Tekst źródłowy strony Topologia

{{wyróżnienie|DA}}
{{inne znaczenia|działu matematyki|[[Topologia (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
[[Plik:Möbius strip.jpg|mały|300px|[[Wstęga Möbiusa]] – jeden z podstawowych typów [[Powierzchnia|powierzchni]] wyróżnianych przez topologię, jako przykład rozmaitości jednostronnej (nieorientowalnej) z brzegiem]]
[[Plik:Homeo tasse.png|mały|300px|Topologia bada te własności przestrzeni, które nie podlegają zmianom przy rozciąganiu i deformowaniu, bez ich rozrywania lub sklejania. Kubek może być przekształcony na obwarzanek – oba są [[Homeomorfizm|homeomorficzne]] z [[Torus (matematyka)|torusem]]]]
[[Plik:Klein bottle.svg|mały|180px|[[Butelka Kleina]] – powierzchnia jednostronna (nieorientowalna) bez brzegu]]

'''Topologia''' ([[Język grecki|gr.]] τόπος (''tópos''), miejsce, okolica; λόγος (''lógos''), słowo, nauka) – dział [[Matematyka wyższa|matematyki wyższej]] zajmujący się badaniem [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznych]], czyli najogólniejszych [[Przestrzeń (matematyka)|przestrzeni]], dla których można zdefiniować pojęcie [[Funkcja ciągła|przekształcenia ciągłego]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 4010277 | tytuł = topologia | data dostępu = 2022-02-04}}</ref>. Topologia bada zwłaszcza własności zachowywane przez [[homeomorfizm]]y – np. [[Orientacja (matematyka)|orientowalność]] powierzchni, [[genus]] („liczbę otworów”), istnienie (niepustego) [[Brzeg (matematyka)|brzegu]] i jego podstawowe cechy. Właściwości tego typu są nazywane [[Niezmiennik topologiczny|niezmiennikami topologicznymi]]<ref name="epwn" />.

Nieformalnie mawia się, że własności topologiczne nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów, np. [[Figura geometryczna|figur geometrycznych]] jak [[Bryła geometryczna|bryły]] i ich odpowiedniki o innej liczbie wymiarów. Przez deformowanie rozumie się tutaj dowolne odkształcanie – jak zginanie, rozciąganie czy skręcanie – ale bez rozrywania różnych części lub zlepiania różnych punktów<ref>{{otwarty dostęp}} Joanna Jaszuńska, ''[http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/topologia/2010/11/29/Zabawy_z_plastelina/ Zabawy z plasteliną]'', deltami.edu.pl, styczeń 2011 [dostęp 2022-02-05].</ref>. Proces deformacji można wyobrazić sobie, przyjmując, że obiekt wykonano z gumy<ref>[[Richard Courant]], Herbert Robbins: ''Co to jest matematyka?'', Wydanie uzupełnione przez Iana Stewarta, Prószyński i Spółka, Warszawa 1998, {{ISBN|83-7180-005-3}}.</ref>. Pod tym kątem można analizować między innymi obiekty [[Geometria|geometryczne]] jak [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]], inne [[Rozmaitość|rozmaitości]] i ich podzbiory, a topologia wyrosła właśnie z geometrii i bywała określana jako teoria umiejscowienia (łac. ''analysis situs'')<ref name="epwn" />. Mimo to w ogólności nie posługuje się ona pojęciami ilościowymi jak [[odległość]] czy [[miara kąta]]; nie uwzględnia nawet niektórych jakościowych relacji geometrycznych jak [[równoległość]] prostych<ref name="epwn" />. Taki minimalizm umożliwił uściślenie pojęć o geometrycznym rodowodzie jak [[krzywa]] czy abstrakcyjny [[Wymiar (matematyka)|wymiar]] zbioru, bez odwoływania się do [[Algebra liniowa|algebry liniowej]] czy [[Teoria miary|teorii miary]]. Topologia wkroczyła też w różne dziedziny matematyki odległe od jej korzeni. Przykładem jest [[analiza funkcjonalna]]<ref name="epwn" /> – intuicyjne pojęcie [[Przestrzeń spójna|spójności]] można uogólnić m.in. na [[Przestrzeń funkcyjna|przestrzenie funkcyjne]] jak te [[Przestrzeń Hilberta|Hilberta]], [[Przestrzeń Banacha|Banacha]] czy jeszcze ogólniejsze przestrzenie [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|liniowo-topologiczne]], które stały się definiującym tematem tego działu matematyki. Metody topologiczne zastosowano nawet w [[Teoria liczb|teorii liczb]]<ref>{{otwarty dostęp}} Aleksander Błaszczyk, ''[http://www.math.us.edu.pl/lsim2018/referaty/ABlaszczyk.pdf Zbiory liczbowe widziane oczami topologa]'', math.us.edu.pl, 25 września 2018 [dostęp 2022-02-05].</ref><ref>{{otwarty dostęp}} Karol Gryszka, ''[http://www.deltami.edu.pl/2021a/10/2021-10-delta-art-06-gryszka.pdf Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele]'', deltami.edu.pl, październik 2021 [dostęp 2022-02-05].</ref>.

