weierstraß|Karla Weierstrassa]] w 1841 roku<ref>Nicholas J. Higham, ''Handbook of writing for the mathematical sciences'', SIAM, s. 25, {{ISBN|0898714206}}.</ref>. Innym oznaczeniem, stosowanym przede wszystkim w informatyce, jest <math>\operatorname{abs}(a).</math>

== Definicja i własności ==
=== Liczby rzeczywiste ===
[[Plik:Wykres wartości bezwzględnych.svg|mały|Wykres funkcji <math>y=|x|</math>]]

Dla dowolnej [[liczby rzeczywiste]]j <math>a</math> jej '''wartość bezwzględną''' lub '''moduł''', oznaczany symbolem <math>|a|</math> ([[kreska pionowa]] po obu stronach liczby) definiuje się jako<ref name="cke">{{Cytuj |url = https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf |tytuł = Wybrane wzory matematyczne |miejsce = Warszawa |data = 2015 |wydawca = Centralna Komisja Egzaminacyjna |isbn = 978-83-940902-1-0 |s = 1}}</ref>
: <math>|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \geqslant 0 \\ -a & \text{dla } a < 0. \end{cases}</math>

Z powyższej definicji wynika, że wartość bezwzględna <math>a</math> jest zawsze [[znak liczby|liczbą nieujemną]] (dodatnią bądź [[0|zerem]]). Ten sam symbol stosuje się niekiedy do oznaczenia [[moc zbioru|kardynalności]] (mocy) zbioru; znaczenie zależy od kontekstu.

Z punktu widzenia [[geometria analityczna|geometrii analitycznej]] wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest [[odległość|odległością]] tej liczby od zera wzdłuż [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]]; w ogólności wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych odpowiada odległości między nimi. Istotnie, matematyczne pojęcie abstrakcyjnej [[przestrzeń metryczna|funkcji odległości]] może być postrzegane jako uogólnienie bezwzględnej wartości różnicy (zob. sekcję [[#Odległość|Odległość]]).

Ponieważ zapis pierwiastka kwadratowego bez znaku oznacza ''nieujemny'' [[pierwiastek kwadratowy]], to
{{wzór|<math>|a| = \sqrt{a^2};</math>|1}}

wzór ten niekiedy bywa nawet używany jako definicja wartości bezwzględnej<ref>{{cytuj książkę |autor = Stewart, James B. |tytuł = Calculus: concepts and contexts |rok = 2001 |wydawca = Brooks/Cole |miejsce = Australia |isbn = 0-534-37718-1 |strony = A5}}</ref>.

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności<ref name="cke" />:
: {{wzór|<math>|a| \geqslant 0,</math>|2|opis=nieujemność|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0,</math>|3|opis=dodatnia określoność|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>|ab| = |a||b|,</math>|4|opis=[[funkcja multiplikatywna|multiplikatywność]]|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>|a + b| \leqslant |a| + |b|.</math>|5|opis=[[funkcja addytywna (algebra)|podaddytywność]]|pozycja-opis=lewy}}

Wśród innych, ważnych własności wartości bezwzględnej należy wymienić:
: {{wzór|<math>|-a| = |a|,</math>|6|opis=[[funkcja symetryczna|symetria]]|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>|a - b| = 0 \Leftrightarrow a = b,</math>|7|opis=[[Zasada identyczności przedmiotów nierozróżnialnych|identyczność nierozróżnialnych]] (równoważna dodatniej określoności)|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>|a - b| \leqslant |a - c| + |c - b|,</math>|8|opis=[[nierówność trójkąta]] (równoważna podaddytywności)|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>\left|\tfrac{a}{b}\right| = \tfrac{|a|}{|b|}, \text{ o ile } b \ne 0,</math>|9|opis=zachowywanie dzielenia (równoważne multiplikatywności)|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>|a - b| \geqslant \big||a| - |b|\big|.</math>|10|opis=(równoważny podaddytywności)|pozycja-opis=lewy}}

Jeżeli <math>b > 0,</math> to prawdziwe są także następujące dwie nierówności:
: <math>|a| \leqslant b \Leftrightarrow -b \leqslant a \leqslant b,</math>
: <math>|a| \geqslant b \Leftrightarrow a \leqslant -b \text{ lub } b \leqslant a.</math>

