Tekst źródłowy strony Wahadło

{{wyróżnienie|DA}}
[[Plik:Catedral Metropolitana, México D.F., México, 2013-10-16, DD 89.JPG|thumb|Wahadło rzeczywiste, którego ruch można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego ([[Katedra Metropolitalna w Meksyku|Katedra Metropolitalna]], miasto Meksyk).]]
'''Wahadło''' – [[ciało (fizyka)|ciało]] zawieszone w jednorodnym [[Pole grawitacyjne|polu grawitacyjnym]] w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nieprzechodzącej przez [[środek ciężkości]] zawieszonego ciała.

W [[mechanika|mechanice]] wyróżnia się dwa podstawowe modele fizyczne wahadeł{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}:
* matematyczne (proste) – opisujące wahadło jako punkt materialny, zawieszony na nieważkiej nici,
* fizyczne – opisujące wahadło jako bryłę sztywną.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich [[okres (fizyka)|okresu]] drgań od [[amplituda|amplitudy]], przy założeniu że amplituda drgań jest mała<ref group="uwaga">Dla amplitudy wahań równej 6° okres drgań wydłuża się o 0,07% w stosunku do okresu drgań przy bardzo małym wychyleniu.</ref>. Własność ta, zwana [[izochronizm]]em drgań, została odkryta około 1602 roku przez [[Galileusz]]a, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą [[Christiaan Huygens]] zbudował w 1656 roku pierwszy [[zegar wahadłowy]]<ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.sciencemuseum.org.uk/onlinestuff/stories/huygens_clocks.aspx |tytuł = Huygens’ Clocks |data dostępu = 2015-05-01}}</ref>. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzeniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku [[Zegar kwarcowy|zegarów kwarcowych]].

Ogólnie wahadło jest [[Oscylator anharmoniczny|oscylatorem anharmonicznym]], jego okres drgań i inne parametry zależą od amplitudy drgań. Rozwiązanie równania ruchu wahadła upraszcza się, jeśli założy się drgania o małych amplitudach. Jednak znalezienie rozwiązania dla dowolnie dużych amplitud wymaga użycia funkcji nieelementarnej, tzw. [[Funkcje eliptyczne Jacobiego|funkcji eliptycznej '''sn''' Jacobiego]]. Opis ruchu wahadła komplikuje się jeszcze bardziej, gdy trzeba uwzględnić efekt tłumienia ruchu wahadła. Wtedy efektywne rozwiązanie równania drgań dla dowolnych amplitud wymaga zastosowania metod numerycznych.

== Historia ==
W XVII w. Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu. W 1644 [[Marin Mersenne]] wyznaczył długość wahadła sekundowego (o okresie 2 sekund). Współczesny mu [[Stanisław Pudłowski]] proponował oprzeć miarę długości na zjawisku wahadła. W 1657 Huygens przedstawił i opatentował zegar wahadłowy; wynalazek szybko rozprzestrzenia się. W 1673 Huygens przedstawił teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego (p. [[Jean Richer]]). W 1687 [[Isaac Newton]] w pracy ''Principia'' zauważył, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego. W 1737 [[Pierre Bouguer]] wykonał pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważył, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania, a nie długości wahadła sekundowego (ta wcześniejszą metoda wymagała zmieniania długości wahadła tak, by otrzymać okres drgań równy 1 s). Używając wahadeł, porównał gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów. Od 1735 [[Charles Marie de La Condamine]] prowadził eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiary przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach. W 1792 we Francji długość wahadła sekundowego była proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar<ref name="Lenzen2">{{Cytuj pismo|nazwisko=Lenzen|imię=Victor F.|tytuł=Development of Gravity Pendulums in the 19th Century|url=http://www.gutenberg.org/files/35024/35024-h/35024-h.htm|czasopismo=On Science and Technology|wolumin=papers 34-44|wydawca=On Science and Technology, Smithsonian Institution|imię2=Robert P.|nazwisko2=Multhauf}}</ref>. <!--Fakt wymaga uźródłowienia: Około 1792 Borda i Cassini wyeliminowali wpływ zawieszenia, prądów powietrza, wilgotności oraz temperatury, dokonują pomiaru długości wahadła sekundowego z dokładnością do 5 cyfr znaczących{{fakt}}.--> W latach 1825/27 [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]] udoskonalił układ pomiarowy oraz wprowadził [[układ optyczny]] do obserwacji ruchu wahadła. W 1817 [[Henry Kater]] skonstruował [[wahadło rewersyjne]], dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego. W latach 1827–1840 [[Francis Baily]] skonstruował różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni<ref name="Lenzen2" />.

== Wahadło matematyczne ==
[[Plik:Pendulum.jpg|thumb|Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.]]

=== Definicja ===
Wahadłem matematycznym nazywa się [[punkt materialny]] poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}. Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=91}}:
* rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu z długością nici,
* nić jest nieważka,
* nić jest nierozciągliwa,
* wahadłu nadano prędkość początkową tak, że drga w płaszczyźnie pionowej,
* na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu ze strony powietrza).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz [[#Wahadło fizyczne|niżej]]){{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=91}}.

=== Równanie ruchu wahadła matematycznego ===
Równanie ruchu wahadła określa wzór{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=91}}
: <math>\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{\ell} \sin\theta(t) = 0,</math>

gdzie:
: <math>\theta(t)</math> – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili <math>t,</math> przy czym kąt ten przyjmują wartości dodatnie np. dla odchyleń w prawo, a ujemne dla odchyleń w lewo,
: <math>g</math> – przyspieszenie ziemskie,
: <math>\ell</math> – długość nici.

{{show 
| Wyprowadzenie równania ruchu wahadła przez analizę sił
|
Wahadło jest odchylone od pionu o kąt <math>\theta</math>. Na ciało wahadła działa siła ciężkości, skierowana pionowo w dół,  oraz siła naprężenia nici, skierowana wzdłuż nici wahadła. Siłę ciężkości wahadła rozkłada się w [[układ współrzędnych biegunowych |układzie współrzędnych biegunowym]] na składową prostopadłą do kierunku ruchu o współrzędnej <math>F_1 = mg\cos\theta</math> oraz składową styczną do kierunku ruchu o współrzędnej <math>F_2 = -mg\sin\theta</math>. (Znak <math>-</math> przy współrzędnej <math>F_2</math> wynika stąd, iż siła styczna działa zawsze w stronę punktu równowagi ciała, znajdującego się w położeniu kątowym <math>\theta=0</math>.)
Wypadkowa sił napięcia nici <math>\vec T</math> oraz siły <math>\vec F_1</math> jest skierowana w kierunku punktu obrotu wahadła - siła ta pełni rolę siły dośrodkowej: nie wpływa na zmianę wartości prędkości, ale zmienia jej kierunek. Zaś składowa styczna <math>\vec F_2</math> nadaje ciału przyspieszenie wzdłuż łuku okręgu. Z II zasady dynamiki mamy:
: <math>F_2 = ma </math>
Stąd
: <math>a = -g \sin\theta</math>

Załóżmy, że ciało zaczyna ruch od położenie pionowego. Jego ruch wzdłuż łuku okręgu powoduje przebycie drogi <math>s</math>, równej iloczynowi promienia okręgu <math>\ell</math>, pomnożonemu przez kąt <math>\theta</math> zakreślony przez promień wodzący ciała:
: <math>s = \ell\theta</math>.
Obliczając pochodne <math>s</math> po czasie otrzymamy kolejno prędkość i przyśpieszenie ciała wzdłuż toru ruchu:
: <math>v = \frac{ds}{dt} = \ell\frac{d\theta}{dt}</math>
: <math>a = \frac{d^2s}{dt^2} = \ell\frac{d^2\theta}{dt^2}</math>
Porównując wzory na przyśpieszenie otrzymamy:
: <math>\ell\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g \sin\theta</math>
i ostatecznie otrzymamy równanie ruchu wahadła:
: <math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0</math>
}}


== Przybliżenie I równania ruchu wahadła - założenie małej amplitudy drgań ==
[[File:PendulumSmallAngleOscillations.png|thumb|Wykresy kąta odchylenia wahadła od pionu w funkcji czasu dla wahadła "sekundowego", tj. o długości 0.25 m dla małych amplitud drgań. Okres drgań T= 1 s nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań). Wynik uzyskano z rozwiązania nieliniowego równania wahadła.|250x250px]]

Równanie ruchu wahadła jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, nieliniowym. Dokładne rozwiązanie takiego równania jest niełatwe. Tu podano pierwszy sposób znalezienia rozwiązania przybliżonego, przy założeniu że wahadło wykonuje drgania o niewielkiej amplitudzie kątowej. Przy takim założeniu [[Funkcje trygonometryczne|funkcję sinus]] można przybliżyć jej argumentem ([[Wzór Taylora|wzór Maclaurina]])<ref group="uwaga">Wielkość maksymalna kąta, dopuszczalna w tym przybliżeniu, zależy od założonej dopuszczalnej różnicy między wartością dokładną a przybliżoną.</ref>{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}:
: <math>\sin \theta \approx \theta,</math>

wówczas równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci
: <math>\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+\frac{g}{\ell}\theta(t) = 0.</math>

Powyższe równanie jest równaniem [[Ruch harmoniczny|drgań harmonicznych]]. 

=== Rozwiązanie równania dla małych drgań ===
('''1''') Rozwiązaniem powyższego równania jest zależność kąta wahań od czasu dana wzorem{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=44}}:
: <math>\theta(t) = \theta_0 \sin(\omega_0 t+\varphi),</math>

gdzie:
: <math>\theta_0</math> – amplituda drgań,
: <math>\omega_0 = \sqrt\frac{g}{\ell}</math> – [[pulsacja|częstość kołowa]] małych drgań,
: <math>\varphi</math> – faza początkowa drgań.

('''2''') Dla '''[[Zagadnienie Cauchy’ego|warunków początkowych]]''' <math>\theta(0)=0</math> (tj. w chwili <math>t=0</math> wahadło przechodzi przez położenie równowagi)  otrzyma się rozwiązanie:
: <math>\theta(t) = \theta_0 \sin(\omega_0 t)</math>

('''3''') Okres  drgań jest związany z częstością kołową wzorem
: <math>T = \frac{2\pi}{\omega_0}.</math>

Stąd otrzymuje się{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=91}}
: <math>T = 2\pi \sqrt\frac{\ell}{g}.</math>

=== Wnioski ===
Z otrzymanych rozwiązań wynika, że gdy wahadło wykonuje [[Drgania swobodne|małe drgania]], to:
* zależność kąta wychylenia wahadła od czasu jest funkcją harmoniczną,
* okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Izochronizm wahadła odkrył już Galileusz w XVI w., własność ta jest słuszna dla małych drgań.

