Tekst źródłowy strony Topologia zwarto-otwarta

'''Topologia zwarto-otwarta''' jest [[Topologia#Przestrzeń topologiczna|topologią]] na zbiorze <math>Y^X</math> wszystkich [[Funkcja ciągła#Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych|przekształceń ciągłych]] z [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] <math>X</math> do przestrzeni <math>Y.</math> Jej genezą było poszukiwanie takiej topologii na zbiorze <math>Y^X</math> lub na jakimś wyróżnionym zbiorze <math>F</math> ciągłych przekształceń <math>f\colon X \to Y,</math> przy której wyrażenie <math>f(x)</math> jest funkcją ciągłą względem obu zmiennych: zmiennej <math>x \in X</math> i zmiennej <math>f \in F.</math> Innymi słowy, chodzi o taką topologię na <math>F,</math> aby odwzorowanie <math>(f, x) \mapsto f(x)</math> było ciągłe względem topologii produktowej na <math>F\times X</math>{{odn|Kelley|1955|loc=Chapter 7}}{{odn|Duda|1986|s=258}}.

== Definicje ==
Załóżmy, że <math>X, Y</math> są przestrzeniami topologicznymi, a <math>Y^X</math> jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z <math>X</math> w <math>Y.</math> Jedną z topologii na zbiorze <math>Y^X</math> jest '''topologia zbieżności punktowej''' <math>\cal T_p,</math> której [[Baza przestrzeni topologicznej|bazą]] [[Zbiór otwarty|zbiorów otwartych]] jest rodzina wszystkich zbiorów postaci
: <math>U = \bigcap_{i=1}^n \{f \in Y^X \mid f(A_i) \subseteq B_i\},</math>

gdzie każdy <math>A_i</math> jest [[Podzbiór|podzbiorem]] skończonym przestrzeni <math>X,</math> a <math>B_i</math> jest zbiorem otwartym w <math>Y</math>{{odn|Engelking|1975|s=144}}{{odn|Duda|1986|s=254}}. Zbiór <math>Y^X</math> można też interpretować jako nieskończoną potęgę kartezjańską, produkt jednakowych czynników. Topologia zbieżności punktowej jest [[Topologia podprzestrzeni|topologią indukowaną]] przez [[Topologia produktowa|topologię produktową]] na [[Iloczyn kartezjański#Uogólniony produkt kartezjański|iloczynie kartezjańskim]] <math>\underset{x \in X}\operatorname{P} Y_x,</math> w którym <math>Y_x = Y</math> dla każdego <math>x \in X.</math> Topologia <math>\cal T_p</math> jest jednoznacznie wyznaczona przez topologię w <math>Y,</math> natomiast od topologii przestrzeni <math>X</math> zależy jedynie zbiór funkcji należących do <math>Y^X.</math>

Silniejsza od <math>\cal T_p</math> jest '''topologia zwarto-otwarta''' <math>\cal T_{c-o},</math> w której bazą zbiorów otwartych są analogiczne iloczyny <math>U</math> z tym, że teraz każdy <math>A_i</math> jest podzbiorem zwartym przestrzeni <math>X</math>{{odn|Engelking|1975|s=203}}{{odn|Duda|1986|s=256}}.

Topologia <math>\cal T_{c-o}</math> zależy od obu topologii: od topologii w <math>Y</math> i topologii w <math>X.</math> Jeżeli <math>X</math> jest [[Przestrzeń zwarta|przestrzenią zwartą]], a <math>Y</math> [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], to topologia zwarto-otwarta przestrzeni <math>Y^X</math> jest identyczna z topologią zbieżności jednostajnej{{odn|Kuratowski|1977|loc=rozdział XVI, § 7}}{{odn|Duda|1986|s=261}}. Jeżeli zaś obie przestrzenie <math>X, Y</math> są metryczne, to w przestrzeni <math>Y^X</math> można wprowadzić [[Zbieżność jednostajna#Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych|metrykę zbieżności jednostajnej]], której topologia, zwana też ''topologią naturalną'' na <math>Y^X,</math> jest identyczna z topologią zwarto-otwartą.

