Tekst źródłowy strony Transformacja Fouriera

[[Plik:Fourier unit pulse.svg|mały|250x250px|Wykresy dwóch funkcji rzeczywistych oraz ich transformaty Fouriera. Drugi sygnał, przesunięty w czasie względem pierwszego, pomimo identycznej postaci, ma inną transformatę Fouriera]]

'''Transformacja Fouriera''' – transformacja całkowa, która przyjmuje funkcję rzeczywistą <math>f(t), t \in R</math> jako daną wejściową i wyprowadza funkcję o wartościach zespolonych, która opisuje stopień, w jakim w funkcji wejściowej występują funkcje zespolone <math>f_\omega= e^{- i\omega t}.</math> '''Transformatą Fouriera''' nazywa się funkcję, która powstaje w wyniku działania transformacji Fouriera.

[[Plik:CQT-piano-chord.png|thumb|249x249px|Zastosowanie transformacji Fouriera do określenia składowych [[akord]]u [[Gama|C dur]] fortepianu. Pierwsze trzy piki od lewej odpowiadają podstawowym częstotliwościom C, E, G. Pozostałe są wyższymi harmonicznymi.]]

Przykładowo, obliczanie transformaty Fouriera trwającego jakiś czas sygnału akustycznego oznacza obliczanie amplitud składowych zespolonych tego dźwięku (por. wykresy transformaty obok dla funkcji schodkowych).

Transformacja Fouriera jest [[Przekształcenie liniowe|operatorem liniowym]] działającym na [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnej]] funkcji zmiennej rzeczywistej i dokonującym rozkładu danej funkcji <math>f</math> w [[Baza ortonormalna|bazie ortonormalnej]] zespolonych funkcji eksponencjalnych <math>f_\omega= e^{- i\omega t}, \omega
\in R</math> poprzez liczenie [[Iloczyn skalarny|iloczynów skalarnych]] danej funkcji z funkcjami bazy.

Transformacja Fouriera została nazwana na cześć [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera]].

== Definicja transformacji Fouriera w postaci zespolonej dla funkcji jednej zmiennej ==
Podana tu zostanie definicja transformacji Fouriera w postaci zespolonej. Obok tej postaci występują także postacie całkowe transformaty Fouriera, wyrażone przez funkcje rzeczywiste sinus i cosinus, bez użycia jednostki urojonej; postacie te można otrzymać z transformaty Fouriera w postaci zespolonej; nie omawia jednak tego zagadnienia ten artykuł.

=== Założenia – warunki Dirichleta ===
Zakładamy, że funkcja <math>f</math> spełnia pierwszy i drugi [[Warunki Dirichleta|warunek Dirichleta]], tj. jest to funkcja rzeczywista <math>f\colon \mathbb R \longrightarrow \mathbb R,</math> określona na <u>skończonym</u> przedziale <math>(a, b)</math> oraz{{odn|Żakowski|Leksiński|s=351|5=2017}}

# <math>f(t)</math> jest przedziałami monotoniczna w przedziale <math>(a, b)</math> – tzn. jest w nim ograniczona i można podzielić ten przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna (czyli funkcja ta ma skończoną liczbę [[Ekstremum funkcji|maksimów lokalnych]] i [[Ekstremum funkcji|minimów lokalnych]]),
# <math>f(t)</math> jest '''ciągła''' w przedziale <math>(a, b)</math> z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby [[Punkt nieciągłości|punktów nieciągłości pierwszego rodzaju]], przy czym w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek
#: <math>f(t_0)=\tfrac{1}{2}[f(t_{0+})+f(t_{0-}).</math>

'''<u>Uwagi:</u>'''
# Całkowalność funkcji, gwarantowana przez spełnienie warunków Dirichleta, jest istotnym wymogiem w obliczaniu transformaty Fouriera, która opiera się na obliczaniu całek. (Ten sam wymóg dotyczy [[Szereg Fouriera|szeregów Fouriera]], bowiem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wyrażone za pomocą całek.)
# Dla [[Funkcja okresowa|funkcji okresowej]] warunki Dirichleta wystarczy zbadać na dowolnym przedziale <math>(a, a+T)</math> o długości równej okresowi funkcji <math>T.</math>
# Warunki Dirichleta są to warunki wystarczające do tego, by dla funkcji, która je spełnia, istniała całka Fouriera i szereg Fouriera. Jednak nie są to [[Warunek konieczny|warunki konieczne]] – istnieje klasa funkcji, które nie spełniają warunków Dirichleta, a mimo to mają całkę i szereg Fouriera. Także dla funkcji uogólnionych, tzw. [[Teoria dystrybucji|dystrybucji]] (np. [[delta Diraca]]), które mają istotne znaczenie w obliczeniach [[Fizyka cząstek elementarnych|fizyki cząstek elementarnych]], definiuje się transformaty Fouriera.

=== Transformacja z dziedziny czasu w dziedzinę pulsacji ===
Transformacja z dziedziny czasu <math>t</math> w dziedzinę [[Pulsacja|pulsacji (częstości kołowej]]) <math>\omega</math> ma postać{{odn|Żakowski|Leksiński|5=2017|s=360}}
: <math>\hat{f}(\omega) =\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt,</math>

gdzie:
: <math>f(t)</math> – funkcja ('''oryginał''') w dziedzinie czasu,
: <math>\hat{f}(\omega)</math> – transformata Fouriera ('''widmo Fouriera''') w dziedzinie pulsacji,
: <math>i</math> – [[jednostka urojona]].

