Tekst źródłowy strony Twierdzenie Poincarégo-Bendixona

'''Twierdzenie Poincarégo–Bendixona''' – twierdzenie o autonomicznych układach dynamicznych, mówiące o długofalowym zachowaniu orbit z [[Układ dynamiczny|ciągłych dynamicznych systemów]] na płaszczyźnie, cylindrze, lub sferze <math>\mathbb S^2</math>{{odn|Coddington|1995}}.

== Twierdzenie ==
Dla rzeczywistego różniczkowalnego układu dynamicznego określonego na [[Zbiór otwarty|otwartym]] podzbiorze płaszczyzny, każdy [[Zbiór pusty|niepusty]] [[Przestrzeń zwarta|zwarty]] [[zbiór graniczny]] orbity, która zawiera tylko skończoną liczbę punktów stałych, jest jednym z{{odn|Teshl|2012}}:
* [[Punkt krytyczny (matematyka)|punktem stałym]],
* [[Punkt okresowy|periodyczną orbitą]],
* [[Przestrzeń spójna|spójną]] sumą skończonej liczby punktów stałych wraz z homoklinicznymi lub heteroklinicznymi orbitami, łączącymi je.

Ponadto, dla dwóch punktów stałych zawiera co najwyżej jedną orbitę łączącą punkty w tym samym kierunku. Jednak możliwe jest że będzie zawierał przeliczalnie wiele orbit homoklinicznych.

Słabsza wersja twierdzenia została zaproponowana przez [[Henri Poincaré|Henriego Poincarégo]] bez ścisłego dowodu, który później został podany przez Ivara Bendixona.

== Dyskusja ==
Warunek o topologii przestrzeni fazowych jest konieczny. Na przykład na [[Torus (matematyka)|torusie]] istnieją gęste nieperiodyczne orbity{{odn|D'Heedene|1961}}.

== Zastosowania ==
Jeden z najważniejszych wyników polega na tym, że dwuwymiarowy ciągły układ dynamiczny nie może posiadać [[Atraktor|dziwnego atraktora]]. Jeżeli dziwny atraktor '''C''' istnieje w takim układzie, to on może być zawarty w domkniętym i ograniczonym podzbiorze przestrzeni fazowej. Poprzez odpowiednie ściągnięcie takiego obszaru wszystkie punkty stałe można oddzielić od takiego atraktora. Wtedy twierdzenie Poincarégo-Bendixona mówi, że '''C''' nie jest dziwnym atraktorem – ogólnie jest albo [[Cykl graniczny|cyklem granicznym]], albo do niego zbiega.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Coddington |imię = Earl A. |tytuł = Theory of Ordinary Differential Equations |rozdział = The Poincaré–Bendixson Theory of Two-Dimensional Autonomous Systems |wydawca = McGraw-Hill |rok = 1955 |strony = 389–403 |isbn = 0-89874-755-4 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Gerald |imię = Teschl |tytuł = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems |url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ |wydawca = American Mathematical Society |rok = 2012 |isbn = 978-0-8218-8328-0|odn = tak}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko = D’Heedene |imię = R.N. |tytuł = A third order autonomous differential equation with almost periodic solutions |czasopismo = Journal of Mathematical Analysis and Applications |data = 1961 |wydawca = Elsevier |wolumin = 3 |wydanie = 2 |strony = 344–350 |doi = 10.1016/0022-247X(61)90059-2 |odn = tak}}
* {{Cytuj pismo |nazwisko = Bendixson |imię = Ivar |tytuł = Sur les courbes définies par des équations différentielles |czasopismo = Acta Mathematica |wydawca = Springer Netherlands |wolumin = 24 |wydanie = 1 |rok = 1901 |doi = 10.1007/BF02403068 |strony = 1–88}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Poincaré |imię = H. |tytuł = Oeuvres |rozdział = Sur les courbes définies par une équation différentielle |tom = 1 |miejsce = Paris |rok = 1892}}

[[Kategoria:Teoria układów dynamicznych]]
[[Kategoria:Twierdzenia – analiza matematyczna|Poincarégo-Bendixona]]