Tekst źródłowy strony Ułamek dziesiętny nieskończony

'''Ułamek dziesiętny nieskończony''' – zapis [[liczby rzeczywiste]]j <math>a</math> za pomocą [[Szereg (matematyka)|szeregu liczbowego]] w postaci<ref name="epwn-udn">{{Encyklopedia PWN | id = 3991147 | tytuł = ułamek dziesiętny nieskończony | data dostępu = 2021-10-01}}</ref>:
: <math>a=\pm\left(a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\dots\right),</math>

gdzie <math>a_0, a_1, a_2 \dots</math> są [[Liczby naturalne|liczbami naturalnymi]], przy czym <math>0 \leqslant a_0</math> oraz <math>0 \leqslant a_n \leqslant 9</math> dla <math>n=1,2,\dots</math>

Symbol „<math>\pm</math>” zastępuje się znakiem „<math>-</math>”, gdy <math>a</math> jest ujemne, w przeciwnym razie opcjonalnie pomija się go lub zastępuje się znakiem „<math>+</math>”.

Zapis liczby dodatniej <math>a</math> w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywa się '''rozwinięciem dziesiętnym''' liczby <math>a</math> i przedstawia się go jako<ref name="epwn-rd">{{Encyklopedia PWN | id = 3969425 | tytuł = rozwinięcie dziesiętne | data dostępu = 2021-10-01}}</ref>:
: <math>a_0\,,\, a_1 a_2 a_3 \dots</math>

Tutaj <math>a_1, a_2, a_3 \dots</math> są '''cyframi''' rozwinięcia dziesiętnego, a przecinek (separator) oddziela [[Podłoga i sufit|część całkowitą (cechę)]] <math>a_0</math> liczby <math>a</math> od jej [[Podłoga i sufit|mantysy]].

== Przykłady ==
: <math>2\frac{1}{7}=2{,}142857142857142857142\ldots</math>
: <math>1=1{,}0000\ldots=0{,}99999\ldots</math> (zobacz na temat liczby [[0,(9)|0,99999...]])
: <math>-\frac{3}{8}=-0{,}3750000\ldots=-0{,}3749999\ldots</math>
: <math>\sqrt{7}=2{,}645751311\ldots</math>
: <math>\pi=3{,}141592653589793238462\ldots</math>
: <math>1\frac{41}{99}=1{,}414141\ldots</math>

== Własności ==
Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.

: Jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby <math>x \neq 0,</math> poczynając od pewnego miejsca, występuje tylko cyfra 0, to '''zmniejszając ostatnią niezerową''' cyfrę rozwinięcia o 1 i zastępując wszystkie następne cyfry 0 cyframi 9, otrzyma się inne przedstawienie liczby <math>x</math> w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

: Podobnie, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby <math>x,</math> poczynając od pewnego miejsca, występuje wyłącznie cyfra 9, to '''zwiększając''' o 1 '''ostatnią cyfrę rozwinięcia różną od 9''' i zastępując wszystkie następne cyfry 9 cyframi 0, otrzyma się inne przestawienie liczby <math>x</math> w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

[[Rozwinięcie dziesiętne]] nazywa się '''normalnym''', jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od 9. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne normalne{{odn|Sierpiński|1948|s=31–33}}.

=== Algorytm rozwijania liczby w ułamek dziesiętny ===
Poniższy [[algorytm]] pozwala wyznaczyć liczby <math>a_0, a_1, a_2,\dots</math> dla danej liczby rzeczywistej <math>x.</math>

Niech <math>|z|</math> oznacza [[wartość bezwzględna|wartość bezwzględną]], a <math>[z]</math> [[Podłoga i sufit|część całkowitą]] liczby <math>z.</math>
# <math>b_0 = |x|,\quad a_0 = [b_0],</math>
# <math>b_i = 10\cdot(b_{i-1} - a_{i-1}),\quad a_i = [b_i] \quad \mbox{dla } i\geqslant 1.</math>

liczba <math>a_0</math> jest częścią całkowitą liczby |x|, liczby następne spełniają <math>0\leqslant a_i \leqslant 9</math> i są kolejnymi cyframi rozwinięcia.

Dla liczby <math>\pi</math> mamy:
# <math>b_0 = \pi, a_0 = 3,</math>
# <math>b_1 = 1{,}41592653589793238462\dots, a_1 = 1,</math>
# <math>b_2 = 4{,}1592653589793238462\dots, a_2 = 4</math>

itd.

== Ułamek dziesiętny skończony ==
Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby <math>x</math> od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza, otrzymując '''rozwinięcie dziesiętne skończone''', a ułamek taki nazywa się ułamkiem dziesiętnym skończonym.

Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy <math>x</math> jest liczbą wymierną <math>x = p/q,</math> przy czym <math>q = 2^k \cdot 5^l,</math> gdzie <math>k</math> i <math>l</math> są liczbami naturalnymi.

Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(2<sup>4</sup> · 5<sup>3</sup>).