Zależności te wykorzystywane są do rozwiązywania nierówności zawierających wartości bezwzględne:
: <math>|x - 3| \leqslant 9 \Leftrightarrow -9 \leqslant x - 3 \leqslant 9 \Leftrightarrow -6 \leqslant x \leqslant 12.</math>

=== Liczby zespolone ===
[[Plik:Complex conjugate picture.svg|thumb|Wartością bezwzględną liczby <math>z</math> jest odległość <math>r</math> liczby <math>z</math> od początku. Na diagramie można zauważyć, że <math>z</math> oraz jej [[sprzężenie zespolone]] <math>\overline z</math> mają tę samą wartość absolutną.]]
Ponieważ [[liczby zespolone]] nie są [[porządek liniowy|uporządkowane]], to powyższa definicja dla liczb rzeczywistych nie może być wprost uogólniona na liczby zespolone. Jednakże tożsamość dana w równaniu {{LinkWzór|1}}:
: <math>|a| = \sqrt{a^2}</math>

może być postrzegana jako motywacja następującej definicji.

Dla dowolnej liczby zespolonej
: <math>z = x + iy,</math>

gdzie <math>x</math> oraz <math>y</math> są liczbami rzeczywistymi, '''moduł''' bądź ''wartość bezwzględna'' liczby <math>z,</math> oznaczane symbolem <math>|z|,</math> są zdefiniowane wzorem
: <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.</math>

Wynika z niego, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej <math>x</math> jest równa modułowi tej liczby postrzeganej jako liczba zespolona, gdyż
: <math>|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math>

Podobnie jak dla interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych, z [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]] wynika, że moduł liczby zespolonej jest odległością tej liczby od [[początek (matematyka)|początku]] [[płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]] i ogólniej, że moduł różnicy dwóch liczb zespolonych jest równy ich odległości.

Zespolona wartość bezwzględna dzieli wszystkie własności rzeczywistej wartości bezwzględnej podane we wzorach {{LinkWzór|2}}–{{LinkWzór|10}}. Dodatkowo, jeżeli
: <math>z = x + iy = r(\cos \varphi + i\sin \varphi),</math>

zaś
: <math>\overline z = x - iy</math>

jest [[sprzężenie zespolone|sprzężeniem zespolonym]] <math>z,</math> to
: <math>\begin{align} |z| & = r, \\ |z| & = |\overline z|\end{align}</math>

oraz
: <math>|z| = \sqrt{z \overline z},</math>

przy czym ostatni wzór jest zespolonym odpowiednikiem wspomnianego wyżej równania {{LinkWzór|1}}.

Kwadrat modułu <math>z</math> dany jest wzorem
: <math>|z|^2 = z \overline z = x^2 + y^2.</math>

W notacji macierzowej liczba zespolona <math>z</math> dana jest jako [[macierz]]
: <math>\mathrm z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix},</math>

wówczas moduł dany jest jako [[Pierwiastkowanie#Pierwiastek kwadratowy|pierwiastek]] [[wyznacznik]]a <math>\mathrm z{:}</math>
: <math>|z| = \sqrt{\det \mathrm z}</math>

Ponieważ dodatnie liczby rzeczywiste tworzą [[podgrupa|podgrupę]] liczb zespolonych ze względu na mnożenie, to o module można myśleć jak o [[endomorfizm]]ie [[Grupa multiplikatywna|grupy multiplikatywnej]] liczb zespolonych (zob. [[grupa ilorazowa#Moduł niezerowej liczby rzeczywistej|szczegóły]]).

== Funkcje wartości bezwzględnej ==
Funkcja rzeczywistej wartości bezwzględnej jest [[funkcja ciągła|ciągła]] w każdym punkcie. Jest ona [[Pochodna funkcji|różniczkowalna]] wszędzie poza punktem <math>x = 0.</math> Funkcja ta [[funkcja monotoniczna|maleje monotonicznie]] na przedziale <math>(-\infty, 0]</math> i rośnie monotonicznie na przedziale <math>[0, \infty);</math> w szczególności jest ona [[funkcja liniowa|liniowa]] na każdym z powyższych przedziałów. Ponieważ liczba rzeczywista i liczba do niej [[liczba przeciwna|przeciwna]] mają tę samą wartość bezwzględną, to wspomniana funkcja jest [[funkcje parzyste i nieparzyste|parzysta]], przez co nie jest [[funkcja odwrotna|odwracalna]].