Geneza topologii, zwłaszcza rozumianej potocznie, bywa wiązana z XVIII-wiecznymi początkami [[Teoria grafów|teorii grafów]] w pracach [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]]. Mimo to topologia ''sensu stricto'' wyrosła w II połowie XIX wieku, na pograniczu geometrii, [[Analiza matematyczna|analizy]] i [[Teoria mnogości|teorii mnogości]]. Została nazwana przez [[Johann Benedict Listing|Johanna Listinga]] w 1847 roku<ref name="epwn" />, a ogólny obszar badań tej dziedziny – czyli przestrzeń topologiczną – zdefniowano na początku XX wieku, w pracach [[Felix Hausdorff|Feliksa Hausdorffa]] i [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierza Kuratowskiego]]<ref name="epwn-pt">{{Encyklopedia PWN | id = 3988109 | tytuł = przestrzeń topologiczna | data dostępu = 2022-02-04}}</ref>. Od tego czasu wykształciły się całe zróżnicowane gałęzie tej nauki – oprócz topologii ogólnej i [[Topologia mnogościowa|mnogościowej]] powstały między innymi [[topologia algebraiczna]], [[Topologia różniczkowa|różniczkowa]] i [[Topologia geometryczna|geometryczna]]<ref name="epwn-tg">{{Encyklopedia PWN | id = 3988106 | tytuł = topologia geometryczna | data dostępu = 2022-02-04}}</ref>. Badają one różne szczególne klasy przestrzeni topologicznych, niezmienniki specjalnych typów homeomorfizmów – jak np. [[dyfeomorfizm]]y – i czerpią przy tym z różnych działów matematyki, zwłaszcza [[Teoria grup|teorii grup]]. Osobną, owocną dyscypliną stała się też [[teoria węzłów]], bliska korzeniom topologii w jakościowej [[Stereometria|stereometrii]] (trójwymiarowej [[Geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]]). Topologia była jednym z głównych obszarów badań [[Warszawska szkoła matematyczna|warszawskiej szkoły matematycznej]], a osiągnięcia Polaków w tej dziedzinie upamiętniono m.in. nazwą [[Przestrzeń polska|przestrzeni polskiej]]. Prace [[Samuel Eilenberg|Samuela Eilenberga]] w topologii algebraicznej przyczyniły się do powstania [[Teoria kategorii|teorii kategorii]]; wiązanej głównie z algebrą i odgrywającej dużą rolę w różnych obszarach matematyki oraz poza nią.

Pytania postawione przez topologię uznano za doniosłe. W 2000 roku [[Hipoteza Poincarégo|hipotezę Poincarégo]] w topologii algebraicznej umieszczono na liście siedmiu [[Problemy milenijne|problemów milenijnych]], a rozwiązanie jej przez [[Grigorij Perelman|Grigorija Perelmana]] nagrodzono dodatkowo (odrzuconym przez laureata) [[Medal Fieldsa|Medalem Fieldsa]]{{#tag:ref|Formalnie „za wkład w geometrię oraz za rewolucyjne odkrycia dotyczące analitycznej i geometrycznej struktury potoku Ricciego”<ref name="nature01">{{Cytuj pismo |nazwisko = Hogan |imię = Jenny |tytuł = Maths ‘Nobel’ prize declined by Russian recluse |czasopismo = [[Nature]] |wydanie = 2006 |issn = 1476-4687 |język = en |data = 2006-08-22 |doi = 10.1038/news060821-5}}</ref>.|group="uwaga"}}. Już wcześniej odznaczano tym medalem badania nad tą hipotezą, m.in. przez [[Stephen Smale|Stephena Smale’a]], [[Michael Freedman|Michaela Freedmana]] i [[William Thurston|Williama Thurstona]]. Wybitne postępy w topologii nagradzano też innymi najwyższymi zaszczytami dostępnymi matematykom jak [[Nagroda Abela]] i [[Medal Copleya]]. Topologia wywiera też bezpośredni wpływ na rozmaite kierunki [[Fizyka teoretyczna|fizyki teoretycznej]] – teorię [[Cząstka elementarna|cząstek elementarnych]] (np. [[Teoria strun|teorię strun]]), [[Informatyka kwantowa|informatykę kwantową]]<ref>{{otwarty dostęp}} [https://naukawpolsce.pl/aktualnosci/news%2C415368%2Cnowy-wazny-krok-na-drodze-do-topologicznego-komputera-kwantowego.html Nowy ważny krok na drodze do topologicznego komputera kwantowego], naukawpolsce.pl, 18 sierpnia 2017 [dostęp 2022-02-05].</ref>, [[Biofizyka|biofizykę]] molekularną czy [[Fizyka materii skondensowanej|fizykę materii skondensowanej]]; przykładowo była wprost wspomniana w uzasadnieniu [[Laureaci Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki|Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki]] za 2016 rok<ref group="uwaga">[[David J. Thouless]], [[Duncan Haldane]] i [[John M. Kosterlitz]] otrzymali ją „za teoretyczne odkrycia w dziedzinie topologicznych przejść fazowych i topologicznych faz materii”.</ref>. Pojęcia i wyniki topologiczne mają też znaczenie dla [[Kosmologia fizyczna|kosmologii]] – otwartym pozostaje pytanie o [[kształt Wszechświata]]; rozważano modele o różnych, czasem nietrywialnych ułożeniach [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]]<ref>{{otwarty dostęp}} [[Stanisław Bajtlik]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=Oujcs7qVQKg Kształt wszechświata]'', kanał „Zapytaj fizyka” na [[YouTube]], 20 marca 2015 [dostęp 2022-02-05].</ref>.

== Rys historyczny ==
[[Plik:Konigsberg bridges.png|thumb|Siedem mostów w Królewcu]]
[[Plik:Calabi-Yau.png|mały|Ilustracja przykładowej [[Przestrzeń Calabiego-Yau|rozmaitości Calabiego-Yau]], odgrywającej rolę w [[Teoria strun|teorii strun]]]]

Przez [[Królewiec]] przepływa rzeka [[Pregoła]], dzieląc miasto na dwie części; na niej dodatkowo znajdują się dwie wyspy ([[Knipawa]] i [[Lomse]]), co pokazuje ilustracja obok. Zastanawiano się, czy możliwe jest przejście przez wszystkie mosty królewieckie, pokonując każdy z nich co najwyżej raz<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Mioduszewski |imię = Jerzy |tytuł = Mosty królewieckie. Dwieście lat później |url = http://www.wiw.pl/delta/mosty.asp |czasopismo = [[Delta (miesięcznik)|Delta]] |wydanie = 1981 |wolumin = 4}} [dostęp 2021-09-01].</ref><ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.math.edu.pl/mosty-krolewieckie |tytuł = Mosty królewieckie |autor = Mariusz Śliwiński |opublikowany = math.edu.pl |data dostępu = 2014-09-11}}</ref><ref name=":0">{{Cytuj książkę |nazwisko = Białynicki-Birula |imię = Iwo |nazwisko2 = Białynicka-Birula |imię2 = Iwona |tytuł = Modelowanie rzeczywistości |rok = 2002 |wydawca = [[Prószyński i S-ka]] SA |miejsce = Warszawa |strony = 14–18 |isbn = 83-7255-103-0}}</ref>.

W postawionym problemie nieważne są odległości między mostami, ich długości, współliniowość punktów ani kąty. [[Zagadnienie mostów królewieckich]] rozwiązał w 1736 roku [[Leonhard Euler]], który wykazał, że jest to niemożliwe<ref name=":0" />.