=== Transformacja odwrotna ===
Transformacja odwrotna zadana jest całką{{odn|Żakowski|Leksiński|5=2017|s=360}}
: <math>f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega</math>

– pozwala odtworzyć funkcję pierwotną z jej widma.

=== Widmo amplitudowe i fazowe ===
Transformatę <math>\hat{f}(\omega)</math> funkcji rzeczywistej <math>f(t)</math> można zapisać następująco{{odn|Żakowski|Leksiński|5=2017|s=361–362}}:
: <math>\hat{f}(\omega)=|\hat{f}(\omega)|\cdot e^{i\theta(\omega)}\, , \qquad |\theta(\omega)|\leqslant \pi.</math>

Używa się następujących nazw:
* <math>\hat{f}(\omega)</math> – charakterystyka widmową (gęstością widma, krótko: '''widmo''') funkcji <math>f(t),</math>
* <math>|\hat{f}(\omega)|</math> – charakterystyka amplitudowa ('''widmo amplitudowe''') funkcji <math>f(t),</math>
* <math>\theta(\omega)</math> – [[charakterystyka fazowa]] ('''widmo fazowe''') funkcji <math>f(t).</math>

Widmo amplitudowe jest funkcją rzeczywistą; można je obliczyć ze wzoru:
: <math>|\hat f(\omega)|

= \sqrt{Re(\hat f(\omega))^2
+ Im(\hat f(\omega))^2}.</math>

Widmo fazowe jest funkcją rzeczywistą; można je obliczyć ze wzorów
: <math>\cos \theta(\omega)=\frac{Re(\hat f(\omega)}{\sqrt{Re(\hat f(\omega))^2
+ Im(\hat f(\omega))^2 }},</math>
: <math>\sin \theta(\omega)= -\,\frac{Im(\hat f(\omega)}{\sqrt{Re(\hat f(\omega))^2
+ Im(\hat f(\omega))^2 }}.</math>

Stąd:
: <math>\theta(\omega)= \operatorname{arctg} \Big[\tfrac{\sin \theta(\omega)}{\cos \theta(\omega)}\Big].</math>

[[Plik:Unfasor.gif|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Unfasor.gif|prawo|mały|431x431px|Funkcję <math>e^{i \omega t}= \cos \omega t + i \sin \omega t</math> w płaszczyźnie zespolonej reprezentuje wektor o końcu w punkcie <math>(\cos \omega t, \sin \omega t),</math> który obraca się wokół początku układu współrzędnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, gdy rośnie wartość zmiennej <math>t.</math> Pokazano też rzut tego wektora na oś rzeczywistą, kreślącego cosinusoidę <math>y(t) = \cos\omega t.</math>]]

'''Sens transformaty Fouriera jest następujący:'''

Transformata <math>\hat{f}(\omega)</math> jest [[Liczby zespolone|liczbą zespoloną]], której [[Liczby zespolone|moduł]] i [[Liczby zespolone|faza]] określają amplitudę i fazę składowej o pulsacji <math>\omega,</math> wchodzącej w skład sygnału <math>f(t).</math> Obliczenie transformaty Fouriera pozwala więc znaleźć amplitudy i fazy wszystkich takich składowych w sygnale.

Przykład obliczeń wraz w wykresami funkcji, opisujących charakterystyki widmową, amplitudową i fazową podano dalej.
[[Plik:Unit circle.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Unit_circle.svg|prawo|mały|269x269px|Obracający się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wektor <math>(\cos t, \sin t)</math> ma dodatnią częstotliwość <math>\omega = +1</math> [[Radian|rad]]/s. Nie pokazano wektora <math>(\cos (-t), \sin (-t))</math> obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, który ma ujemną częstotliwość <math>\omega = -1</math> rad/s. Końce obu wektorów obracają się po okręgu jednostkowym, ale w przeciwnych kierunkach.]]

== Transformacja unitarna Fouriera ==
Unitarną transformacją Fouriera z dziedziny czasu <math>t</math> w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) <math>\omega</math> nazywa się transformacją zadaną wzorem, który różni się od wzoru wyżej podanego jedynie stałą, stojącą przed znakiem całki, tj.{{odn|Żakowski|Leksiński|5=2017|s=365}}
: <math>\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt.</math>

'''Transformacja odwrotna unitarna'''
: <math>f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega.</math>

=== Komentarz ===
* Czynnik <math>\tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}</math> przed transformatą i transformatą odwrotną występuje umownie; zamiast takiej postaci może występować czynnik <math>\tfrac{1}{2 \pi}</math> przed transformatą prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
* Jeżeli jednak czynnik wynosi <math>\tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}},</math> wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni <math>L^2(\mathbb{R}).</math>
* Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności [[operator unitarny|unitarności]].

== Interpretacja ujemnych częstotliwości ==
W definicji transformaty Fouriera w postaci zespolonej mamy częstotliwości <math>\omega</math> w zakresie od <math>-\infty</math> do <math>+\infty,</math> występujące w funkcji <math>f_\omega= e^{- i\omega t}.</math> W klasycznym rozumieniu teorii dotyczącej drgań i [[Fala|fal]] częstości kołowe <math>\omega</math> są wielkościami dodatnimi. Co oznaczają więc ujemne wartości częstotliwości? Sytuacja jest tu nieco inna niż w opisie zjawisk drgań i fal za pomocą liczb rzeczywistych, gdzie definiuje się pojęcie częstotliwości. Tu mamy do czynienia z funkcjami <math>f_\omega</math> zespolonymi o częstotliwościach <math>\omega</math> z zakresu liczb rzeczywistych. Każda funkcja może być przedstawiona jako obracający się w [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] wektor (wielkość obrotu zależy od czasu <math>t</math> występującego w każdej takiej funkcji), którego koniec porusza się po okręgu o promieniu równym 1 (tzw. okrąg jednostkowy).

