Tekst źródłowy strony Usuwanie niewymierności z mianownika

'''Usuwanie [[Liczby niewymierne|niewymierności]] z mianownika''' – przekształcenie [[Wyrażenie arytmetyczne|wyrażenia arytmetycznego]] będącego [[Ułamek|ułamkiem]] tak, aby w mianowniku znalazła się [[Liczby wymierne|liczba wymierna]]<ref name="zpe">{{otwarty dostęp}} Justyna Cybulska, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/D1AK0Khqm Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-08-28].</ref>.

== Przykłady ==
[[Plik:Diferencia de cuadrados.svg|mały|Ilustracja [[Wzory skróconego mnożenia|wzoru skróconego mnożenia]] na różnicę [[Kwadrat (algebra)|kwadratów]] dwóch [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]: <math>(a+b)(a-b) = a^2-b^2.</math> Wzór ten bywa używany do usuwania niewymierności z mianowników.]]

Niektóre problemy tego typu można rozwiązać [[Wzory skróconego mnożenia|wzorami skróconego mnożenia]], np. wzorem na różnicę [[Kwadrat (algebra)|kwadratów]]<ref>{{otwarty dostęp}} Paweł Kwiatkowski i Witold Sadowski, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DCpj0TO7Z Wzory skróconego mnożenia. Przeczytaj]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-07].</ref>:
: <math>\begin{align}
\frac{2}{\sqrt{11}-3} &= \frac{2(\sqrt{11}+3)}{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)} =\\
&= \frac{2(\sqrt{11}+3)}{11-3^2} = \frac{2(3+\sqrt{11})}{2} =\\
&= 3+\sqrt{11}.
\end{align}</math>

W przypadku [[Pierwiastek sześcienny|pierwiastków trzeciego stopnia]] można skorzystać ze wzoru na różnicę [[Sześcian (algebra)|sześcianów]]{{odn|Nowa Era|2020|s=67}}:
: <math>\begin{align}
\frac{1}{\sqrt[3]{9}-2} &= \frac{\sqrt[3]{9}^2+2\sqrt[3]{9}+2^2}{(\sqrt[3]{9}-2)(\sqrt[3]{9}^2+2\sqrt[3]{9}+2^2)} =\\
&= \frac{\sqrt[3]{3^4} +2\sqrt[3]{9}+4}{9-2^3} =\\
&= 4 + 3\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9}.
\end{align}</math>

== Pokrewne problemy ==
Metody używane do usuwania niewymierności z mianownika są też używane w [[Algebra|algebrze]] i [[Analiza matematyczna|analizie]], np. do:
* dzielenia [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]]<ref>{{otwarty dostęp}} Szymon Charzyński, ''[https://www.youtube.com/watch?v=zhSQ39wV7oc Dzielenie liczb zespolonych]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 12 lutego 2014 [dostęp 2024-08-28].</ref>;
* obliczania [[Granica funkcji|granic funkcji]] przez usuwanie [[Pierwiastkowanie|pierwiastków]] z mianowników [[Wyrażenie algebraiczne|wyrażeń algebraicznych]]<ref>{{otwarty dostęp}} Szymon Charzyński, ''[https://www.youtube.com/watch?v=xUVEwJ4YzE8 Obliczanie granicy przez usuwanie pierwiastka z mianownika]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 2 maja 2017 [dostęp 2024-08-28].</ref>.

== Zobacz też ==
* [[pierwiastnik]]
* [[liczby algebraiczne]]
* [[liczby przestępne]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę | autor = Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha, Dorota Ponczek, Jolanta Wesołowska | tytuł = Matematyka 2. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum | wydawca = [[Wydawnictwo Nowa Era]] | rok = 2020 | isbn = 978-83-267-3900-2 | odn = {{odn/id|Nowa Era|2020}} }}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=qFp-7uEkAdc Usuwanie niewymierności z mianownika]'', [[Uniwersytet Śląski w Katowicach]] – kanał na [[YouTube]], 3 marca 2014 [dostęp 2024-08-28].
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=GP3ExSTgqMM Usuwanie niewymierności z mianownika]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 26 czerwca 2014 [dostęp 2024-08-28].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://zpe.gov.pl/a/rationalizing-the-denominator/D36YniDf5 Rationalizing the denominator]'' {{lang|en}}, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-08-28].
* {{otwarty dostęp}} [https://www.wolframalpha.com/input/?i=rationalize+1%2F%282%2Bsqrt%282%29%29%5E5 Przykład usuwania niewymierności] {{lang|en}} przez program [[Wolfram Alpha]], wolframalpha.com [dostęp 2024-08-28].

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Arytmetyka]]
[[Kategoria:Algebra elementarna]]
[[Kategoria:Problemy matematyczne]]