Podobnie topologiczny charakter ma [[twierdzenie Eulera o wielościanach]] [[Zbiór wypukły|wypukłych]], które mówi, że suma liczby wierzchołków takiego wielościanu oraz liczby jego ścian równa jest liczbie krawędzi powiększonej o dwa. Wynik nie zależy od długości krawędzi czy kątów (poza wypukłością). Dziś o tym twierdzeniu mówi się jako o twierdzeniu o sferze dwuwymiarowej, uogólnionym przez [[Henri Poincaré|Henriego Poincaré]] na dowolne [[wielościan]]y, a przez [[Solomon Lefschetz|Solomona Lefschetza]] na odwzorowania ciągłe wielościanów w siebie.

Wspomniane historycznie pierwsze wyniki topologiczne zostały uzyskane na długo przed ustanowieniem topologii jako osobnego działu matematyki, dlatego powszechnie uważa się Eulera za jej prekursora. Twierdzenia te mają charakter [[Kombinatoryka|kombinatoryczny]], z tego też powodu poprzedniczkę dzisiejszej [[Topologia algebraiczna|topologii algebraicznej]] nazywano niegdyś ''topologią kombinatoryczną''.

Nieco inny charakter ma klasyczne [[Twierdzenie Weierstrassa o kresach|twierdzenie Weierstrassa]] w [[Analiza matematyczna|analizie]]: ''każda funkcja ciągła rzeczywista zdefiniowana na odcinku domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy''. Podobnie jak w przypadku twierdzeń Eulera, wspomniane zdanie ma [[wymiar geometryczny]], gdyż mówi o geometrycznych własnościach wykresów, ale różni się zasadniczo od twierdzeń geometrii klasycznej – takich jak na przykład [[twierdzenie Pitagorasa]]: w geometrii liczą się miary kątów, boków, powierzchni, ich proporcje oraz to, czy dane punkty leżą na jednej prostej, [[Krzywa|krzywej]] lub płaszczyźnie. Wszystkie te zagadnienia nie mają znaczenia w powyższych przykładach twierdzeń topologicznych.

Za twórcę topologii uważa się [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]], który jako pierwszy prowadził badania ''stricte'' topologiczne, choć pewne wyniki, które dziś zaliczamy do topologii, znane były już wcześniej.

Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać u progu XX wieku, a przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w [[Polska szkoła matematyczna|polskiej szkole matematycznej]]. W początkowym okresie rozwoju topologii matematycy określali nową dziedzinę jako ''geometria situs'' ([[łacina|łac.]] ''geometria położenia/miejsca'') lub ''analysis situs'' (łac. ''analiza położenia/miejsca'').

Termin „topologia” został po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka [[Johann Benedict Listing|Johanna Benedicta Listinga]] w 1847<ref>Johann Benedict Listing, ''Vorstudien zur Topologie'', Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1848, s. 67.</ref>, a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki. Matematyków zajmujących się topologią zaczęto nazywać topologami.

Jednymi z najważniejszych wydarzeń w historii topologii są:
* W 1854 Riemann wygłasza na [[Uniwersytet w Getyndze|uniwersytecie w Getyndze]] wykład habilitacyjny ''O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometrii''<ref>[[Bernhard Riemann]]: ''Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen''. Treść wykładu w j. ang.: [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/WKCGeom.html].</ref> w którym wprowadził podstawy [[Rozmaitość riemannowska|geometrii Riemanna]].
* W końcu XIX w. [[Georg Cantor]] zainteresowany podzbiorami [[Liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] pojawiającymi się w teorii [[Szereg Fouriera|szeregów Fouriera]] rozwinął podstawy [[Teoria mnogości|teorii mnogości]]. Rozważał on otwarte i domknięte podzbiory przestrzeni euklidesowych, a także operacje [[Wnętrze (matematyka)|wnętrza]] i [[Domknięcie (topologia)|domknięcia]] w tych przestrzeniach. Wkrótce jego prace stały się podstawą wszelkich badań w topologii ogólnej.
* W 1890 [[Giuseppe Peano]] podał przykład [[Funkcja ciągła|ciągłego]] odwzorowania z [[Przedział (matematyka)|odcinka]] <math>[0,1]</math> na kwadrat <math>[0,1]\times [0,1].</math> Ten i inne przykłady [[Krzywa Peana|krzywych Peana]] były bodźcem do rozwoju teorii [[Wymiar (matematyka)|wymiaru]].
* W 1894 [[Henri Poincaré]] wprowadził pojęcie [[Grupa podstawowa|grupy podstawowej]] i pokazał, że dwuwymiarowa powierzchnia zwarta (bez brzegu), o trywialnej grupie podstawowej, jest homeomorficzna z dwuwymiarową sferą. Następnie próbował, bez sukcesu, dowieść analogicznej hipotezy, zwanej hipotezą Poincarego, dla rozmaitości trójwymiarowych. Udało się to dopiero [[Grigorij Perelman|Grigorijowi Perelmanowi]].
* W 1895 Henri Poincaré opublikował pracę ''Analysis Situs''<ref>Henri Poincaré: ''Analysis situs''. „J. de l’Éc. Pol.” (2) I, (1895), s. 1–123.</ref>, w której wprowadził pojęcia [[Homotopia|homotopii]] i liczb Bettiego, które [[Emmy Noether|Emma Noether]] zastąpiła grupami [[Homologia singularna|homologii]], i dał pierwsze systematyczne podejście do topologii, ustalając podstawy [[Topologia algebraiczna|topologii algebraicznej]].
* W 1906 [[Maurice Fréchet]] w swojej rozprawie doktorskiej<ref>Maurice Fréchet: ''Sur quelques points du calcul fonctionnel''. „Rend. del Circ. Mat. di Palermo” 22, (1906), s. 1–74.</ref> wprowadził pojęcie [[Przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] (chociaż sam nie używał tej nazwy, a została ona nadana tego typu przestrzeniom później przez [[Felix Hausdorff|Felixa Hausdorffa]]). Fréchet rozważał też abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych (co jest odzwierciedlone we współczesnej terminologii przez pojęcie [[Przestrzeń Frécheta (topologia)|przestrzeni Frécheta]]).
* W 1914 r. [[Felix Hausdorff]] wprowadził pojęcie przestrzeni topologicznej, a podana przez niego definicja obejmuje szeroką klasę przestrzeni znanych dzisiaj jako [[Przestrzeń Hausdorffa|przestrzenie Hausdorffa]] (aksjomaty Hausdorff w zasadzie zaadaptował z wcześniejszych badań [[David Hilbert|Hilberta]], dotyczących szczególniejszej sytuacji z geometrii klasycznej).
* Definicję przestrzeni topologicznej w terminach operacji domknięcia, równoważną z dziś powszechnie stosowaną, sformułował [[Kazimierz Kuratowski]]<ref>Kazimierz Kuratowski: ''Sur l’opération <math>\overline{A}</math> de l’Analysis Situs''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 3, (1922), s. 182–199.</ref>. Początkowo jego definicja obejmowała [[Przestrzeń T1|przestrzenie T<sub>1</sub>]].