Na wykresie pokazano rozwiązania ruchu wahadła dla małych amplitud drgań obliczone z dokładnego równania wahadła. Wyniki są zgodne z wnioskami, wyprowadzonymi tu z równania przybliżonego dla małych amplitud drgań.

== Przybliżenie II równania ruchu wahadła - dwa wyrazy szeregu Maclaurina ==
[[File:FrequencyOfPendulumAsFunctionOfAmplitude.png|thumb|Częstotliwość drgań wahadła jako funkcja amplitudy <math>\theta_0 \in <0{}^\circ, 180{}^\circ></math>: zależność dokładna (czerwony) i przybliżona (niebieski). Przybliżeniu do małych drgań odpowiada linia pozioma <math>\omega/\omega_0=1.</math> Dla amplitudy <math>\theta_0 = 180{}^\circ</math> częstotliwość maleje do zera - wahadło zbliża się nieskończenie długo do położenia równowagi.|250x250px]]

[[File:NonlinearPendulum160FourierAndMaclaurin3.png|thumb|Wykres kąta odchylenia wahadła od czasu, amplituda 160 stopni - porównanie rozwiązań równania dokładnego (niebieski) i równania przybliżającego wyraz nieliniowy sumą 3 wyrazów szeregu Maclaurina (czerwony); pokazano też wykres sumy 3 początkowych wyrazów szeregu Fouriera (zielony), który znakomicie aproksymuje rozwiązanie dokładne.|250x250px]]
Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać dla dużych amplitud drgań w sposób przybliżony, przybliżając funkcję sinus do dwóch początkowych wyrazów szeregu Maclaurina: <math>\sin\theta \approx \theta -\frac{1}{6} \theta^3</math>. Wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać<ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9780387695334-c1.pdf?SGWID=0-0-45-390507-P173749004 |tytuł = Oscillations and Fourier Analysis |data dostępu = 2016-09-10}}</ref>:
: <math>\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \left( \theta - \frac{1}{6} \theta^3 \right) = 0.</math>

Rozwiązanie tego równania ma postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu) - przy założeniu warunków początkowych <math>\theta(0)=0</math> (tj. w chwili <math>t=0</math> wahadło przechodziło przez położenie równowagi): 
: <math>\theta (t) = \theta_1 \sin \omega t + \theta_3\sin (3\omega t),</math>

gdzie:
: <math>\theta_3 = \frac{1}{3} \left( \frac{\theta_0}{4} \right)^3</math> – amplituda drgań o częstotliwości <math>3\omega,</math>
: <math>\theta_1 = \theta_0+\theta_3</math> – amplituda drgań o częstotliwości <math>\omega,</math>
: <math>\omega_0 = \sqrt\frac{g}{l}</math> - częstotliwość małych drgań
: <math>\omega = \omega_0\left(1 - \frac{\theta^2_0}{16} \right)</math> - częstotliwość drgań wahadła o dużej amplitudzie; <math>\omega  < \omega_0</math>

Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz:
* ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstotliwości <math>\omega</math> oraz <math>3\omega</math> i amplitudy odpowiednio równe <math>\theta_1</math> oraz <math>\theta_3</math>
* częstotliwość drgań <math>\omega</math> zależy od amplitudy <math>\theta_0</math> (nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud)
* częstotliwość drgań jest mniejsza niż dla drgań o małej amplitudzie; częstotliwość ta maleje wraz ze wzrostem amplitudy
* amplituda <math>\theta_1,  \theta_3</math> składowych harmonicznych zależą od trzeciej potęgi amplitudy <math>\theta_0.</math>

Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości <math>\theta_0</math> częstotliwość drgań <math>\omega</math> zbliża się do wartości <math>\omega_0,</math> a amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie <math>\theta_0</math> i częstotliwości <math>\omega_0,</math> która nie zależy od amplitudy.

'''<u>Uwagi:</u>''' 

# Powyższe rozwiązanie przybliżone daje częstotliwość drgań nie odbiegającą od częstotliwości rozwiązania dokładnego o więcej niż 3% dla amplitud drgań <math>< 160^{ \circ }.</math> Zależności te ilustruje wykres. 
# Jednak błąd średniokwadratowy pomiędzy przybliżonym rozwiązaniem na zależność kąta od czasu a rozwiązaniem dokładnym jest znacznie większy niż ten sam błąd obliczony dla sumy częściowej szeregu Fouriera, np. wziętej tylko dla trzech początkowych wyrazów szeregu (np. dla amplitudy <math>160^{ \circ }</math> błąd ten jest ponad 170 razy  większy). 
# Rozwiązanie przybliżone daje dokładność zadowalającą dla amplitud  <math> < 140^{\circ}.</math>
# Dokładniejsze przybliżenie uzyska się, jeśli zamiast <math>\omega = \omega_0 (1 - \tfrac{\theta^2_0}{16} )</math> przyjąć <math>\omega = 2\pi/T</math>, gdzie  <math>T(\theta_0) = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,\cdot K\big( \sin\tfrac{\theta_0}{2} \big)</math> - okres drgań rozwiązania ścisłego, słusznego dla dowolnych amplitud, co omówiono niżej.
# Wtedy rozwiązanie przybliżone można traktować jako rozwiązanie analogiczne do sumy częściowej rozwinięcia w szereg Fouriera rozwiązania dokładnego <math>\theta(t)</math>, ograniczonej do trzech wyrazów rozwinięcia w funkcje sinusoidalne i kosinusoidalne. Ponownie jednak przybliżenie za pomocą sumy częściowej trzech wyrazów szeregu Fouriera daje znacznie mniejszy błąd średniokwadratowy aproksymacji.
# Jest to ogólna prawidłowość, stanowiąca treść jednego z twierdzeń analizy Fourierowskiej: spośród wszystkich funkcji, przybliżających daną funkcję za pomocą skończonej kombinacji liniowej funkcji sinusoidalnych i kosinusoidalnych najmniejszy średni błąd kwadratowy aproksymacji uzyska się dla współczynników będących współczynnikami rozwinięcia danej funkcji w szereg Fouriera (por. [[Szereg Fouriera#Dokładność aproksymacji funkcji szeregiem Fouriera. Efekt Gibbsa|Dokładności aproksymacji funkcji szeregiem Fouriera]]).

== Okres drgań wahadła dla dowolnie dużych amplitud ==
=== Zależność czasu drgań od kąta wychylenia wahadła ===
[[Plik:Pendulum period.svg|thumb|Zależność okresu drgań wahadła '''''T''''' od amplitudy drgań <math>\theta_0\in (0{}^\circ, 90{}^\circ)</math>|250x250px]]Rozwiązanie ogólnego równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy <math>\theta_0</math> można podać w postaci uwikłanej{{odn|Landau|Lifszyc|2011|s=41–46}}:
: <math>dt = \sqrt\frac{\ell}{2g} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}</math>

(wyprowadzenie tego wzoru pokazano dalej - w części '''Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów'''). Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do <math>\theta</math> otrzymuje się zależność czasu <math>t</math> od kąta wychylenia wahadła:
: <math>t(\theta) = \sqrt\frac{\ell}{2g}\int_0^\theta\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}.</math>

Całka w powyższym wzorze jest [[całki eliptyczne|całką eliptyczną niezupełną pierwszego rodzaju]]. 
=== Okres drgań o dowolnej amplitudzie ===
Przyjmując w powyższym wzorze wartość kąta <math>\theta=\theta_0 </math> w granicy górnej całki i mnożąc go przez 4 otrzyma się wzór na okres drgań wahadła o dowolnej amplitudzie drgań{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}:
: <math>T(\theta_0) = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\cdot K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right),</math>

gdzie <math>K</math> jest [[Całki eliptyczne#Całki eliptyczne zupełne|całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju]]. 

Z własności całek eliptycznych wynika, że wartość dla <math>K\left( \sin\tfrac{\theta_0}{2} \right)</math> rośnie ze wzrostem argumentu <math>\sin\tfrac{\theta_0}{2}</math>. Okres drgań zależy więc od amplitudy <math>\theta_0</math> i rośnie wraz z jej wzrostem (aż do nieskończoności dla amplitudy drgań <math>\theta_0=180^\circ</math>, gdy wahadło dąży do górnego położenia w pionie). Zależność tę pokazuje wykres. Częstotliwość drgań zaś maleje od częstotliwości małych drgań <math>\omega_0</math> do 0 (por. wykres w poprzednim rozdziale).

=== Obliczanie numeryczne okresu drgań wahadła ===
Całki eliptyczne są stablicowane (patrz np. [[Całki eliptyczne#Tabela wartości całek eliptycznych zupełnych K(k) i E(k)|Tabela wartości całek eliptycznych]]); obliczanie wartości tych całek jest także zaimplementowane w [[Język programowania|językach programowania]]; np. [[Python]] używa biblioteki funkcji specjalnych poprzez wywołanie instrukcji:<syntaxhighlight lang="python">
from scipy.special import ellipk
</syntaxhighlight>zaś instrukcja licząca okres drgań ma postać<syntaxhighlight lang="python">
T = 4*np.sqrt(L/g) * ellipk(k*k)
</syntaxhighlight>gdzie <math>k=  \sin\tfrac{\theta_0}{2}</math> - tzw. '''moduł''' całki eliptycznej.

'''<u>Uwaga</u>''': 

W Python należy liczyć wartość całki eliptycznej z <math>m = k*k</math> (tzw. '''parametr całki eliptycznej'''), nie z samej wartości <math>k</math>. 

