Tekst źródłowy strony Trygonometria

[[Plik:Circle-trig6.svg|thumb|350px|Wszystkie [[funkcje trygonometryczne]] kąta θ mogą zostać geometrycznie skonstruowane w odniesieniu do okręgu ze środkiem w punkcie O]]

'''Trygonometria''' ([[łacina|łac.]] ''trigonometria''<ref group="uwaga">od łac.:
* ''trigonum'': z [[język grecki|gr.]] τρίγωνον ''trigōnon'', [[rodzaj gramatyczny|neutr.]] od τρίγωνος ''trigōnos'', „trójrożny, trójkątny”, od -γωνον -gōnon, od γωνία ''gōnia'', „róg, kąt”; spokr. z γόνυ ''gónu'', „kolano”;
* ''-metria'', od gr. μετρεῖν ''metrein'', „mierzyć”, od μέτρον ''metron'', „miara, kij/pręt mierniczy”</ref>) – dział [[matematyka|matematyki]] z pogranicza [[Planimetria|geometrii płaskiej]] i [[Analiza matematyczna|analizy]], badający:
* związki miarowe między bokami i kątami [[trójkąt]]ów<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3989519 | tytuł = Trygonometria | data dostępu = 2021-09-15 }}</ref>;
* [[funkcje trygonometryczne]], początkowo definiowane przez trójkąty, a później też w inny sposób; badania te bywają nazywane [[Goniometria|goniometrią]]<ref name="epwn-g">{{Encyklopedia PWN | id = 3906662 | tytuł = goniometria | data dostępu = 2024-04-25 }}</ref>, przy czym termin ten ma też inne znaczenia.

Trygonometria bada zarówno trójkąty na [[Płaszczyzna|płaszczyźnie]], jak i [[Trójkąt sferyczny|te sferyczne]], przez co wyróżnia się trygonometrię płaską i [[Trygonometria sferyczna|sferyczną]]<ref name="epwn" /><ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Trigonometry Trigonometry]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-25].</ref>.

Nauka ta istnieje od [[Starożytność|starożytności]]. Rozwijali ją uczeni [[Starożytna Grecja|starogreccy]], [[islam]]scy oraz [[Średniowiecze|średniowiecznej]] i [[Nowożytność|nowożytnej]] Europy, m.in. na potrzeby [[Astronomia|astronomii]]<ref name="epwn" />. Stała się standardowym elementem kursów matematyki w [[Szkoła średnia|szkołach średnich]]; przykładowo należy do [[Podstawa programowa|podstawy programowej]] polskich [[Liceum ogólnokształcące|liceów]] i [[Technikum|techników]], także w zakresie podstawowym<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://zpe.gov.pl/podstawa-programowa/szkola-ponadpodstawowa/matematyka Podstawa programowa – rok szkolny 2023/2024. Liceum ogólnokształcące i technikum. Matematyka]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna, [[Ministerstwo Edukacji Narodowej]], zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-25].</ref>.

== Historia ==
=== Ogólny zarys ===
Trygonometria powstała najpóźniej w [[Starożytna Grecja|starożytnej Grecji]] w [[Epoka hellenistyczna|okresie hellenistycznym]] na potrzeby [[Geodezja|geodezji]], [[Astronomia|astronomii]] i ich zastosowań do [[Nawigacja|nawigacji]], np. [[Żegluga|żeglugi]]. Stosunki boków w trójkątach badali także matematycy indyjscy oraz kontynuujący ich prace uczeni chińscy i [[islam]]scy, którzy zaprowadzili te wyniki do Europy. Tam nazwano tę dyscyplinę{{fakt|data=2023-02}}, podano [[wykres]]y funkcji trygonometrycznych, zdefiniowano je dla dowolnych argumentów [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] oraz opracowano [[Szereg (matematyka)|szereg]]i pozwalające obliczać wartości tych funkcji bez fizycznego [[pomiar]]u trójkątów. W XVIII wieku udało się też sprowadzić funkcje trygonometryczne do nieskończonych iloczynów, [[Ułamek łańcuchowy|ułamków łańcuchowych]] oraz powiązać je z [[Funkcja wykładnicza|funkcją wykładniczą]] za pomocą [[Wzór Eulera|wzoru Eulera]]. Rozwój trygonometrii został w ten sposób ukoronowany, jednak później znajdowano dla niej coraz nowsze zastosowania; przykładowo w XIX wieku powstała [[analiza harmoniczna]].