'''Dla dodatnich wartości <math>\omega</math> wektory <math>f_\omega</math>''' '''obracają się przeciwnie do wskazówek zegara, dla ujemnych wartości <math>\omega</math> wektory <math>f_\omega</math> obracają się zgodnie ze wskazówkami zegara.'''

Piękna ilustrację transformacji Fouriera, w tym sens ujemnych częstotliwości, przedstawia animowane omówienie pt. [https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY But what is the Fourier Transform? A visual introduction]

== Inne oznaczenia ==
Transformatę Fouriera oznacza się także symbolem{{odn|Żakowski|Leksiński|5=2017|s=360, 365}}
: <math>F(j\omega)\equiv \hat{f}(\omega) =\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt,</math>

gdzie <math>j\equiv i</math> – jednostka urojona (oznaczenie stosowane często w elektrotechnice, teorii przetwarzania sygnałów).

Oznaczenie to podkreśla, iż mamy do czynienia z '''transformatą Fouriera w postaci zespolonej,''' by odróżnić ją od transformat Fouriera kosinusowej i sinusowej. Używa się także symboliki <math>\mathcal F^{-1} [F(j\omega)]</math> na oznaczenie transformacji odwrotnej; wtedy mamy:
: <math>f(t)=\mathcal F^{-1} [F(j\omega)].</math>

== Przykład obliczania transformaty Fouriera ==
[[Plik:FourierTransformation 1.png|mały|469x469px|Transformata Fouriera funkcji <math>f(t)=t, |t|<1{:}</math> jej część rzeczywista, urojona, moduł]]

Mamy daną funkcję
: <math>f(t) = \left\{\begin{align}
& t
&&\text{dla} ~~ |t|<1 \\
&\tfrac{1}{2}\cdot \text{ sgn}(t)
&&\text{dla} ~~ |t|=1 \\
&0
&&\text{dla} ~~ |t|>1
\end{align}\right.</math>

Obliczamy
: <math>\hat f(\omega)

= \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt,</math>

czyli
: <math>\hat f(\omega)

= \int\limits_{-1}^1 te^{-i\omega t}dt

= \int\limits_{-1}^1 t \cos\omega t \,dt
+ i\int\limits_{-1}^1 t \sin\omega t \,dt.</math>

Część rzeczywista obliczanej transformaty jest równa zeru z uwagi na nieparzystość funkcji <math>t \cos\omega t</math>, natomiast część zespolona ma wartość
: <math>\int\limits_{-1}^1 t \sin\omega t \,dt

= 2\int\limits_0^1 t \sin\omega t \,dt

= -2t \frac{\cos \omega t}{\omega}\Bigg|_0^1
+ \frac{2}{\omega} \int\limits_0^1 \cos\omega t \,dt

= -2 \frac{\cos \omega}{\omega}
+ 2 \frac{\sin \omega}{\omega^2}.</math>

Stąd
: <math>\hat f(\omega)

= 0 + i\frac{2}{\omega^2}
(\omega\cos \omega - \sin \omega).</math>

Widmo amplitudowe czyli moduł transformaty <math>\hat f(\omega) </math>:
: <math>|\hat f(\omega)|

= \sqrt{Re(\hat f(\omega))^2
+ Im(\hat f(\omega))^2 }

= \Bigg|\frac{2}{\omega^2}(\omega \cos \omega - \sin \omega)\Bigg|.</math>

Wyniki obliczeń pokazano na wykresach.

== Obliczanie numeryczne transformaty Fouriera ==
Obliczanie transformaty Fouriera w ogólnym przypadku nie jest proste i wymaga na ogół całkowania numerycznego. Poniżej podano kod programu w języku [[Python]], który liczy zespoloną transformatę Fouriera wg wzoru całkowego i rysuje wykresy jej części rzeczywistej, urojonej oraz modułu.

Użytkownik może ustalić:
# Definicję funkcji <math>f(x)</math> (linia nr 15).
# Liczbę <math>N</math> określającą zakres częstotliwości <math>\omega \in <-N, N></math> (linia nr 32).
# Program można testować, korzystając np. z <u>darmowego notatnika</u> [https://colab.google/ colab google] online.

<syntaxhighlight lang="python" line="1">
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt

''' Definicja funkcji f(t)=t
def f(t):
    if np.abs(t) < 1:
        return t
    elif np.abs(t) == 1:
        return 0.5 * np.sign(t)
    else:
        return 0
'''

# Definicja funkcji f(t) - impuls prostokątny
def f(t):
    if abs(t-a) < 1:
        return 1
    elif abs(t-a) == 1:
        return 0.5 * np.sign(t)
    else:
        return 0

# Definicja transformacji Fouriera
def fourier_transform(omega):
    integrand = lambda t: f(t) * np.exp(-1j * omega * t)
    real_part = quad(lambda t: np.real(integrand(t)), -np.inf, np.inf)[0]
    imag_part = quad(lambda t: np.imag(integrand(t)), -np.inf, np.inf)[0]
    return real_part + 1j * imag_part

# Zakres częstotliwości omega
N = 10
omega_values = np.linspace(-N, N, 500)
fourier_values = np.array([fourier_transform(omega) for omega in omega_values])

# Wykresy: Re, Im oraz |F(ω)|
plt.figure(figsize=(14, 20))

# Wykres części rzeczywistej
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(omega_values, fourier_values.real, label=r"Re$\{\hat{f}(\omega)\}$", color='blue')
plt.title("Część rzeczywista transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"Re$\{\hat{f}(\omega)\}$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

