Tekst źródłowy strony Transmitancja operatorowa

{{Inne znaczenia|teorii sterowania|[[Absorpcja (optyka)#Absorbancja|absorbancja i transmitancja]] w optyce}}
'''Transmitancja operatorowa''' (funkcja przejścia, <math>G(s)</math>) – stosunek [[Transformacja Laplace’a|transformaty Laplace’a]] sygnału wyjściowego do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych:
: <math>G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.</math>

Transmitancja jest częstotliwościowym modelem układu (w postaci zasadniczej określonym w [[płaszczyzna S|dziedzinie s]]). Określa ogólne własności stacjonarnego [[układ liniowy|układu liniowego]] o jednym [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejściu]] i jednym [[Wejście-wyjście (automatyka)|wyjściu]], niezależne od rodzaju wymuszenia. Dla układu wielowymiarowego o <math>n</math> wejściach i <math>m</math> wyjściach można określić <math>m</math> x <math>n</math> transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem.

== Transmitancje układów ciągłych ==
Dla układów opisanych liniowymi [[równanie różniczkowe|równaniami różniczkowymi]] o stałych współczynnikach:
: <math>a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \ldots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y  = b_m \frac{d^m u}{dt^m} + \ldots + b_1 \frac{du}{dt} + b_0 u</math>

transmitancja operatorowa jest [[funkcja wymierna|funkcją wymierną]] [[płaszczyzna S|zmiennej zespolonej <math>s</math>]], tzn. można ją przedstawić za pomocą [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch wielomianów:
: <math>G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\ldots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}
+\ldots+a_1s+a_0},</math>

gdzie dla układów realizowalnych fizycznie <math>m \leqslant n.</math> Transmitancja operatorowa, w której stopień licznika jest mniejszy lub równy stopniowi mianownika nazywamy [[transmitancja właściwa|transmitancją właściwą]] a jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika – [[transmitancja ściśle właściwa|transmitancją ściśle właściwą]].

== Transmitancje układów dyskretnych ==
Ponieważ w [[układ dyskretny|układach dyskretnych]] czas jest zmienną nieciągłą, więc podstawowe równanie stanu układu ma postać [[równanie różnicowe|równania różnicowego]], a nie różniczkowego (zobacz też [[opis typu wejście-wyjście]]). Niech równanie różnicowe będzie miało postać:
: <math>\begin{align}
&y(k+n)+a_{n-1}y(k+n-1)+\ldots+a_1 y(k+1)+a_0 y(k) \\[1ex]
={}&b_m u(k+m)+\ldots+b_1 u(k+1)+b_0 u(k).
\end{align}</math>

Zastosowanie [[Transformacja Laplace’a|przekształcenia Laplace’a]] do [[układ dyskretny|układów impulsowych]] daje w efekcie nieskończone szeregi, co zwykle nie jest wygodne w obliczeniach dlatego transmitancja operatorowa układów dyskretnych opiera się o [[Transformacja Z|przekształcenie Z]]. Transmitancją impulsową układu dyskretnego nazywa się stosunek transformaty Z odpowiedzi układu do transformaty Z sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych. Transmitancja impulsowa, ze [[płaszczyzna Z|zmienną zespoloną z]], odpowiadająca powyższemu równaniu różnicowemu ma więc postać:
: <math>G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\ldots+b_1z+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1}
+\ldots+a_1z+a_0}.</math>

== Zera i bieguny transmitancji ==
* [[Wielomian|Pierwiastki]] licznika transmitancji określane są '''zerami transmitancji''' (lub '''zerami układu''', który ta transmitancja opisuje).

* Przyrównując mianownik transmitancji do zera, otrzymujemy tzw. [[równanie charakterystyczne]]. Pierwiastki mianownika transmitancji (czyli odpowiadającego jej [[równanie charakterystyczne|równania charakterystycznego]]) określa się mianem '''biegunów transmitancji''' (lub '''biegunów układu''', który ta transmitancja opisuje) albo też mianem [[wartość własna układu|wartości własnych układu]] (opisanych przez tę transmitancję).

== Wyznaczanie eksperymentalne ==
Załóżmy, że mamy dany stacjonarny liniowy [[Układ regulacji (automatyka)|układ]] [[dynamika układów|dynamiczny]]. Na jego wejście podano sygnał [[wymuszenie-odpowiedź|wymuszający]] <math>u(t)</math> i na wyjściu uzyskano [[wymuszenie-odpowiedź|odpowiedź]] <math>y(t).</math> Jeżeli dokonamy [[Transformacja Laplace’a|transformaty Laplace’a]] funkcji [[opis typu wejście-wyjście|opisujących sygnał wejściowy i wyjściowy]]
: <math>Y(s)  = \mathcal{L} \{y(t)\}</math>
: <math>U(s)  = \mathcal{L} \{u(t)\}</math>

i podzielimy otrzymane transformaty to otrzymamy transmitancję układu <math>G(s){:}</math>
: <math>G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}.</math>

Badanie układu o nieznanych właściwościach dokonuje się poprzez podanie na jego wejście sygnału (najczęściej [[Funkcja skokowa Heaviside’a|skok jednostkowy]]) i wyznaczenie przebiegu sygnału wyjściowego, przybliżanego funkcją matematyczną, której znajomość pozwala na określenie transmitancji. Na podstawie znajomości funkcji przejścia można wyznaczyć sygnał jaki uzyskamy na wyjściu układu dla dowolnego sygnału wejściowego. Wystarczy dokonać [[Odwrotna transformata Laplace’a|odwrotnej transformaty Laplace’a]]:
: <math>y(t)= \mathcal{L}^{-1}\{U(s)\cdot G(s)\},</math>

gdzie <math>G(s)</math> jest transmitancją układu, a <math>U(s)</math> transformatą Laplace’a sygnału wejściowego.