Rola trygonometrii nie ogranicza się do praktycznego przewidywania odległości i [[Miara kąta|miar kątów]]:
* [[tożsamości trygonometryczne]] znalazły zastosowania w [[Algebra|algebrze]], np. jako uzupełnienie wzorów Cardana na pierwiastki [[Równanie sześcienne|równania kubicznego]];
* z trygonometrii skorzystała też [[teoria liczb]]; w XVIII wieku [[Johann Heinrich Lambert]] za pomocą jednego ze wzorów na funkcję [[tangens]] udowodnił, że [[Pi|liczba pi]] (π) jest [[Liczby niewymierne|niewymierna]]. W XIX i XX wieku podano nowe wzory na tę stałą zawierające [[funkcje cyklometryczne]]; obliczanie jej coraz szybciej i z rosnącą precyzją ma pewne znaczenie teoretyczne, np. pozwala sprawdzać pewne hipotezy na jej temat{{fakt|data=2023-02}}.

=== Egipt i Babilon ===
[[Plik:Plimpton 322.jpg|mały|Tabliczka Plimpton 322]]

W [[starożytny Egipt|starożytnym Egipcie]] i [[Babilon]]ie od wieków znano twierdzenia dotyczące stosunków boków [[trójkąt]]ów [[podobieństwo|podobnych]]. Jednak społeczeństwa przed Grekami prawdopodobnie nie wynalazły idei miary kąta i w konsekwencji badały tylko boki trójkąta<ref name="Boyer Early Trigonometry">{{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |tytuł = A History of Mathematics |rok = 1991 |strony = 158–159}}</ref>.

Niektórzy badacze uważają, że starożytni Babilończycy zapisali [[pismo klinowe|pismem klinowym]] na tabliczce [[Plimpton 322]], powstałej ok. 1800–1900 lat p.n.e., tablicę sekansów<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Joseph |tytuł = The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |rok = 2000 |strony = 383–384}}</ref>. Jednakże według innych interpretacji mogły to być tablice [[trójki pitagorejskie|trójek pitagorejskich]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Bruins |imię = Evert M. |tytuł = On Plimpton 322, Pythagorean numbers in Babylonian mathematics |rok = 1949 |wydawca = Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings 52 |strony = 629–632}}</ref><ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Bruins |imię = Evert M. |tytuł = Pythagorean triads in Babylonian mathematics: The errors on Plimpton 322 |rok = 1951 |wydawca = Sumer 11 |strony = 117–121}}</ref> albo rozwiązanie [[równanie kwadratowe|równania kwadratowego]]<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Robson |imię = Eleanor |tytuł = Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322 |url = https://archive.is/20130427234812/http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-458NDFH-1&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=5a9195972c96eabe2680224bc50bff3a |czasopismo = Historia Math. |rok = 2001 |oznaczenie = 28 |wolumin=3 |strony=167–206 |język=en}}</ref><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko =Robson |imię = Eleanor |tytuł = Words and pictures: new light on Plimpton 322 |url=https://www.jstor.org/stable/2695324 |czasopismo = American Mathematical Monthly |rok = 2002 |oznaczenie = 109 |wolumin = 2 |strony = 105–120 |język=en}}</ref>.

=== Starożytna Grecja ===
[[Plik:TrigonometricChord.svg|mały|Cięciwa łuku utworzonego przez dany kąt]]
[[Plik:Ptolemaeus.jpg|mały|Średniowieczne przedstawienie [[Klaudiusz Ptolemeusz|Klaudiusza Ptolemeusza]]]]

Matematycy [[starożytna Grecja|starożytnej Grecji]] znali pojęcie [[cięciwa|cięciwy]]. Dla danego okręgu i jego części (łuku) cięciwa jest [[prosta|prostą]], która przecina okrąg na końcach łuku. [[Symetralna odcinka]] cięciwy mieszczącego się wewnątrz koła przechodzi przez jego środek i dzieli łuk (i tym samym kąt) na pół. Połowa długości cięciwy to dla okręgu jednostkowego sinus połowy kąta, czyli <math>\mbox{crd}\ \theta = 2 \sin\tfrac{\theta}{2}.</math> Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta<ref name="Boyer Menelaus of Alexandria" />.

