Tekst źródłowy strony Testwiki:Propozycje do List na Medal/Kryteria zbieżności szeregów

===[[Kryteria zbieżności szeregów]]===

{{Licznik czasu propozycji wyróżnienia|start=2017-07-22 18:50:57|dni=30
 |wynik = nie przyznano
}}

'''Uzasadnienie:''' Wcześniej hasło składało się z pozlepianych haseł dotyczących kryteriów zbieżności. Każde z kryteriów zasługuje jednak na własne hasło jako niezależne twierdzenie matematyczne (tak było do ok. 2005 roku kiedy zlepiono je do kupy). Wydzieliłem (zwykle pisząc na nowo) hasła o każdym z kryteriów, tutaj zostawiając jedynie wypowiedź i odnośnik do własciwego hasła a także przypisy do literatury w ramach możliwości. Lista ta ma szansę stać się najbardziej kompletną listą kryteriów w języku polskim - w przyszłości planuję dopisać jeszcze hasła o 3-4 mniej znanych kryteriach, których polskojęzyczna literatura nie zauważyła. Hasło niezmiernie ważne z punktu widzenia studentów kierunków technicznych; mam nadzieję, że w takiej formie będzie im bardziej pomocne. [[Wikipedysta:Loxley|Loxley]] ([[Dyskusja wikipedysty:Loxley|dyskusja]]) 18:50, 22 lip 2017 (CEST)
* '''Głosy za:'''
<!-- (wpisz cztery tyldy po haszu (#)): -->
# [[Wikipedysta:Kicior99|<span style="color: 	#008080">''kićor''</span>]] [[Dyskusja Wikipedysty:Kicior99|<sub><span style="color: #008080">''Dajesz!''</span></sub>]] 20:08, 22 lip 2017 (CEST) Na tyle na ile zrozumiałem. Nie podoba mi się zwrot "wersja graniczna" ale rozumiem, że matematyka też musi mieć swój żargon. Jestem również zwolennikiem tezy, że dowód nie potrzebuje źródeł :) 
# [[Wikipedysta:Neonek12|Neonek12]] ([[Dyskusja wikipedysty:Neonek12|dyskusja]]) 21:27, 22 lip 2017 (CEST) Choć niewiele zrozumiałem, to nie mój poziom jeszcze :( [[Wikipedysta:Neonek12|Neonek12]] ([[Dyskusja wikipedysty:Neonek12|dyskusja]]) 21:27, 22 lip 2017 (CEST)
# [[Wikipedysta:Anagram16|Anagram16]] ([[Dyskusja wikipedysty:Anagram16|dyskusja]]) 23:47, 22 lip 2017 (CEST) Głosuję za, niczego oczywiście nie rozumiejąc z treści artykułów, po to, żeby podkreślić potrzebę poszerzania tematyki matematycznej i w ogóle ścisłej w Wikipedii. Przy okazji pytanie, czy omawianą zbieżność można przedstawić w postaci jakiegoś wykresu?
# '''[[Wikipedysta:Szoltys|Szoltys]] <small>[[Dyskusja Wikipedysty:Szoltys|[Re: ]]]</small>''' 00:02, 23 lip 2017 (CEST) Teraz z czystym sumieniem {{za}}.
*'''Głosy przeciw:'''
<!-- (wpisz cztery tyldy po haszu (#)): -->
#[[Wikipedysta:Sinousty|Sinousty]] ([[Dyskusja wikipedysty:Sinousty|dyskusja]]) 01:52, 19 sie 2017 (CEST)
::Jestem trochę przeciw.
::Od dawna uważałem, że to hasło jest zbieraniną twierdzeń, które należało porozdzielać do osobnych artykułów szczegółowych. Kiedy {{ping|Loxley}} zaczął to robić (chwała mu za to), sądziłem, że zmierza to w kierunku zintegrowania tego hasła z hasłem [[szereg (matematyka)]] jako (pod)sekcja uzupełniająca sekcję [[szereg (matematyka)#Zbieżność i rozbieżność| Zbieżność i rozbieżność]], oczywiście po uprzednim radykalnym zredukowaniu tematu do krótkich, króciuteńkich wzmianek. W skrajnym postaci mogłoby to nawet tak wyglądać:
::::Do badania zbieżności i rozbieżności szeregów służą m.in. następujące  kryteria:
::::{|
|style="width: 50%; vertical-align: top"| 
*[[Kryterium porównawcze]],
*[[Kryterium d’Alemberta]],
*[[Kryterium Cauchy’ego]],
*[[Kryterium Raabego]],
*[[Kryterium Schlömilcha]],
|style="width: 50%; vertical-align: top"| 
*[[Kryterium Kummera]],
*[[Kryterium Gaussa]],
*[[Kryterium całkowe]],
*[[Kryterium Jermakowa]],
*[[Kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu]],
*[[Kryterium Schlömilcha o zagęszczaniu]],
|}

