Tekst źródłowy strony Trapez

{{Inne znaczenia|[[geometria|pojęcia geometrycznego]]|[[Trapez (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
{{wikisłownik|trapez}}
[[Plik:Trapezoid.svg|mały|Trapez z oznaczeniami]]

'''Trapez''' – [[czworokąt]] z przynajmniej jedną parą [[Równoległość|równoległych]] boków<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3988830 | tytuł = trapez | data dostępu = 2021-09-29 }}</ref>. Czasem zakłada się dokładnie jedną taką parę, przy takiej definicji [[równoległobok]] nie byłby trapezem<ref>{{cytuj książkę |tytuł = Słownik języka polskiego |wydawca = PWN |rok = 1981}}</ref><ref name="epwn" />.

Boki równoległe nazywa się ''podstawami'', pozostałe ''ramionami'', a [[odcinek]] łączący podstawy i prostopadły do nich – oraz jego długość, czyli [[odległość]] między podstawami – ''wysokością'' trapezu<ref name="epwn" />. Wszystkie trapezy są [[zbiór wypukły|wypukłe]]{{fakt|data=2024-05}}.

== Własności ==
=== Kąty ===
Dla dowolnego trapezu suma [[Miara kąta|miar kątów]] wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu jest równa 180°<ref name="epwn" />. Jest tak, ponieważ ramię trapezu jest sieczną (transwersalą) podstaw – zob. [[Kąt#Kąty wyznaczane przez proste|kąty wyznaczane przez proste]]; kąty przy tym samym ramieniu to para kątów jednostronnych wewnętrznych.

=== Przekątne ===
Jeśli <math>P</math> oznacza punkt przecięcia przekątnych, to{{fakt|data=2024-05}}:
* [[trójkąt]]y <math>ADP</math> i <math>BCP</math> mają równe pola<ref group="uwaga">'''Dowód''': Trójkąty <math>ABC</math> i <math>ABD</math> mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty <math>BCP</math> i <math>ADP</math> powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta <math>ABP.</math></ref>;
* trójkąty <math>ABP</math> i <math>CDP</math> są [[Trójkąty podobne|podobne]], co wynika wprost z [[twierdzenie Talesa|twierdzenia Talesa]].

=== [[Pole powierzchni]] ===
Jest to iloczyn wysokości i [[Średnia arytmetyczna|średniej arytmetycznej]] długości podstaw – połowy ich sumy<ref name="epwn" /><ref name=cke>{{Cytuj |url=https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf |tytuł=Wybrane wzory matematyczne |miejsce=Warszawa |data=2015 |wydawca = [[Centralna Komisja Egzaminacyjna]] |isbn=978-83-940902-1-0 |s=9}}</ref>:
: <math>S = \frac{a+b}{2}\ h</math>
gdzie <math>a, b</math> to długości podstaw, a <math>h</math> to jego wysokość. 

Inny wzór na pole powierzchni trapezu zawiera długości wszystkich boków (podstaw i ramion){{fakt|data=2024-05}}:
: <math>S = \frac{1}{4} \frac{a+b}{|a-b|}\ \sqrt{|a-b|+c+d}\ \sqrt{|a-b|+c-d}\ \sqrt{|a-b|-c+d}\ \sqrt{-|a-b|+c+d}</math>
gdzie <math>a \neq b</math> to długości podstaw, <math>c, d</math> – długości ramion<ref group="uwaga">Dla <math>b = 0</math> wzór sprowadza się do [[wzór Herona|wzoru Herona]] dla trójkąta o bokach o długościach <math>a, c, d.</math></ref>.

== Przypadki szczególne ==
=== Trapez równoramienny ===
[[Plik:Trapezoid isosceles.svg|mały|Trapez równoramienny (niebędący równoległobokiem) z oznaczeniami]]

Trapez o ramionach równej długości<ref name="epwn" />. Jeśli taki trapez nie jest [[równoległobok]]iem niebędącym [[prostokąt]]em, to ma on [[symetria osiowa|oś symetrii]]: przechodzącą przez [[środek odcinka|środki]] podstaw ich wspólną [[Symetralna odcinka|symetralną]]. W tym przypadku kąty między ramionami a daną podstawą są równe, a kąty przeciwległe sumują się do 180°; stąd można go wtedy [[Okrąg opisany na wielokącie|wpisać w okrąg]].

Pole powierzchni trapezu równoramiennego można wyrazić wzorem{{fakt|data=2024-05}}
: <math>S = \frac{g^2}{2}\ \sin \varphi,</math>

gdzie <math>g</math> oznacza długość [[przekątna|przekątnej]] trapezu (obie mają równą długość), a <math>\varphi</math> to kąt między przekątnymi trapezu.

=== Trapez prostokątny ===
[[Plik:Trapezoid right-angled.svg|mały|Trapez prostokątny z oznaczeniami]]

Trapez, którego kąt wewnętrzny jest [[Kąt prosty|prosty]], tj. ma miarę 90°<ref name="epwn" />. Ramię trapezu jako sieczna (transwersala) podstaw (zob. [[Kąt#Kąty wyznaczane przez proste|kąty wyznaczane przez proste]]) przecina je obie pod kątem prostym, dlatego trapez prostokątny musi mieć co najmniej dwa kąty proste. Szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego jest [[prostokąt]] – ma on cztery kąty wewnętrzne proste.

== Zobacz też ==
* [[deltoid]]
* [[prostokąt]]
* [[równoległobok]]
* [[trapezoid]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Artykuły na Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-28]:
** Paweł Dziuba, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DPxLV92SW Trapez i jego własności]'';
** Bogdan Staruch, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DrToeYyba Odcinek łączący środki ramion trapezu]'';
** Tomasz Paszek, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/D13lBD4Ui Pole trapezu]''.
* {{Pismo Delta | url = 2005/10/srednie-w-trapezie/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = Średnie w trapezie | data = październik 2005 | data dostępu = 2024-11-01 }}
* {{otwarty dostęp}} [https://zadania.info/d1723/9268559 Dowody wzoru na pole trapezu], zadania.info [dostęp 2024-05-28].

{{wielokąty}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rodzaje czworokątów]]