Tekst źródłowy strony Użyteczność quasi-liniowa

W [[Ekonomia|ekonomii]] i [[Teoria wyboru konsumenta|teorii konsumenta]] '''quasi-liniowe''' funkcje '''[[Użyteczność (ekonomia)|użyteczności]]''' są liniowe względem jednego argumentu, zwanego [[numeraire]]. Preferencje quasi-liniowe mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności <math>u(x_1, x_2, \dots, x_n) = x_1 + \theta (x_2, \dots, x_n)</math> gdzie <math>\theta</math> jest funkcją ściśle [[Wypukłość funkcji|wklęsłą]]<ref name=":0" />. Ważną właściwością quasi-liniowej funkcji użyteczności jest to, że popyt Marshalla/Walrasa dla <math>x_2, \dots, x_n</math> nie zależy od majątku, a zatem nie podlega [[Efekt majątkowy|efektowi majątkowemu]]<ref name=":0" />. Brak efektu majątkowego upraszcza analizę i sprawia, że quasi-liniowe funkcje użyteczności są powszechnym wyborem do tworzenia modeli. Ponadto, gdy użyteczność jest quasi-liniowa, zmiana kompensacyjna, czyli ilość pieniądza, która powinna zostać zabrana/dodana konsumentowi, by powrócił na funkcję użyteczności, którą osiągał przy starych cenach, ekwiwalentna zmiana dochodu, czyli ilość pieniądza, którą należałoby dodać, by konsument osiągnął nową krzywą użyteczności przy zachowaniu starych cen oraz [[nadwyżka konsumenta]] są algebraicznie równoważne<ref name=":0" />. Przy projektowaniu mechanizmów (ang. ''mechanism design'') quasi-liniowa użyteczność zapewnia czynnikom możliwość wzajemnej kompensacji za pomocą transferów dwustronnych.

== Definicja z punktu widzenia preferencji ==
Relacja preferencji <math>\succsim</math> jest quasi-liniowa względem dobra 1 (zwanego w tym przypadku dobrem ''numeraire''), jeżeli:

* Wszystkie krzywe obojętności są równoległymi przemieszczeniami względem siebie wzdłuż osi dobra 1. To znaczy, że jeśli krzywa „x” jest obojętna na krzywą „y” (x ~ y), to <math>\left( x+ \alpha e_1 \right) \sim \left( y+ \alpha e_1 \right), \forall \alpha \in \mathbb{R}, e_1 = \left( 1,0,\dots,0 \right)</math><ref name=":0">{{Cytuj książkę |nazwisko = Varian |imię = Hal R. |tytuł = Mikroekonomia. Kurs średni. Ujęcie nowoczesne |rok = 1995 |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |miejsce = Warszawa |strony = |isbn = 8301116609}}</ref>.
* Dobro 1 jest pożądane, to znaczy: <math>\left( x + \alpha e_1 \right) \succ (x), \forall \alpha>0.</math>

Innymi słowy: relacja preferencji jest quasi-liniowa, jeśli istnieje jedno dobro zwane numeraire, które przesuwa krzywe obojętności na zewnątrz wraz ze wzrostem jego konsumpcji, bez zmiany ich nachylenia.

W przypadku dwuwymiarowym krzywe obojętności są [[Równoległość|równoległe]], co jest bardzo przydatne, ponieważ całą funkcję użyteczności można określić na podstawie kształtu pojedynczej krzywej obojętności.