<math>q = 2^k \cdot 5^l</math> wynika z rozkładu na czynniki pierwsze podstawy systemu liczbowego <math>10 = 2 \cdot 5.</math>

Na przykład ułamek dziesiętny o skończonym rozwinięciu <math>1/(2^1 \cdot 5^1) = 1/10 = 0.1_{(10)}</math> w [[Dwójkowy system liczbowy|systemie dwójkowym]] ma dwójkowe rozwinięcie okresowe: <math>0.0001(0011)_{(2)}.</math> Natomiast dzisiętny ułamek <math>1/(2^2 \cdot 5^0) = 1/4 = 0.25_{(10)}</math> w systemie dwójkowym ma skończone rozwinięcie dwójkowe: <math>0.01_{(2)}.</math>

== Ułamek dziesiętny okresowy ==
Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, [[ciąg (matematyka)|ciąg]] kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest [[Funkcja okresowa|okresowy]], to ułamek nazywa się '''ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym''' lub krótko '''ułamkiem okresowym'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3950538 | tytuł = ułamek okresowy | data dostępu = 2021-09-30}}</ref>. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno „w nieskończoność”. Na przykład:
: 13,54545454… – od pierwszego miejsca po przecinku powtarza się blok „54”,
: 2,907645645645… – od czwartego miejsca po przecinku powtarza się blok „645”.

W Polsce zwykło się obejmować okres nawiasem
: 13,(54)
: 2,907(645)
natomiast w anglojęzycznej literaturze używa się nadkreślenia
: 13.{{Nadkreślenie|54}}
: 2.907{{Nadkreślenie|645}}

Ułamek dziesiętny skończony jest szczególnym przypadkiem ułamka dziesiętnego okresowego, gdyż można go uzupełnić nieskończonym ciągiem zer. Na przykład:
: 2,71 = 2,7100000… – od trzeciego miejsca po przecinku powtarza się blok „0”.

Zachodzi ważne twierdzenie:

<blockquote>
Każdy ułamek okresowy (skończony lub nieskończony) przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone.
</blockquote>

Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia [[Liczby niewymierne|liczbę niewymierną]]. Na przykład liczba 0,1234567891011121314… (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna.

=== Algorytm zamiany ułamka okresowego na zwykły ===
Dana jest liczba ''u'' = 23,61709709709… Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:
# oblicz 100''u'' = 2361,709709… – przesuń przecinek do początku okresu
# oblicz 100000''u'' = 2361709,709709… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
# oblicz 100000''u'' – 100''u'' = 2361709,709709… – 2361,709709… = 2359348 = 99900''u'' – części po przecinku zredukują się wzajemnie
# wylicz ''u'' = 2359348/99900.

Kolejny przykład: ''u'' = 0,031313131…
# oblicz 10''u'' = 0,313131… – przesuń przecinek do początku okresu
# oblicz 1000''u'' = 31,313131… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
# oblicz 1000''u'' – 10''u'' = 31,313131… – 0,313131… = 31 = 990''u'' – części po przecinku zredukują się wzajemnie
# wylicz ''u'' = 31/990.

== Rozwinięcia na ułamki o dowolnej podstawie ==
Jeżeli <math>g</math> jest liczbą naturalną i <math>g>1,</math> to każdą dodatnią liczbę rzeczywistą <math>a</math> można analogicznie przedstawić za pomocą szeregu liczbowego{{odn|Sierpiński|1948|s=27–36}}:
: <math>a = a_0 + \frac{a_1}{g} + \frac{a_2}{g^2} + \frac{a_3}{g^3} + \dots</math>

gdzie <math>a_0, a_1, a_2 \dots</math> są liczbami naturalnymi oraz <math>0 \leqslant a_n \leqslant g-1</math> dla <math>n=1,2,\dots</math>

Liczby <math>a_1, a_2,\dots</math> nazywają się cyframi rozwinięcia danej liczby w systemie o podstawie <math>g.</math> Potocznie systemy takie określa się przymiotnikami pochodnymi od nazwy liczby <math>g,</math> na przykład: [[Dwójkowy system liczbowy|system dwójkowy]] albo binarny (o podstawie 2), [[Ósemkowy system liczbowy|ósemkowy]] albo oktalny (o podstawie 8), [[Szesnastkowy system liczbowy|szesnastkowy]] albo heksadecymalny (o podstawie 16), [[Dwudziestkowy system liczbowy|dwudziestkowy]] (o podstawie 20), [[Sześćdziesiątkowy system liczbowy|sześćdziesiątkowy]] (o podstawie 60) itp.

Rozwinięcie o podstawie g nazywa się ''normalnym'', jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od <math>g-1.</math> Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie normalne o danej podstawie.

== Zobacz też ==
* [[ułamek dziesiętny]]
* [[ułamek łańcuchowy]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Sierpiński |imię = Wacław |autor link = Wacław Sierpiński |tytuł = Działania nieskończone |wydanie = III |miejsce = Warszawa |wydawca = [[Spółdzielnia Wydawnicza „Czytelnik”|Czytelnik]] |rok = 1948 |odn = tak}}

== Literatura dodatkowa ==
* [[Grigorij Fichtenholz]], ''Rachunek różniczkowy i całkowy'', t. 1, Warszawa, [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], 1962.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=A_c5K-g3G6U Ułamek dziesiętny okresowy jako szereg geometryczny]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 17 października 2017 [dostęp 2024-06-23].
* {{MathWorld | adres = RepeatingDecimal | tytuł = Repeating Decimal }} [dostęp 2024-02-02].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Infinite_decimal_expansion Infinite decimal expansion]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Ciągi liczbowe}}

[[Kategoria:Ułamki dziesiętne]]