Jakkolwiek w dziełach [[Euklides]]a i [[Archimedes]]a nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu, są jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie, które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów<ref name="Boyer Early Trigonometry" />. Na przykład propozycje XII i XIII z Księgi II ''[[Elementy Euklidesa|Elementów]]'' są tożsame ze [[twierdzenie cosinusów|wzorem cosinusów]] odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych. Twierdzenia dotyczące długości cięciw są natomiast zastosowaniem [[twierdzenie sinusów|wzoru sinusów]]. Jedno z twierdzeń Archimedesa jest zaś odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów<ref name="Boyer Early Trigonometry" />. Matematycy za czasów [[Arystarch z Samos|Arystarcha z Samos]] dla celów obliczeniowych używali m.in. twierdzenia mówiącego, iż (we współczesnej notacji) <math>\tfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} < \tfrac{\alpha}{\beta} < \tfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\beta}</math>
dla <math>0^\circ < \beta < \alpha < 90^\circ</math><ref name="Boyer Aristarchus of Samos" />.

Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez [[Hipparchos z Nikei|Hipparcha]] (180–125 p.n.e.)<ref name="Boyer Hipparchus of Nicaea quote">{{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |tytuł = A History of Mathematics |rok = 1991 |strony = 162}}</ref>. Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów<ref name="Boyer Hipparchus of Nicaea quote" /><ref name="oconnor1996">{{cytuj stronę |url = https://archive.is/20121205085833/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html |tytuł = Trigonometric functions w: MacTutor History of Mathematics Archive |nazwisko = O’Connor |imię = J.J. |nazwisko2 = Robertson |imię2 = E.F. |język = en |rok = 1996 |data dostępu = 2008-04-12}}</ref>.

Jakkolwiek nie wiadomo dokładnie, kiedy zaczęto używać podziału kąta pełnego na 360 stopni, przypuszczalnie nastąpiło to wkrótce po napisaniu przez [[Arystarch z Samos|Arystarcha z Samos]] dzieła ''[[O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca]]'' ok. 260 p.n.e., gdyż mierzył on kąty w ułamkach kąta prostego<ref name="Boyer Aristarchus of Samos">{{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |tytuł = A History of Mathematics |rok = 1991 |strony = 159}}</ref>. Prawdopodobnie podział kąta pełnego na 360 stopni spopularyzował się głównie dzięki [[Hipparchos z Nikei|Hipparchowi]] i jego tablicy cięciw. Hipparch mógł podchwycić ideę takiego podziału u [[Hipsikl]]a, który wcześniej dzielił dobę na 360 części, zapewne wzorując się na [[Babilon|babilońskich]] astronomach<ref name="Boyer Hipparchus of Nicaea quote" />. W starożytnej astronomii [[ekliptyka]] została podzielona na 12 „[[zodiak|znaków zodiaku]]” lub 36 [[dekan (astronomia)|dekanów]]. Roczny cykl około 360 dni można było otrzymać, dzieląc każdy znak na 30 części i każdy dekan na 10 części<ref name="Boyer The 360-circle">{{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |tytuł = A History of Mathematics |rok = 1991 |strony = 166–167}}</ref>. To dzięki używanemu w [[Babilonia|Babilonii]] sześćdziesiątkowemu [[system liczbowy|systemowi liczbowemu]] każdy stopień został podzielony na 60 [[minuta kątowa|minut kątowych]], a każda minuta na 60 [[sekunda kątowa|sekund kątowych]]<ref name="Boyer The 360-circle" />.