=== Rozwinięcie wzoru na okres drgań o dowolnej amplitudzie w szeregi ===
('''1''') Całkę eliptyczną w powyższym wzorze można rozwinąć w [[Wzór Taylora|szereg Taylora]] względem <math>k=\sin \Big(\tfrac{\theta_0}{2}\Big) </math>, co prowadzi do wzoru{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}<ref name=":0" />
: <math>\begin{align}
T(\theta_0) &= 2\pi \sqrt\tfrac{\ell}{g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[\left( \tfrac{(2n)!}{( 2^n \cdot n!)^2}\right)^2 \cdot \sin^{2n}\left(\frac{\theta_0}{2} \right)\right] \\
&

= 2\pi \sqrt\tfrac{\ell}{g} \left[1+\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 \cdot\sin^2\left(\tfrac{\theta_0}{2}\right) 
+\left(\tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4} \right)^2 \cdot \sin^4 \left(\tfrac{\theta_0}{2}\right) 
+\left(\tfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \right)^2 \cdot \sin^6 \left(\tfrac{\theta_0}{2}\right)
+\ldots \right]
\end{align}</math>

('''2''') Dokładniejsze przybliżenie uzyskuje się rozwijając całkę eliptyczną w [[Wzór Taylora|szereg Maclaurina]] względem <math>\theta_0 </math> (przy czym całka winna być najpierw wyrażona w bazie [[Wielomiany Legendre’a|wielomianów Legendre'a]])<ref>{{Cytuj książkę|nazwisko=Kerschen|imię=Gaetan|tytuł=Topics in Nonlinear Dynamics, Volume 1|url=https://books.google.pl/books?id=yS8_AAAAQBAJ&pg=PA240|isbn=9781461465706|nazwisko2=Adams|imię2=Douglas|nazwisko3=Carrella|imię3=Alex|tom=1|tytuł tomu=Proceedings of the 31st IMAC, A Conference and Exposition on Structural Dynamics}}</ref>
: <math>T(\theta_0) = 2\pi \sqrt\tfrac{l}{g} \left( 1 + \tfrac{1}{16} \theta_0^2 + \tfrac{11}{3\ 072} \theta_0^4 + \tfrac{173}{737\ 280} \theta_0^6 + \tfrac{22\ 931}{1\ 321\ 205\ 760} \theta_0^8 + \ldots\right).</math>

Gdy w powyższych wzorach pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz [[#Przybliżenie małej amplitudy|wyżej]]). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego<ref>{{Cytuj stronę|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendl.html#c1|tytuł=Kalkulator okresów drgań wahadła matematycznego dla dowolnej amplitudy|autor=|opublikowany=|język=en|data dostępu=}}</ref>.

{{show
| Wyprowadzenie wzoru na <u>okres drgań</u> wahadła dla dowolnych kątów z zasady zachowania energii
|
[[Plik:simple pendulum height.svg|thumb|Związki geometryczne dla wahadła matematycznego.]]
Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z [[zasada zachowania energii|zasady zachowania energii mechanicznej]] wahadła. Energia ta jest zachowana, gdy na wahadło działają jedynie [[Siła zachowawcza|siły zachowawcze]], a opory ruchu nie występują, co tutaj zakłada się.

Jeżeli wahadło znajdowało się początkowo w położeniu <math>y_0= \ell \cos \theta_0   </math> i opadło do położenia <math>y_1 = \ell \cos\theta</math> (por. rysunek), to nastąpiła zmiana jego wysokości o wielkość <math>h </math> daną wzorem{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1976|s=340–343}}
: <math>h = \ell \cos\theta- \ell \cos\theta_0 </math>
Zmiana wysokości wahadła powoduje ubytek jego [[energia potencjalna|energii potencjalnej]] grawitacji oraz równy mu przyrost [[energia kinetyczna|energii kinetycznej]], 
: <math>\Delta E_p = \Delta E_k</math>
czyli
: <math>\frac{1}{2}mv^2 = mgh,</math>

gdzie <math>v</math> - prędkość, jaką uzyskało wahadło. Stąd mamy
: <math>v = \sqrt{2gh}.</math>

Ponieważ
: <math>v = \ell\frac{d\theta}{dt},</math> 

gdzie <math>\frac{d\theta}{dt}</math> jest [[Prędkość kątowa|prędkością kątowa]] wahadła, mierzoną względem jego punktu zamocowania, to z porównania powyższych wzorów otrzymuje się
: <math>\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{\ell}\sqrt{2gh}</math>

Wstawiając do powyższego wzoru wyprowadzoną wcześniej zależność <math>h = \ell \cos\theta- \ell \cos\theta_0 </math> otrzymuje się{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1976|s=340–343}}
: <math>\frac{d\theta}{dt} = \sqrt{\frac{2g}{\ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}</math>

Stąd
: <math>dt = \sqrt\frac{\ell}{2g}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}</math>

Okres wahań ''<math>T </math>'' otrzyma się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do <math>\theta_0</math> i mnożąc całkę przez 4 (wahadło wraca do początku ruchu po 4 takich ruchach){{odn|Kittel|Knight|Ruderman|1993|s=256–257}}'':''
: <math>T = 4 \sqrt\frac{\ell}{2g}\int_0^{\theta_0}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}.</math>

Całka występująca w powyższym wzorze jest [[Całki eliptyczne|całką eliptyczną]]. Aby przepisać ją do '''postaci Legendre’a''', której używa się standardowo w tablicach wartości tych całek (por. niżej) oraz w [[Język programowania|językach programowania]] (np. w Python, C++), wprowadza się nową zmienną <math>u</math>, taką że <math>\sin{u} =  \tfrac{\sin\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta_0}{2}};</math> ostatecznie otrzymuje się wzór na okres drgań wahadła{{odn|Kittel|Knight|Ruderman|1993|s=256–257}}<ref>{{MathWorld|adres=EllipticIntegraloftheFirstKind |tytuł=Elliptic Integral of the First Kind |data dostępu=2015-04-25}}</ref>
: <math>T = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\text{K} \Big( \sin \tfrac{\theta_0}{2}\Big)</math>

gdzie '''''<math>K</math>''''' jest [[całki eliptyczne#zupełna całką eliptyczna pierwszego rodzaju|całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju]] zdefiniowaną wzorem:
: <math>\text{K}(k) = F \left( \frac{\pi}{2}, k \right) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2u}}\,du</math>

przy czym 
: <math>k = \sin\tfrac{\theta_0}{2}</math> - tzw. '''moduł całki eliptycznej'''.

Całkę '''''<math>K(k)</math>''''' można rozwinąć w szereg względem modułu eliptycznego '''''<math>k</math>'''''{{odn|Kittel|Knight|Ruderman|1993|s=256–257}}
: <math>\text{K}(k) = \frac{\pi}{2} \left\{ 1+ \sum_{n=1}^\infty \left[\left( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right)^2 \cdot k^{2n} \right]\right\},</math>

co prowadzi do wzoru na okres drgań wyrażony przez szereg, podany wyżej.
}}
{{show 
|Wyprowadzenie <u>równania ruchu</u> wahadła z zasady zachowania energii mechanicznej
|

Różniczkując względem czasu wyprowadzone wyżej równanie na prędkość kątową <math>\frac{d\theta}{dt} = \sqrt{\frac{2g}{\ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}</math> (z użyciem [[Reguła łańcuchowa|reguły łańcuchowej]]) otrzyma się przyspieszenie kątowe
: <math>\frac{d}{dt}\frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}\sqrt{\frac{2g}{\ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}</math>

czyli
: <math>\begin{align}
\frac{d^2\theta}{dt^2} &= \frac{1}{2}\frac{-(2g/\ell) \sin\theta}{\sqrt{(2g/\ell) \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}}\frac{d\theta}{dt} \\
&= \frac{1}{2} \frac{-(2g/\ell) \sin\theta}{\sqrt{(2g/\ell) \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}}\sqrt{\frac{2g}{\ell} \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)} = -\frac{g}{\ell}\sin\theta.
\end{align}</math>

Stąd:
: <math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0,</math>

co jest tym samym równaniem, które zostało wyprowadzone wcześniej z analizy sił.
}}
== Dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnych amplitud - ruch oscylacyjny ==
[[Plik:Pobrane_(1)_(15).png|mały|250x250px|Rozwiązania analityczne nieliniowego równania ruchu wahadła dla różnych amplitud kątowych za pomocą '''funkcji sinus amplitudy Jacobiego''' dla wahadła "sekundowego", tj. o długości 0.25 m i okresie małych drgań T= 1 s. Dla amplitudy 10° okres drgań niewiele odbiega od okresu dla małych drgań, a wykres jest sinusoidą. Dla amplitudy 133° okres T=1.5 s, czyli jest 50% dłuższy. Dla amplitudy 160° okres T=3 s,  czyli jest 100% dłuższy. Dla 179.999° obliczenia numeryczne sugerują, iż wahadło wykazuje <u>ruch pełzający</u> (jest to efektem zaokrągleń numerycznych, de facto drgania są oscylacyjne dla amplitud < 180°). Warunki początkowe ('''a'''). ]]Omówiony zostanie tu przypadek ruchu oscylacyjnego wahadła, tj. dla amplitud drgań <math>\theta_0<180^\circ </math>. (Przypadek ruchu o amplitudzie <math>\theta_0= 180^\circ </math>, tzw. ruch asymptotyczny, omówiono dalej.) Jawną zależności kąta wychylenia wahadła od czasu <math>\theta(t) </math> dla dowolnie dużych amplitud w ruchu oscylacyjnym uzyskuje się obliczając funkcję odwrotną do funkcji <math>t(\theta) </math> podaną w poprzednim rozdziale, przy czym wykorzystuje się funkcję [[Funkcje amplitudy|sinus amplitudy Jacobiego]]<ref name=":0">G. Białkowski, s. 244</ref>.  

('''a''') Jeżeli zada się warunki początkowe <math> \theta(0)=0 </math>, <math> \Omega_0 = \tfrac{d \theta(t)}{dt}\big|_{t=0} \neq 0 </math> (tj. w chwili <math>t=0 </math> wahadło w pionie oraz posiada zadaną prędkość kątową), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję <u>sinus amplitudy Jacobiego</u> <math>\operatorname{sn}</math>{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=96}}<ref name=":0" />:
: '''<math>\theta(t)=2\arcsin \Big[ k\cdot\operatorname{sn}
\Big(k;\omega_0 t \Big) \Big]
</math>,'''

gdzie :
* <math>\omega_0 = \sqrt\tfrac{g}{l}</math>
* <math>k=\tfrac{\Omega_0}{2  \omega_0} <1</math>

('''b''') Jeżeli zada się warunki początkowe <math> \theta(0)= \theta_0 </math>, <math> \Omega_0 = \tfrac{d \theta(t)}{dt}\big|_{t=0} = 0 </math> (tj. w chwili <math>t=0 </math> wahadło odchylone od pionu o maksymalny kąt <math> \theta_0 </math>), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję <u>sinus amplitudy Jacobiego, ale trzeba dokonać przesunięcia wykresu "w tył" na osi czasu</u> {{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=96}}
:<math>\theta(t)=2\arcsin \big[ k\cdot\operatorname{sn}
\big(k;\omega_0(t+T/4) \big) \big]
</math>

[[Plik:PendulumNonlineatTimeShift.png|thumb|Wykresy <math>\theta(t)
</math> dla różnych amplitud dla wahadła "sekundowego"; warunki początkowe ('''b''').Dla małych drgań wykres jest kosinusoidą|250x250px]]

:

gdzie:
* <math>k=\sin\tfrac{\theta_0}{2}</math>
* <math>T(\theta_0) = \frac{4}{\omega_0}\,\cdot K( k)</math> - okres drgań wahadła

'''<u>Uwaga 1</u>:'''  

Ruch oscylacyjny zachodzi dla amplitud drgań <math>\theta_0<180^\circ </math>. Z zależności <math>k=\sin\tfrac{\theta_0}{2}</math> wynika, że dla ruchu oscylacyjnego  <math>k<1</math>.

