Tekst źródłowy strony Twierdzenie Seiferta-van Kampena

'''Twierdzenie Seiferta-van Kampena''' w [[Topologia algebraiczna|topologii algebraicznej]] pozwala wyrazić [[Grupa podstawowa|grupę podstawową]] sumy spójnej zbiorów otwartych w zależności od grup podstawowych poszczególnych składników.

== Treść twierdzenia ==
Niech <math>X</math> będzie łukowo spójną przestrzenią topologiczną będącą sumą zbiorów otwartych <math>U_1</math> oraz <math>U_2</math> takich, że <math>x_0\in U_1\cap U_2,</math> gdzie <math>x_0</math> jest punktem bazowym wszystkich grup podstawowych wspomnianych w twierdzeniu. Niech <math>j_i: U_i \hookrightarrow X</math> będą włożeniami. Wtedy grupa podstawowa sumy <math>U_1\cup U_2</math> jest produktem wolnym grup podstawowych <math>\pi_1(U_1,x_o)</math> oraz <math>\pi_1(U_2,x_o)</math> z amalgamacją wzdłuż <math>\pi_1(U_1\cap U_2,x_o)</math> oraz przemienny jest diagram

[[Plik:VanKampen-01.png|750px]]
gdzie odwzorowania <math>i_\alpha, j_\alpha</math> są dla <math>\alpha\in\{1,2\}</math> indukowane przez stosowne włożenia, zaś naturalny homomorfizm <math>k</math> jest izomorfizmem.

=== Szczególne przypadki: <math>\pi_1(U_1) = 0</math> ===
Jeśli <math>\pi_1(U_1) = 0</math> wtedy <math>\pi_1(X) = \pi_1(U_2) / \pi_1(U_1 \cap U_2),</math> co oznacza że doklejenie ściągalnej [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] powoduje że wynikowa grupa podstawowa jest [[Grupa ilorazowa|grupą ilorazową]] z klasami równoważności danymi przez ściągalne pętle w części wspólnej <math>U_1</math> i <math>U_2.</math>

=== Szczególne przypadki: <math>\pi_1(U_1 \cap U_2) = 0</math> ===
Jeśli <math>\pi_1(U_1 \cap U_2) = 0</math> (na przykład kiedy <math>U_1 \cap U_2</math> jest ściągalna) wtedy produkt wolny z amalgamacją upraszcza się do produktu wolnego grup podstawowych. Ten szczególny przypadek po odpowiednich przekształceniach prowadzi do '''twierdzenia van Kampena o bukietach'''.

== Twierdzenie van Kampena o bukietach ==
Pokrewne twierdzenie, które nie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Seiferta-van Kampena (punkt nie jest zbiorem otwartym), zachodzi dla [[Bukiet (topologia)|bukietów]].

Niech <math>X</math> będzie bukietem przestrzeni <math>A</math> oraz <math>B,</math> tj. <math>X = A \vee B.</math> Wtedy zachodzi następujący izomorfizm grup podstawowych zaczepionych w punkcie bazowym bukietu:
: <math>\pi_1(X) \cong \pi_1(A) * \pi_1(B).</math>

Czyli grupa podstawowa bukietu jest produktem wolnym grup podstawowych składników bukietu.

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Duda |imię = Roman |tytuł = Wprowadzenie do topologii. Część II. Topologia algebraiczna i topologia rozmaitości |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 1986 |isbn =}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Hatcher |imię = Allen |tytuł = Algebraic topology |wydawca = [[Cambridge University Press]] |miejsce = Cambridge |rok = 2002 |isbn = 0-521-79160-X}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = May |imię = Peter |tytuł = A Concise Course in Algebraic Topology |url = http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf |wydawca = [[University of Chicago Press]] |rok = 1999 |isbn = 0-226-51183-9}}

[[Kategoria:Twierdzenia topologii algebraicznej|Seiferta-van Kampena]]