# Wykres części urojonej
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(omega_values, fourier_values.imag, label=r"Im$\{\hat{f}(\omega)\}$", color='red')
plt.title("Część urojona transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"Im$\{\hat{f}(\omega)\}$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

# Wykres modułu |F(ω)|
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(omega_values, np.abs(fourier_values), label=r"$|\hat{f}(\omega)|$", color='green')
plt.title("Moduł transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"$|\hat{f}(\omega)|$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

plt.tight_layout()
plt.show()
</syntaxhighlight>

== Całki Fouriera jako całki niewłaściwe ==
Obliczanie transformaty Fouriera zadane jest de facto poprzez [[Całka niewłaściwa|całki niewłaściwe]], gdyż zmienna <math>t</math> jest określona w granicach od <math>-\infty</math> do <math>+\infty.</math> Obliczanie takich całek sprowadza się do liczenia tzw. '''wartości głównej''' '''całki''' (wg definicji podanej przez Cauchy’ego)'''{{odn|Żakowski|Leksiński|5=2017|s=360}}''', tj. do liczenia jej jako granicy z całek obliczonych na skończonym przedziale całkowania:
: <math>\hat{f}(\omega) = \lim_{T\to+\infty} \int\limits_{-T}^T f(t)\ e^{- i t \omega}\,dt.</math>

Rzeczywiste sygnały zawsze mają skończony czas trwania. Natomiast można je teoretycznie przedłużać do nieskończoności – wtedy ma zastosowanie powyższy wzór.

Także funkcja pierwotna rekonstruowana z jej transformaty <math>\hat f(\omega)</math> poprzez transformację odwrotną jest zadana przez całkę niewłaściwą, gdyż zmienna <math>\omega</math> jest określona w granicach od <math>-\infty</math> do <math>+\infty.</math> I także obliczanie tej całki sprowadza się do liczenia wartości głównej całki'''{{odn|Żakowski|Leksiński|5=2017|s=360}}''', tj. do liczenia jej jako granicy z całek obliczonych na skończonym przedziale całkowania wg wzoru:
: <math>f(t) = \frac{1}{2\pi}\lim_{\omega\to+\infty}\int\limits_{-\omega}^\omega \hat{f}(u)\ e^{i t u}\,du.</math>

== Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a ==
W całce Fouriera [[Funkcja harmoniczna|funkcje harmoniczne]] <math>e^{-i\omega t} = \cos\omega t - i\sin \omega t, \omega \in R</math> mnożone są przez sygnał <math>f(t);</math> wynikowa całka dostarcza informacji nt. zawartości poszczególnych harmonicznych, wchodzących w skład sygnału (dokonuje rozkładu sygnału na jego [[Widmo sygnału|widmo]]).

[[Transformacja Laplace’a]] '''wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze:''' Za pomocą całki Laplace’a funkcja rzeczywista <math>f(t),</math> reprezentująca zmieniający się w czasie <math>t</math> sygnał (np. [[pole elektryczne]] fali, przychodzącej do odbiornika), jest transformowana na [[Płaszczyzna S|płaszczyznę S]] (płaszczyznę zespoloną); dokonuje się to poprzez scałkowanie iloczynu funkcji <math>f(t)</math> z wyrażeniami typu <math>e^{-st}</math> dla czasu <math>t</math> od <math>-\infty</math> do <math>+\infty{:}</math>
: <math>\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-st}\,dt;</math>

przy tym <math>s=x+ i\omega</math> jest [[Liczby zespolone|liczbą zespoloną]], stałą w procesie obliczania całki.

Funkcje <math>e^{-st}</math> w całce Laplace’a de facto mają postać <math>e^{-st}= e^{-x t}\cdot e^{-i\omega t}.</math> Dzięki temu pozwalają dokonać nie tylko analizy zawartości harmonicznych <math>e^{-i\omega t}</math> w sygnale <math>f(t),</math> ale również efektów zaniku sygnału lub jego wzrastania w czasie, poprzez funkcję <math>e^{-x t}.</math> Na przykład [[Tłumienie|krzywa sinusoidalna tłumiona]] może być modelowana za pomocą transformacji Laplace’a. Transformacja Fouriera stanowi więc szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla <math>s=i\omega.</math>

Podobnie uogólnieniem [[Dyskretna transformata Fouriera|dyskretnej transformaty Fouriera]] stanowi [[Transformacja Z|transformata Z]], z którą powiązana jest transformata Laplace’a (zob. [[metoda Tustina]]).