<u>'''Uwaga 2:'''</u>

Zachodzi równość <math>k=\sin\tfrac{\theta_0}{2}=\tfrac{\Omega_0}{2\omega_0}  </math>, jeżeli dla amplitudy drgań <math>\theta_0</math> prędkość kątowa wahadła wynosi <math>\Omega_0</math>, gdy przechodzi przez położenie równowagi. (Związek ten łatwo wyprowadzić z zasady zachowania energii.) Ma to znaczenie praktyczne: łatwiej zadać amplitudę drgań wahadła, niż jego prędkość kątową, a i tak ruch będzie poprawnie odtworzony przy założeniu warunków początkowych ('''a''').

'''<u>Uwaga 3</u>: Ogólne warunki początkowe a ruch oscylacyjny wahadła'''

Warunki <math>\theta_0<180^\circ </math> oraz <math>\Omega_0<2\omega_0</math> określają, kiedy zachodzi ruch oscylacyjny dla przypadków ('''a''') i ('''b''') warunków początkowych. W ogólnosci warunki początkowe można zadać poprzez określenie dowolnego położenia kątowego <math>\theta(0) </math> i dowolnej prędkości kątowej <math>\Omega(0)</math> wahadła w chwili <math>t=0</math>. To, jaki rodzaj ruchu będzie wykonywać wahadło dla tych ogólnych warunków początkowych, można określić rozważając [[Energia mechaniczna|energię mechaniczną]] wahadła, co zostało omówione [[Wahadło#Całkowita energia mechaniczna a mody ruchu wahadła. Krzywe fazowe|dalej]]. 

'''<u>Uwaga 4</u>: Precyzja obliczeń numerycznych'''  

Na zamieszczonych tu wykresach <math>\theta(t) </math> dla amplitudy <math>\theta_0 = 179.999^\circ </math> obliczenia numeryczne sugerują, iż wahadło wykazuje ruch pełzający, pomimo że rozwiązania analityczne wskazują, że wahadło wykonuje wtedy drgania oscylacyjne (jest tak dla amplitud dowolnie mniejszych od 180°). Otrzymany wynik numeryczny jest efektem zaokrągleń numerycznych (por. np. [[epsilon maszynowy]]). Zwiększenie precyzji obliczeń może być osiągnięte za pomocą oprogramowania współczesnej [[Duże liczby całkowite|arytmetyki dowolnej precyzji]], która pozwala prowadzić obliczenia z dokładnością do wielu tysięcy cyfr znaczących, a jedyne ograniczenie stanowi dostępna pomięć komputera.  

=== Generowanie wykresów drgań z użyciem funkcji sinus amplitudy Jacobiego ===
Zamieszczony tu program w [[Python|języku Python]] generuje wykresy <math>\theta(t)
</math> dla dowolnych amplitud <math>\theta_0\in <0, 180)
</math>; program korzysta m.in. z biblioteki scipy.special do liczenia całek eliptycznych oraz funkcji sn amplitudy Jacobiego. Program można testować, korzystając np. z <u>darmowego notatnika</u> [https://colab.google colab google] online.

<syntaxhighlight lang="python" line="1">import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import ellipk, ellipj

# Constants (can be changed)  ---------------------
theta_0_deg_list = [10, 133, 160, 179.99999] # List of amplitudes in degrees
time_max = 3.2    # Time range in seconds
time_steps = 1000
plt.figure(figsize=(10, 10)) # Size of a plot
g = 9.81          # Acceleration due to gravity (m/s^2)
L = 0.25          # Length of the pendulum (m)
T_0 = 4 * np.sqrt(L / g) * ellipk(0)      # Period for small amplitudes
# Calculations  ---------------------
t = np.linspace(0, time_max, time_steps)  # Time array
for theta_0_deg in theta_0_deg_list:      # Loop through each amplitude theta_0
    theta_0 = np.radians(theta_0_deg)     # Convert to radians
    k = np.sin(theta_0 / 2)               # Elliptic modulus
    T = 4*np.sqrt(L/g) * ellipk(k**2)/T_0 # Period of the pendulum
    t_0 = 0 #T/4                          # Time shift (can be changed)
    u = np.sqrt(g/L) * (t+t_0)            # Time parameter for theta_0
    sn, cn, dn, ph = ellipj(u, k**2)      # The Jacobi elliptic functions
    theta = 2 * np.arcsin(k * sn)         # Theta as a function of time
    # Plotting the result for theta_0
    plt.plot(t/T_0, np.degrees(theta), label=r'$\theta_0 = {}^\circ$'.format(theta_0_deg))

# Plot customization
plt.xlabel('time (s)', fontsize=20)
plt.ylabel('θ(t) [${}^\circ$]', fontsize=20)
plt.title('Nonlinear pendulum solutions for different amplitudes', fontsize=20)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=18)
plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=18)
plt.show()</syntaxhighlight>

== Analiza Fourierowska drgań wahadła ==

=== Podstawowe wzory analizy Fourierowskiej ===
[[Plik:NonlinearMitionOfPendulumAmplitude179.999.png|thumb|prawo| 250x250px]]

[[Plik:NonlinearPendulumFourierCoefficients.png |thumb| Współczynniki Fouriera - nieliniowy ruch wahadła matematycznego o amplitudzie <math>\theta_0 =179.99</math>° i długości <math> \ell=0.25 </math> m. Widać, iż dla tego ruchu występują tylko nieparzyste składowe sinusoidalne. Oprócz składowej sinusoidalnej o podstawowej częstotliwości <math>\omega=2\pi/T</math>, gdzie <math>T\approx 6.85 </math> s występują składowe o częstotliwościach <math>3\omega, 5 \omega, 7\omega</math>, itd. o znacznych amplitudach, co wskazuje na silną anharmoniczność drgań. Zauważ, że okres małych drgań (harmonicznych) wynosiłby <math t_0="1</math">T_0=1</math>s.  (W obliczeniach współczynników Fouriera użyto klasycznych wzorów całkowych.) |prawo |250x250px]]
[[File:NonlinearPendulumMotionAndFourierSereiesApproximation179.99.png|thumb|Zależność kąta wychylenia wahadła od czasu dla amplitudy <math>\theta_0 = 179.99 </math>° i aproksymacja sumą częściową szeregu Fouriera z  N= 14 wyrazami. Wykresy praktycznie pokrywają się (widać to dokładnie przy powiększeniu). Mniejsza liczba wyrazów nie daje już tak dobrego przybliżenia.|250x250px]]
Znając zależność kąta wychylenia od czasu <math>\theta(t)</math> można rozwinąć ją w [[szereg Fouriera]]:

: <math>\theta(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)],</math>

gdzie:
: <math>a_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \theta(t) \cos \left( \omega \, nt \right) dt,\quad n = 0, 1, 2, 3,\dots,</math>
:<math>b_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \theta(t) \sin \left( \omega \, n t \right) dt,\quad n = 1, 2, 3,\dots</math>
: <math>T</math> - okres drgań wahadła (dla dowolnej amplitudy drgań),
: <math>\omega= \tfrac{2 \pi}{T}</math> - podstawowa częstość kołowa w rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera

=== Widmo Fouriera oscylacji zaczynających się od położenia równowagi ===
Załóżmy, że wahadło zaczyna ruch od najniższego położenia pionowego i wykonuje oscylacje o dużej amplitudzie <math>\theta_0 =179.99^\circ</math>. Na rysunkach pokazano wykres zależności kąta wahadła od czasu, widmo Fouriera oraz przybliżenie sumą częściową szeregu Fouriera zawierającą wyrazy o indeksach <math>n=0, 1, \dots, 14</math>:
: <math>\theta(t) \approx S_{14}(t) = \sum_{n=0}^{14} [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]</math>
Z analizy Fouriera widać, że wszystkie współczynniki <math>a_n</math> zerują się (co oznacza, że widmo Fouriera nie ma składowych kosinusoidalnych), zaś niezerowe współczynniki  <math>b_n</math> mają indeksy nieparzyste. Dla drgań o bardzo dużej amplitudzie zależność kąta wahadła od czasu zawiera  więc wiele składowych harmonicznych - w tym wypadku składowych sinusoidalnych <math>\sin n \omega</math> o częstotliwościach <math>n=1, 3, 5, \ldots </math> razy większych od częstotliwości podstawowej <math> \omega</math>. W ogólności mamy  
: <math>\theta(t) = \sum_{n\ge1 \, nieparzyste}^{\infty} b_n \sin (n\omega t)</math>
Wynik ten oznacza, iż dla wahadła rozpoczynającego ruch w chwili <math>t=0</math> od położenia równowagi zależność kąta odchylenia wahadła od pionu jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzystą funkcją]] czasu, tj. <math>\theta(-t)=-\theta(t).</math> Ponadto, dla dużych amplitud drgań częstotliwość podstawowa <math>\omega</math> jest mniejsza niż dla małych drgań, gdyż rośnie okres drgań <math>T</math> ze wzrostem amplitudy, więc częstotliwość maleje. Własności te uwidaczniają wykresy.  

=== Widmo Fouriera oscylacji zaczynających się od maksymalnego wychylenia ===
Dla wahadła rozpoczynającego ruch w chwili <math>t=0</math> od maksymalnego wychylenia kątowego, zależność kąta odchylenia wahadła od pionu jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|parzystą funkcją]] czasu, tj. <math>\theta(-t)=\theta(t)</math> i dlatego współczynniki <math>b_n</math> w szeregu Fouriera są równe zero. Ponadto, współczynniki <math>a_n</math> o parzystych indeksach zerują się, w tym składowa <math>a_0</math>. Stąd otrzymuje się

: <math> \theta(t) = \sum_{n\ge1 \, nieparzyste}^\infty a_n \cos (n\,\omega t) </math>

tj. w widmie Fouriera takiego ruchu wahadła występują składowe harmoniczne <math>\cos n \omega</math> o częstotliwościach <math>n=1, 3, 5, \ldots </math> razy większych od częstotliwości podstawowej <math> \omega</math>. 

