Tekst źródłowy strony Twierdzenie Kroneckera-Capellego

{{spis treści}}
'''Twierdzenie Kroneckera-Capellego'''<ref group="uwaga">Spotykana forma nazwiska Cappellego, mianowicie „Capelliego” jest błędna, co wyjaśnia ''Słownik ortograficzny języka polskiego wraz z zasadami pisowni i interpunkcji'' (wydany w 1981 przez [[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]]) na stronie 137.</ref> – [[twierdzenie]] [[algebra liniowa|algebry liniowej]] dające kryterium istnienia rozwiązań [[układ równań liniowych|układu równań liniowych]] i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w [[twierdzenie o rzędzie|twierdzeniu o rzędzie]] na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić [[Georges Fontené]] (co zaznaczył w swoim piśmie do ''Nouvelles Annales de Mathématiques'' z listopada 1875 roku)<ref>Dot. pracy „Twierdzenie do rozważań o układzie <math>n</math> równań pierwszego rzędu o <math>n</math> niewiadomych”, {{cytuj pismo |tytuł = Théorème pour la discussion d’un système de <math>n</math> équations du premier degré à <math>n</math> inconnues |czasopismo = Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale |wolumin = 2 |numer = 14 |rok = 1875 |strony = 481–487}}</ref>, przed [[Eugène Rouché|Eugènem Rouchém]], który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia<ref>W pracy ''Sur la discussion des equations du premier degré'' („O rozważaniu równań pierwszego stopnia”) w ''Comptes rendus de l’Académie des sciences'' (tom 81, s. 1050).</ref>, a następnie pełniejszą w 1880 roku<ref>Praca ''Note sur les équations linéaires'' w ''Journal de l’École polytechnique''.</ref>. Gdy [[Ferdinand Georg Frobenius]] powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach<ref>Np. ''Zur Theorie der linearen Gleichungen'' wydanej w 1905 roku w piśmie ''Journal für die reine und angewandte Mathematik''.</ref>, przypisywał je Rouchému i Fontenému. [[Alfredo Capelli]] miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia ''rzędu'')<ref>W swej pracy ''Sopra la compatibilitá o incompatibilitá di più equazioni di primo grado fra picì incognite'' z 1892 roku wydanej w ''Revista di Matematica'' (tom 2, s. 54–58).</ref>. Wersja [[Leopold Kronecker|Leopolda Kroneckera]] pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników<ref>Prowadzonych na [[Uniwersytet Humboldtów w Berlinie|Uniwersytecie Berlińskim]] w latach 1883–1891, wydanych w Lipsku w 1903 roku pt. ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten''.</ref>.

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się ''twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo''; w Hiszpanii znane jest ono jako ''twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa'', najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka [[Julio Rey Pastor|Julia Reya Pastora]], który określał je w ten sposób.

== Twierdzenie ==
{{Zobacz też|układ równań liniowych#Postać i zapis|o1=postać macierzowa|układ równań liniowych#Charakteryzacja|o2=charakteryzacja rozwiązań|układ równań liniowych#Uogólnienia|o3=interpretacja geometryczna układu równań liniowych}}
Niech dany będzie układ równań liniowych <math>\mathbf{AX} = \mathbf B,</math> gdzie [[rząd macierzy]] <math>\mathbf A</math> typu <math>m \times n</math> (co oznacza, że <math>n</math> jest liczbą niewiadomych, a <math>m</math> określa liczbę równań) wynosi <math>r,</math> z macierzą rozszerzoną <math>\mathbf U = [\mathbf A|\mathbf B]</math> rzędu <math>s.</math> Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy <math>r = s.</math>

; Wniosek
Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od <math>n - r</math> [[Parametr (matematyka)|parametrów]] w [[kombinacja afiniczna|sposób afiniczny]] (tworzy [[przestrzeń afiniczna|przestrzeń afiniczną]] tego wymiaru), to w przypadku <math>r = s = n</math> rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje [[punkt (geometria)|punkt]]). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od <math>n - r</math> parametrów w [[kombinacja liniowa|sposób liniowy]] (tworzy [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego [[trywialność (matematyka)|trywialność]], tj. <math>\mathbf X = \mathbf 0.</math>

== Dowód ==
Niech <math>\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n</math> będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy <math>\mathbf A,</math> zaś [[przestrzeń współrzędnych#Macierze|wektorom kolumnowym]] <math>\mathbf X, \mathbf B</math> odpowiadają wektory <math>\mathbf x = (x_1, \dots, x_n)</math> oraz <math>\mathbf b.</math> Wektor <math>\mathbf x</math> jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x_1 \mathbf a_1 + \ldots + x_n \mathbf a_n = \mathbf b,</math> co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\mathbf b</math> należy do [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|powłoki liniowej]] <math>\mathrm{lin}(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n),</math> co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora <math>\mathbf b,</math> tj. <math>\dim \mathrm{lin}(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) =  \dim \mathrm{lin}(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n, \mathbf b).</math> Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy <math>\mathbf A</math> oraz <math>\mathbf U</math> mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie o rzędzie]]
* [[wzory Cramera]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Banaszak |imię = Grzegorz |autor link = Grzegorz Banaszak |nazwisko2 = Gajda |imię2 = Wojciech |autor link2 = Wojciech Gajda |tytuł = Elementy algebry liniowej. Cz. 1 |data = 2002 |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |id = {{ISBN|83-204-2566-2}} (cz.1)}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Koźniewski |imię = Tadeusz |tytuł = Wykłady z algebry liniowej}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Kronecker-Capelli_theorem Kronecker-Capelli theorem]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

{{Algebra liniowa}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Twierdzenia algebry liniowej|Kroneckera-Capellego]]
[[Kategoria:Układy równań liniowych]]

[[cs:Soustava lineárních rovnic#Frobeniova věta]]