Tekst źródłowy strony Twierdzenie Jordana-Dehna

'''Twierdzenie Jordana-Dehna''' – twierdzenie mówiące, że [[łamana zamknięta]] rozcina [[płaszczyzna|płaszczyznę]] na dwa [[Obszar (matematyka)|obszary]] i jest ich wspólnym [[brzeg (matematyka)|brzegiem]]. Szczególny przypadek [[krzywa Jordana|twierdzenia o krzywej Jordana]].

== Dowód ==
Niech <math>L</math> będzie [[łamana zamknięta|łamaną zamkniętą]] na płaszczyźnie euklidesowej <math>E^2,</math> a <math>k</math> niech będzie [[prosta|prostą]] o [[Kierunek w geometrii elementarnej|kierunku]] różnym od kierunków prostych zawierających boki łamanych. Prosta <math>k</math> oraz jedna z prostych do niej [[Prostopadłość|prostopadłych]] wyznaczają [[układ współrzędnych kartezjańskich]], w których prosta <math>k</math> jest [[Odcięta|osią odciętych]]. Przy takim wyborze osi odciętych każda prosta do niej równoległa może przeciąć dowolny bok łamanej '''w co najwyżej jednym punkcie'''<ref>Na podstawie książek Couranta, Robbinsa, op. cit., s. 345–348 i Mioduszewskiego, op. cit., s. 28–29.</ref>.

[[Plik:Index of points, irregular polygon.svg|thumb|300px|Nieregularna łamana zamknięta i punkty o różnych indeksach względem niej.]]

'''Indeksem''' punktu <math>z = (x_z, y_z) \in E^2 \setminus L</math> względem łamanej <math>L</math> jest funkcja
: <math>\operatorname{ind}_L (z): E^2 \setminus L \to \mathbb{R},</math>

która przyjmuje wartość:
* 0 jeśli półprosta <math>\big\{(x, y): x \geqslant x_z , y = y_z\big\}</math> przechodząca przez punkt <math>z</math> przecina łamaną w parzystej liczbie punktów,
* 1 jeśli półprosta <math>\big\{(x, y): x \geqslant x_z, y = y_z\big\}</math> przechodząca przez punkt <math>z</math> przecina łamaną w nieparzystej liczbie punktów.

Przy tym nie są liczone przecięcia w tych wierzchołkach, w których oba boki łamanej wychodzące z wierzchołka znajdują się po jednej stronie prostej.

Na rysunku punkty <math>z_1</math> i <math>z_2</math> mają względem pomarańczowej krzywej indeks 0, a pozostałe mają indeks 1.

Indeks ma dwie własności:
# ''Przyjmuje obie wartości''.
# ''Jest [[funkcja lokalnie stała|funkcją lokalnie stałą]]'', czyli jeśli przyjmuje wartość w pewnym punkcie, to przyjmuje ją w pewnym jego [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczeniu]].

'''Dowód własności 1.''' Przede wszystkim trzeba udowodnić, że istnieje półprosta równoległa do osi odciętych, która przecina łamaną <math>L</math> w co najmniej dwóch punktach. Łamana ma skończoną liczbę <math>n</math> wierzchołków: <math>z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2), \dots z_n = (x_n, y_n).</math> Gdyby taka półprosta nie istniała, to niech <math>\{i_1, i_2, \dots i_n\}</math> będzie taką permutacją indeksów <math>\{1, 2, \dots n\},</math> że <math>y_{i_1} > y_{i_2} > \ldots > y_{i_n}.</math> Wierzchołek <math>z_{i_1}</math> jest połączony bokami łamanej z dwoma wierzchołkami <math>z_{i_r}, z_{i_s},</math> gdzie <math>y_{i_r} > y_{i_s}.</math> Niech
: <math>x_{min} = \min \limits_{i=1, \dots, n} x_i,</math>
: <math>z_0 = (x_0, y_0) = \left(x_{min},\frac{y_{i_1} + y_{i_r}}{2}\right).</math>

Wtedy półprosta
: <math>\big\{(x, y): x \geqslant x_0 , y = y_0\big\}</math>

przecina bok łamanej o końcach <math>z_{i_1}, z_{i_r}</math> w punkcie
: <math>z' = \left(\frac{x_{i_1} + x_{i_r}}{2},\frac{y_{i_1} + y_{i_r}}{2}\right).</math>

