Tekst źródłowy strony Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym

{{inne znaczenia|twierdzenia o okręgu i trójkącie prostokątnym|[[Twierdzenie Talesa]] o przecięciu ramion kąta równoległymi prostymi}}
[[Plik:Thales' Theorem Simple.svg|thumb|Ilustracja twierdzenia]]

'''Twierdzenie Talesa''' dla okręgu – szczególny przypadek twierdzenia o kątach [[kąt wpisany|wpisanym]] i [[kąt środkowy|środkowym]] mówiące, że jeśli A, B i C są punktami na [[okrąg|okręgu]], gdzie odcinek AC jest [[średnica|średnicą]], to [[kąt]] ABC jest [[kąt prosty|prosty]]<ref>[[Elementy Euklidesa|Elementy]] [http://www.matematycy.interklasa.pl/euklides/3#twierdzenia_3_ksiega „Księga III”] Twierdzenie 31.</ref>. Twierdzenie to w tej postaci jest przypisywane [[Tales z Miletu|Talesowi]]<ref>{{Cytuj |autor = T. L. Heath |tytuł = [http://www.archive.org/details/cu31924008704219 A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid] |wydawca = Oxford |data = 1921 |s = 131 |opis = t. I |język = en}}</ref> według greckiego pisarza [[Diogenes Laertios|Diogenesa Laertiosa]]<ref>{{Cytuj |autor=[[Edward Kofler]] |tytuł=Z dziejów matematyki |wydawca=[[Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”|Wiedza Powszechna]] |miejsce=Warszawa |data=1956 |s=125}}</ref>.

Nazwa „twierdzenie Talesa” jest najczęściej używana w krajach anglosaskich, choć Tales nie był pierwszym, który dokonał tego odkrycia. Są fakty świadczące o tym, że z twierdzenia tego korzystali Egipcjanie i Babilończycy, mimo to nie ma przekazów mówiących, że potrafili je udowodnić. Twierdzenie w krajach anglosaskich nosi nazwisko Talesa, ponieważ był on pierwszym, który je udowodnił korzystając z własnych wniosków wskazujących, że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe i suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu.

== Dowód ==
[[Plik:Animated illustration of thales theorem.gif|thumb|Kąt ABC oparty na [[średnica|średnicy]] ''AC'' jest [[kąt prosty|prosty]]]]
[[Plik:Thales' Theorem.svg|thumb|Ilustracja dowodu]]

Korzystamy z następujących własności:
* suma kątów wewnętrznych w [[trójkąt|trójkącie]] jest równa [[Kąt|kątowi półpełnemu]] (180°),
* kąty przy podstawie [[trójkąt równoramienny|trójkąta równoramiennego]] są przystające.

Niech O jest środkiem okręgu. Ponieważ OA = OB = OC, OAB i OBC są trójkątami równoramiennymi, korzystając z własności, że kąty przy podstawach trójkątów równoramiennych są przystające, OBC = OCB i BAO = ABO. Niech α = BAO i β = OBC. Trzy wewnętrzne kąty trójkąta ABC to α, α + β i β. Ponieważ suma kątów wewnętrznych w trójkącie równa się [[Kąt|kątowi półpełnemu]] zachodzi
: <math>\alpha + (\alpha + \beta) + \beta = 180^\circ</math>

co daje
: <math>2\alpha + 2\beta = 180^\circ</math>

lub prościej
: <math>\alpha + \beta = 90^\circ.</math>

[[q.e.d.]]

== Twierdzenie odwrotne ==
Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe. Mówi ono, że [[Trójkąt prostokątny|przeciwprostokątna]] [[trójkąt prostokątny|trójkąta prostokątnego]] jest [[średnica|średnicą]] [[okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]] na nim.

Jeśli połączymy oba twierdzenia (wprost z odwrotnością), to otrzymamy że:
: Środek [[okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego na trójkącie]] leży na jednym z jego boków [[równoważność|wtedy i tylko wtedy gdy]] [[trójkąt]] jest [[trójkąt prostokątny|prostokątny]].

== Zastosowanie ==
[[Plik:Thales' Theorem Tangents.svg|thumb|Konstrukcja stycznej do okręgu.]]

Twierdzenie może być zastosowane do konstrukcji [[styczna|stycznej]] do danego okręgu, która przechodzi przez zadany punkt (zobacz ilustrację).
Mając dany okrąg ''k'', o środku ''O'', i punkt ''P'' na zewnątrz okręgu, chcemy wyznaczyć (czerwoną) styczną do ''k'', która przechodzi przez ''P''. Załóżmy, że (jeszcze nieznana) styczna ''t'' ma punkt wspólny z okręgiem w ''T''. Z symetrii jasno wynika, że promień ''OT'' jest prostopadły do stycznej. Wyznaczając środek ''H'' odcinka pomiędzy ''O'' i ''P'', wykreślamy okrąg o środku ''H'' zawierający punkty ''O'' i ''P''. Na przecięciu się tego okręgu z danym okręgiem ''k'' otrzymujemy punk ''T''. Z twierdzenia Talesa dla okręgu wynika, że punkt na ''k'' tworzy trójkąt prostokątny ''OTP''.

Ponieważ oba okręgi mają dwa punkty wspólne, wyznaczone zostają obie styczne.

== Uogólnienie ==
Twierdzenie Talesa dla okręgu jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia:
: Dla trzech punktów A, B i C leżących na okręgu o środku O, kąt AOC jest dwa razy większy niż kąt ABC.

Zobacz [[kąt wpisany]]. Dowód jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia podanego powyżej.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld |tytuł = Thales’ Theorem | adres = ThalesTheorem}}

{{Okręgi}}

{{Kontrola autorytatywna}}

{{SORTUJ:Talesa o kącie wpisanym}}
[[Kategoria:Twierdzenia o okręgach i trójkątach]]
[[Kategoria:Twierdzenia o trójkątach szczególnych]]

[[es:Teorema de Tales#Segundo teorema]]
[[he:משפט תאלס#המשפט השני]]