Tekst źródłowy strony Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)

{{Inne znaczenia|teorii grup|[[twierdzenie Cauchy’ego|inne twierdzenia Cauchy’ego]]}}
'''Twierdzenie Cauchy’ego''' – [[twierdzenie]] [[teoria grup|teorii grup]], mówi ono, że jeśli <math>G</math> jest grupą skończoną i <math>p</math> jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy <math>G</math> (liczby elementów grupy <math>G</math>), to w <math>G</math> istnieje element rzędu <math>p.</math> Oznacza to, że istnieje <math>x\in G</math> taki, że dla najmniejszego niezerowego <math>p</math> zachodzi <math>x^p=e,</math> gdzie <math>e</math> jest elementem neutralnym.

Powyższe twierdzenie związane jest z [[Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)|twierdzeniem Lagrange’a]], które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy <math>G</math> dzieli rząd grupy <math>G.</math> Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p,</math> będącej dzielnikiem rzędu <math>G,</math> istnieje podgrupa grupy <math>G,</math> której rzędem jest <math>p</math> i jest to grupa cykliczna.

Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez [[Twierdzenie Sylowa|pierwsze twierdzenie Sylowa]], które zakłada, że jeśli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, a <math>p^n</math> jest dzielnikiem rzędu grupy <math>G,</math> to <math>G</math> ma podgrupę rzędu <math>p^n.</math>

== Twierdzenie i dowód ==
Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez [[Indukcja matematyczna|silną indukcję]], przy użyciu [[Klasa sprzężoności#Równanie klas sprzężoności|równania klasy]], niemniej w przypadku [[Grupa przemienna|abelowym]] tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.

'''Twierdzenie:''' Niech
<math>G</math> będzie grupą skończoną, a <math>p</math> liczbą pierwszą. Jeśli <math>p</math> dzieli rząd grupy <math>G,</math> to <math>G</math> ma element rzędu <math>p.</math>

=== Dowód 1 ===
Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest [[Grupa przemienna|abelowa]], a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem <math>n=|G|.</math> Przypadek, gdzie <math>n=p</math> jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd <math>p.</math> Przypuśćmy najpierw, że <math>G</math> jest abelowa. Weźmy dowolny element <math>a,</math> który generuje [[Grupa cykliczna|grupę cykliczną]] <math>H.</math> Jeśli <math>p</math> dzieli <math>|H|,</math> to <math>a^{|H|/p}</math> jest elementem rzędu <math>p.</math> Jeśli <math>p</math> nie dzieli <math>|H|,</math> to dzieli rząd <math>[G:H]</math>[[Grupa ilorazowa|grupy ilorazowej]] <math>G/H,</math> która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu <math>p.</math> Element ten jest warstwą <math>xH</math> dla <math>x\in G.</math> Jeśli <math>m</math> jest rzędem <math>x\in G,</math> to <math>x^m=e</math> w <math>G</math> daje, że <math>(xH)^m=eH</math> ''w'' <math>G/H,</math> więc <math>p</math> dzieli <math>m.</math> Jak wcześniej, <math>x^{m/p}</math> jest elementem rzędu <math>p</math> w <math>G,</math> co kończy dowód w przypadku abelowym.

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech <math>Z</math> będzie centrum <math>G,</math> które jest podgrupą abelową. Jeśli <math>p</math> dzieli <math>|Z|,</math> to <math>Z</math> zawiera element rzędu <math>p</math> w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że <math>p</math> nie dzieli rzędu <math>Z.</math> Ponieważ nie dzieli <math>|G|,</math> to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez <math>p.</math> Rozmiarem tym jest <math>[G:C_G(a)],</math> więc <math>p</math> dzieli rząd [[Centralizator i normalizator|centralizatora]] <math>C_G(a)</math> elementu <math>a</math> w <math>G,</math> który jest podgrupą właściwą, ponieważ <math>a</math> nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu <math>p,</math> co kończy dowód.

=== Dowód 2 ===
W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu <math>p,</math> gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są <math>1</math> i <math>p</math> co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór <math>X=\{(x_1,\dots,x_p)\in G^p: x_1x_2\ldots x_p=e\}</math> skończonych ciągów z <math>G</math> o długości <math>p,</math> których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych <math>p</math> elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że <math>p-1</math> elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór <math>X</math> ma <math>|G|^{p-1}</math> elementów, które są podzielne przez <math>p.</math>

Z faktu, że jeśli <math>ab=e,</math> to także <math>ba=e,</math> wynika, że każda cykliczna [[permutacja]] wyrazów elementu z <math>X</math> daje element zbioru <math>X.</math> Można określić działanie w grupie cyklicznej <math>C_p</math> rzędu <math>p</math> na <math>X</math> przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w <math>C_p</math> wybrany generator przypisuje <math>(x_1,x_2,\dots,x_p)\mapsto (x_2,\dots,x_p,x_1).</math>

W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość <math>1</math> lub <math>p.</math> Działo się tak dla uporządkowanego zbioru <math>(x,x,\dots,x),</math> dla którego <math>x^p=e.</math> Zliczając elementy <math>X</math> na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających <math>x^p=e</math> jest podzielna przez <math>p.</math> Ale <math>x=e</math> jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej <math>p-1</math> innych rozwiązań dla <math>x</math> i te rozwiązania są elementami rzędu <math>p.</math> To kończy dowód.

== Zastosowania ==
Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja [[P-grupa|p-grup]] skończonych, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa <math>G</math> jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd <math>p^k</math> dla dowolnej [[liczby naturalne]]j <math>k</math>) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>G</math> ma rząd <math>p^n</math> dla dowolnej liczby naturalnej <math>n.</math> Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.

{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Twierdzenia o grupach skończonych|Cauchy’ego (teoria grup)]]
[[Kategoria:Podgrupy]]