Tekst źródłowy strony Tetracja

[[Plik:Infinite power tower.svg|thumb|<math>\lim_{n\to \infty} x^{\frac{n}{}}</math> Nieskończona wieża wykładnicza dla podstawy <math>(e^{-1})^e \leqslant x \leqslant e^{e^{-1}})</math>]]

'''Tetracja''' (znana też jako ''iterowane potęgowanie'', ''superpotęgowanie'', ''wieża wykładnicza'' lub ''hiper-4'') – [[działanie dwuargumentowe]] będące wielokrotnym [[potęgowanie]]m elementu przez siebie.

Słowo ''tetracja'' wymyślił angielski [[matematyk]] [[Reuben Goodstein|Reuben Louis Goodstein]] łącząc [[tetra-]] (cztery) i [[iteracja]]. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:
# [[dodawanie]]
#: <math>a + n = a+\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_n</math>
#:: <math>a</math> powiększone o <math>1</math> <math>n</math> razy.
# [[mnożenie]]
#: <math>a \cdot n = \underbrace{a + a + \ldots + a}_n</math>
#:: <math>a</math> dodane do siebie <math>n</math> razy.
# [[potęgowanie]]
#: <math>a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n</math>
#:: <math>a</math> pomnożone przez siebie <math>n</math> razy.
# '''tetracja'''
#: <math>^n a = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^a}}}}_n</math>
#:: <math>a</math> potęgowane przez siebie <math>n</math> razy.

gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.

W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ma uogólnienia wartości <math>n</math> na [[liczby wymierne]] (a tym bardziej na [[Liczby rzeczywiste|rzeczywiste]]).

{{Spis treści}}

== Definicja ==
Dla dowolnej dodatniej [[liczby rzeczywiste]]j <math>a > 0</math> i nieujemnej [[liczby całkowite]]j <math>n \geqslant 0</math> definiujemy <math>^n a</math> jako:
: <math>{^n a}=\begin{cases}
    1 & \mbox{ jeśli }n=0 \\
    a^{(^{n-1}a)} & \mbox{ jeśli }n> 0
\end{cases}</math>

== Iterowane potęgowanie ==
Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako „wieża potęgowania”, potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:
: <math>^4 2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65\,536.</math>

Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest [[łączność (matematyka)|łączne]], czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:
: <math>2^{2^{2^2}} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2} = 256.</math>

Z tego powodu wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).

== Przykłady ==
W poniższej tabeli większość wartości jest zbyt duża, by je zapisać w [[Notacja naukowa|notacji naukowej]], zastosowano więc iterowany zapis wykładniczy, aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.

: {| class="wikitable"
! <math>x</math>
! <math>^2 x</math>
! <math>^3 x</math>
! <math>^4 x</math>
|- align=right
| 1
| 1
| 1
| 1
|- align=right
| 2
| 4
| 16
| 65 536
|- align=right
| 3
| 27
| 7 625 597 484 987
| <math>\exp_{10}^3(1{,}09902)</math>
|- align=right
| 4
| 256
| <math>\exp_{10}^2(2{,}18788)</math>
| <math>\exp_{10}^3(2{,}18726)</math>
|- align=right
| 5
| 3125
| <math>\exp_{10}^2(3{,}33931)</math>
| <math>\exp_{10}^3(3{,}33928)</math>
|- align=right
| 6
| 46 656
| <math>\exp_{10}^2(4{,}55997)</math>
| <math>\exp_{10}^3(4{,}55997)</math>
|- align=right
| 7
| 823 543
| <math>\exp_{10}^2(5{,}84259)</math>
| <math>\exp_{10}^3(5{,}84259)</math>
|- align=right
| 8
| 16 777 216
| <math>\exp_{10}^2(7{,}18045)</math>
| <math>\exp_{10}^3(7{,}18045)</math>
|- align=right
| 9
| 387 420 489
| <math>\exp_{10}^2(8{,}56784)</math>
| <math>\exp_{10}^3(8{,}56784)</math>
|- align=right
| 10
| 10 000 000 000
| <math>\exp_{10}^3(1)</math>
| <math>\exp_{10}^4(1)</math>
|}

== Terminologia ==
Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem ''za'' i ''przeciw''.

* Termin '''tetracja''', wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji ''Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory''<ref>{{Cytuj pismo |autor = R.L. Goodstein |tytuł = Transfinite ordinals in recursive number theory |url = http://jstor.org/stable/2266486 |czasopismo = Journal of Symbolic Logic |wolumin = 12 |rok = 1947 |wydanie = 4 |doi = 10.2307/2266486 |strony = 123–129}}</ref> (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w [[twierdzenie Goodsteina|twierdzeniu Goodsteina]] do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy ''{{link-interwiki|Infinity and the Mind|Q=Q2716008}}''.
* Termin '''superpotęgowanie''' został opublikowany przez Bromera w ''Superexponentiation'' w 1987<ref>{{cytuj |autor = N. Bromer |tytuł = Superexponentiation |jstor=2689566 |czasopismo = Mathematics Magazine |wolumin = 60 |numer = 3 |data = 1987 |s = 169–174}}</ref>. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce ''Predicative Arithmetic'', [[Uniwersytet Princeton|Princeton University]] Press, 1986.
* Termin '''hiperpotęgowanie'''<ref>{{cytuj pismo |autor = J.F. MacDonnell |tytuł = Somecritical points of the hyperpower function <math>x^{x^\dots}</math> |czasopismo = International Journal of Mathematical Education |rok = 1989 |wolumin = 20 |wydanie = 2 |strony = 297–305 |id = {{MathSciNet|994348}} |url = http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm}}</ref> jest naturalnym złożeniem ''hiper'' i ''potęgowanie'', który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu ''hiper'' w odniesieniu do hierachii [[hiper operator]]ów. Rozważając hiper operatory, termin ''hiper'' odnosi się do wszystkich pozycji, a termin ''super'' odnosi się do pozycji 4 lub tetracji. Wobec tych rozważań ''hiperpotęgowanie'' jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
* Termin '''wieża wykładnicza'''<ref>{{MathWorld |adres=PowerTower |tytuł=Power Tower}}</ref> jest używany sporadycznie, w postaci „wieża wykładnicza rzędu <math>n</math>” dla <math>\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^a}}}}_n.</math>

Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminów przez nie używane, może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:

: {| class="wikitable"
! Forma
! Terminologia
|-
| <math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}}</math>
| Tetracja
|-
| <math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}</math>
| Iterowana funkcja wykładnicza
|-
| <math>a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}</math>
| Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże)
|-
| <math>a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}</math>
| Nieskończone potęgowanie (także wieże)
|}

W pierwszym wyrażeniu <math>a</math> jest '''podstawą''', a ilość pojawiania się <math>a</math> jest '''wysokością'''. W trzecim wyrażeniu, <math>n</math> jest '''wysokością''', lecz każda podstawa jest inna.

Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.

== Notacja ==
Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:
: {| class="wikitable"
! Nazwa
! Forma
! Opis
|-
| Zapis standardowy
| <math>{}^n a</math>
| Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował [[Rudy Rucker]] w książce ''{{link-interwiki|Infinity and the Mind|Q=Q2716008}}''.
|-
| [[Notacja strzałkowa]] Knutha
| <math>a {\uparrow\uparrow} n</math>
| Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek.
|-
| [[Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya]]
| <math>a \to n \to 2</math>
| Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek.
|-
| [[Funkcja Ackermanna]]
| <math>{}^n 2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3</math>
| Pozwala w szczególnym przypadku <math>a=2</math> na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna.
|-
| Iterowany zapis wykładniczy
| <math>{}^n a = \exp_a^n(1)</math>
| Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1.
|-
| Zapis Hooshmand<ref name="uxp">{{cytuj pismo |autor = M.H. Hooshmand |tytuł = Ultra power and ultra exponential functions |czasopismo = [[Integral Transforms and Special Functions]] |rok = 2006 |wolumin = 17 |wydanie = 8 |strony = 549–558 |doi = 10.1080/10652460500422247}}</ref>
| <math>\operatorname{uxp}_a n, \, a^{\frac{n}{}}</math>
|
|-
| Zapis [[hiper operator]]
| <math>a^{(4)}n, \, \operatorname{hyper}_4(a,n)</math>
| Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji.
|-
| Zapis [[ASCII]]
| <code>a^^n</code>
| Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek (<code>^</code>), operator tetracji może zostać zapisany jako (<code>^^</code>).
|}

Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:
: <math>\exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}</math> gdzie „<math>a</math>” występuje n razy.

Nie ma wielu zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:
: {| class="wikitable"
! Nazwa
! Forma
! Opis
|-
| Standardowy
| <math>\exp_a^n(x)</math>
| Euler stworzył zapis <math>\exp_a(x) = a^x,</math> a iteracyjny zapis <math>f^n(x)</math> istnieje równie długo.
|-
| Zapis strzałkowy Knutha
| <math>(a{\uparrow})^n(x)</math>
| Pozwala na superpotęgowanie i funkcje superwykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek.
|-
| Zapis Ioannis Galidakisa
| <math>{}^n(a, x)</math>
| Pozwala na duże wyrażenia w podstawie<ref>{{Cytuj stronę |url = http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/papers/Extensions.pdf |tytuł = On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals |nazwisko = Galidakis |imię = Ioannis |archiwum = https://web.archive.org/web/20110608235634/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/papers/Extensions.pdf |zarchiwizowano = 2011-06-08 |język = en |data dostępu = 2012-09-12}}</ref>.
|-
| ASCII (pomocnicze)
| <code>a^^n@x</code>
| W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest ''pomocniczą tetracją''.
|-
| ASCII (standard)
| {{nowrap|<code>exp_a^n(x)</code>}}
| Na podstawie standardowego zapisu.
|}

== Zobacz też ==
* [[Działanie dwuargumentowe]]
* [[Liczba Grahama]]
* [[Notacja strzałkowa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
{{commonscat|tetration}}
* [http://tetration.itgo.com/ Andrew Robbins’ site on tetration]
* [http://www.tetration.org/ Daniel Geisler’s site on tetration]
* [http://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php Tetration Forum]
* [http://en.citizendium.org/wiki/Tetration tetration at citizendium]
* [http://go.helms-net.de/math/tetdocs/ Gottfried Helms’ site on tetration]
* {{YouTube|Ea1_1aVfwl4|Why you didn't learn tetration in school}}

{{Funkcje elementarne}}

[[Kategoria:Potęgowanie]]