Tekst źródłowy strony Twierdzenie Rao-Blackwella

'''Twierdzenie Rao-Blackwella''':

Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech <math>L(a,\theta)</math> będzie [[Wypukłość funkcji|wypukłą]] [[funkcja|funkcją]] parametru <math>a,</math> dla każdego ustalonego <math>\theta</math> ze zbioru parametrów. Niech <math>T</math> będzie [[Statystyka (funkcja)#Statystyka dostateczna|statystyką dostateczną]] a <math>d</math> pewną regułą decyzyjną wtedy <math>d_0 = E(d |T )</math> jest regułą decyzyjną zależną tylko od <math>T</math> i nie gorszą od <math>d.</math>

Dowód:

Lemat:

Niech <math>C</math> będzie zbiorem wypukłym, a <math>Z</math> [[zmienna losowa|zmienną losową]] taką, że <math>P(Z \in C) =1</math> wtedy <math>EZ \in C</math> o ile istnieje.

A jest [[zbiór wypukły|zbiorem wypukłym]], a więc <math>d_0 \in A,</math> czyli <math>d_0</math> jest [[reguła decyzyjna|regułą decyzyjną]].

<math>T</math> jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję [[Warunkowa wartość oczekiwana|warunkowej wartości oczekiwanej]] niezależną od <math>\theta.</math>

<math>R(d, \vartheta) = E L(d,\vartheta) = E[E(L(d,\vartheta)|T] \geqslant E[L(E(d|T),\vartheta)]
= E(d_0,\vartheta) = R(d_0,\vartheta)</math>

Co kończy dowód.

Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna

[[Kategoria:Teoria decyzji]]
[[Kategoria:Twierdzenia probabilistyki|Rao-Blackwella]]