== Podstawowe pojęcia ==
=== Zbiory otwarte ===
{{osobny artykuł|Zbiór otwarty}}
Korzenie topologii tkwią w [[Geometria|geometrii]] i często mówi się o topologii jako o jednej z geometrycznych dziedzin matematyki. Z drugiej strony, [[#Topologia ogólna|topologia ogólna]] wyrosła z [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]]. Zarówno w geometrii, jak i w analizie ważnym pojęciem jest odległość. Odległość można zdefiniować na wiele sposobów w przestrzeni euklidesowej, jak i w innych przestrzeniach. Zbiór ze zdefiniowaną odległością (tzw. ''metryką'') jest zwany [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]].

Zauważono jednak, że wiele własności obiektów studiowanych w analizie może być scharakteryzowanych przy użyciu jedynie [[Zbiór otwarty|zbiorów otwartych]] bez potrzeby odwoływania się do pojęcia metryki. Zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej to takie zbiory, które są [[Suma zbiorów|sumami]] (również nieskończonymi) kul otwartych, a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień). Często okazuje się, że poznanie struktury zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż badanie przestrzeni za pomocą metryki.

; Przykład: Zbiorem otwartym na płaszczyźnie jest np. [[Wnętrze (matematyka)|wnętrze]] dowolnego [[Przestrzeń spójna|spójnego]] [[wielokąt]]a. Można je skonstruować jako sumę [[Zbiór nieprzeliczalny|nieprzeliczalnego zbioru]] kul otwartych, wypełniających wielokąt.

=== Otoczenia ===
[[Plik:Neighborhood illust2.svg|thumb|200px|Przykład punktu brzegowego zbioru <math>V \in X{:}</math> do dowolnego otoczenia punktu <math>p</math> należą punkty zbioru <math>V,</math> jak i punkty spoza niego, należące do <math>X</math> – dlatego punkt <math>p</math> jest punktem brzegowym.]]

[[Otoczenie i sąsiedztwo|Otoczenia]] to zbiory spełniające następujące warunki:
* Dla każdego punktu istnieje jakieś jego otoczenie, a każde otoczenie zawiera pewien punkt.
* Jeśli punkt <math>X</math> należy do otoczenia <math>U</math> punktu <math>Y,</math> to istnieje takie otoczenie punktu <math>X,</math> które zawiera się w <math>U</math> – intuicyjnie: skoro <math>X</math> w pewnym sensie leży blisko <math>Y,</math> to istnieją punkty leżące w pobliżu zarówno <math>X,</math> jak i <math>Y.</math>
* Dla dowolnych dwóch otoczeń punktu <math>X</math> istnieje otoczenie tego punktu, które się w nich zawiera.

Niektórzy autorzy do definicji dodają warunek, iż otoczenie musi być zbiorem otwartym.

Otoczenie punktu <math>X</math> można sobie wyobrazić jako dowolną figurę, wewnątrz której znajduje się punkt <math>X.</math> Każdy punkt przestrzeni euklidesowej posiada nieskończenie wiele otoczeń, z których niektóre zawierają się w innych. To zawieranie się otoczeń jest jedynym odpowiednikiem informacji o odległości danych punktów. Z drugiej strony otoczenia zostają zachowane przy [[#Homeomorfizm|homeomorficznych]] przekształceniach przestrzeni, co sprawia, że są w topologii użytecznym narzędziem.

Mając dany zbiór punktów i bazę ich otoczeń, możemy wygenerować przestrzeń topologiczną – wystarczy za zbiór otwarty uznać zbiór <math>V,</math> dla którego nie istnieją [[Brzeg (matematyka)|punkty brzegowe]], czyli takie, których wszystkie otoczenia zawierają zarówno punkty ze zbioru <math>V,</math> jak i spoza tego zbioru (patrz rysunek obok).

=== Przestrzeń topologiczna ===
{{osobny artykuł|Przestrzeń topologiczna}}
'''Topologią''' na zbiorze <math>X</math> nazywa się dowolną rodzinę <math>\tau</math> podzbiorów <math>X</math> spełniającą następujące warunki:
* [[zbiór pusty]] oraz <math>X</math> należą do <math>\tau</math>
* [[Suma zbiorów|suma]] dowolnej rodziny zbiorów z <math>\tau</math> należy <math>\tau</math> oraz
* jeżeli <math>U,V\in\tau</math> to również <math>U\cap V\in\tau.</math>

Elementy tej rodziny nazywane są ''zbiorami otwartymi'' w <math>X,</math> ich dopełnienia nazywane są ''zbiorami domkniętymi'', a [[Para uporządkowana|parę]] <math>(X,\tau)</math> nazywa się '''przestrzenią topologiczną'''.

W danej przestrzeni <math>X</math> można na ogół utworzyć wiele różnych topologii. Jeżeli topologię w <math>X</math> można utworzyć, posługując się jakąś [[Przestrzeń metryczna|metryką]], to o przestrzeni <math>X</math> mówi się, że jest ''metryzowalna''. Np. metryzowalne są [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] ([[Liczby rzeczywiste|prosta rzeczywista]], płaszczyzna, [[przestrzeń trójwymiarowa]] itd.). Badane w topologii własności są uogólnieniami własności znanych z tychże przestrzeni.

Istnieją również przestrzenie topologiczne ''niemetryzowalne'' (np. [[iloczyn kartezjański]] [[Zbiór nieprzeliczalny|nieprzeliczalnej]] rodziny co najmniej dwupunktowych przestrzeni topologicznych z [[Topologia produktowa|topologią Tichonowa]]), dlatego też pojęcie przestrzeni topologicznej jest uogólnieniem pojęcia [[Przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]].