== Kanoniczna bijekcja ==
Załóżmy, że <math>X, Y, Z</math> są przestrzeniami topologicznymi, a symbol <math>\mathrm{Map}(X,Y)</math> oznacza przestrzeń <math>Y^X</math> z topologią zwarto-otwartą. Rozważmy kanoniczne odwzorowanie
: <math>\Gamma \colon \mathrm{Map}(X\times Y, Z) \to \mathrm{Map}\big (X, \mathrm{Map}(Y, Z)\big)</math>

przyporządkowujące każdej funkcji <math>f\colon X\times Y \to Z</math> funkcję <math>g \colon X \to Z^Y,</math> która z kolei każdemu <math>x \in X</math> przyporządkowuje funkcję <math>g_x \colon Y \to Z</math> określoną wzorem <math>g_x(y) = f(x,y).</math> Jeżeli przestrzeń <math>Y</math> jest [[Przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwarta]], a X jest [[Przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]], to <math>\Gamma</math> jest bijekcją i [[homeomorfizm]]em{{odn|Engelking|1975|s=207}}.

Szczególnie doniosły (zwłaszcza dla [[Teoria homotopii|teorii homotopii]]) jest przypadek, gdy w tym homeomorfizmie za <math>Y</math> podstawimy [[Sfera#Sfera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej|sferę ''n''-wymiarową]] <math>\mathbf S^n\ (n\geqslant 0)</math> i rozważymy przestrzenie topologiczne <math>X_{x^\diamond}</math> z wyróżnionymi punktami bazowymi <math>x^\diamond \!\in X.</math> Przez <math>\mathrm{Map_*}(X_{x^\diamond},Y_{y^\diamond})</math> oznaczmy podprzestrzeń domkniętą (w topologii zwarto-otwartej) przestrzeni <math>\mathrm{Map}(X,Y)</math> utworzoną z funkcji zachowujących punkty bazowe. Dla <math>n=1</math> otrzymujemy homeomorfizm
: <math>\mathrm{Map_*}(\Sigma X_{x^\diamond}, Z_{z^\diamond}) \to \mathrm{Map_*}\big (X_{x^\diamond}, \Omega Z_{x^\diamond}),</math>

w którym występuje zredukowane [[Zawieszenie (topologia)|zawieszenie]] <math>\Sigma (X_{x^\diamond})</math> homeomorficzne z <math>\mathbf {S^1}\!\!\wedge X_{x^\diamond},</math> produktem ściągniętym<ref group="uwaga">Produkt ściągnięty (ang. ''smash product'') przestrzeni <math>X_{x^\diamond}, Y_{y^\diamond}</math> to przestrzeń ilorazowa <math>X \wedge Y = (X \times Y) / (X \vee Y),</math> gdzie <math>X \vee Y</math> to zbiór <math>(X \times \{y_0\}) \cup (\{x_0\}\times Y)</math> z punktem bazowym <math>(x_0, y_0).</math></ref> przestrzeni <math>\mathbf S^1</math> i <math>X_{x^\diamond}</math> oraz [[przestrzeń pętli]] <math>\Omega (Z_{z^\diamond}) = \mathrm{Map_*}({\mathbf S^1}\!, Z_{z^\diamond}).</math> Jest to [[Transformacja naturalna|naturalna równoważność]] funktorów{{odn|Mac Lane|1971|s=185}}. Stała się ona punktem wyjścia ''dualności Eckmanna-Hiltona''{{fakt|data=2020-07}}

== Zobacz też ==
* [[funktory sprzężone]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski |imię = Kazimierz |autor link = Kazimierz Kuratowski |tytuł = Wstęp do teorii mnogości i topologii |wydanie = siódme rozszerzone |seria = [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 9 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1977 |isbn = |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Engelking |imię = Ryszard |autor link = Ryszard Engelking |tytuł = Topologia ogólna |seria = [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 47 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1975 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Duda |imię = Roman |autor link = Roman Duda |tytuł = Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna Cz. II. Topologia algebraiczna. Topologia rozmaitości |seria = [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 61 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1986 |strony = |isbn = 83-01-05714-9 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kelley |imię = John L. |autor link = |tytuł = General Topology |wydawca = Van Nostrand Comp. |miejsce = Princeton |rok = 1955 |strony = |isbn = |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Mac Lane |imię = Saunders |autor link = Saunders Mac Lane |tytuł = Categories for the working mathematician |wydawca = Springer Verlag |miejsce = Berlin Heidelberg New York |rok = 1971 |wydanie = |strony = |isbn = 3-540-90036-5 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* [[Stefan Jackowski]], ''Topologie w przestrzeniach odwzorowań'', wykład dla studentów Wydziału MIM UW, https://www.mimuw.edu.pl/~sjack/Topologia_I/przestrzenie_odwzorowan.pdf

[[Kategoria:Operacje na przestrzeniach topologicznych]]