== Własności transformaty Fouriera ==
W tym rozdziale wprowadzono trzeci sposób definiowania transformaty Fouriera za pomocą [[częstotliwość|częstotliwości]] <math>\nu,</math> przy czym zachodzi związek <math>\omega = {2\pi}\nu.</math>
* W przypadku jednowymiarowym funkcja <math>f</math> jest klasy <math>L^1,</math> czyli jest całkowalna w przedziale <math>(-\infty,\infty).</math>
* <math>\hat{f}</math> jest [[Funkcja ciągła|funkcją ciągłą]]. Nie musi natomiast być całkowalna w <math>\mathbb{R}^n.</math>
* Jeśli <math>g(x) = f(x - \alpha),</math> to <math>\hat{g}(\nu) = \int\limits_{-\infty}^\infty g(x)\ e^{-2\pi i x \nu}\,dx = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x - \alpha)\ e^{-2\pi i (x - \alpha) \nu} e^{-2\pi i \alpha \nu}\,dx = e^{-2\pi i \alpha \nu} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\ e^{-2\pi i t \nu}\,dt = e^{-2 \pi i \alpha \nu} \hat{f} (\nu).</math>
* Jeśli <math>\alpha \neq 0</math> i <math>g(t) = f\left(\frac{t}{\alpha}\right),</math> to <math>\hat{g}(\nu) = \int\limits_{-\infty}^\infty g(x)\ e^{-2\pi i x \nu}\,dx = \int\limits_{-\infty}^\infty f\left(\frac{x}{\alpha}\right)\ e^{-2\pi i \frac{x}{\alpha} (\alpha \nu)} \alpha \,d \left(\frac{x}{\alpha} \right) = \alpha \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\ e^{-2\pi i t (\alpha \nu)}\,dt = \alpha \hat{f}(\alpha \nu).</math>
* <math>\widehat{f*g}=\sqrt{2 \pi} \hat{f}\hat{g},</math> gdzie operacja <math>*</math> oznacza [[splot (analiza matematyczna)|splot]] funkcji f i g
* Jeśli pochodna funkcji <math>f</math> należy do <math>L^1</math> i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z [[całkowanie przez części|całkowania przez części]] wynika, że: <math>\hat{f'}(\nu) = \int\limits_{-\infty}^\infty f' (x) e^{-2\pi i x \nu}\,dx = f(x) e^{-2\pi i x \nu} \Big|_{-\infty}^\infty + 2\pi i \nu \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x \nu}\,dx = 2\pi i \nu \hat{f} (\nu).</math>

=== Właściwości transformat ===
{| class="wikitable"
! !! Funkcja !! Transformata Fouriera<br>unitarna, częstotliwość !! Transformata Fouriera<br>unitarna, pulsacja (częstość kołowa) !! Transformata Fouriera<br>pulsacja (częstość kołowa) !! Uwagi
|-
|
|align=center| <math>f(x)</math>
|align="center| <math>\hat{f}(\nu)=</math>
<math>{}\,\int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\nu}\, dx</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\omega)=</math><math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\omega)=</math>
<math>{}\,\int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx</math>
|
|-
| 101
|<math>a\cdot f(x) + b\cdot g(x)</math>
|<math>a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)</math>
|<math>a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)</math>
|<math>a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)</math>
|Liniowość
|-
| 102
|<math>f(x - a)</math>
|<math>e^{-2\pi i a \nu} \hat{f}(\nu)</math>
|<math>e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)</math>
|<math>e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)</math>
|Przesunięcie oryginału w dziedzinie „czasu”
|-
| 103
|<math>e^{2\pi iax} f(x)</math>
|<math>\hat{f} \left(\nu- a\right)</math>
|<math>\hat{f}(\omega - 2\pi a)</math>
|<math>\hat{f}(\omega - 2\pi a)</math>
|Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości, dualne względem 102
|-
| 104
|<math>f(a x)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)</math>
|Dla dużych wartości <math>|a|,</math> <math>f(a x)</math> zawęża się wokół zera, a <math>\frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)</math> poszerza się i spłaszcza.
|-
| 105
|
|
|
|
|
|-
| 106
|<math>\frac{d^n f(x)}{dx^n}</math>
|<math>(2\pi i\nu)^n \hat{f}(\nu)</math>
|<math>(i\omega)^n \hat{f}(\omega)</math>
|<math>(i\omega)^n \hat{f}(\omega)</math>
|Transformata pochodnej
|-
| 107
|<math>x^n f(x)</math>
|<math>\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n}</math>
|<math>i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}</math>
|<math>i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}</math>
|Ta właściwość jest dualna względem 106
|-
| 108
|<math>(f * g)(x)</math>
|<math>\hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)</math>
|<math>\sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)</math>
|<math>\hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)</math>
|Notacja <math>f * g</math> oznacza [[Splot (analiza matematyczna)|splot funkcji]] <math>f</math> i <math>g</math> – tę właściwość określamy jako [[Splot (analiza matematyczna)|twierdzenie o splocie]]
|-
| 109
|<math>f(x) g(x)</math>
|<math>(\hat{f} * \hat{g})(\nu)</math>
|<math>\frac{(\hat{f} * \hat{g})(\omega)}{\sqrt{2\pi}}</math>
|<math>\frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\omega)</math>
|Właściwość dualna względem 108
|-
|110
|Dla funkcji <math>f(x)</math> rzeczywistej i [[Funkcje parzyste i nieparzyste|parzystej]]
|colspan="3" align="center"| <math>\hat{f}(\nu),</math> <math>\hat{f}(\omega)</math> w postaci unitarnej oraz <math>\hat{f}(\omega)</math> są [[Funkcja rzeczywista|funkcjami rzeczywistymi]] i [[Funkcje parzyste i nieparzyste|parzystymi]].
|
|-
| 111
|Dla funkcji <math>f(x)</math> rzeczywistej i [[Funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzystej]]
|colspan="3" align="center"| <math>\hat{f}(\nu),</math> <math>\hat{f}(\omega)</math> w postaci unitarnej oraz <math>\hat{f}(\omega)</math> są [[liczby zespolone|funkcjami urojonymi]] i [[Funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzystymi]].
|
|}

== Najprzydatniejsze pary transformat ==
W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak <math>L^2(\mathbb{R})</math> lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności <math>\mathcal{S} (\mathbb{R})</math> transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

=== Funkcje całkowalne z kwadratem ===
W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji<ref name="David W Kammler2000" />.