[[Menelaos z Aleksandrii]] (ok. 100 n.e.) napisał trzy księgi pod tytułem ''Sphaerica''. W Księdze I sformułował dla [[trójkąt sferyczny|trójkątów sferycznych]] odpowiedniki twierdzeń dotyczących trójkątów na płaszczyźnie<ref name="Boyer Menelaus of Alexandria" />. Sformułował również twierdzenie nieposiadające odpowiednika na płaszczyźnie euklidesowej, mówiące, że dwa trójkąty sferyczne są [[przystawanie (geometria)|przystające]], jeśli odpowiednie ich kąty mają równe miary (utożsamiał przy tym symetryczne wersje trójkątów sferycznych)<ref name="Boyer Menelaus of Alexandria" />. Menelaos zauważył także, że suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180°<ref name="Boyer Menelaus of Alexandria" />. Księga II ''Sphaerica'' dotyczyła zastosowań [[geometria sferyczna|geometrii sferycznej]] do [[astronomia sferyczna|astronomii]]. Księga III zawierała „twierdzenie Menelausa”<ref name="Boyer Menelaus of Alexandria">{{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |tytuł = A History of Mathematics |rok = 1991 |strony = 163}}</ref>.

Później [[Klaudiusz Ptolemeusz]] (ok. 90 – ok. 168 n.e.) rozbudował w swoim dziele ''[[Almagest]]'' koncepcję „cięciw na okręgu” Hipparcha. Trzynasta księga ''Almagestu'' była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii<ref name="Boyer Ptolemy" />. Jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako [[twierdzenie Ptolemeusza]]. Szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza pojawia się także w Propozycji XCIII dzieła Euklidesa. Twierdzenie Ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy, choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw, a nie funkcji. Ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru
: <math>\sin^2 \tfrac{x}{2} = \tfrac{1 - \cos x}{2}.</math>

Ptolemeusz używał tych wyników do stworzenia [[tablice trygonometryczne|tablic trygonometrycznych]], choć nie wiadomo, czy nie były one wyprowadzone z dzieła Hipparcha<ref name="Boyer Ptolemy">{{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |tytuł = A History of Mathematics |rok = 1991 |strony = 164–166}}</ref>.

Ani tablice Hipparcha, ani Ptolemeusza nie przetrwały do czasów współczesnych, choć dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości, że istniały<ref name="boyer1991">{{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |tytuł = A History of Mathematics |rok = 1991 |strony = 158–168}}</ref>.

=== Średniowieczne Indie ===
[[Plik:2064 aryabhata-crp.jpg|mały|prawo|180px|Posąg Aryabhaty]]
Kolejny istotny postęp w trygonometrii został dokonany w [[Indie|Indiach]]. Indyjski matematyk i astronom [[Arjabhata|Aryabhata]] (476–550 n.e.) w swoim dziele ''Aryabhata-Siddhanta'' po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej dzisiaj formie związku między połową kąta i połową cięciwy, a także cosinus, sinus versus i arcus sinus. Jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne, które przetrwały do dzisiaj, z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3.75° stopnia od 0° do 90°, z dokładnością do czterech miejsc znaczących. Jego nazwy na sinus i cosinus stały się podstawą nazw używanych dzisiaj (zobacz [[Funkcje trygonometryczne#Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw|''Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw'' funkcji trygonometrycznych]]).

Inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę Aryabhaty. W VI wieku n.e. {{link-interwiki |Varahamihira |Q=Q858348}} używał wzorów:
: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1,</math>
: <math>\sin x = \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right),</math>
: <math>\tfrac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^2 x.</math>

W VII wieku [[Bhaskara I]] stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):
: <math>\sin x \approx \tfrac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad 0 \leqslant x \leqslant \tfrac{\pi}{2}.</math>

W końcu VII wieku, [[Brahmagupta]] wyprowadził wzór:
: <math>1 - \sin^2 x = \cos^2 x = \sin^2\left(\tfrac{\pi}{2} - x \right)</math>

oraz tzw. [[wzór interpolacyjny Brahmagupty]]:
: <math>f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\tfrac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \tfrac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2},</math>

który pozwolił mu na stablicowanie wartości sinusa<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Joseph |imię = George G. |tytuł = The Crest of the Peacock |rok = 2000 |strony = 285–286 |wydawca = Princeton University Press |isbn = 0691006598}}</ref>.
{{clear}}

=== Świat islamu ===
[[Plik:1983 CPA 5426.jpg|mały|Al-Chuwarizmi sportretowany na [[Związek Socjalistycznych Republik Radzieckich|radzieckim]] znaczku pocztowym]]

Prace matematyków hinduskich zostały później przetłumaczone i rozszerzone w świecie muzułmańskim przez arabskich i perskich matematyków. W IX wieku [[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi]] obliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa.