Funkcja modułu zespolonej wartości bezwzględnej jest ciągła w każdym punkcie, ale jest ''nigdzie'' [[funkcja holomorficzna|różniczkowalna (w sensie zespolonym)]], ponieważ nie spełnia [[Równania Cauchy’ego-Riemanna|równań Cauchy’ego-Riemanna]].

Funkcje tak rzeczywista, jak i zespolona są [[idempotentność|idempotentne]].

=== Pochodne ===
[[Pochodna funkcji|Pochodną]] [[Funkcja rzeczywista|funkcji rzeczywistej]] wartości bezwzględnej jest [[Funkcja signum|funkcja znaku]] (signum), <math>\sgn(x),</math> zdefiniowana wzorem
: <math>\sgn(x) = \frac{x}{|x|}</math>

dla <math>x \ne 0.</math> Funkcja wartość bezwzględnej nie jest różniczkowalna w <math>x = 0.</math> W zastosowaniach, w których konieczna może być dobrze określona pochodna korzysta się raczej z dobrze określonej w zerze [[Subróżniczka|podróżniczki]]. Gdzie funkcja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej zwraca wartość, nie biorąc pod uwagę jej znaku, tam funkcja znaku zwraca znak liczby bez względu na jej wartość. Stąd
: <math>x = \sgn(x) \operatorname{abs}(x).</math>

Funkcja znaku jest przypadkiem szczególnym [[Funkcja skokowa Heaviside’a|funkcji skokowej Heaviside’a]] używanej w przetwarzaniu sygnałów, która jest definiowana jako
: <math>u(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \tfrac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0, \end{cases}</math>

gdzie wartość funkcji Heaviside’a w zerze wybrana jest arbitralnie. W ten sposób dla wszystkich niezerowych punktów prostej rzeczywistej zachodzi
: <math>u(x) = \frac{\sgn(x) + 1}{2}.</math>

Wartość bezwzględna nie jest wklęsła w żadnym punkcie, zaś funkcja znaku jest stała w otoczeniu dowolnego punktu różnego od zera, stąd druga pochodna <math>|x|</math> względem <math>x</math> jest równa zeru wszędzie poza zerem, gdzie nie jest ona określona.

Funkcja wartości bezwzględnej jest również [[funkcja całkowalna|całkowalna]] – jej [[Funkcja pierwotna|pierwotną]] jest
: <math>\int |x| \operatorname dx = \frac{x|x|}{2} + C,</math>

co można uzasadnić następująco (za pomocą [[całkowanie przez części|całkowania przez części]] i faktu, iż <math>x^2 = |x^2|</math>):
: <math>\int |x| \operatorname dx = x|x| - \int \frac{x^2}{|x|} \operatorname dx = x|x| - \int |x| \operatorname dx \Leftrightarrow 2\int |x| \operatorname dx = x|x| \Leftrightarrow \int |x| \operatorname dx = \frac{x|x|}{2} + C.</math>

== Odległość ==
Wartość bezwzględna ma bliski związek z pojęciem odległości. Jak wspomniano wyżej, wartość bezwzględna liczby rzeczywistej bądź zespolonej jest [[odległość|odległością]] tej liczby od początku odpowiednio prostej rzeczywistej bądź płaszczyzny zespolonej; ogólniej wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych lub zespolonych równa jest odległości, która je dzieli.

Standardowa [[Przestrzeń euklidesowa|odległość euklidesowa]] dwóch punktów
: <math>\mathrm a = (a_1, a_2, \dots, a_n)</math>

oraz
: <math>\mathrm b = (b_1, b_2, \dots, b_n)</math>

w <math>n</math>-wymiarowej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] jest zdefiniowana wzorem
: <math>\sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \ldots + (a_n - b_n)^2}.</math>

Definicja ta może być postrzegana jako uogólnienie <math>|a - b|,</math> ponieważ jeżeli <math>a, b</math> są rzeczywiste, to z równania {{LinkWzór|1}} wynika, iż
: <math>|a - b| = \sqrt{(a - b)^2}.</math>

Gdy
: <math>\mathrm a = a_1 + ia_2</math>

oraz
: <math>\mathrm b = b_1 + ib_2</math>

są liczbami zespolonymi, to
: <math>|a - b| = |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)| = |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.</math>

Powyższa uwaga pokazuje, że odległość „wartości bezwzględnej” liczb rzeczywistych, czy zespolonych pokrywa się z odległością euklidesową, którą dziedziczą poprzez postrzeganie ich odpowiednio jako jedno- i dwuwymiarowych przestrzeni euklidesowych.