Uwaga: Tu <math>x</math> oznacza zmienną funkcji pierwotnej <math>f,</math> zamiast oznaczenia <math>t.</math>
{| class="wikitable"
! !! Funkcja !! Transformata Fouriera<br>unitarna, częstotliwość !! Transformata Fouriera<br>unitarna, pulsacja (częstość kołowa) !! Transformata Fouriera<br>pulsacja (częstość kołowa) !! Uwagi
|-
|
|align=center| <math>f(x)</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\nu)=</math>
<math>{}\,\int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi ix\nu}\,dx</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\omega)=</math>
<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\omega)=</math>
<math>{}\,\int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\, dx</math>
|
|-
| 201
|<math>\operatorname{rect}(a x)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|[[Funkcja prostokątna]] i ''normalizowana'' funkcja [[Funkcja sinc|sinc]], definiowana jako <math>\operatorname{sinc}(x) = sin(\pi x)/(\pi x)</math>
|-
| 202
|<math>\operatorname{sinc}(a x)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|Relacja dualna do 201. [[funkcja prostokątna]] jest [[filtr dolnoprzepustowy|filtrem dolnoprzepustowym]], a [[funkcja sinc]] jest odpowiedzią impulsową dla takiego filtra.
|-
| 203
|<math>\operatorname{sinc}^2 (a x)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega }{2\pi a} \right)</math>
|Funkcja <math>\operatorname{tri}(x) = \lambda (x)</math> jest [[funkcja trójkątna|funkcją trójkątną]]
|-
| 204
|<math>\operatorname{tri} (a x)</math>
|<math>\frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)</math>
|<math>\frac{1}{|a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)</math>
| Związek dualny względem 203.
|-
| 205
|<math>e^{- a x} H(x)</math>
|<math>\frac{1}{a + 2 \pi i \nu}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}</math>
|<math>\frac{1}{a + i \omega}</math>
|<math>H(x)</math> jest funkcją [[Funkcja skokowa Heaviside’a|skoku Heaviside’a]], <math>a>0.</math>
|-
| 206
|<math>e^{-\alpha x^2}</math>
|<math>\sqrt\frac{\pi}{\alpha}\cdot e^{-\frac{(\pi \nu)^2}{\alpha}}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|<math>\sqrt\frac{\pi}{\alpha}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|[[Rozkład normalny|Funkcja Gaussa]] <math>\exp(-\alpha x^2)</math> jest funkcją własną przekształcenia Fouriera dla odpowiednio dobranego <math>\alpha.</math> Funkcja jest całkowalna dla <math>\mathrm{Re}(\alpha)>0.</math>
|-
| 207
|<math>\operatorname{e}^{-a|x|}</math>
|<math>\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \nu^2}</math>
|<math>\sqrt\frac{2}{\pi} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}</math>
|<math>\frac{2a}{a^2 + \omega^2}</math>
|Dla <math>a>0.</math>
|-
| 208
|<math>\frac{J_n (x)}{x}</math>
|<math>\frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi \nu)</math><br>
&nbsp; <math>\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 \nu^2}\operatorname{rect}(\pi \nu)</math>
|<math>\sqrt\frac{2}{\pi} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)</math><br>
&nbsp; <math>\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)</math>
|<math>\frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)</math><br>
&nbsp; <math>\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)</math>
|<math>J_n(x)</math> oznacza funkcję Bessela <math>n</math>-tego rzędu, pierwszego rodzaju. <math>U_n(x)</math> to [[Wielomiany Czebyszewa|wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju]]. (patrz punkty 315 i 316 poniżej).
|-
| 209
|<math>\operatorname{sech}(a x)</math>
|<math>\frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{a} \nu\right)</math>
|<math>\frac{1}{a}\sqrt\frac{\pi}{2}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|<math>\frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|[[Funkcje hiperboliczne|Secans hiperboliczny]] jest funkcją własną transformcji Fouriera
|}