=== Homeomorfizm ===
{{osobny artykuł|Homeomorfizm}}
Pewne wyobrażenie o tym, czym zajmuje się topologia przestrzeni euklidesowych, można sobie wyrobić, jeżeli przywoła się przed oczy obraz zbiorów wykonanych z gumy. Z punktu widzenia topologii interesujące jest np. to, że węzeł (pokazany na rysunku obok) nie daje się bez rozcinania sprowadzić do euklidesowego [[Okrąg|okręgu]], nie jest natomiast ważne, jakie ten węzeł ma rozmiary i krzywiznę „pętelek”, co byłoby istotne w geometrii.

Formalnie dwie przestrzenie są homeomorficzne, jeśli istnieje [[Funkcja ciągła|ciągła]] [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcja]] z jednej z nich na drugą, której [[Funkcja odwrotna|odwrotność]] też jest ciągła.

Gdy przestrzeń X daje się homeomorficznie odwzorować na przestrzeń Y, to przestrzenie X i Y mają takie same własności topologiczne i z punktu widzenia topologii są nieodróżnialne (homeomorficzne), mogą być traktowane jako różne egzemplarze tej samej przestrzeni.
Przykładami własności topologicznych zachowywanych przez homeomorfizm są [[Przestrzeń spójna|spójność]] („składanie się z jednego kawałka”) i [[Wymiar (matematyka)|wymiar]] (topologiczny) przestrzeni.

[[Plik:Mug and Torus morph.gif|thumb|205px|Kubek może być przekształcony płynnie na obwarzanek i odwrotnie]]
; Przykład: Topologa określa się żartobliwie jako matematyka, który nie potrafi odróżnić kubka do kawy od obwarzanka. Istotnie, animacja załączona obok pokazuje sposób deformacji kubka do postaci obwarzanka i odwrotnie. Co ważne, deformacja przebiega w sposób ciągły, czyli bez rozrywania i sklejania, co oznacza właśnie, iż kubek i obwarzanek są homeomorficzne, a więc z punktu widzenia topologii nieodróżnialne.

Nietrudno teraz podać inne przykłady przestrzeni, które dla topologa niczym się nie różnią. Kulka plasteliny jest tym samym, co ulepiona z niej żyrafa (o ile podczas jej lepienia nie rozerwiemy i nie skleimy ze sobą wygiętych i rozciągniętych kawałków), trójkąt jest tym samym co kwadrat (a nawet koło).

== Gałęzie topologii ==
Zgodnie z [[MSC 2000|klasyfikacją]] badań naukowych w matematyce prowadzoną przez [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne]], współczesne badania topologiczne są podzielone na trzy poddziały.

=== Topologia ogólna (54xx) ===
Obiektem badań tutaj są przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci<ref name="epwn-to">{{Encyklopedia PWN | id = 3988107 | tytuł = topologia ogólna | data dostępu = 2022-02-05}}</ref>, ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie [[Przestrzeń zwarta|zwarte]]). Typowe tematy rozważań w topologii ogólnej to np. [[aksjomaty oddzielania]], zachowywanie różnych własności w [[Topologia produktowa|iloczynach]] przestrzeni topologicznych, czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, [[Uzwarcenie|uzwarcenia]] przestrzeni topologicznych, czy też [[Funkcja kardynalna|funkcje kardynalne]]. Korzysta się tu często z metod [[Teoria mnogości|teorii mnogości]] i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające [[aksjomat Martina]], [[PFA (aksjomat)|PFA]] czy wyniki [[forsing]]owe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|ZFC]].

=== Topologia algebraiczna (55xx) ===
{{osobny artykuł|Topologia algebraiczna}}
: Z przestrzeniami topologicznymi wiąże się różne obiekty algebraiczne (przykładem może być tzw. [[grupa podstawowa]]). Ponieważ obiektom [[Izomorfizm|izomorficznym]] w sensie topologicznym (czyli homeomorficznym) przyporządkowuje się obiekty izomorficzne w sensie algebraicznym, to badając uzyskane [[Algebra ogólna|struktury algebraiczne]], można poznać własności danych przestrzeni topologicznych.

=== Topologia rozmaitości (57xx) ===
{{osobny artykuł|Rozmaitość topologiczna}}
: [[Rozmaitość topologiczna|Rozmaitości]] to przestrzenie topologiczne, które „lokalnie” wyglądają tak jak przestrzenie euklidesowe. Często wyposażone są one w strukturę [[Rozmaitość różniczkowa|różniczkową]] lub kawałkami liniową. Są to zwykle najbardziej „naturalne” przykłady przestrzeni topologicznych, włączając w to dobrze znane [[Powierzchnia|powierzchnie]]. Nierzadko do badania tych obiektów używa się metod topologii algebraicznej.

Poddziałami ''topologii rozmaitości'' są:

=== Topologia różniczkowa (57Rxx) ===
[[Topologia różniczkowa]] zakłada o rozmaitościach topologicznych, że mają również strukturę różniczkową. W dziale tym stosuje zatem metody [[Rachunek różniczkowy i całkowy|różniczkowe]] [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]], w szczególności [[Teoria Morse’a|teorię Morse’a]]. Za początek topologii różniczkowej przyjmuje się odkrycie przez [[John Milnor|Johna Milnora]] [[Dyfeomorfizm|niedyfeomorficznych]] struktur różniczkowych na siedmiowymiarowej sferze.
: Podstawowym narzędziem topologii różniczkowej jest między innymi [[twierdzenie Sarda]], które mówi, że [[miara Lebesgue’a]] zbioru [[Punkt krytyczny (matematyka)|punktów krytycznych]] odwzorowania rzeczywistego, gładkiego podzbioru otwartego <math>n</math>-wymiarowej [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] wynosi [[Zbiór miary zero|zero]].