Własności wartości bezwzględnej różnicy dwóch liczb rzeczywistych bądź zespolonych, przedstawione wyżej: nieujemność, identyczność nierozróżnialnych, symetria i nierówność trójkątna stanowią motywację dla definicji bardziej ogólnego pojęcia [[przestrzeń metryczna|funkcji odległości]] (metryki):

Funkcja <math>d</math> o wartościach rzeczywistych określona na zbiorze <math>X \times X</math> nazywana jest '''funkcją odległości''' bądź '''metryką''' na <math>X,</math> jeżeli spełnia następujące cztery aksjomaty<ref group="uwaga">Przedstawione aksjomaty nie są minimalne; przykładowo nieujemność można uzyskać z trzech pozostałych: <math>0 = d(a, a) \leqslant d(a, b) + d(b, a) = 2d(a, b).</math></ref>.

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:
: {{wzór|<math>d(a, b) \geqslant 0,</math>|opis=nieujemność|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>d(a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b,</math>|opis=[[Zasada identyczności przedmiotów nierozróżnialnych|identyczność nierozróżnialnych]]|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>d(a, b) = d(b, a),</math>|opis=[[funkcja symetryczna|symetria]]|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(c, b).</math>|opis=[[nierówność trójkąta]]|pozycja-opis=lewy}}

== Uogólnienia ==
=== Pierścienie uporządkowane ===
Definicja wartości bezwzględnej dla liczb rzeczywistych może być łatwo rozszerzona na dowolny [[pierścień uporządkowany]]. Dokładniej, jeżeli <math>a</math> jest elementem pierścienia uporządkowanego <math>R,</math> to '''wartość bezwzględną''' <math>|a|</math> elementu <math>a,</math> definiuje się jako
: <math>|a| = \begin{cases} a, & \text{gdy } a \geqslant 0 \\ -a, & \text{gdy } a < 0, \end{cases}</math>

gdzie <math>-a</math> oznacza [[element odwrotny|element przeciwny]] do <math>a,</math> zaś <math>0</math> oznacza [[element neutralny]] dodawania.

=== Ciała ===
Zasadnicze własności wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych dane we wzorach {{LinkWzór|2}}-{{LinkWzór|5}} mogą posłużyć uogólnieniu pojęcia wartości bezwzględnej na dowolne ciała, jak pokazano niżej.

Funkcja <math>v</math> o wartościach rzeczywistych określona na [[ciało (matematyka)|ciele]] <math>K</math> nazywana jest '''wartością bezwzględną''' (także ''modułem'', ''waluacją'' lub ''wartością''), jeżeli spełnia następujące cztery aksjomaty:

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:
: {{wzór|<math>v(a) \geqslant 0,</math>|opis=nieujemność|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>v(a) = 0 \Leftrightarrow a = \mathbf 0,</math>|opis=dodatnia określoność|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>v(ab) = v(a)v(b),</math>|opis=[[funkcja multiplikatywna|multiplikatywność]]|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>v(a + b) \leqslant v(a) + v(b),</math>|opis=[[funkcja addytywna (algebra)|podaddytywność]] lub [[nierówność trójkąta]]|pozycja-opis=lewy}}

gdzie <math>\mathbf 0</math> oznacza [[element neutralny]] dodawania <math>K.</math> Z dodatniej określoności i multiplikatywności wynika, że <math>v(\mathbf 1) = 1,</math> gdzie <math>\mathbf 1</math> oznacza element neutralny mnożenia <math>K.</math> Rzeczywista i zespolona wartość bezwzględna są przykładami wartości bezwzględnej dla dowolnego ciała.