=== Dystrybucje ===
Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do [[Granica ciągu|granicy ciągu]] transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera [[Funkcja okresowa|funkcji okresowej]].
{| class="wikitable"
! !! Funkcja !! Transformata Fouriera<br>unitarna, częstotliwość !! Transformata Fouriera<br>unitarna, pulsacja (częstość kołowa) !! Transformata Fouriera<br>pulsacja (częstość kołowa) !! Uwagi
|-
|
|align=center| <math>f(x)</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\nu)=</math>
<math>{}\,\int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi ix\nu}\,dx</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\omega)=</math>
<math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx</math>
|align=center| <math>\hat{f}(\omega)=</math>
<math>{}\,\int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}\, dx</math>
|
|-
| 301
|<math>1</math>
|<math>\delta(\nu)</math>
|<math>\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)</math>
|<math>2\pi\delta(\omega)</math>
|<math>\delta(\omega)</math> oznacza [[delta Diraca|deltę Diraca]].
|-
| 302
|<math>\delta(x)</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>
|<math>1</math>
|Co wynika z zasady 301.
|-
| 303
|<math>e^{i a x}</math>
|<math>\delta\left(\nu - \frac{a}{2\pi}\right)</math>
|<math>\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)</math>
|<math>2 \pi\delta(\omega - a)</math>
|Co wynika z własności 103 i 301.
|-
| 304
|<math>\cos (a x)</math>
|<math>\frac{\displaystyle \delta\left(\nu - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\nu+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>
|<math>\sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}</math>
|<math>\pi\left(\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)\right)</math>
|Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu [[Wzór Eulera|wzoru Eulera]]: <math>\cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2.</math>
|-
| 305
|<math>\sin(ax)</math>
|<math>\frac{\displaystyle\delta\left(\nu+\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\nu-\frac{a}{2\pi}\right)}{2i}</math>
|<math>\sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega+a)-\delta(\omega-a)}{2i
}</math>
|<math>-i\pi\left(\delta(\omega+a)-\delta(\omega-a)\right)</math>
|Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu <math>\sin(a x) = (e^{i a x} - e^{-i a x})/(2i).</math>
|-
| 306
|<math>\cos (a x^2)</math>
|<math>\sqrt\frac{\pi}{a} \cos \left( \frac{\pi^2 \nu^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|<math>\sqrt\frac{\pi}{a} \cos \left( \frac{\omega^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|
|-
| 307
|<math>\sin (a x^2)</math>
|<math>- \sqrt\frac{\pi}{a} \sin \left( \frac{\pi^2 \nu^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|<math>\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|<math>-\sqrt\frac{\pi}{a}\sin \left( \frac{\omega^2}{4a} - \frac{\pi}{4} \right)</math>
|
|-
| 308
|<math>x^n</math>
|<math>\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\nu)</math>
|<math>i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)</math>
|<math>2\pi i^n\delta^{(n)} (\omega)</math>
|Gdzie <math>n</math> jest [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]] a <math>\delta^{(n)}(\xi)</math> jest <math>n</math>-tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101, można transformować dowolne [[wielomian]]y.
|-
| 309
|<math>\frac{1}{x}</math>
|<math>-i\pi\sgn(\nu)</math>
|<math>-i\sqrt\frac{\pi}{2}\sgn(\omega)</math>
|<math>-i\pi\sgn(\omega)</math>
|Gdzie <math>\sgn(\xi)</math> to [[Funkcja signum|funkcja znaku]]. Zauważmy, że <math>1/x</math> nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
|-
| 310
|<math>\frac{1}{x^n}</math>
|<math>-i\pi \frac{(-2\pi i\nu)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\nu)</math>
|<math>-i\sqrt\frac{\pi}{2}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>
|<math>-i\pi \frac{(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>
|Uogólnienie 309.
|-
| 311
|<math>\frac{1}{\sqrt{|x|}}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{|\nu|}}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{|\omega|}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{|\omega|}}</math>
|
|-
| 312
|<math>\sgn(x)</math>
|<math>\frac{1}{i\pi \nu}</math>
|<math>\sqrt\frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{i\omega}</math>
|<math>\frac{2}{i\omega}</math>
|Dualne do 309.
|-
| 313
|<math>H(x)</math>
|<math>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi \nu} + \delta(\nu)\right)</math>
|<math>\sqrt\frac{\pi}{2} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>
|<math>\pi\left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)</math>
|Funkcja <math>H(x)</math> jest funkcją Heaviside’a; to wynika ze 101, 301 i 312.
|-
| 314
|<math>\sum_{n= -\infty}^\infty \delta (t - n T)</math>
|<math>\frac{1}{T} \sum_{k= -\infty}^\infty \delta \left( \nu-\frac{k}{T}\right)</math>
|<math>\frac{\sqrt{2\pi}}{T}\sum_{k= -\infty}^\infty \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
|<math>\frac{2\pi}{T}\sum_{k= -\infty}^\infty \delta \left( \omega-\frac{2\pi k}{T}\right)</math>
|[[Funkcja grzebieniowa]]. Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że <math>\sum_{n= -\infty}^\infty e^{inx}=\sum_{k= -\infty}^\infty \delta(x+2\pi k)</math> jako dystrybucje.
|-
| 315
|<math>J_0 (x)</math>
|<math>\frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\nu)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \nu^2}}</math>
|<math>\sqrt\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left( \displaystyle \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}</math>
|<math>\frac{2\,\operatorname{rect}\left(\displaystyle\frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}</math>
| <math>J_0(x)</math> [[Funkcje Bessela|funkcją Bessela]] pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
|-
| 316
|<math>J_n (x)</math>
|<math>\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi \nu) \operatorname{rect}(\pi \nu)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \nu^2}}</math>
|<math>\sqrt\frac{2}{\pi} \frac{(-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \displaystyle\frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}</math>
|<math>\frac{2(-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left(\displaystyle \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}</math>
| Uogólnienie 315. Funkcja <math>J_n(x)</math> jest funkcją Bessela <math>n</math>-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja <math>T_n(x)</math> jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.
|}

== Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów ==
{{osobny artykuł|Transmitancja widmowa}}
Zależność określającą transmitancję widmową <math>H(j\omega)</math> można wyznaczyć:
* przechodząc z [[transmitancja operatorowa|transmitancji operatorowej]] przez podstawienie <math>s=j\omega,</math>
* uzyskując [[Wymuszenie-odpowiedź|odpowiedź]] [[układ dynamiczny|układu dynamicznego]] na dowolny sygnał [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejściowy]] reprezentowany przez złożenie [[harmoniczna|harmonicznych]] składowych [[Funkcje trygonometryczne|sinusoidalnych]] (zob. też [[charakterystyka sinusoidalna]], [[charakterystyka częstotliwościowa]]),
* za pomocą transformaty Fouriera.