=== Teoria węzłów (57M25, 57M27, 57M30) ===
{{osobny artykuł|Teoria węzłów}}
[[Plik:TrefoilKnot 01.svg|thumb|200px|Najprostszy nietrywialny węzeł – koniczynka]]
: Szczególną gałęzią topologii rozmaitości jest [[teoria węzłów]], która zajmuje się [[Krzywa|krzywymi]] [[Krzywa zwykła|zwykłymi]] [[Krzywa zamknięta|zamkniętymi]], zanurzonymi w przestrzeni trójwymiarowej. O ile w przestrzeniach dwuwymiarowych, a także cztero- i więcej wymiarowych każda taka krzywa daje się bez rozcinania przekształcić w okrąg, to w przestrzeni trójwymiarowej istnieje nieskończona liczba takich nierównoważnych krzywych, zwanych [[Węzeł (teoria węzłów)|węzłami]]. Najprostszy z nich (oprócz trywialnego okręgu) to koniczynka, pokazana wyżej.
: Teoria węzłów zajmuje się też położeniem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej skończonych układów krzywych zamkniętych, badając przy tym sposób ich zaczepienia. Oprócz wspomnianych węzłów jednowymiarowych, rozwijana jest także teoria węzłów wielowymiarowych,

Poza wymienionymi wyżej trzema głównymi działami topologii wyróżnia się także:

=== Topologiczna teoria wymiaru ===
: Teoria wymiaru topologicznego znajduje się na granicy topologii ogólnej i algebraicznej.
: Kiedy [[Giuseppe Peano|Peano]] odkrył [[Krzywa Peana|odwzorowanie ciągłe odcinka domkniętego na kwadrat]], powstało niepokojące pytanie, czy topologia w ogóle jest w stanie rozróżnić wyżej wymiarowe przestrzenie euklidesowe, czy przypadkiem przestrzenie cztero- i pięciowymiarowe nie są homeomorficzne. Problem ten rozstrzygnął [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]], dowodząc niehomeomorficzności przestrzeni euklidesowych o różnym wymiarze. Brouwer był jednym z głównych prekursorów topologicznej teorii wymiaru, stworzonej przez [[Pawieł Urysohn|Urysohna]] i [[Karl Menger|Mengera]].
: Teoria wymiaru przypisuje przestrzeniom topologicznym liczbę całkowitą ≥ -1. Istnieje więcej niż jedno pojęcie wymiaru, są to m.in. klasyczne funkcje ''dim'', ''ind'' i ''Ind'' oraz pewne algebraicznie subtelne definicje. Jednak wszystkie te funkcje przypisują wymiar równy -1 tylko i wyłącznie przestrzeni pustej, z kolei wymiar zerowy mają wszystkie przestrzenie dyskretne, ale nie tylko one. Wszystkie trzy powyższe funkcje klasyczne pokrywają się w zakresie [[Przestrzeń polska|przestrzeni polskich]] (czyli metrycznych, [[Przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowych]]).
: Nawet w tym ograniczonym zakresie wymiar topologiczny różni się cechami od algebraicznego lub geometrycznego. W przypadku [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] lub zbiorów i rozmaitości algebraicznych, podobnie jak w przypadku wielościanów, wymiar ma własność logarytmiczną: wymiar iloczynu kartezjańskiego jest równy sumie wymiarów czynników. Topologia, nawet przestrzeni polskich, zajmuje się znacznie bogatszą rodziną obiektów i prawo logarytmiczne w topologii nie zachodzi, co pokazuje piękny przykład pochodzący od [[Paul Erdős|Erdősa]]:
:: Przestrzeń wszystkich punktów klasycznej [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] o samych wymiernych współrzędnych, jest jednowymiarowa, a jej kwadrat jest homeomorficzny z nią samą. Zgodnie z prawem logarytmicznym druga przestrzeń powinna mieć wymiar 1+1, ale ma wymiar 1. Trudniej o takie przykłady w przypadku zwartych przestrzeni metrycznych. Ich wymiar ''dim'' musi wynosić co najmniej dwa. Przykład dwóch przestrzeni o wymiarze dwa, ale wymiarze ich iloczynu wynoszącym trzy podał Pontriagin, a Bołtiański<ref name="BltSq">В.Г. Болтянский, ''Пример двумерного компакта, топологический квадрат которого имеет размерность равную трем'', ДАН, 67 (1949), s. 597–599.</ref> skonstruował taką zwartą, dwuwymiarową przestrzeń metryczną, której kwadrat wynosi trzy. Prawo logarytmiczne jest jednym z szeregu problemów teorii wymiaru.
: Topologiczna teoria wymiaru jest (w dużej mierze) zawarta w teorii [[Funkcja uniwersalna|funkcji uniwersalnych]]<ref name="funStart">Włodzimierz Holsztyński, ''Une generalisation du théorème de Brouver sur les points invariants'', „Bull. Polon. Acad. Sci.” 12, (1964), s. 603–609.</ref> (patrz [[Morfizm uniwersalny]]):
:: '''Twierdzenie<ref name="funStart" />:''' <math>\dim(X) \geqslant n</math> wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja uniwersalna <math>f\colon X \to I_n</math> (dla dowolnej [[Przestrzeń Tichonowa|przestrzeni całkowicie regularnej]]).

Pierwszą monografią poświęconą topologicznej teorii wymiaru jest klasyczna książka autorstwa [[Witold Hurewicz|Witolda Hurewicza]] i [[Henry Wallman|Henry’ego Wallmana]] pt. ''Dimension Theory''.

=== Topologia nieskończeniewymiarowa ===
Wielu matematyków miało istotny wkład do [[Topologia nieskończeniewymiarowa|topologii nieskończeniewymiarowej]]; wśród głównych pionierów należy wymienić [[Richard Anderson (matematyk)|Richarda Andersona]]. Głównych twórców, ze względu na rozmach i kompletność wyników, jest czterech (alfabetycznie): [[Thomas Chapman]], [[Robert Edwards (matematyk)]], [[Adam Henryk Toruńczyk|Henryk Toruńczyk]] oraz [[James West]]. Przy tym metody i prace Toruńczyka są szczególnie eleganckie.

U podstawy teorii legły dwa, dopiero po latach rozwiązane pytania:
* Czy wszystkie nieskończeniewymiarowe ośrodkowe przestrzenie Banacha są homeomorficzne?
* Czy iloczyn topologiczny przestrzeni <math>T</math> z kostką Hilberta jest homeomorficzny z kostką Hilberta?

Drugie pytanie wymyślił i wpisał [[Karol Borsuk]] do [[Księga szkocka|Księgi szkockiej]]. O odpowiedzi-rozwiązaniu przez kolegów matematyków James West poinformował uczestników konferencji w Baton Rouge (Louisiana State University), tak określając dwa niezależne dowody: Anderson – terrible argument; [[Andrzej Szankowski]] – beautiful argument! (West mógł tak, nieco żartobliwie, powiedzieć jako uczeń Andersona, obecnego w czasie wykładu na sali).