Nie przecina natomiast odcinka o końcach <math>z_{i_r}, z_{i_s},</math> bo
: <math>\frac{y_{i_1} + y_{i_r}}{2} > y_{i_r} > y_{i_s}.</math>

Z [[Aksjomat Pascha|aksjomatu Pascha]] zastosowanego do trójkąta o wierzchołkach <math>z_{i_1}, z_{i_r}, z_{i_s}</math> wynika, że półprosta ta przecina drugi bok łamanej o wierzchołkach <math>z_{i_1}, z_{i_s}.</math> Znaleźliśmy półprostą przecinającą łamaną <math>L</math> w dwóch punktach.

Niech <math>\mathfrak{p} = zz_1^\to</math> będzie półprostą o [[półprosta|początku]] w punkcie <math>z</math> równoległą do osi odciętych, przecinającą łamaną w co najmniej dwóch punktach <math>z_1, z_2.</math> Ponieważ łamana ma skończoną liczbę <math>n</math> boków, więc półprosta ma co najwyżej <math>n</math> punktów przecięcia z łamaną i można założyć, że punkty <math>z_1, z_2</math> są punktami kolejnymi. Jeśli <math>z_0</math> leży między punktami <math>z_1</math> i <math>z_2,</math> liczba punktów przecięcia półprostej <math>\mathfrak{p}</math> jest o 1 większa od punktów przecięcia półprostej <math>\mathfrak{p'} = z_0 z_1^\to,</math> czyli <math>\operatorname{ind}_L (z) \neq \operatorname{ind}_L (z_0),</math> co kończy dowód własności 1.

'''Dowód własności 2.''' Ponieważ łamana <math>L</math> jako suma odcinków domkniętych (wraz z końcami) jest [[zbiór domknięty|zbiorem domkniętym]] i [[zbiór ograniczony|ograniczonym]], więc jest [[przestrzeń zwarta|podzbiorem zwartym płaszczyzny]] i dlatego dla każdego punktu <math>z = (x_z, y_z) \in E^2 \setminus L</math> istnieje taki prostokąt <math>\mathcal{P} = \big\{(x, y): |x - x_z| \leqslant a, |y - y_z| \leqslant a\big\},</math> że:
[[Plik:Jordan-Dehn theorem.svg|thumb|350px|Półprosta odpowiadająca punktowi <math>z</math>' ma o 4 punkty przecięcia więcej niż półprosta odpowiadająca punktowi <math>z.</math> Ich indeksy są takie same.]]
: <math>\mathcal{P} \cap L = \varnothing,</math>
: zbiór <math>\mathcal{P'} = \big\{(x, y): |y - y_z| \leqslant a\big\}</math> zawiera tylko te wierzchołki łamanej, które leżą na prostej <math>\big\{(x, y): y = y_z\big\}.</math>

Wtedy dla każdego punktu <math>z' \in \mathcal{P}</math>
: <math>\operatorname{ind}_L (z) = \operatorname{ind}_L (z'),</math>

bo liczba punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt <math>z'</math> różni się o co najwyżej parzystą liczbę od liczby punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt <math>z.</math>

Z obu tych własności wynika, że dopełnienie łamanej <math>L</math> jest sumą dwóch zbiorów otwartych <math>f^{-1}(0),</math> <math>f^{-1}(1).</math> W dowolnym otoczeniu każdego punktu łamanej <math>L</math> można znaleźć punkty obu tych zbiorów. Dlatego łamana ta jest ich wspólnym brzegiem.

== Wniosek ==
# Każda łamana zamknięta jest brzegiem pewnej figury ograniczonej. Nazywamy ją '''wielokątem'''.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj pismo |nazwisko = Mioduszewski |imię = Jerzy |autor link = Jerzy Mioduszewski |tytuł = Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych |czasopismo = Skrypty Uniwersytetu Śląskiego |wydawca = Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego |miejsce = Katowice |rok = 1994 |issn = 0239-6432}}
* {{cytuj książkę |autor = Courant R. |autor2 = Robbins H. |autor link = Richard Courant |tytuł = Co to jest matematyka? |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1959}}

[[Kategoria:Twierdzenia topologii|Jordana-Dehna]]