Tekst źródłowy strony Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej

'''Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej''' – [[twierdzenie]] klasycznej [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] mówiące o zerowaniu się [[Pochodna funkcji|pochodnej]] [[funkcja|funkcji]] [[Pochodna funkcji|różniczkowalnej]] osiągającej maksimum lub minimum w punkcie wewnętrznym przedziału.

== Definicja ==
Ustalmy <math>f\colon (a,b) \to \mathbb{R}.</math>

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0 \in (a,b)</math> oraz <math>f(x_0) = \max\{ f(x)\colon x \in (a,b)\}</math> lub <math>f(x_0) = \min\{ f(x)\colon x \in (a,b)\},</math> to
: <math>f'(x_0)=0.</math>

== Dowód ==
Aby udowodnić to twierdzenie należy rozpatrzeć wartość [[Granica (matematyka)|granicy]] prawostronnej i lewostronnej [[iloraz różnicowy|ilorazu różnicowego]]. Funkcja z założenia jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0,</math> więc granice jednostronne są sobie równe.

Dowód w przypadku, gdy <math>f(x_0)</math> = max <math>f(x).</math>

Ponieważ
: <math>f(x_0) \geqslant f(x),</math>

więc
: <math>\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leqslant 0</math>

i korzystając z twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności dla funkcji
: <math>f'_+(x_0) =\lim_{x \to x_0^+}~\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math> <math>\leqslant 0.</math>

Podobnie wykazujemy
: <math>f'_-(x_0) =\lim_{x \to x_0^-}~\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math> <math>\geqslant 0.</math>

Pochodne jednostronne są sobie równe. Ponieważ <math>f'_+(x_0) \leqslant 0 \wedge f'_-(x_0) \geqslant 0,</math> więc
: <math>f'(x_0) = f'_+(x_0) = f'_-(x_0)= 0.</math>

Przypadku, gdy <math>f(x_0)</math> = min <math>f(x),</math> dowodzi się analogicznie.

== Zastosowanie ==
Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej jest używane między innymi przy dowodzie [[Twierdzenie Rolle’a|twierdzenia Rolle’a]].

== Bibliografia ==
* {{Cytuj stronę |url = http://wms.mat.agh.edu.pl/~zankomar/wyklady/Wyklad1.htm |tytuł = Uzupełnienie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej |nazwisko = Wyrostek |imię = Jakub |język = pl |archiwum = https://web.archive.org/web/20160107184302/http://wms.mat.agh.edu.pl/~zankomar/wyklady/Wyklad1.htm |zarchiwizowano = 2016-01-07 |data dostępu = 2016-01-07}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Fichtenholz |imię = Grigorij Michajłowicz |autor link = Grigorij Fichtenholz |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |inni = Ryszard Bittner, Bolesław Gleichgewicht, Tadeusz Huskowski (tłum.) |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |wydanie = XII |miejsce = Warszawa |data = 2002 |strony = 549 |isbn = 978-83-01-02175-7 |tom = 1 |oclc = 749565830}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Gewert |imię = Marian |tytuł = Analiza matematyczna 1: definicje, twierdzenia, wzory |wydanie = XXIV zmienione |wydawca = Oficyna Wydawnicza GiS |miejsce = Wrocław |data = 2015 |seria = Matematyka dla Studentów Politechnik |strony = 166 |isbn = 978-83-62780-30-3 |nazwisko2 = Skoczylas |imię2 = Zbigniew |oclc = 932191224}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fermat_theorem Fermat theorem]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].

{{Rachunek różniczkowy}}

[[Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego]]