== Definicja z punktu widzenia funkcji użyteczności ==
Funkcja [[Użyteczność (ekonomia)|użyteczności]] jest quasi-liniowa wobec dobra 1 jeśli występuje w formie
: <math>u \left(x_1, \dots, x_L \right) = x_1 + \theta \left(x_2, \dots, x_L \right),</math>

gdzie <math>\theta</math> jest pewną funkcją<ref>{{Cytuj |autor = Mas-Colell Andreu, Whinston Michael D., Green Jerry R. |tytuł = Microeconomic Theory |data = 1995 |isbn = 9780195102680 |wydawca = Oxford University Press}}</ref>. W przypadku dwóch dóbr funkcją tą może być na przykład <math>u \left( x,y \right) = x + \sqrt{y}.</math>

Quasi-liniowa postać funkcji jest szczególna, ponieważ [[Krzywa popytu|funkcje popytu]] na wszystkie [[dobra konsumpcyjne]] oprócz jednego zależą tylko od cen, a ''nie'' od dochodów. Np. jeśli mamy dwa dobra o cenach <math>p_x = 1</math> i <math>p_y</math> oraz
: <math>u(x,y) = x + \theta(y),</math>

wtedy, maksymalizując użyteczność z ograniczeniem budżetowym, popyt na <math>y</math> wynika z równania;
: <math>\theta' (y) = p_y,</math>

więc
: <math>y(p,I) = (\theta')^{-1}(p_y),</math>

co jest niezależne od dochodu <math>I.</math>

Pośrednią funkcją użyteczności w tym przypadku jest
: <math>v(p,I) = v(p) + I,</math>

co jest szczególnym przypadkiem funkcji w postaci Gormana<ref>{{Cytuj |tytuł = Wayback Machine |data = 2011-12-15 |data dostępu = 2020-05-02 |opublikowany = web.archive.org |url = https://web.archive.org/web/20111215230240/http://www.hks.harvard.edu/nhm/notes2006/notes4.pdf}}</ref>. [[Plik:Efekt substytucyjny pref. quasi-liniowe.png|mały|Dla preferencji quasi-liniowych cała zmiana popytu wynika z efektu substytucyjnego.]]

== Efekt dochodowy oraz efekt substytucyjny. ==
W przypadku preferencji quasi-liniowych przesunięcie dochodu nie powoduje zmiany popytu na dobro 1. To znaczy, że cała zmiana popytu na dobro 1 dokonuje się z tytułu [[Efekt substytucyjny|efektu substytucyjnego]], a efekt dochodowy wynosi zero<ref name=":0" />. Sytuacja jest przedstawiona rysunku.

== Rozwiązania brzegowe ==
[[Plik:Rozw. brzegowe quasi.png|mały|Przykład rozwiązania brzegowego dla <math>f(x, y) = \ln(x) + y</math>]]
Dla wielu różnych preferencji częstym rozwiązaniem optymalnym jest rozwiązanie brzegowe<ref name=":0" />, czyli takie, w którym zachodzi konsumpcja tylko jednego dobra, więc rozwiązanie brzegowe dla dwóch dóbr <math>x</math> i <math>y</math> to takie rozwiązanie, w którym konsumpcja jednego z tych dóbr jest równa zero<ref>{{Cytuj |autor = Łukasz Woźny |rozdział = Consumer theory |tytuł = Lecture Notes on Microeconomics |data = czerwiec 2015 |isbn = 978-83-65416-11-7 |wydawca = Szkoła Główna Handlowa w Warszawie}}</ref>. W przypadku użyteczności quasi-liniowych rozwiązania brzegowe są bardzo często spotykane. Rozwiązania brzegowego nie da się uzyskać w wyniku tradycyjnej optymalizacji z ograniczeniem metodą [[Mnożniki Lagrange’a|mnożników Lagrange’a]]. Zastosowanie tej metody może skutkować uzyskaniem wyniku optymalnego z ujemną ilością jednego z dóbr, co zazwyczaj jest sprzeczne z założeniami modelu. W takiej sytuacji należy odgórnie ograniczyć ilość tego dobra do zera i optymalizować ilość pozostałych dóbr przy zadanym wektorze cen.

== Równoważność definicji ==
Definicje kardynalne i porządkowe są równoważne w przypadku wypukłego zbioru konsumpcji z [[Krzywa obojętności|ciągłymi]] preferencjami, które są lokalnie nienasycone względem pierwszego argumentu funkcji.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Teoria wyboru konsumenta]]