=== Widmo Fourierowskie dowolnych drgań wahadła ===
Z analizy Fourierowskiej wynika, że <u>dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła zawiera nie jedną harmoniczną</u> (jaką otrzymuje się w przybliżeniu funkcji sinus jednym wyrazem szeregu Maclaurina, tj. przyjmując <math>\sin\theta \approx \theta </math> - przy założeniu małych drgań), <u>nie dwie harmoniczne</u> (co otrzymuje się w rozwinięciu Maclaurina dwoma wyrazami, tj. przyjmując <math>\sin\theta \approx \theta -\frac{1}{6} \theta^3</math>), ale w ogólności <u>składowych harmonicznych jest nieskończenie wiele</u>. Amplitudy wyższych harmonicznych są określone przez współczynniki szeregu Fouriera. Wyższe harmoniczne mają coraz mniejsze amplitudy.

== Rozwiązanie dokładne za pomocą nomu eliptycznego ==
[[File:NomlinearPendulumSolutionByFourierSeriesWithNomeAmplitide179.999998.png|thumb|Rozwiązanie ruchu wahadła za pomocą sumy Fouriera z nomem eliptycznym - ekstremalnie duża amplituda 179.999998 stopni.|250x250px]]

Niezwykle dokładne rozwiązanie <math>\theta(t)</math> równania wahadła otrzymuje się za pomocą szeregu Fouriera, w którym współczynniki całkowe <math>a_n</math> i <math>b_n</math> Fouriera przybliża się za pomocą tzw. nomu eliptycznego. Dla warunków początkowych ('''b''') szereg ten ma postać<ref>{{Cytuj |autor = Derek F. Lawden |tytuł = Elliptic Functions and Applications |data = 1989 |isbn = 0-387-96965-9 <!-- nieprzetłumaczone parametry: | page = 40 --> |wydawca = Springer-Verlag}} Eq. 2.7.9: <math display="inline">-kk'\int\operatorname{sd}u\, \mathrm du=\arcsin (k\operatorname{cd}u)+C</math></ref><ref>{{cytuj |autor = W. P. Reinhardt, P. L. Walker |tytuł = Jacobian Elliptic Functions}}</ref>
: <math>\theta(t) = \sum_{n \geq 1\text{  nieparzyste}}8\cdot\frac{(-1)^{\left\lfloor{n/2}\right\rfloor}}{n}\frac{q^{n/2}}{1+q^{n}}\cos(n\omega t)</math>
gdzie:

* <math>\theta_0</math> - amplituda drgań wahadła
* <math>k=\sin (\theta_0/2)</math>  - moduł
* <math>K(\sqrt{1-k^2}), K(k)</math>  - całki eliptyczne zupełne 1. rzędu
* <math>q=\exp\left({-\pi K(\sqrt{1-k^2}) \big/ K(k)}\right)</math> - tzw. nom eliptyczny
* <math>T = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,\cdot K( k)</math> - okres drgań (zależny od amplitudy <math>\theta_0</math> poprzez moduł ''k''), <math>\omega= 2\pi/T</math> - częstotliwość drgań
* [n/2] oznacza tu dzielenie całkowite liczby n; np. dla liczb nieparzystych <math> n= 1, 3, 5</math>  mamy:<math>[1/2] =0, [3/2] =1, [5/2] =  2.</math>   

Definiując
: <math>\varepsilon=\tfrac12\cdot \tfrac{1-\sqrt{\cos(\theta_0/2)}}{1+\sqrt{\cos(\theta_0/2)}}</math>
<math>q</math> można przybliżyć wyrażeniem
: <math>q = \varepsilon + 2\varepsilon^5 + 15\varepsilon^{9} + 150\varepsilon^{13} + 1707\varepsilon^{17} + 20910\varepsilon^{21} + \cdots</math>
Ponieważ <math>\varepsilon < \tfrac 1 2</math> dla <math>\theta_0<\pi</math>, dlatego przybliżenie to jest znakomite nawet dla ekstremalnie dużych amplitud, bliskich <math>\pi [\text{rad}]=  180^\circ.</math> Przykładową dokładności tej metody pokazuje wykres, gdzie uzyskano wynik obliczeń dla kąta <math>\theta(t)</math>=179.999998 stopni. 

'''<u>Uwaga</u>''': Takiej dokładności obliczeń jak tu pokazanych nie da się uzyskać za pomocą funkcji eliptycznej sn Jacobiego z biblioteki funkcji specjalnych języka Python (por. wykresy wyżej pokazane).  

==Ruch asymptotyczny wahadła ==
[[File:PendulumAsymptoticMotion.png|thumb|Ruch asymptotyczny wahadeł o trzech różnych długościach.|250x250px]]
Załóżmy, że wahadłu o długości <math> l </math>, wiszącemu w pozycji pionowej, nadano energię kinetyczną <math> E_{k 0 }=\tfrac{mv_0^2}{2} </math> równą energii potencjalnej <math> E_{p \,\text{max} }=2mgl </math>, jaką ma wahadło w pozycji odwróconej, w górnym położeniu; z porównania obu wzorów wynika, że prędkość początkowa wahadła <math>v_0 </math> ma wartość
: <math>v_0=2\sqrt{gl}</math>
Prędkość kątową początkową wahadła określa wzór <math>\Omega_0=v_0/l</math>; stąd
: <math>\Omega_0=2\omega_0</math>
Rozwiązanie równania ruchu wahadła w takiej sytuacji przyjmuje postać {{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=98}}
: <math> \theta(t) = 4 \arctan\, [ e^{\omega_0 t} ] - \pi </math>
gdzie <math> \omega_0= \sqrt{\tfrac{g}{l}} </math>.

Z równania tego wynika, że dla czasu <math>t </math> dążącego do nieskończoności kąt odchylenia wahadła <math>\theta(t) </math> będzie asymptotycznie zbliżać się do wartości <math>\pi </math> [rad]<math>=180^\circ </math>, w której wahadło będzie w odwróconej pozycji; z faktu, iż ruch ten będzie trwał nieskończenie długo wynika, że ruch ten będzie odbywał się z coraz mniejszą prędkością. Ruch taki nazywa się '''ruchem asymptotycznym''' lub '''pełzającym'''. Jak widać, ruch ten jest aperiodyczny{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=98}} .

== Ruch obrotowy wahadła ==
[[File:PendulumRotatingMotionThetaPlot.png|thumb|Wykres kąta obrotu wahadła (liczony w liczbie zakreślonych połówek pełnego obrotu) w zależności od czasu; ruch obrotowy; okres obrotu T= 18.9 s.|250x250px]]
W przypadku ruchu obrotowego wahadła jego <u>położenie kątowe</u> <math>\theta(t)</math> opisuje funkcja {{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=98}} 

: <math> \theta(t) = 2 \cdot \mathrm{am}\left( \frac{1}{k}, \omega_0 t\right) </math>
gdzie:
: <math>\mathrm {am}()</math> - [[Funkcje eliptyczne Jacobiego#Definicja funkcji amplitudy Jacobiego|funkcja amplitudy Jakobiego]]
: <math> \omega_0= \sqrt{\tfrac{g}{l}} </math>
: <math>k= \frac{\Omega_0}{2\omega_0}>1</math> - odwrotność modułu funkcji eliptycznych Jacobiego
: <math>\Omega_0</math> - <u>prędkość kątowa wahadła</u> w chwili, gdy było w dolnym położeniu

Aby wahadło wykonywało ruch obrotowy, to jego początkowa prędkość kątowa musi spełniać warunek <math>\Omega_0> 2\omega_0</math>, co oznacza, że ruch obrotowy odbywa się przy odpowiednio dużej energii całkowitej, większej niż energia potencjalna wahadła, gdy jest w górnym, najwyższym położeniu. (Zależność tę łatwo wyprowadzić na podstawie rozważań z poprzedniego rozdziału.) Stąd wynika podany wyżej warunek, że <math>k= \tfrac{\Omega_0}{2\omega_0}>1</math>.

Z wykresu widać, że położenie kątowe wahadła rośnie z upływem czasu - ruch bowiem odbywa się stale w tę samą stronę, przeciwnie niż ma to miejsce w przypadku oscylacji.

<u>Okres ruchu obrotowego</u> wahadła wyraża się wzorem {{odn|G. Białkowski|1975|s=243}}
: <math> T = \frac{4}{\Omega_0} K\left(\frac{1}{k}\right) </math>
gdzie <math>K</math> to całka  eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju. Przez okres ruchu rozumie się w tym przypadku wykonanie przez wahadło pełnego obrotu wokół punktu zamocowania. Z wzoru tego wynika, że im większa jest początkowa prędkość kątowa <math>\Omega_0,</math> to tym krótszy jest okres obrotu, co jest oczywiste.  

Dla bardzo dużych wartości <math>\Omega_0</math> wartość modułu <math>\tfrac{1}{k}=\tfrac{2\omega_0}{\Omega_0}<<1</math> - wtedy można przybliżyć całkę eliptyczną do zerowego wyrazu rozwinięcia w szereg, tj. <math> K\left(\tfrac{1}{k}\right)\approx \tfrac{\pi}{2} </math>. Wtedy <math> T = \tfrac{2\pi}{\Omega_0} </math> - wynik ten mówi, że gdy prędkość początkowa jest bardzo duża, to wahadło nie odczuwa wpływu siły ciążenia{{odn|G. Białkowski|1975|s=244}}. 

'''<u>Uwagi:</u>''' 

('''1''') Wartość całki eliptycznej we wzorze na okres ruchu oblicza się tu dla modułu eliptycznego który jest odwrotnością parametru <math>k</math>, inaczej niż w przypadku ruchu oscylacyjnego. Musi tak być z tego m.in. względu, że całka eliptyczna <math>K(k')</math> ma wartości rzeczywiste tylko gdy <math>|k'|<0</math>, tu zaś <math>k > 1</math>.

('''2''') Starsze wydanie W. Rubinowicz, W. Królikowski, ''Mechanika'' ''teoretyczna'', omyłkowo podaje <math> T = \tfrac{4}{\Omega_0} K\left(k\right) </math>{{odn|Królikowski|Rubinowicz|1967|s=99}}. Z tego wzoru otrzymuje się liczbę zespoloną.

== Całkowita energia mechaniczna a mody ruchu wahadła. Krzywe fazowe ==
[[Plik:Puit_potentiel_pendule.svg|link=https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Puit_potentiel_pendule.svg|mały|250x250px|Studnia energii potencjalnej wahadła.]]
[[Plik:Pendulum phase portrait.svg|thumb|('''a''') Wykres energii potencjalnej wahadła prostego podzielonej przez maksymalną energię <math> E_{p \,\text{max} }=2mgl </math>  w zależności od kąta wychylenia (u góry) ('''b''') krzywe fazowe, tj. krzywe zależności współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu). Krzywe <u>zamknięte</u> dla <math>\theta<-\pi</math> oraz <math>\theta>\pi</math> nie mają sensu fizycznego. 

