Tekst źródłowy strony Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

'''Twierdzenie Weierstrassa''' – twierdzenie mówiące, że każdą [[Funkcja ciągła|funkcję ciągłą]] o wartościach [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] na [[Przedział (matematyka)|przedziale domkniętym]] <math>[a,b]</math> można [[Aproksymacja jednostajna|przybliżyć jednostajnie]] z dowolną dokładnością [[wielomian]]ami<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3979951 | tytuł = Stone’a–Weierstrassa twierdzenie | data dostępu = 2022-02-18 }}</ref>. Twierdzenie to zostało znacznie uogólnione przez amerykańskiego matematyka [[Marshall Stone|Stone’a]] i w tej ogólnej postaci jest ono dzisiaj znane jako ''twierdzenie Stone’a-Weierstrassa''.

== Historia ==
W [[1885]], niemiecki matematyk [[Karl Weierstrass|Karl Weierstraß]] udowodnił, że każda funkcja ciągła z odcinka domkniętego w [[liczby rzeczywiste]] <math>\mathbb R</math> jest [[Zbieżność jednostajna|granicą jednostajną]] wielomianów o współczynnikach rzeczywistych<ref>Karl Weierstraß. ''Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen''. '''Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin''', 1885 (II), s. 633–639, 789–805.</ref>. Nie znaczy to jednak, że wielomianami można przybliżyć dowolną funkcję na całej jej [[dziedzina|dziedzinie]]. Poza odcinkiem na którym przybliżenie będzie całkiem niezłe, wielomian może zachowywać się katastrofalnie, niezależnie od stopnia. Np. [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], [[funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]], [[logarytm]]u itd., nie da się sensownie przybliżyć (na całej dziedzinie) wielomianami niezależnie od stopnia.

W [[1937]], amerykański matematyk [[Marshall Stone|Marshall Harvey Stone]] uogólnił to twierdzenie<ref>Marshall Harvey Stone. ''Applications of the theory of Boolean rings to general topology''. [[Transactions of the American Mathematical Society]] 41 (1937), no. 3, s. 375–481.</ref> a dziesięć lat później znacznie uprościł on dowód<ref>Marshall Harvey Stone. ''The generalized Weierstrass approximation theorem''. '''Math. Mag'''. 21, (1948), s. 167–184, 237–254.</ref>. Później ogólna forma tego twierdzenia (udowodniona przez Stone’a) stała się znana jako twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

== Definicje ==
Niech <math>(X,\tau)</math> będzie [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]].
* <math>\mathcal C(X)</math> jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z <math>X</math> w <math>\mathbb R.</math> Zbiór ten jest wyposażony w strukturę [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] przez określenie operacji <math>+,\cdot</math> tak, że <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math> i <math>(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)</math> (dla <math>f,g\in \mathcal C(X)</math> i <math>x\in X</math>).
* Powiemy, że rodzina funkcji <math>\mathcal R \subseteq \mathcal C(X)</math> ''[[zbiór rozdzielający|rozdziela punkty]]'' jeśli dla każdych dwóch różnych punktów <math>x,y\in X</math> można znaleźć funkcję <math>f\in \mathcal R</math> taką, że <math>f(x)\neq f(y).</math>
* Topologia zbieżności jednostajnej na <math>\mathcal C(X)</math> jest zadana przez [[przestrzeń metryczna|metrykę]] <math>d</math> taką, że
: <math>d(f,g)=\sup\big\{\min(1,|f(x)-g(x)|):x\in X\big\},\;f,g\in \mathcal C(X).</math>

== Twierdzenie ==
Jeżeli:
: (a) <math>X</math> jest przestrzenią [[przestrzeń zwarta|zwartą]],
: (b) <math>\mathcal R \subseteq \mathcal C(X)</math> jest [[podpierścień|podpierścieniem]] zawierającym wszystkie [[funkcja stała|funkcje stałe]],
: (c) zbiór <math>\mathcal R</math> jest [[zbiór domknięty|domknięty]] w topologii zbieżności jednostajnej,
: (d) <math>\mathcal R</math> rozdziela punkty.

Wówczas <math>\mathcal R = \mathcal C(X).</math>

Tak więc, przy warunkach (a) i (b) sformułowanych powyżej,
: <math>\mathcal R</math> jest [[zbiór gęsty|gęstym]] podzbiorem <math>\mathcal C(X)</math> (w topologii zbieżności jednostajnej) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\mathcal R</math> rozdziela punkty.

== Zobacz też ==
* [[interpolacja wielomianowa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Stone-WeierstrassTheorem | tytuł = Stone-Weierstrass Theorem }} [dostęp 2023-08-26].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Stone-Weierstrass_theorem Stone-Weierstrass Theorem]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].

{{Funkcje ciągłe}}
{{Wielomiany}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Funkcje ciągłe]]
[[Kategoria:Twierdzenia o wielomianach|Stone’a-Weierstrassa]]
[[Kategoria:Twierdzenia – analiza matematyczna|Stone’a-Weierstrassa]]