W X wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie, co wiadomo dzięki pracy autorstwa [[Abu al-Wafa]]. Abu al-Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych, a także dokładne tablice tangensa. Zauważył również tożsamość:
: <math>\sin 2x = 2 \sin x \cos x.</math>

Wszystkie te wczesne wyniki trygonometryczne powstawały głównie w związku z pracami astronomicznymi, pierwsze traktaty wyłącznie o trygonometrii opublikowali zapewne [[Bhaskaraćarja|Bhāskara Acārya]] i [[Nasir ad-Din Tusi]] w XIII wieku. Nasir ad-Din Tusi sformułował i udowodnił [[twierdzenie sinusów]], sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych.

W XIV wieku [[Ghijas ad-Din Kaszi]] stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych (odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych) dla każdego stopnia z dodatkowymi poprawkami do obliczania wartości dla każdej minuty kątowej. [[Uług Beg]] (XV wiek) także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc dziesiętnych.

=== Średniowieczne Chiny ===
[[Plik:Guo Shoujing-beijing.JPG|mały|prawo|180px|[[Guo Shoujing]] (1231–1316)]]
Tablice sinusów Aryabhaty zostały przetłumaczone na [[język chiński|chiński]] i umieszczone w klasycznym dziele ''Kaiyuan Zhan Jing'', skompilowanym w 718 roku w okresie [[dynastia Tang|dynastii Tang]]<ref name="needham volume 3 109">{{cytuj książkę |nazwisko = Needham |tytuł = Science and Civilization in China |tom = 3 |rok = 1986 |strony = 109}}</ref>. Jakkolwiek Chińczycy celowali w innych dziedzinach matematyki, takich jak [[stereometria]], czy [[algebra]], to wczesne formy trygonometrii nie rozpowszechniły się tak szybko jak w przypadku Greków, Hindusów i muzułmanów<ref name="needham volume 3 108 109">{{cytuj książkę |nazwisko = Needham |tytuł = Science and Civilization in China |tom = 3 |rok = 1986 |strony = 108–109}}</ref>. <!-- TODO do weryfikacji Zamiast tego Chińczycy używali empirycznego substytutu, zwanego ''chong cha'', podczas gdy praktyczne while practical use of plane trigonometry in using the sine, the tangent, and the secant were known<ref name="needham volume 3 109" />. --> Powoli ten stan zaczął się zmieniać w okresie [[dynastia Song|dynastii Song]] (960–1279), kiedy chińscy matematycy zaczęli kłaść większy nacisk na potrzeby geometrii sferycznej<ref name="needham volume 3 109" />. Na przykład [[Shen Kuo]] (1031–1095) używał funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania problemów matematycznych z cięciwami i łukami<ref name="needham volume 3 109" />. Jak twierdzą historycy L. Gauchet i Joseph Needham, inny matematyk, [[Guo Shoujing]] (1231–1316) używał trygonometrii sferycznej w kalkulacjach kalendarzowych i astronomicznych<ref name="gauchet 151">{{cytuj książkę |nazwisko = Gauchet |tytuł = Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King |strony = 151}}</ref><ref name="needham volume 3 109" />.

=== Renesansowa Europa ===
[[Regiomontanus]] był prawdopodobnie pierwszym europejskim matematykiem, który traktował trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę matematyczną. Napisał w 1464 ''De triangulis omnimodus'', a później ''Tabulae directionum''.