Jeżeli <math>v</math> jest wartością bezwzględną na <math>K,</math> to funkcja <math>d</math> określona na <math>K \times K</math> wzorem <math>d(a, b) = v(a - b)</math> jest metryką i następujące stwierdzenia są równoważne:
* <math>d</math> spełnia nierówność [[Przestrzeń metryczna|ultrametryki]] <math>d(x, y) \leqslant \max\big\{d(x, z), d(y, z)\big\}.</math>
* <math>\left\{v\left(\textstyle\sum_{k=1}^n \mathbf 1\right)\colon n \in \mathbb N\right\}</math> jest [[zbiór ograniczony|ograniczony]] w <math>\mathbb R.</math>
* <math>v\left(\textstyle\sum_{k=1}^n \mathbf 1\right) \leqslant 1 \;\mathrm{dla\ ka\dot zdego}\; n \in \mathbb N.</math>
* <math>v(a) \leqslant 1 \Rightarrow v(1 + a) \leqslant 1 \text{ dla wszystkich } a \in K.</math>
* <math>v(a + b) \leqslant \max\big\{v(a), v(b)\big\} \text{ dla wszystkich } a, b \in K.</math>

Wartość bezwzględna, która spełnia dowolny (a więc i wszystkie) z powyższych warunków, nazywa się '''niearchimedesowską'''; w przeciwnym przypadku nazywa się ją [[aksjomat Archimedesa|archimedesowską]]<ref name="Shechter">[http://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside Schechter, s. 260–261].</ref>.

=== Przestrzenie liniowe ===
{{osobny artykuł|przestrzeń unormowana}}
Ponownie można wykorzystać nieco zmodyfikowane zasadnicze własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, aby uogólnić to pojęcie na dowolne przestrzenie liniowe.

Funkcja o wartościach rzeczywistych określona na [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] <math>V</math> nad ciałem <math>K,</math> oznaczana niekiedy <math>\|V\|,</math> nazywana jest ''wartością bezwzględną'', lub częściej '''normą''', jeżeli spełnia następujące aksjomaty:

Dla dowolnego <math>a \in K</math> oraz <math>\mathbf v, \mathbf u \in U,</math>
: {{wzór|<math>\|\mathbf v\| \geqslant 0,</math>|opis=nieujemność|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>\|\mathbf v\| = 0 \Leftrightarrow \mathbf v = \mathbf 0,</math>|opis=dodatnia określoność|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>\|a\mathbf v\| = |a|\|\mathbf v\|,</math>|opis=dodatnia [[funkcja jednorodna|jednorodność]]|pozycja-opis=lewy}}
: {{wzór|<math>\|\mathbf v + \mathbf u\| \leqslant \|\mathbf v\| + \|\mathbf u\|.</math>|opis=[[funkcja addytywna (algebra)|podaddytywność]] lub [[nierówność trójkąta]]|pozycja-opis=lewy}}

Norma wektora nazywana jest też jego ''długością'' bądź ''wielkością''. W przypadku [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]] <math>\mathbb R^n</math> określa się funkcję
: <math>\|(x_1, x_2, \dots, x_n) \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i)^2}</math>

będącą normą, która nazywana jest ''normą euklidesową''. Jeżeli rozpatrywać <math>\mathbb R</math> rozpatruje się jako jednowymiarową przestrzeń liniową nad <math>\mathbb R^1,</math> to wartość bezwzględna jest normą. Wartość bezwzględna jest w istocie „jedyną” normą na <math>\mathbb R^1</math> w tym sensie, że dla każdej normy <math>\|\cdot\|</math> na <math>\mathbb R^1</math> zachodzi <math>\|x\| = \|1\| \cdot |x|.</math> Moduł zespolony jest przypadkiem szczególnym normy w [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]]. Jest on tożsamy z normą euklidesową, jeżeli utożsamiać [[płaszczyzna zespolona|płaszczyznę zespoloną]] z [[przestrzeń euklidesowa|płaszczyzną euklidesową]] <math>\mathbb R^2.</math>

== Algorytmy ==
=== Asembler ===
W [[asembler]]ze [[x86|architektury x86]] wartość bezwzględną [[rejestr procesora|rejestru procesora]] można wyznaczyć za pomocą tylko trzech instrukcji (poniższy przykład dla rejestru 32-bitowego, składnia [[Intel]]a):

<syntaxhighlight lang="asm">cdq
xor eax, edx
sub eax, edx</syntaxhighlight>

Instrukcja <code>cdq</code> rozszerza bit znaku <code>eax</code> na cały <code>edx</code>. Jeżeli <code>eax</code> jest nieujemny, to <code>edx</code> staje się zerem, przez co dwie kolejne instrukcje nic nie dają, pozostawiając <code>eax</code> niezmienionym. Jeżeli <code>eax</code> jest ujemny, to <code>edx</code> staje się <code>0xFFFFFFFF</code> lub −1. Następne dwie instrukcje mają działanie odwrotne do [[kod uzupełnień do dwóch|uzupełnieniem do dwóch]], dając wartość bezwzględną ujemnej wartości w <code>eax</code>. Najmniejsza wartość ujemna (−2<sup>31</sup> lub <code>0x80000000</code>), która nie ma odpowiadającego jej kodu wartości dodatniej, jest zachowywana, co jest prawidłowe dla liczby całkowitej bez znaku.