Trajektorie otwarte przechodzące ponad i poniżej separatriksa odpowiadają odpowiednio obrotom w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

|253x253px]]
Jeżeli brak jest oporów ruchu (co tutaj zakładamy), to '''całkowita energia mechaniczna''' wahadła <math>E_{calkowita}</math> nie zmienia się; można ją przyjąć jako najogólniejszy parametr w analizie ruchu wahadła zamiast innych warunków początkowych{{odn|Landau|Lifszyc|2011|s=41–46}}. Od wielkości całkowitej energii mechanicznej zależy bowiem, jaki rodzaj ruchu ('''mod''') będzie wykonywać wahadło: ruch oscylacyjny, asymptotyczny czy rotacyjny.  

Innym sposobem analizy '''[[Układ nieliniowy|układów nieliniowych]],''' do których należy wahadło, jest analiza [[Przestrzeń fazowa|krzywych fazowych]].  W ogólnym przypadku są to krzywe, przedstawiające zależność [[Współrzędne uogólnione|prędkości uogólnionych]] od [[Współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] układu dynamicznego.  

'''Krzywe fazowe''' w przypadku wahadła przedstawiają zależność prędkości kątowej wahadła od jego położenia kątowego. Równania  krzywych fazowych zadaje się za pomocą [[Równanie parametryczne|równań parametrycznych]] <math>\theta(t) </math>, <math>\omega(t)=\tfrac{d\theta}{dt} </math>, gdzie parametrem jest czas ruchu <math>t </math>. 

Niech <math>E_{\pi}=2 m g l</math> oznacza energię potrzebną do odchylenia wahadła z dolnego położenia równowagi do położenia górnego w pionie, tj. do odchylenia o kąt <math>\pi [rad]=180^\circ,</math> gdzie <math>\ell</math> - długość wahadła. 

'''Wykresy fazowe''' pozwalają odróżnić poszczególne przypadki ruchu{{odn|Kittel|Knight|Ruderman|1993|s=256–257}}:

1) <math>E_{calkowita} <E_{\pi }</math> - wtedy wahadło wykonuje '''<u>ruch oscylacyjny</u>''' pomiędzy <u><math>-\theta_0</math></u> a <math>\theta_0</math>. Krzywe fazowe są <u>krzywymi zamkniętymi</u>; kształt krzywych fazowych jest niezależny od warunków początkowych, zależy jedynie od energii całkowitej - im większa jest ta energia, tym dalej odsunięta jest krzywa od punktu <math>(0, 0)</math>.

2) <math>E_{calkowita}=E_{\pi }</math> - wtedy wahadło wykonuje <u>'''ruch asymptotyczny'''</u> i osiąga stan równowagi nietrwałej w punkcie <math>(-\pi, 0)</math>, gdy poruszało się przeciwnie do założonego dodatniego kierunku obrotu lub w punkcie lub <math>(\pi, 0)</math>, gdy poruszało się zgodnie z nim; zależnie od tego mamy dwie otwarte krzywe fazowe; krzywe te <u>stykają się ze sobą</u> w punktach <math>(-\pi, 0)</math> oraz <math>(\pi, 0)</math>.

3) <math>E_{calkowita}>E_{\pi}</math> - wtedy wahadło wykonuje <u>'''ruch obrotowy'''</u>, co oznacza że kąt obrotu stałe zwiększa swoją wartość. Krzywe fazowe są <u>krzywymi otwartymi</u>; kształt krzywych fazowych jest niezależny od warunków początkowych, zależy jedynie od energii całkowitej - im większa jest ta energia, tym dalej odsunięta jest krzywa od punktu <math>(0, 0)</math>.

=== Uniwersalny parametr ''k''. Równania krzywych parametrycznych ===
Jak powiedziano wyżej, kształt krzywych fazowych nie zależy od założonych warunków początkowych, a jedynie od energii całkowitej wahadła. Warunki początkowe mają jedynie wpływ na postać równań, opisujących krzywe. Poniżej zestawiono równania parametryczne krzywych fazowych przy założeniu, iż w chwili początkowej <math>t=0</math> wahadło przechodziło z pewną prędkością kątową <math>\Omega_0</math> przez położenie równowagi. W równaniach użyto parametru <math>k= \tfrac{\Omega_0}{2\omega_0}</math>, gdzie <math> \omega_0= \sqrt{\tfrac{g}{l}} </math>. Parametr ten jest bezwymiarowy, co powala opisać mody ruchu wahadła w sposób uniwersalny (niezależnie od rozmiaru wahadła): 

a) ruch oscylacyjny: <math>E_{calkowita} <E_{\pi } \Leftrightarrow</math> <math>k<1</math>

b) ruch asymptotyczny: <math>E_{calkowita} =E_{\pi }\Leftrightarrow</math> <math>k= 1</math>

c) ruch rotacyjny: <math>E_{calkowita} >E_{\pi }\Leftrightarrow</math>  <math>k>1</math>

Powyższe warunki łatwo wyprowadzić z zasady zachowania energii mechanicznej:
: <math> E_{calkowita } = \frac{m(\Omega_0l)^2}{2}  </math> 
- całkowita energia mechaniczna wahadła, równa jego [[Ruch obrotowy#Energia kinetyczna ruchu obrotowego|energii kinetycznej ruchu obrotowego]] w chwili początkowej. Z warunku <math>E_{calkowita} <E_{\pi }=2 m g l </math> otrzymamy 
: <math> \frac{m(\Omega_0l)^2}{2} < 2mgl </math>,    
co daje:
: <math> \Omega_0 < 2\sqrt{\tfrac{g}{l}}=2\omega_0 </math>
Stąd mamy <math>k= \tfrac{\Omega_0}{2\omega_0}<1</math>. Pozostałe dwa warunki wyprowadza się analogicznie.

Wzory na prędkość kątową <math>\omega(t) </math> wyprowadza się z zależności <math>\omega(t)=\tfrac{d\theta}{dt} </math>. Wymaga to znajomości pochodnych funkcji eliptycznych Jacobiego oraz funkcji amplitudy am Jacobiego (por. [[Funkcje eliptyczne Jacobiego#Pochodne funkcji sn, cn, dn|funkcje eliptyczne Jacobiego]]).

1) '''Ruch oscylacyjny <math>k<1</math>'''
[[File:PhaseCurvesPendulum.png|thumb|Krzywe fazowe wahadła "sekundowego" - ruch oscylacyjny i asymptotyczny, wykreślony dla czasu '''<math>t\in<0, 1></math>''', zaczynającego się od dolnego położenia pionowego z różnymi prędkościami kątowymi. Widać, że im większa amplituda drgań, tym mniejszy fragment krzywej fazowej zakreśla wahadło w ciągu czasu t= 1 sekunda. Wykres dla k=1 przedstawia ruch asymptotyczny - większość trajektorii została zakreślona w czasie 1 sekundy, pomimo to ruch trwa nieskończenie długo.|250x250px]]

Równania parametryczne krzywych fazowych:

: <math>\begin{cases}\theta(t)=2\arcsin[ k\cdot\operatorname{sn}
(k;\omega_0 t)] \\
\omega(t)=2k \omega_0 \operatorname{cn}(k;\omega_0 t) 
\end{cases}</math>

gdzie:  '''<math>\mathrm{arcsin }()</math>''' - [[Funkcje cyklometryczne|arcus sinus]], '''<math>\mathrm{sn}(),\mathrm{cn}()</math>''' - funkcje eliptyczne <u>sinus</u> i <u>cosinus</u> Jacobiego

2) '''Ruch asymptotyczny <math>k=1</math>'''

Równania parametryczne krzywych fazowych:

: <math>\begin{cases} \theta(t) = 4 \arctan\, [ e^{\omega_0 t} ] - \pi \\
\omega(t)=2\omega_0/\cosh(\omega_0t)
\end{cases}</math>
gdzie: '''<math>\mathrm{arctan }()</math>''' - [[Funkcje cyklometryczne|arcus tangens]], '''<math>\mathrm{cosh}()</math>''' - [[Funkcje hiperboliczne|cosinus hiperboliczny]]

3) '''Ruch rotacyjny <math>k >1</math>''' 

Równania parametryczne krzywych fazowych: 

: <math> \begin{cases} \theta(t) = 2 \cdot \mathrm{am}\left( \frac{1}{k}, \omega_0 t\right)\\
\omega(t)=2k \omega_0 \,\mathrm{dn}\big(\tfrac{1}{k}; k\omega_0 t\big)
\end{cases} </math>
gdzie: '''<math>\mathrm{am}()</math>''' - funkcja eliptyczna amplitudy Jacobiego, '''<math>\mathrm{dn}()</math>''' - funkcja eliptyczna <u>delta</u> Jacobiego


=== Symulacje ruchu wahadła i odpowiadające im krzywe fazowe ===
<gallery>
Plik:Pendulum_0deg.gif|Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.
Plik:Pendulum_45deg.gif|Amplituda drgań 45°
Plik:Pendulum_90deg.gif|Amplituda drgań 90°
Plik:Pendulum_135deg.gif|Amplituda drgań 135°
Plik:Pendulum_170deg.gif|Amplituda drgań 170°
Plik:Pendulum_180deg.gif|Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.
Plik:Pendulum_190deg.gif|Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.
Plik:Pendulum_220deg.gif|Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebna na pełny obrót.
</gallery>


== Uniwersalność wzoru opisującego ruch wahadła. Co oznacza g? ==
Równanie ruchu wahadła jest uniwersalne - jest słuszne nie tylko dla drgań na Ziemi, ale dla drgań na dowolnym ciele niebieskim (jeśli takie wahadło można by tam zainstalować); np. na [[Księżyc|Księżycu]], gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi, identyczne wahadło miałoby <math>\sqrt 6</math> razy dłuższy okres drgań. 

Jest też słuszne np. w windzie, spadającej z przyspieszeniem w kierunku Ziemi. Gdyby winda poruszała się z przyspieszeniem ziemskim, to przedmioty znajdujące się w niej byłyby w stanie nieważkości. Wyjaśnienie tego jest następujące:  do opisu ruchu wahadła w układzie odniesienia związanym z windą, który z racji ruchu przyspieszonego względem Ziemi jest układem nieinercjalnym, trzeba wprowadzić oprócz siły grawitacji [[Siła bezwładności|siłę bezwładności]] - jeżeli winda poruszałaby się z przyspieszeniem ziemskim, to siła ciężkości ciała  byłaby równoważona przez siłę bezwładności, działającej na to ciało - ciało byłoby się w [[Nieważkość|stanie nieważkości]]. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywałoby (było w równowadze trwałej) albo poruszało się ruchem jednostajnym po okręgu{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1984|s=371}}.