Podstawowym wczesnym pojęciem był Z-zbiór (patrz Chapman, ''Lectures on Hilbert Cube Manifoldes'', {{ISBN|0-8218-1678-0}}). Wprowadzili je niezależnie i opublikowali w tym samym czasie Anderson i [[Włodzimierz Holsztyński]] (w różnych czasopismach; tylko wcześniej wymieniona publikacja była zauważona).

Wśród wczesnych specjalistów należy wymienić, między innymi, [[Czesław Bessaga|Czesława Bessagę]] i [[Victor Klee|Victora Klee]].

=== Teoria grafów (05Cxx) ===
{{osobny artykuł|Teoria grafów}}
[[Plik:Four Colour Map Example.svg|thumb|200px|Fotografia dywanu, ilustrującego twierdzenie o czterech barwach]]
Na pograniczu topologii oraz [[Matematyka dyskretna|matematyki dyskretnej]] znajduje się ważna dziedzina, zwana [[Teoria grafów|teorią grafów]]. Najprostszy [[Graf (matematyka)|graf]] można sobie wyobrazić jako zbiór punktów (tzw. wierzchołków), z których niektóre połączone są liniami (tzw. krawędziami). Historycznie pierwsze zadanie topologii, dotyczące mostów królewieckich, zalicza się do tej dziedziny. Słynnym problemem teorii grafów, który bardzo długo opierał się udowodnieniu, było [[twierdzenie o czterech barwach]], głoszące, że dowolną mapę polityczną, na której każdy kraj składa się z jednego tylko kawałka (na sferze lub płaszczyźnie – to przypadki równoważne), można zabarwić używając tylko czterech kolorów tak, aby żadne dwa kraje mające wspólną granicę (dłuższą niż punkt) nie miały tego samego koloru (zobacz rysunek).

Klasycznym wynikiem teorii grafów jest [[Twierdzenie Kuratowskiego|twierdzenia Kazimierza Kuratowskiego]], charakteryzujące topologicznie [[Graf płaski|grafy płaskie]].

== Przykłady twierdzeń i wniosków z nich płynących ==
* W Waszyngtonie, w miejscu upamiętniającym amerykańskich marynarzy z czasów [[II wojna światowa|II wojny światowej]] (''United States Navy Memorial'') znajduje się mapa świata ułożona z materiałów tworzących chodnik na dużym placu (zobacz zdjęcia poniżej). Z wyjątkiem zniekształceń na obwodzie tej mapy, jest ona [[Funkcja ciągła|ciągłą]] reprezentacją powierzchni [[Ziemia|Ziemi]] w pewnej skali. Jednak wyłącznie na podstawie [[Twierdzenie Banacha o kontrakcji|twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym]] nie możemy powiedzieć, że jest punkt na tej mapie, który odpowiada samemu sobie (tzn. ten punkt i jego reprezentacja na mapie pokrywają się). Bowiem cała (idealizowana) powierzchnia Ziemi nie jest odwzorowana na mapę w sposób ciągły. Możemy jednak ograniczyć się do powierzchni kontynentalnej części USA (bez Alaski). Ponieważ cała mapa (chodnik) znajduje się w USA, to twierdzenie Banacha możemy zastosować wyłącznie do powierzchni USA: istnieje punkt powierzchni USA, który na chodnikowej mapie jest reprezentowany przez samego siebie (tj. reprezentujący go punkt mapy pokrywa się z nim). Chodzi o to, że o ile cała powierzchnia Ziemi na mapie jest rozcięta, to powierzchnia kontynentalnego USA przedstawiona jest w sposób ciągły (i zwężający). Gdy pojawiają się cięcia, to sprawa się komplikuje. (Uwaga: Z Alaską na mapach różnie bywa – czasem jest pocięta, a czasem nie; skoro jednak cała mapa znajduje się na chodniku w części kontynentalnej USA, to o ewentualne pocięcie Alaski nie musimy się martwić).

<gallery>
Plik:NavyMemmap.jpg|''US Navy Memorial'' w Waszyngtonie: mapa świata.
Plik:NavyMemEastCoast.jpg|Fragment mapy świata przedstawiający Stany Zjednoczone.
Plik:NavyMemfixpoint.jpg|W części mapy przedstawiającej Wschodnie Wybrzeże Stanów Zjednoczonych znajduje się dokładnie jeden punkt, który odpowiada samemu sobie w terenie.
</gallery>

* Na podstawie [[Twierdzenie Borsuka-Ulama|twierdzenia Borsuka-Ulama]] możemy stwierdzić, że w każdym momencie są na [[Ziemia|Ziemi]] dwa punkty [[antypody]]czne, w których zarówno [[temperatura]], jak i ciśnienie powietrza są takie same, przy założeniu, że temperatura i ciśnienie zmieniają się w sposób ciągły. Przypomnijmy, że twierdzenie Borsuka-Ulama mówi, że dla każdej [[Funkcja ciągła|ciągłej]] funkcji <math>f\colon\mathbb S^{n-1} \to \mathbb R^{n-1}</math> (gdzie <math>\mathbb S^{n-1}\subseteq \mathbb R^n</math> jest [[Sfera|sferą]] <math>n-1</math>-wymiarową) istnieją dwa punkty antypodyczne <math>x,y\in\mathbb S^{n-1}</math> dla których <math>f(x)=f(y).</math>
* [[Twierdzenie Lusternika-Schirelmanna-Borsuka]] mówi, że jeśli sfera <math>\mathbb{S}^{n-1}</math> jest pokryta przez <math>n</math> zbiorów, z których każdy jest albo [[Zbiór otwarty|otwarty]], albo [[Zbiór domknięty|domknięty]], to jeden z tych zbiorów zawiera punkty antypodalne. (Wersja otwarta wynika w sposób elementarny z wersji domkniętej, i odwrotnie).