Pojedyncza [[liczby zespolone|zespolona]] składowa [[harmoniczna]] o [[amplituda|amplitudzie]] <math>A_{we},</math> [[pulsacja|pulsacji]] <math>\omega</math> i fazie <math>p_{we}</math>
: <math>x(t) = A_{we} e^{j(\omega t + p_{we})},</math>

(gdzie <math>j</math> oznacza [[liczby urojone|jednostkę urojoną]]), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci [[Sygnał harmoniczny|sygnału sinusoidalnego]] o [[amplituda|amplitudzie]] <math>A_{wy}</math> i [[Faza drgań|fazie]] <math>p_{wy}{:}</math>
: <math>y(t) = A_{wy} e^{j(\omega t + p_{wy})}.</math>

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość <math>\omega</math> pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja <math>H(j\omega)</math> opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości <math>\omega</math>). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:
: <math>\frac{A_{wy}}{A_{we}} = |H(j\omega)|,</math>

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:
: <math>p_{wy} - p_{we} = \arg(H(j\omega)).</math>

Transmitancja <math>H(j\omega)</math>

Dla przypadku [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] wyrażenie
: <math>\frac{y(i)}{u(i)}=z^{-k}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}\Bigg|_{z=e^{j\omega T_p}}=K(e^{-j\omega T_p})</math>

definiuje dyskretną [[transmitancja widmowa|transmitancję widmową]].

== Transformacja Fouriera wielowymiarowa ==
Transformatę Fouriera można określić dla funkcji <math>f \in L^1(\mathbb{R}^n),</math> gdzie <math>L^1(\mathbb{R}^n)</math> jest [[Przestrzeń Banacha#Przestrzenie Lp|przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych]] na <math>\mathbb{R}^n,</math> za pomocą wzoru<ref name="Hanna Marcinkowska1993-s56-60" />:
: <math>\hat{f}(\omega) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\ e^{-i (x, \omega)}\,dx,</math>

gdzie:
* <math>i</math> – [[jednostka urojona]] <math>(i^2 = -1),</math>
* <math>(x, \omega)</math> – [[iloczyn skalarny]] wektorów <math>x, \omega\in \mathbb{R}^n.</math>

=== Twierdzenia ===
'''Tw. 1.''' Transformata <math>\hat{f}(\omega)</math> jest funkcją [[Funkcja istotnie ograniczona|istotnie ograniczoną]]: <math>\hat{f}\in L^\infty(\mathbb{R}^n)</math> (wynika to z [[Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a|twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a]]).

'''Tw. 2.''' W przypadku gdy funkcja <math>f</math> jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli <math>f\in L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)</math>), transformata <math>\hat{f}(\omega)</math> jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:
: <math>\mathcal F\colon L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n).</math>

'''Tw. 3.''' [[Twierdzenie Plancherela]] wówczas mówi, że odwzorowanie to [[Funkcja#Zawężenie i przedłużenie|przedłuża]] się do [[izometria|izometrii]] przestrzeni <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math> na siebie.

== Zobacz też ==
* [[dyskretna transformata Fouriera]]
* [[funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)|funkcja charakterystyczna]]
* [[procesor Fouriera]]
* [[szereg Fouriera]]
* [[transformata Hilberta]]
* [[Transformacja Laplace’a|transformata Laplace’a]]

== Przypisy ==
<references>
<ref name="David W Kammler2000">{{cytuj |autor = David W. Kammler |tytuł = A First Course in Fourier Analysis |data = 2000 |isbn = 0-13-578782-3 |miejsce = Upper Saddle River, NJ |wydawca = Prentice Hall |oclc = 43118245}}</ref>
<ref name="Hanna Marcinkowska1993-s56-60">{{cytuj książkę |autor = Hanna Marcinkowska |tytuł = Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe |wydawca = PWN |miejsce = |rok = 1993 |strony = 56–60 |isbn = 83-01-10864-9}}</ref>
</references>

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor = Tadeusz Trajdos |tytuł = Matematyka dla inżynierów: kurs wyższy |data = 1974 |data dostępu = 2024-11-10 |wydawca = Wydawnictwa Naukowo-Techniczne |s = 555–567 |url = https://www.google.pl/books/edition/Matematyka_dla_in%C5%BCynier%C3%B3w/0YkHmwEACAAJ?hl=pl&kptab=overview |język = pl}}
* {{cytuj książkę | autor = | tytuł = Matematyka Część 4 | rok = 2017 | wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN | miejsce = Warszawa | isbn = 978-83-01-19359-1 | język = pl |strony=351–371|odn=tak|nazwisko=Żakowski|imię=Wojciech|imię2=Wacław|nazwisko2=Leksiński}}

== Linki zewnętrzne ==
{{commonscat|Fourier transformation}}

; Polskojęzyczne
* {{Cytuj stronę |url = http://www.dsp.agh.edu.pl/doku.php?id=pl:dydaktyka:przetwarzaniesygnalow |tytuł = Materiały dydaktyczne DSP AGH |opublikowany = dsp.agh.edu.pl |archiwum = https://web.archive.org/web/20131217224223/http://www.dsp.agh.edu.pl/doku.php?id=pl:dydaktyka:przetwarzaniesygnalow |zarchiwizowano = 2013-12-17}}
* {{Pismo Delta | url = 2024/06/rozne-oblicza-transformaty-fouriera/ | autor = Jacek Jakimiuk | tytuł = Różne oblicza transformaty Fouriera | data = czerwiec 2024 | data dostępu = 2024-06-04}}

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld|adres=FourierTransform |tytuł=Fourier Transform |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* [http://www.jezzamon.com/fourier/ Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera] [Angielski z animacjami]
* {{otwarty dostęp}} Grant Sanderson, [https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY But what is the Fourier Transform? A visual introduction], kanał [[3blue1brown]], [[YouTube]], 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].
* {{otwarty dostęp}} Aled Walker, ''[https://www.maths.ox.ac.uk/outreach/oxford-mathematics-alphabet/f-fourier-transform F is for Fourier Transform]'' {{lang|en}}, [[Uniwersytet Oksfordzki|Oxford University Mathematical Institute]], maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].

{{Transformaty}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Transformaty]]