=== C ===
W [[C (język programowania)|języku programowania C]] obliczeniu wartości bezwzględnej operandu służą zadeklarowane w [[math.h]] funkcje <code>abs</code>, <code>labs</code>, <code>llabs</code> (w C99), <code>fabs</code>, <code>fabsf</code> i <code>fabsl</code>. Implementacja całkowitoliczbowej wersji funkcji jest jednakże bardzo prosta, szczególnie gdy zignorować przypadek graniczny najmniejszej liczby całkowitej. Poniższy przykład korzysta z [[operator warunkowy|operatora warunkowego]] (<code>?:</code>):
<syntaxhighlight lang="c">int abs (int i) {
   return i < 0 ? -i : i;
}</syntaxhighlight>

Wersje [[liczba zmiennoprzecinkowa|zmiennoprzecinkowe]] sprawiają więcej problemów, ponieważ muszą obsługiwać specjalne kody nieskończoności i wartości niebędącej liczbą (NAN); zob. [[IEEE 754]].

=== Python ===
[[Python]] ma wbudowaną funkcję <code>abs()</code>, która zwraca wartość bezwzględną liczby<ref name="built-in">[http://docs.python.org/library/functions.html Wbudowane funkcje Pythona].</ref>, argument funkcji może być [[liczba całkowita (typ danych)|liczbą całkowitą]], bądź [[liczba zmiennoprzecinkowa|liczbą zmiennoprzecinkową]]; funkcja zwraca ten sam typ, który podano jej za argument:
<syntaxhighlight lang="python">
>>> abs(50)
50
>>> abs(-2)
2
>>> abs(-45.5)
45.5</syntaxhighlight>

Funkcja zwraca moduł, jeżeli argument jest [[liczby zespolone|liczbą zespoloną]]<ref name="built-in" />:
<syntaxhighlight lang="python">
>>> abs(-3 + 4j)
5.0
</syntaxhighlight>

Inną funkcją, która może być wykorzystana do obliczenia wartości bezwzględnej liczby jest <code>fabs()</code>, która może być znaleziona w [[programowanie modułowe|module]] <code>math</code> dostępnym poprzez wydanie polecenia <code>import math</code>. Różnica między <code>abs()</code> a <code>fabs()</code> jest taka, że <code>fabs()</code> zawsze zwraca liczbę zmiennoprzecinkową:
<syntaxhighlight lang="python">
>>> import math
>>> math.fabs(5)
5.0
>>> math.fabs(-366)
366.0
>>> math.fabs(-3.5)
3.5</syntaxhighlight>

Niżej znajduje się prosta funkcja służąca wyznaczeniu wartości bezwzględnej liczby, która wykorzystuje [[operator warunkowy]] i [[domknięcie (programowanie)|rachunek lambda]]:
<syntaxhighlight lang="python">
>>> wartość_bezwzględna = lambda liczba: liczba if liczba > 0 else -liczba
>>> wartość_bezwzględna(2)
2
>>> wartość_bezwzględna(-75)
75
>>> wartość_bezwzględna(-5.63)
5.63
</syntaxhighlight>

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Wartość bezwzględna liczby|link=Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Wartość bezwzględna liczby}}
* {{Pismo Delta | url = /media/articles/2021/10/delta-2021-10-bezwzgledne-matrioszki.pdf | autor = Paweł Rafał Bieliński | tytuł = Bezwzględne matrioszki | data = październik 2021 | data dostępu = 2023-12-10}} – artykuł o równaniach modułowych.
* {{MathWorld | adres = AbsoluteValue | tytuł = Absolute Value}} [dostęp 2024-02-02].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Absolute_value Absolute Value]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
* [https://proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Absolute_Value_Function Derivative of Absolute Value Function – ProofWiki] {{lang|en}} – dowód na pochodną wartości bezwzględnej

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Funkcje elementarne}}
{{Liczby zespolone}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Działania jednoargumentowe]]
[[Kategoria:Działania na liczbach]]
[[Kategoria:Funkcje ciągłe]]