: Znana jest anegdota, według której twierdzenie to uratowało pewien wyimaginowany świat przed wielkim nieszczęściem:
:: ''Rosja, Prusy i Austria postanowiły zakończyć wszystkie waśnie i podzielić się strefami wpływów. Każde z mocarstw chciało otrzymać część planety w wieczyste władanie. Z powodów związanych z bronią umieszczoną na satelitach żadne z mocarstw nie chciało, aby inne mocarstwo miało pod swoją kontrolą jakiekolwiek dwa punkty antypodalne. Lata prób nie doprowadziły do rozwiązania problemu, a ogłoszenie twierdzenia spowodowało, że trzy mocarstwa zadowoliły się podziałem Polski.''

* Jeżeli spłaszczymy piłkę, to jakkolwiek byśmy jej przy tym nie deformowali (bez rozrywania), zawsze zetkną się jej dwa punkty antypodyczne. Jest to poglądowe sformułowanie powyższego twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach.

* Każdą kanapkę z żółtym serem i szynką można przeciąć nożem (czyli podzielić płaszczyzną) tak, by każda z dwóch części miała tyle samo chleba, tyle samo sera, i tyle samo szynki.

=== Przykład argumentacji topologicznej w analizie ===
{{Osobny artykuł|Twierdzenie Baire’a#Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych}}
Metody topologiczne stosuje się w wielu rozważaniach matematycznych, począwszy od analizy, przez geometrię, [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowe]], aż na algebrze skończywszy, gdyż dostarcza ona matematykom wspólnego języka umożliwiającego dość ogólne spojrzenie geometryczne na problemy.

Przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłej rzeczywistej, określonej na prostej rzeczywistej <math>\mathbb R,</math> która nie jest [[Pochodna funkcji|różniczkowalna]] w żadnym punkcie. Pierwszy konkretny przykład takiej funkcji podał niemiecki matematyk [[Karl Weierstraß]]. Poszukiwanie kolejnych tego typu przykładów nastręczało wielu trudności, zastanawiano się nad ogólną formą i liczbą takich funkcji. Polski matematyk [[Stefan Banach]] przedstawił w [[1931]] topologiczny dowód istnienia takich funkcji:
: Niech <math>C[0,1]</math> oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z odcinka <math>[0,1]</math> w zbiór liczb rzeczywistych. Przestrzeń <math>C[0,1]</math> można wyposażyć w topologię [[Zbieżność jednostajna|zbieżności jednostajnej]] poprzez metrykę
:: <math>d(f, g) = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)-g(x)|.</math>

: Wówczas <math>C[0,1]</math> jest [[Przestrzeń polska|przestrzenią polską]] (a nawet [[Przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]]), w której zbiór
:: <math>R=\big \{f\in C[0,1]\colon f</math> ma pochodną w co najmniej jednym punkcie odcinka <math>[0,1]\big\}</math>
: jest [[Zbiór pierwszej kategorii|pierwszej kategorii]]. Ponieważ przestrzeń <math>C[0,1]</math> jest [[Przestrzeń zupełna|zupełna]] (a więc jest [[Przestrzeń Baire’a|przestrzenią Baire’a]]), to można powiedzieć, że z topologicznego punktu widzenia ''prawie każda'' funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.

== Polscy topolodzy ==
{{związana kategoria|Polscy topolodzy}}

Głównym ośrodkiem rozwoju topologii w Polsce była [[Warszawska szkoła matematyczna]], współpracująca z [[Lwowska szkoła matematyczna|lwowską szkołą matematyczną]]. Wśród polskich matematyków wkład w rozwój topologii wnieśli, między innymi:

{{układ wielokolumnowy|szerokość=300px|
* [[Kazimierz Alster]]
* [[Stefan Banach]]
* [[Czesław Bessaga]]
* [[Karol Borsuk]]
* [[Janusz Jerzy Charatonik]]
* [[Tadeusz Dobrowolski (matematyk)|Tadeusz Dobrowolski]]
* [[Roman Duda]]
* [[Samuel Eilenberg]]
* [[Ryszard Engelking]]
* [[Witold Hurewicz]]
* [[Zygmunt Janiszewski]]
* [[Jan Jaworowski (matematyk)|Jan Jaworowski]]
* [[Andrzej Kirkor]]
* [[Bronisław Knaster]]
* [[Antoni Kosiński (matematyk)|Antoni A. Kosiński]]
* [[Krystyna Kuperberg]]
* [[Włodzimierz Kuperberg]]
* [[Kazimierz Kuratowski]]
* [[Jerzy Mogilski]]
* [[Stanisław Mrówka]]
* [[Andrzej Lelek]]
* [[Edward Marczewski]]
* [[Stefan Mazurkiewicz]]
* [[Jerzy Mioduszewski]]
* [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]]
* [[Hanna Patkowska]]
* [[Aleksander Pełczyński]]
* [[Juliusz Paweł Schauder]]
* [[Karol Sieklucki]]
* [[Wacław Sierpiński]]
* [[Roman Sikorski]]
* [[Andrzej Szankowski]]
* [[Adam Henryk Toruńczyk|Henryk Toruńczyk]]
* [[Menahem Wojdysławski]]
* [[Kazimierz Zarankiewicz]]
}}

== Zobacz też ==
{{commons|Topology}}
{{wikibooks|Topologia ogólna}}
{{wikisłownik|topologia}}
* [[aksjomaty oddzielania]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
Na polskim rynku wydawniczym istnieją podręczniki akademickie poświęcone topologii, m.in.:
* [[Kazimierz Kuratowski]]: ''Wstęp do teorii mnogości i topologii'' (wraz z dodatkiem Ryszarda Engelkinga ''Elementy topologii algebraicznej''), wyd. siódme rozszerzone, [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 9, [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1977.
* [[Ryszard Engelking]]: ''Topologia ogólna''. [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 47. [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1975.
* Hanna Patkowska: ''Wstęp do topologii'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa, 1979.
* Ryszard Engelking, [[Karol Sieklucki]]: ''Geometria i topologia. Część II. Topologia''. [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 54, [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1980. {{ISBN|83-01-01371-0}}.
* [[Roman Duda]], ''Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna, Cz. II. Topologia algebraiczna. Topologia rozmaitości''. [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 61, [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1986. {{ISBN|83-01-05714-9}}.

== Linki zewnętrzne ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=zsN_guq__Ac| B. Franzosa, Wstęp do topologii] (Youtube, ang.)
* {{MathWorld | adres = Topology | tytuł = Topology}} [dostęp 2023-06-01].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/General_topology General topology]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

{{Działy topologii}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Topologia| ]]