Tekst źródłowy strony Twierdzenie Phragména-Lindelöfa

'''Twierdzenie Phragména-Lindelöfa''' – Uogólnienie zasady maksymalnego modułu dla [[funkcja analityczna|funkcji analitycznych]] na przypadek funkcji, które są z góry określone jako nieograniczone; po raz pierwszy zostało podane w najprostszej formie przez E. Phragména i E. Lindelöfa.<ref>{{Cytuj|url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Phragm%C3%A9n-Lindel%C3%B6f_theorem&oldid=48176|tytuł=Phragmén-Lindelöf theorem|opublikowany=Encyclopedia of Mathematics|data dostępu=2021-03-09}}</ref> Niech dana będzie [[funkcja]] [[Funkcja ciągła|ciągła]] <math>f(z)</math> o argumentach [[Liczby zespolone|zespolonych]] oraz [[Funkcja ograniczona|ograniczona]] dla argumentów zawartych w przedziale <math>\alpha \leqslant a \leqslant \beta</math> i [[Funkcja holomorficzna|holomorficzna]] wewnątrz tegoż przedziału. Jeśli dla <math>a = \alpha</math> i <math>a = \beta</math> istnieje takie <math>M,</math> że zachodzi <math>|f(z)|\leqslant M,</math> to <math>\forall_{z\in <\alpha,\beta>}\colon|f(z)|\leqslant M.</math>

Jeżeli ponadto <math>\exists_{q\in <\alpha,\beta>}\colon|f(q)| = M,</math> to <math>f</math> jest [[Funkcja stała|funkcją stałą]].

== Dowód ==
* Załóżmy, że

<math>f(a + b\cdot i)\to 0</math>

jednostajnie dla <math>b</math> dążącego do <math>\pm \infty</math> dla <math>z\in <\alpha,\beta >.</math>

Niech <math>q = a_q + b_q\cdot i \in <\alpha,\beta>.</math>

Wtedy <math>\exists_{m>|b_q|} \forall_{|b|\geqslant m} \exists_{a\in <\alpha,\beta>}\colon |f(a + b\cdot i)| \leqslant M.</math>

Niech <math>P</math> będzie wnętrzem prostokąta wyznaczonego przez zbiór:
:: <math>Pr = \{a + b\cdot i\ :\ \alpha \leqslant a \leqslant \beta \ \land \ -m\leqslant b\leqslant m\}.</math>

Jeżeli funkcja <math>f</math> jest stała, to twierdzenie jest w oczywisty sposób prawdziwe. W przeciwnym przypadku <math>f</math> nie jest stała w <math><\alpha,\beta>,</math> wtedy nie może być stała w <math>P,</math> i na podstawie [[zasada maksimum (analiza funkcjonalna)|zasady maksimum]] <math>f</math> nie osiąga [[Kresy dolny i górny|kresu górnego]] w <math>P.</math> Ponieważ <math>|f(z)|</math> jest ciągła w <math>Pr,</math> to <math>|f(z)|</math> osiąga swój kres górny w <math>Pr.</math> Punkt w którym osiąga ona swój kres górny, nie może należeć do <math>P,</math> a ponieważ <math>|f(z)|\leqslant M</math> na bokach prostokąta <math>Pr,</math> więc <math>|f(z)<M</math> w <math>P,</math> w szczególności <math>|f(q)|<M.</math>
* Niech <math>f_n(z) = f(z)\cdot \exp^{z^{\frac{2}{n}}} = f(z)\cdot \exp^\frac{a^2+b^2}{n} \cdot \exp^\frac{2\cdot i\cdot a\cdot b}{n}</math> dla <math>n=1,2,\dots</math>

będzie funkcją. Jest ona ciągła oraz ograniczona i holomorficzna w <math><\alpha,\beta>.</math> Dodatkowo dla <math>x = \alpha</math> i <math>x = \beta</math> zachodzi:
:: <math>|f_n(z)| = |f(z)| \cdot \exp^\frac{a^2+b^2}{n} \leqslant |f(z)| \cdot \exp^\frac{\delta^2}{n}</math> dla <math>\delta = \max(|\alpha|, |\beta|).</math>

Ponadto jeżeli <math>W</math> jest stałą wartością ograniczającą <math>f(z)</math> w <math><\alpha,\beta>,</math> to przy <math>y\to \pm \infty</math> jednostajnie dla <math>a\in <\alpha,\beta></math> zachodzi:
:: <math>|f_n(a + b\cdot i| \leqslant |f(a + b\cdot i) \cdot \exp^\frac{\delta^2}{n} \cdot \exp^\frac{-b^2}{n}\leqslant W\cdot \exp^\frac{\delta^2}{n} \cdot \exp^\frac{-b^2}{n}\to 0.</math>

A więc <math>f_n(z)</math> spełnia założenia pierwszej części dowodu.

Jeżeli <math>q\in < \alpha,\beta>,</math> to <math>|f_n(q)| < M\cdot \exp^\frac{\delta^2}{n}.</math> Przy <math>n \to \infty</math> <math>|f(q)\leqslant M.</math> Jeżeli <math>|f(q)|=M,</math> to biorąc otoczenie <math>G</math>' punktu <math>q,</math> leżące wewnątrz <math><\alpha, \beta >,</math> otrzymuje się <math>f(z)|\leqslant M</math> dla <math>z\in G'.</math> Po zastosowaniu zasady maksimum dla obszaru <math>G</math>' otrzymuje się wniosek, że <math>f</math> jest stała w <math>G</math>'. Ponieważ <math>G' \in <\alpha, \beta >,</math> więc <math>f</math> jest stała w <math><\alpha, \beta >.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Twierdzenia – analiza zespolona|Phragména-Lindelöfa]]