W równaniu ruchu wahadła współczynnik <math>g</math> należy więc rozumieć jako przyspieszenie ciał swobodnie spadających, mierzone w układzie nieruchomym względem punktu zamocowania nici wahadła. Łatwo pokazać zgodność powyższych efektów (obserwowanych np. w stacjach krążących wokół Ziemi) z opisem matematycznym: Z równania ogólnego ruchu wahadła dla <math>g=0</math> otrzymamy proste równanie różniczkowe

: <math>\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}  = 0,</math>

z którego natychmiast wynika rozwiązanie: 

: <math>\theta(t)= \omega_0 t+\theta_0</math>,

gdzie: <math>\theta_0</math> - położenie kątowe początkowe wahadła, <math>\omega_0 </math> - początkowa prędkość kątowa, nadana wahadłu. 

Gdy <math>\omega_0=0 </math>, to wahadło będzie w pozycji nieruchomej; w przeciwnym razie będzie wykonywać ruch jednostajny po okręgu.

== Opis ruchu wahadła w ramach mechaniki Lagrange'a ==
Z definicji wahadła prostego, jego ruch jest ograniczony przez [[więzy]] do ruchu po okręgu. Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do toru ruchu jest siłą dośrodkową, jej wartość określa wzór{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1984|s=340–342}}

: <math>F_r = -\frac{mv}{\ell}^2,</math>

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w stronę środka okręgu, przeciwnie do zwrotu współrzędnej układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta '''''<math>\theta</math>''''' można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1984|s=340–342}}

: <math>v^2 = 2g\ell (\cos\theta - \cos\theta_0),</math>

gdzie <math>\theta_0</math> – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1984|s=340–342}}

: <math>T(\theta) = F_r-mg \cos\theta = -mg(3 \cos\theta - 2\cos\theta_0).</math>

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu [[mechanika Lagrange’a|mechaniki Lagrange’a]]. 

W ramach mechaniki Lagrange'a wyprowadza się równanie ruchu wahadła matematycznego (pomijamy to tutaj). Jednak metoda Lagrange'a, która zrodziła się w rozwiazywaniu problemów klasycznej fizyki,  znajduje znacznie poważniejsze zastosowania we współczesnej teorii pola (w [[Fizyka cząstek elementarnych|fizyce cząstek elementarnych]]), gdzie równania ruchu cząstek wyprowadza się poprzez konstrukcję odpowiedniego [[Lagranżjan|Lagranżjanu]].

== Wahadło matematyczne – tabela okresów drgań dla dowolnie dużych amplitud ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Okresy drgań <math>T(\theta_0)</math> wahadła matematycznego w zależności od amplitudy <math>\theta_0,</math> dzielone przez okres małych drgań <math>T_0</math>
|-
!<math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math>
!<math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math> !! <math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math> !! <math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math> !! <math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math> !! <math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math> !! <math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math> !! <math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math> !! <math>\theta_0</math> !! <math>T/T_0</math>
|-
| '''2°''' || 1.0001 || '''22°''' || 1.0093 || '''42°''' || 1.0347 || '''62°''' || 1.0785 || '''82°''' || 1.1454 || '''102°''' || 1.2439 || '''122°''' || 1.3905 || '''142°''' || 1.6238 || '''162°''' || 2.0724
|-
| 4° || 1.0003 || 24° || 1.0111 || 44° || 1.0382 || 64° || 1.0841 || 84° || 1.1537 || 104° || 1.2560 || 124° || 1.4090 || 144° || 1.6551 || 164° || 2.1453
|-
| 6° || 1.0007 || 26° || 1.0130 || 46° || 1.0418 || 66° || 1.0898 || 86° || 1.1622 || 106° || 1.2686 || 126° || 1.4283 || 146° || 1.6884 || 166° || 2.2284
|-
| 8° || 1.0012 || 28° || 1.0151 || 48° || 1.0457 || 68° || 1.0959 || 88° || 1.1711 || 108° || 1.2817 || 128° || 1.4485 || 148° || 1.7240 || 168° || 2.3248
|-
| '''10°''' || 1.0019 || '''30°''' || 1.0174 || '''50°''' || 1.0498 || '''70°''' || 1.1021 || '''90°''' || 1.1803 || '''110°''' || 1.2953 || '''130°''' || 1.4698 || '''150°''' || 1.7622 || '''170°''' || 2.4394
|-
| 12° || 1.0027 || 32° || 1.0199 || 52° || 1.0540 || 72° || 1.1087 || 92° || 1.1899 || 112° || 1.3096 || 132° || 1.4922 || 152° || 1.8033 || 172° || 2.5801
|-
| 14° || 1.0037 || 34° || 1.0225 || 54° || 1.0585 || 74° || 1.1155 || 94° || 1.1999 || 114° || 1.3244 || 134° || 1.5157 || 154° || 1.8478 || 174° || 2.7621
|-
| 16° || 1.0049 || 36° || 1.0252 || 56° || 1.0632 || 76° || 1.1225 || 96° || 1.2103 || 116° || 1.3399 || 136° || 1.5405 || 156° || 1.8962 || 176° || 3.0193
|-
| 18° || 1.0062 || 38° || 1.0282 || 58° || 1.0681 || 78° || 1.1299 || 98° || 1.2210 || 118° || 1.3560 || 138° || 1.5667 || 158° || 1.9492 || 178° || 3.4600
|-
| '''20°''' || 1.0077 || '''40°''' || 1.0313 || '''60°''' || 1.0732 || '''80°''' || 1.1375 || '''100°''' || 1.2322 || '''120°''' || 1.3729 || 140° || 1.5944 || '''160°''' || 2.0075 || '''180°''' || <math> +\infty</math> 
|}

W powyższej tabeli zamieszczono wartości względne <math>T(\theta_0)/T_0</math> okresów drgań wahadła nietłumionego w zależność od amplitudy drgań <math>\theta_0</math>, gdzie <math>T_0</math> - okres małych drgań:

: <math>T(\theta_0)/T_0 
= K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right)/K(0)</math>

przy czym <math> K(0) =\tfrac{\pi}{2}</math>. Powyższy wzór wynika z zależności{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}

: <math>T(\theta_0) = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\cdot K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right)</math>

skąd w szczególności dla <math>\theta_0= 0</math> mamy <math>T_0\equiv T(0) = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,K(0). </math>  

Potrzebne w obliczeniach tabeli wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju <math>K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right)</math> są stabelaryzowane ([[Całki eliptyczne|patrz tu]] – należy odszukać kąt <math>\alpha =\theta_0/2</math> i odczytać wartość całki <math>K</math>). 

Na podstawie pokazanej tu tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o amplitudzie <math>\theta_0</math> i długości <math>\ell</math> mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez <math>T_0 = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,K(0)=2\pi \sqrt\tfrac{\ell}{g}</math> (gdyż <math> K(0) =\tfrac{\pi}{2}</math>). Tabela ta może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.

== Drgania tłumione i wymuszone wahadła matematycznego ==
W omówionych tu zagadnieniach opisane były [[drgania swobodne]] wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=64, 72}}.

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa na nie siła wymuszająca ruch, jak to jest w przypadku [[Wahadło zegarowe|wahadeł zegarów]]. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. [[Ruch harmoniczny#Ruch harmoniczny tłumiony|Ruch harmoniczny tłumiony]] oraz [[Klasyczny oscylator harmoniczny#Oscylator harmoniczny wymuszony|Oscylator harmoniczny wymuszony]]){{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=47–58}}. Rozwiązanie tych równań w ogólnym przypadku jest niezwykle złożone. Z pomocą przychodzą metody numeryczne, niżej omówione.

== Całkowanie numeryczne równań ruchu wahadła matematycznego ==
=== Wahadło nietłumione ===
[[Plik:Pend-ampl.png|mały|Zależności kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, mających różne amplitudy kątowe drgań: 0,25π =45° (szary) oraz 0,99π =178° (czarny), wyprowadzone z ogólnego równania ruchu wahadła|250x250px]]
Równanie ogólne drgań wahadła matematycznego, podane na początku artykułu, jest [[Równanie różniczkowe zwyczajne|równaniem różniczkowym zwyczajnym]] drugiego rzędu. Pokazane wyżej metody analityczne rozwiązania tego równania odwołują się do funkcji eliptycznych Jacobiego, które są [[Funkcje elementarne|funkcjami nieelementarnymi.]] 

Równanie to można także rozwiązać efektywnie [[Metoda numeryczna|metodami numerycznymi]], np. stosując [[Algorytm Rungego-Kutty|metody Rungego-Kutty]]. Metoda polega na tym, że wprowadzając nową zmienną <math>\omega=\theta(t)'</math> (która de facto ma sens [[Prędkość kątowa|prędkości kątowej]] wahadła) równanie to sprowadza się do [[Układ równań|układu]] dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

: <math>\begin{cases} \frac{d\theta(t)}{dt} = \omega(t), \\
\frac{d\omega(t)}{dt} =  -\frac{g}{\ell} \cdot\sin\theta,
\end{cases}</math>

a następnie układ tych równań rozwiązuje się iteracyjnie, znajdując np. zależność kata odchylenia wahadła <math>\theta(t_n)</math> w zależności od dyskretnych chwil czasu <math>t_n</math> czy też okres drgań <math>T(\theta_0).</math> ('''Przykład kodu programu w [[C++]] podano [[Algorytm Rungego-Kutty|tutaj]]''')

=== Wahadło tłumione, z siłą wymuszającą ===
[[Plik:DampedPendulum.png|mały|250x250px|Zależności kąta wychylenia od czasu dla wahadła o amplitudzie drgań swobodnych 179° dla różnych współczynników tłumienia <math>\beta = c/2 
</math> (obliczenia uzyskane metodą Rungego-Kutty).]]
Znalezienie rozwiązania analitycznego równania ruchu złożonych układów fizycznych jest w ogólnym przypadku niemożliwe. Jednak metody numeryczne pozwalają efektywnie rozwiązywać te równania ruchu. Np. równanie ruchu wahadła z [[tłumienie]]m i z siłą wymuszającą ma postać

: <math>\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} +
2\beta\frac{d\theta(t)}{dt} +
 \frac{g}{\ell} \sin\theta(t) = F(t)</math>

gdzie:

: <math>\beta
</math> – współczynnik tłumienia,
: <math>F(t)
</math> – siła wymuszająca, zależna dowolnie od czasu.