Funkcję secans w [[Europa|Europie]] wprowadził [[Mikołaj Kopernik]] w dziele ''[[De revolutionibus orbium coelestium]]'' (1543)<ref name="secans_kopernik">{{cytuj stronę |url = http://www.aik.magazyn.pl/art_show.php?art=kopernik&m=astron |tytuł = Astronomia i Kosmos: Mikołaj Kopernik |data dostępu = 2009-03-19 |archiwum = https://web.archive.org/web/20080503073833/http://www.aik.magazyn.pl/art_show.php?art=kopernik&m=astron |zarchiwizowano = 3 maja 2008 }}; {{cytuj stronę |url = http://www.museum-viadrina.de/Strassenlexikon_Slubice/strassen/k/KopernikaMikolaja.htm |tytuł = Nikolaus-Kopernikus-Straße |język = de |data dostępu = 2009-03-19 |archiwum = https://web.archive.org/web/20120307091517/http://www.museum-viadrina.de/Strassenlexikon_Slubice/strassen/k/KopernikaMikolaja.htm |zarchiwizowano = 7 marca 2012 }}</ref>, choć arabscy matematycy używali jej prawdopodobnie już w IX wieku<ref name="hist_sec" />.

[[Francesco Maurolico]] w 1555 używał zapisu ''sinus''<ref name="hist_sin">{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/35/ |tytuł = Mathworld – history of sine |język = en |data dostępu = 2009-01-10}}</ref>, w 1583 J. Finck użył określeń ''tangens''<ref name="hist_tan">{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Tan/35/ |tytuł = Mathworld – history of tangent |język = en |data dostępu = 2009-01-10}}</ref> oraz ''sekans''<ref name="hist_sec">{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sec/35/ |tytuł = Mathworld – history of secant |język = en |data dostępu = 2009-01-10}}</ref>. [[Edmund Gunter]] w 1620 roku użył słowa ''cotangens''<ref name="hist_cot">{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cot/35/ |tytuł = Mathworld – history of cotangent |język = en |data dostępu = 2009-01-10}}</ref>, w 1624 roku wprowadził oznaczenie ''sin x''<ref name="hist_sin" /> oraz ''tan x''<ref name="hist_tan" />, a w 1636 ''cosi x'' oraz słowo ''cosinus'' (zamiast ''complementi sinus'')<ref name="hist_cos">{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cos/35/ |tytuł = Mathworld – history of cosine |język = en |data dostępu = 2009-01-10}}</ref>. [[François Viète]] w 1590 znalazł wzór na <math>\cos nx</math><ref name="hist_cos" />.

W 1595 [[Bartłomiej Pitiscus]] użył po raz pierwszy terminu „trygonometria” w swoim dziele ''Trigonometria: sive de solutione triangulorum Tractatus brevis et perspicuus (1595, Heidelberg)''.

''Opus palatinum de triangulis'' autorstwa [[Jerzy Joachim Retyk|Retyka]], było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez [[Valentin Otho|Valentina Otho]], studenta Rheticusa w roku 1596.

[[Isaac Newton]] w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus<ref name="hist_sin" /> i cosinus<ref name="hist_cos" /> w szereg, a [[Leonhard Euler]] w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony<ref name="hist_sin" />.

W XVII wieku [[Isaac Newton]] i [[James Stirling (matematyk)|James Stirling]] stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.

W 1770 [[Johann Heinrich Lambert]] znalazł reprezentację tangensa w postaci ułamka łańcuchowego<ref name="hist_tan" />.

=== Historia analizy trygonometrycznej ===
[[Plik:Leonhard Euler.jpg|mały|[[Leonhard Euler]] (1707–1783) – [[Szwajcarzy|szwajcarski]] matematyk, który udowodnił pewne własności [[Funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], m.in. ich związek z [[Funkcja wykładnicza|funkcją wykładniczą]]<ref name="epwn-ft">{{Encyklopedia PWN | id = 3989520 | tytuł = Funkcje trygonometryczne | data dostępu = 2023-12-12}}</ref> nazywany [[Wzór Eulera|wzorem Eulera]].]]

