Tekst źródłowy strony Twierdzenie Krejna-Milmana

[[Plik:Extreme points.svg|thumb |Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)]]
'''Twierdzenie Krejna-Milmana''' – twierdzenie [[analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]] sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków [[Mark Krejn|Marka Krejna]] i [[Dawid Milman|Dawida Milmana]]. Przy założeniu [[twierdzenie o ideale pierwszym|twierdzenia o ideale pierwszym]] (BPI) jest ono równoważne [[aksjomat wyboru|aksjomatowi wyboru]] (AC) na gruncie [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyki Zermela-Fraenkla]]<ref name="ac">{{cytuj książkę|nazwisko=Bell|imię=John|nazwisko2=Fremlin|imię2=David|autor link=|tytuł=A geometric form of the axiom of choice|miejsce=Warszawa|wydawca=[[Fundamenta Mathematicae]] 77|rok=1973|strony=167–170}} [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm77/fm77116.pdf].</ref>:
: ''[[Przestrzeń zwarta|Zwarty]] [[zbiór wypukły]] [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej]] jest [[domknięcie (topologia)|domknięciem]] [[otoczka wypukła|otoczki wypukłej]] zbioru swoich [[punkt ekstremalny|punktów ekstremalnych]]''.

W szczególności <math>X</math> może być [[przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]]<ref group=uwaga>[[Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|Przestrzeń sprzężona]] <math>X^*</math> do [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznej]] <math>X</math> wyposażona w [[Słaba topologia#Topologia *-słaba|*-słabą topologię]] jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo topologiczną.</ref>. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:
: [[Kula jednostkowa]] [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzeni sprzężonej]] <math>X^*</math> do rzeczywistej [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanej]] <math>X</math> ma [[zbiór wypukły#Punkty ekstremalne|punkt ekstremalny]].


== Dowód ==
{{zobacz też |hiperpłaszczyzna podpierająca}}
Zbiór <math>S</math> nazywa się ''zbiorem podpierającym'' zbioru <math>C \subseteq X,</math> jeżeli <math>S</math> jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym <math>C,</math> dla którego należenie do <math>S</math> pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w <math>C</math> pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora <math>x^* \in X^*</math> hiperpłaszczyzna
: <math>H = H(x^*) = \left\{x \in X\colon \langle x^*, x\rangle = \max_{x \in C}~\langle x^*, x\rangle\right\}</math>

jest podpierająca. Niech <math>\mathcal S</math> oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w <math>H</math> uporządkowaną relacją zawierania – z [[lemat Kuratowskiego-Zorna|lematu Kuratowskiego-Zorna]] istnieje łańcuch maksymalny <math>\mathcal M</math> w tej rodzinie. Przecięcie <math>\hat \mathcal S</math> wszystkich zbiorów podpierających z <math>\mathcal M</math> należy do <math>\mathcal M</math> (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż <math>\hat \mathcal S</math> jest jednopunktowy. Otóż jeśli <math>\hat \mathcal S</math> zawiera dwa elementy <math>\xi</math> oraz <math>\eta,</math> to można je [[zbiór rozdzielający|rozdzielić]] za pomocą pewnego funkcjonału <math>\hat x^*</math> (tzn. wybrać taki <math>\hat x^*,</math> dla którego <math>\langle \hat x^*, \xi \rangle < \langle \hat x^*, \eta \rangle</math>), a następnie położyć <math>\tilde \mathcal S := \hat \mathcal S \cup \Gamma,</math> gdzie
: <math>\Gamma = \left\{x \in X\colon \langle \hat x^*, x\rangle = \sup_{x \in \hat \mathcal S \cup C} \langle \hat x^*, x\rangle\right\}.</math>

Ponieważ <math>\tilde \mathcal S</math> jest [[Zbiór domknięty|zbiorem domkniętym]] mającym infimum z <math>C,</math> a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności <math>\hat \mathcal S.</math>

Jeśli <math>\mathrm{extr}\; C</math> oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru <math>C,</math> to domknięcie <math>\mathrm{cl}\;C</math> zbioru <math>C</math> jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można [[zbiór rozdzielający|oddzielić]] punkt <math>C \setminus \mathrm{cl}\; C</math> od zbioru <math>\mathrm{cl}\;C</math> za pomocą funkcjonału <math>\overline x^*</math> i rozważając płaszczyznę podpierającą <math>H(\overline x^*)</math> znaleźć punkt ekstremalny zbioru <math>C</math> nie należący do <math>\mathrm{cl}\; C</math> na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Banacha-Alaoglu]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne]]
[[Kategoria:Twierdzenia – analiza funkcjonalna|Krejna-Milmana]]