Innym częstym zastosowaniem transmitancji jest wyznaczanie wartości, do której zmierza sygnał wyjściowy układu przy zadanym wejściu. Korzysta się wtedy z własności granicznych transformaty Laplace’a (''twierdzenie o wartości granicznej''):
: <math>y(\infty)=\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} (s\cdot G(s) \cdot U(s)),</math>

gdzie <math>y(t)</math> oznacza przebieg sygnału wyjściowego w czasie, a <math>U(s)</math> transformatę Laplace’a sygnału wejściowego.

== Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów ==
{{osobny artykuł|Transmitancja widmowa}}
Stosując podstawienie <math>s=j\omega,</math> można przekształcić transmitancję <math>H(s)</math> w zależność <math>H(j\omega)</math> pozwala wyznaczyć [[Wymuszenie-odpowiedź|odpowiedź]] [[układ dynamiczny|układu dynamicznego]] na dowolny sygnał [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejściowy]] reprezentowany przez złożenie [[harmoniczna|harmonicznych]] składowych [[Funkcje trygonometryczne|sinusoidalnych]].

Pojedyncza [[liczby zespolone|zespolona]] składowa [[harmoniczna]] o [[amplituda|amplitudzie]] <math>A_{we},</math> [[pulsacja|pulsacji]] <math>\omega</math> i fazie <math>p_{we}</math>
: <math>x(t) = A_{we} e^{j(\omega t + p_{we})},</math>

(gdzie <math>j</math> oznacza [[liczby urojone|jednostkę urojoną]]), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o [[amplituda|amplitudzie]] <math>A_{wy}</math> i [[Faza drgań|fazie]] <math>p_{wy}{:}</math>
: <math>y(t) = A_{wy} e^{j(\omega t + p_{wy})}.</math>

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość <math>\omega</math> pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja <math>H(j\omega)</math> opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości <math>\omega</math>). Moduł transmitancji opisuje '''wzmocnienie układu''':
: <math>\frac{A_{wy}}{A_{we}} = |H(j\omega)|,</math>

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:
: <math>p_{wy} - p_{we} = \arg( H(j\omega)).</math>

Transmitancja <math>H(j\omega)</math> może zostać też wyznaczona za pomocą [[Transformacja Fouriera|transformat Fouriera]].

Dla przypadku [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] wyrażenie
: <math>\frac{y(i)}{u(i)}=z^{-k}\left.\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}\right|_{z=e^{j\omega T_p}}=K(e^{-j\omega T_p})</math>

definiuje dyskretną [[transmitancja widmowa|transmitancję widmową]].

== Opisy alternatywne ==
Transmitancja operatorowa (obok odpowiedniego równania różniczkowego i [[całka splotowa|całki splotowej]]) to jeden ze sposobów [[opis typu wejście-wyjście|opisu typu wejście-wyjście]] stosowany dla układów (obiektów, członów, elementów) regulacji. Kolejną alternatywę stanowi opis z wykorzystaniem [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)|równań stanu]].

== Powiązanie transmitancji z równaniami stanu ==
{{osobny artykuł|Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)}}

Różnym postaciom opisu w przestrzeni stanów może odpowiadać jeden opis transmitancyjny, a z drugiej strony dla danej transmitancji istnieje nieskończenie wiele opisów w przestrzeni stanów (tym niemniej spośród różnych możliwych sposobów wyboru [[zmienna (automatyka)|zmiennych]] [[stan układu|stanu]] kilka jest szczególnie ciekawych).

== Macierz transmitancji ==
{{osobny artykuł|Macierz transmitancji}}
Rozszerzenie koncepcji transmitancji operatorowej na [[wejście-wyjście (automatyka)|układy o wielu wejściach i wyjściach]] uzyskuje się przez wprowadzenie [[macierz transmitancji|macierzy transmitancji]].