Wprowadzając nową zmienną <math>\omega=\theta(t)'</math> powyższe równanie sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

: <math>\begin{cases}
\frac{d\theta(t)}{dt} = \omega(t) \\
\frac{d\omega(t)}{dt} = -2\beta\omega(t) - \frac{g}{\ell}\sin\theta(t) + F(t)
\end{cases}</math>

Układ ten rozwiązuje się iteracyjnie, np. metodą Rungego-Kutty, co prowadzi do znalezienia dyskretnych wartości <math>\theta(t_n), \omega(t_n)</math> w zależności od dyskretnych chwil czasu <math>t_n</math> w zadanym przedziale całkowania równań. ('''Przykład kodu programu w języku [[python]], wraz z generowaniem wykresów drgań, podano [[Algorytm Rungego-Kutty|tutaj]]''').

== Wahadło fizyczne ==
Wahadło fizyczne jest to [[bryła sztywna]] zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym, która wykonuje drgania wokół tej osi raz w jedną, raz w drugą stronę lub wykonuje ruch asymptotyczny, polegający na zbliżaniu się w nieskończenie długim czasie do położenia pionowego, w pozycji odwróconej o 180 stopni od położenia równowagi trwałej, lub obraca się wokół tej osi - czyli wykonuje ruchy analogiczne jak wahadło matematyczne. 

Na wahadło wychylone z położenia równowagi o kąt <math>\theta</math> działa [[moment siły]]{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}:

: <math>M = mgd \sin \theta.</math>

gdzie:
* <math>d</math> – odległość od punktu zawieszenia do [[środek ciężkości|środka ciężkości]] bryły,
* <math>g</math> – [[przyspieszenie ziemskie]],
* <math>m</math> – [[Masa (fizyka)|masa]] wahadła.

Podstawiając powyższe wyrażenie do równania [[Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego|II zasady dynamiki ruchu obrotowego]] otrzymuje się równanie ruchu wahadła fizycznego

: <math>\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{mgd}{I} \sin \theta(t) = 0.</math>

gdzie: <math>I</math> – [[moment bezwładności]] wahadła względem [[oś obrotu|osi obrotu]].

Podstawiając do powyższego równania tzw. ''długość zredukowaną''

: <math>\ell_f = \frac{I}{md}</math>

równanie ruchu wahadła fizycznego przyjmie identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego.  Oznacza to, że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań wahadła fizycznego dany jest wzorem{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}:

: <math>T = 2\pi \sqrt\frac{I}{mgd} = 2\pi\sqrt\frac{\ell_f}{g}</math>

czyli wzorem, jakie miałoby wahadło matematyczne o długości równej długości zredukowanej wahadła fizycznego.

Ze względu na powyższą równoważność:

: '''Opis ruchu wahadła matematycznego jest wystarczający do określenia ruchu wszystkich typów wahadeł fizycznych'''.

=== Wahadło matematyczne jako szczególne wahadło fizyczne ===

Z drugiej strony wahadło matematyczne, które jest masą punktową zawieszoną na nieważkiej nici, może być traktowane jako szczególna bryła sztywna, ma bowiem ściele określony moment bezwładności i odległość od środka obrotu do środka masy, danych oczywistymi wzorami:{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}

: <math>I = m \ell^2,</math>
: <math>d = \ell.</math>

=== Zastosowania wahadła fizycznego ===

Wahadło fizyczne stosuje się jako przyrząd do dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego{{odn|Resnick|Halliday|1999|s=361–364}}. Przykładem wahadła do pomiaru przyspieszenia ziemskiego (oraz jako przyrządu dydaktycznego) jest [[wahadło rewersyjne]].

== Inne rodzaje wahadeł ==
[[Plik:Trajektorie eines Doppelpendels.gif|thumb|Ruch podwójnego wahadła matematycznego]]
W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego. Przykładami są:
* [[wahadło sferyczne]] – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny,
* [[wahadło stożkowe]] – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
* [[wahadło podwójne]] – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,

* [[wahadło elastyczne]] (z rozciągliwą nicią)
* [[tautochrona (fizyka)|tautochrona]] (wahadło cykloidalne) – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań<ref name="81v_cycloid">{{Cytuj stronę |url = http://www.antique-horology.org/piggott/rh/images/81v_cycloid.pdf |tytuł = Things Are Seldom What They Seem – Christiaan Huygens, the Pendulum and the Cycloid |autor = Alan Emmerson |data dostępu = 2015-04-25}}</ref><ref>{{MathWorld|adres=TautochroneProblem |tytuł=Tautochrone Problem |data dostępu=2015-04-25}}</ref>  (niżej omówione),[[Plik:Isochronous_cycloidal_pendula.gif|mały|Pięć izochronicznych (o tym samym okresie) cykloidalnych wahadeł o różnych amplitudach.]]
* wahadło Foucaulta  (niżej omówione)
Inne układy drgające:
* [[wahadło torsyjne]]
* [[Masa na sprężynie|wahadło sprężynowe]]

=== Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy ===
[[Plik:Pendule de Foucault au musee des arts et metiers.jpg|thumb|Wahadło Foucaulta w [[Musée des arts et métiers|Muzeum Sztuk i Rzemiosł]] w [[Paryż]]u; w miarę obrotu wahadło przewraca ustawione wokoło klocki.]]Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się [[Christiaan Huygens]], wykazał, że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem; następnie wykazał, że zrealizuje to [[Tautochrona (fizyka)|wahadło cykloidalne]], tj. wahadło, w którym nić lub elastyczny element zawieszenia, będzie owijać się na [[Cykloida|cykloidzie]] o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła. W ten sposób skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy<ref name="81v_cycloid2">{{Cytuj stronę|url=http://www.antique-horology.org/piggott/rh/images/81v_cycloid.pdf|tytuł=Things Are Seldom What They Seem – Christiaan Huygens, the Pendulum and the Cycloid|autor=Alan Emmerson|data dostępu=2015-04-25}}</ref>.

Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest [[Tautochrona (fizyka)|tautochroną]] i jest [[Cykloida|cykloidą]]<ref>{{Cytuj stronę|url=http://mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta0206/zegarmistrz.pdf|tytuł=Pierwszy nowoczesny zegarmistrz|nazwisko=Kordos|imię=Marek|archiwum=https://web.archive.org/web/20070709160010/http://www.mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta0206/zegarmistrz.pdf|zarchiwizowano=2007-07-09|data dostępu=2015-05-10}}</ref>.

=== Wahadło Foucaulta ===
[[Plik:Foucault-soleil.gif|thumb|Animacja ruchu wahadła Foucaulta w Paryżu widziana ze Słońca. <b style="color:blue">{{kolor|blue|Niebieska linia}}</b> – trajektoria ciężarka. W środku umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca. <b style="color:green">{{kolor|green|Zielona linia}}</b> – rzut trajektorii ciężarka na obracającą się Ziemię (obrót dobowy Ziemi został wyolbrzymiony 1 obrót w 110 s).]]
{{osobny artykuł|Wahadło Foucaulta}}
Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania [[Efekt Coriolisa|siły Coriolisa]] wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1976|s=171–172}}.

Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór{{odn|Wróblewski|Zakrzewski|1976|s=171–172}}:

: <math>T = \frac{24 \operatorname h}{\sin\varphi},</math>

gdzie <math>\varphi</math> – [[szerokość geograficzna]], na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej. Na biegunach okres ten wynosi 24 h.

== Zobacz też ==
; Przyrządy będące wahadłami
* [[wahadło balistyczne]]
* [[Kołyska Newtona|wahadło Newtona]]
* [[wahadło Oberbecka]]
* [[wahadło radiestezyjne]]
* [[wahadło rewersyjne]]
* [[wahadło zegarowe]]
; Oscylatory
* [[oscylator anharmoniczny]]
* [[oscylator Duffinga]] - silnie nieliniowy
* [[oscylator harmoniczny]]
* [[oscylator van der Pola]]
* [[kwantowy oscylator harmoniczny|oscylator harmoniczny kwantowy]]
* [[drgania nieliniowe]]
; Inne
* [[historia i zastosowania wahadła]]
* [[grawimetr]]
* [[Układ nieliniowy|układ dynamiczny nieliniowy]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s.238-245.
* [[Mieczysław Jeżewski|M. Jeżewski]], ''Fizyka'', PWN, Warszawa 1966.
* {{cytuj książkę |imię = C. |nazwisko= Kittel |imię2 = W.D.|nazwisko2= Knight |imię3 = M.A.|nazwisko3= Ruderman |tytuł = Mechanika |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |data = 1993 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |imię = W.|nazwisko= Królikowski |imię2 = W.|nazwisko2= Rubinowicz |tytuł = Mechanika teoretyczna |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |data = 2012 |autor link = Wojciech Królikowski |autor link2 = Wojciech Rubinowicz |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Landau |imię = Lew Dawidowicz |autor link = Lew Landau |imię2 = E.M.|nazwisko2= Lifszyc |tytuł = Mechanika |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |data = 2011 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Resnick |imię = Robert |autor link = Robert Resnick |tytuł = Fizyka |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |data = 1999 |isbn = 83-01-09323-4 |nazwisko2 = Halliday |imię2 = David |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |imię = A.K.|nazwisko = Wróblewski |imię2 = J.A.|nazwisko2= Zakrzewski |tytuł = Wstęp do fizyki |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |data = 1976 |tom = 1 |autor link = Andrzej Kajetan Wróblewski |autor link2 = Janusz Zakrzewski |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
{{Wikisłownik|wahadło}}
* {{Cytuj stronę |url = http://www.kf.imif.uph.edu.pl/dydaktyka_pliki/Fizyka%20I/mechanika/CWICZ_02.pdf |tytuł = Ćwiczenie ''Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego'' |opublikowany = kf.imif.uph.edu.pl |archiwum = https://web.archive.org/web/20150413044155/http://www.kf.imif.uph.edu.pl/dydaktyka_pliki/Fizyka%20I/mechanika/CWICZ_02.pdf |zarchiwizowano = 2015-04-13}} – w ramach [https://web.archive.org/web/20150413044706/http://www.kf.imif.uph.edu.pl/dydaktyka_pliki/fizyka-I.htm zestawu ćwiczeń do fizyki na Wydziale Nauk Ścisłych Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach]
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendp.html Wahadło fizyczne] {{lang|en}}

{{Mechanika klasyczna}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Wahadła| ]]