[[Madhava z Sangamagrama|Madhava]] (około roku 1400) stworzył podwaliny [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] funkcji trygonometrycznych, odkrywając rozwinięcie funkcji w [[szereg (matematyka)|szeregi nieskończone]]. Badał on koncepcje [[szereg potęgowy|szeregów potęgowych]] oraz pewnego szeregu, nazwanego później w Europie [[Wzór Taylora|szeregiem Taylora]] i obliczył rozwinięcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Używając aproksymacji sinusa i cosinusa szeregiem Taylora, stworzył tablice sinusa z 12 miejscami znaczącymi i cosinusa z 9 miejscami znaczącymi. Podał także rozwinięcie [[Pi|π]] w szereg potęgowy. Jego prace były rozwijane przez jego następców ze szkoły astronomicznej w [[Kerala]] aż do XVI wieku<ref>{{cytuj stronę |url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html |tytuł = Madhava of Sangamagramma |nazwisko = O’Connor |imię = J.J. |nazwisko2 = Robertson |imię2 = E.F. |praca = MacTutor History of Mathematics Archive |rok = 2000 |język = en}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |tytuł = Madhava of Sangamagramma |nazwisko = Pearce |imię = Ian G. |praca = MacTutor History of Mathematics Archive |rok = 2002 |język = en |data dostępu = 2009-03-24 |archiwum = https://web.archive.org/web/20060505201342/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |zarchiwizowano = 2006-05-05 }}</ref>.

''Introductio in analysin infinitorum'' [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]] z 1748 roku stworzyło grunt dla analitycznego traktowania funkcji trygonometrycznych w Europie, definiując je jako nieskończone szeregi i wprowadzając „[[wzór Eulera]]”. Euler używał skrótów zbliżonych do dzisiejszych: ''sin.'', ''cos.'', ''tang.'', ''cot.'', ''sec.'', i ''cosec.''

[[James Gregory]], a następnie [[Brook Taylor]] badali szeregi, znane dziś jako szeregi Taylora. Ten ostatni znalazł rozwinięcia i aproksymacje wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych. Duże znaczenie na tym polu miały również prace [[Colin Maclaurin|Colina Maclaurina]].

== Zobacz też ==
{{Wikisłownik|trygonometria}}
{{Wikibooks|Matematyka dla liceum/Trygonometria}}
{{Commonscat|Trigonometry}}
* [[równanie trygonometryczne]]
* [[trygonometryczne wzory redukcyjne]]
* [[twierdzenie cosinusów]], [[twierdzenie tangensów]] – [[twierdzenie|twierdzenia]] przydatne przy rozwiązywaniu zadań dotyczących [[trójkąt]]ów

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Boyer |imię = Carl B. |tytuł = A History of Mathematics |wydanie = Second Edition |wydawca = John Wiley & Sons, Inc. |rok = 1991 |isbn = 0-471-54397-7}}
* {{cytuj stronę |url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html |tytuł = Madhava of Sangamagramma |nazwisko = O’Connor |imię = J.J. |nazwisko2 = Robertson |imię2 = E.F. |praca = MacTutor History of Mathematics Archive |rok = 2000 |język = en}}
* {{cytuj stronę |url = https://archive.is/20121205085833/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html |tytuł = Trigonometric functions |nazwisko = O’Connor |imię = J.J. |nazwisko2 = Robertson |imię2 = E.F. |praca = [[MacTutor History of Mathematics Archive]] |rok = 1996 |język = en}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Gauchet |imię = L. |tytuł = Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King |rok = 1917}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Joseph |imię = George G. |tytuł = The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |wydanie = 2 |wydawca = [[Penguin Books]] |miejsce = Londyn |rok = 2000 |isbn = 0-691-00659-8}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Needham |imię = Joseph |tytuł = Science and Civilization in China: tom 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth |rok = 1986 |miejsce = Taipei |wydawca = Caves Books, Ltd.}}
* {{cytuj stronę |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |tytuł = Madhava of Sangamagramma |nazwisko = Pearce |imię = Ian G. |praca = MacTutor History of Mathematics Archive |rok = 2002 |język = en |data dostępu = 2009-03-24 |archiwum = https://web.archive.org/web/20060505201342/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |zarchiwizowano = 2006-05-05 }}
* [http://www.fuw.edu.pl/~kostecki/histmat.pdf R.P. Kostecki: ''Krótka historia matematyki'']

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Trigonometry | tytuł = Trigonometry }} [dostęp 2023-06-01].

{{Trygonometria}}
{{Działy geometrii}}
{{Działy matematyki}}
{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Trygonometria| ]]