== Ograniczenia opisu transmitacyjnego ==
Za klasyczny uchodzi opis z wykorzystaniem transmitancji operatorowej. Transmitancja w przeciwieństwie do [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)|równań stanu]] zakłada domyślnie zerowy stan początkowy. Określa ogólne własności stacjonarnego układu liniowego, ale tylko o jednym wejściu i jednym wyjściu. Dla układu wielowymiarowego o <math>n</math> wejściach i <math>m</math> wyjściach można określić <math>m</math> x <math>n</math> transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem, jednak w praktyce opis układów wielowymiarowych za pomocą transmitancji nie jest wygodny. Transmitacją nie można też opisać [[układ nieliniowy|układów nieliniowych]] i [[układ niestacjonarny|układów niestacjonarnych]]. W porównaniu z opisem typu wejście-wyjście opis równaniami stanu daje dużo więcej informacji o modelowanym obiekcie, o jego sposobie funkcjonowania, o tym co się dzieje wewnątrz obiektu. Z powyższych względów w nowoczesnej [[teoria sterowania|teorii sterowania]] popularność zyskał opis z wykorzystaniem równań stanu, którym można opisać [[układ nieliniowy|układy nieliniowe]], [[układ niestacjonarny|układy niestacjonarne]] i który lepiej nadaje się do opisu układów wielowymiarowych.

== Zastosowania ==
Transmitancji używa się często dla uproszczenia obliczeń związanych z projektowaniem układu złożonego z wielu [[Człon automatyki|elementów]], głównie w:
* [[automatyka|automatyce]] ([[teoria sterowania]])
* [[elektrotechnika|elektrotechnice]] ([[teoria obwodów]])
* [[elektronika|elektronice]] ([[przetwarzanie sygnałów|teoria sygnałów]])
* [[inżynieria mechaniczna|inżynierii mechanicznej]] ([[teoria układów dynamicznych]]).

== Rys historyczny ==
{{osobny artykuł|Historia automatyki}}
Gwałtowne rozprzestrzenianie się [[telegrafia|telegrafii]], a następnie [[telefonia|telefonii]] od połowy XIX wieku pobudzało do podejmowania rozlicznych badań nad zachowaniem się obwodów elektrycznych. Przez kilka lat począwszy od [[1888]] roku brytyjski inżynier [[Oliver Heaviside]] publikował swoje artykuły na temat rachunku operatorowego. Można w zasadzie powiedzieć, że w latach 1892–1898 Oliver Heaviside wynalazł [[rachunek operatorowy]], przebadał zachowania systemu w [[Stan nieustalony|stanie nieustalonym]] i wprowadził pojęcie odpowiadające późniejszej transmitancji. Chociaż jego metody dawały przekonujące wyniki dla odpowiedzi układów elektrycznych w stanie nieustalonym, został on ostro skrytykowany przez współczesnych mu matematyków za brak należytego rygoru i ostatecznie wyklęty przez swoje ówczesne środowisko naukowe.

Rozwój rachunku operatorów jako metod umożliwiających rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych na gruncie algebraicznym datuje się od początku XIX w. W takim ujęciu został on rozpowszechniony przez Olivera Heaviside’a (1892, 1899), który stosował rachunek operatorów w zagadnieniach elektrotechnicznych, sprowadzając [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowe]] do [[równanie algebraiczne|równań algebraicznych]]. Dopiero w latach 20. i 30. XX wieku ideę Heaviside’a (pojęcie odpowiadające późniejszej transmitancji) powiązano z [[Transformacja Fouriera|przekształceniami całkowymi Fouriera]] i [[Transformacja Laplace’a|Laplace’a]] (Bromwich, Carson, van der Pol, Doetsch), co spowodowało, że pojawiły się szersze możliwości wykorzystania rachunku operatorów w wielu zagadnieniach fizyki i techniki, a także w zagadnieniach automatycznej regulacji układów mechanicznych. Doszukanie się tych powiązań dowiodło też ostatecznie słuszności metod Heaviside’a.

Pewne ograniczenia stosowalności przekształceń całkowych, a przede wszystkim rozwój [[Analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]] skłoniły matematyków do poszukiwania nowych koncepcji rachunku operatorowego. Całkowity nawrót do pierwotnego operatorowego punktu widzenia obserwujemy np. u [[Jan Mikusiński|Jana Mikusińskiego]]. Daje on ścisłe uzasadnienie rachunku operatorów Heaviside’a, bez odniesienia do przekształcenia Laplace’a. Dalsze prace nad nowymi ogólnymi podstawami rachunku operatorów, nawiązują również w pewnym sensie do koncepcji Heaviside’a.

Klasyczny rachunek operatorów, jako narzędzie matematyczne, jest w szerokim zakresie wykorzystywany w teorii [[Przekształcenie liniowe|liniowych]] [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]]. Jest jedną z dziedzin współczesnej matematyki, która swoje znaczenie zawdzięcza w zdecydowanej mierze właśnie zastosowaniom technicznym. Stosowanie metod operatorowych znacznie upraszcza obliczenia i prowadzi do rozwiązań w postaci bardzo dogodnej do dalszej analizy i syntezy układu. Dzięki swej prostocie i efektywności, a także wskutek wielu zalet w porównaniu z innymi metodami, rachunek operatorów stał się jedną z podstawowych metod badania układów dynamicznych, mimo wielu ograniczeń nakładanych na wielkości wejściowe i wyjściowe układu.

== Zobacz też ==
* [[transmitancja uchybowa]]

{{Teoria sterowania}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria układów dynamicznych]]
[[Kategoria:Przetwarzanie sygnałów]]