::Teraz widzę, że zmierza to w kierunku hasła niewiele mniejszego od hasła sprzed przeróbek a sformułowania wszystkich twierdzeń-kryteriów są <u>niepotrzebnie dublowane</u>. 
::Drugim powodem, dla którego jestem trochę przeciw, jest moje wrażenie, że nazywanie tego artykułu listą wydaje trochę naciągane. A uważam tak, bo obejrzałem w Wikipedii kilka list na medal i stwierdziłem, że temu artykułowi czegoś brakuje pod względem redakcyjnym.
::Gdyby przerobić go w sposób opisany przeze mnie w dyskusji poniżej, to nie byłbym ''trochę przeciw'' ale ''bardzo za''.
::: Zgadzam się i chciałbym wycofać hasło z głosowania. Nie będę już jednak nic przy nim robił. [[Wikipedysta:Loxley|Loxley]] ([[Dyskusja wikipedysty:Loxley|dyskusja]]) 11:17, 19 sie 2017 (CEST)
# Również jestem przeciw. Nie zostały wprowadzone proponowane przeze mnie ważne zmiany - nadal nie tylko pojedyncze zdania, ale i całe sekcje pozostają bez źródeł. Autor [https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Propozycje_do_List_na_medal/Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_szereg%C3%B3w&diff=50148824&oldid=50147268 wyraźnie stwierdził], że tego artykułu już nie będzie poprawiał.<big>'''[[Wikipedysta:Mariusz Swornóg|<span style="font-family:Monotype Corsiva;">Mariusz Swornóg</span>]]'''</big> <small>([[Dyskusja wikipedysty:Mariusz Swornóg|dyskusja]] • [[Special:Contributions/Mariusz Swornóg|edycje]])</small> 10:58, 21 sie 2017 (CEST)
 
*'''Dyskusja:'''
: Wygląda bardzo ładnie. Niektóre sekcje nie mają jednak przypisów, co należałoby uzupełnić. Czy w sekcji o kryterium całkowym jest konieczne to (I)? Psuje to trochę wygląd i powoduje, że przypis pojawia się w kolejnej linii. '''[[Wikipedysta:Szoltys|Szoltys]] <small>[[Dyskusja Wikipedysty:Szoltys|[Re: ]]]</small>''' 19:14, 22 lip 2017 (CEST)
:: Dzięki! Oczywiście (I) pochodzi z włąściwego hasła i tu jest zbędne - usnąłem. Co do przypisów będę sukcesywnie dodawał chociaż wydaje mi się, że powinny być w samych hasłach, a tutaj chyba są opcjonalne? (Teraz już chyba do każdego jest przypis?) [[Wikipedysta:Loxley|Loxley]] ([[Dyskusja wikipedysty:Loxley|dyskusja]]) 19:24, 22 lip 2017 (CEST)
: W przypisach figuruje „Kuratowski 1961”, lecz nie ma go w bibliografii i link odsyła donikąd. Resztę podłączyłem.  [[Wikipedysta:Paweł Ziemian|Paweł Ziemian]] ([[Dyskusja wikipedysty:Paweł Ziemian|dyskusja]]) 22:53, 22 lip 2017 (CEST)
:: Dzięki, poprawione! [[Wikipedysta:Loxley|Loxley]] ([[Dyskusja wikipedysty:Loxley|dyskusja]]) 14:38, 23 lip 2017 (CEST)
: Dopisałem [[kryterium Bertranda]]. [[Wikipedysta:Loxley|Loxley]] ([[Dyskusja wikipedysty:Loxley|dyskusja]]) 23:47, 23 lip 2017 (CEST)

Artykuł napisany jest solidnie. Bardzo przyda się studentom matematyki i kierunków technicznych. Dokonałem kilku poprawek w artykule:
* przepisałem różne wzory i oznaczenia matematyczne do języka TeX, żeby cały artykuł wyglądał spójnie;
* przypisy przestawiłem tak, by nie znajdowały się po kropkach kończących zdanie;
* poprawiłem kilka literówek.
Mam kilka uwag:
* w sekcji ''zbieżność bezwzględna'' w dowodzie jest błąd. Nie przyglądałem się temu dowodowi zbyt szczególnie, ale podejrzewam, że zamiast <math>\sum_{i=n}^{n+k} |a_i|<\varepsilon</math> powinno być <math>\sum_{i=n_0}^{n_0+k} |a_i|<\varepsilon</math>, albo zamiast tego powinno pojawić się założenie, że <math>n\geq n_0</math>. W obecnej formie dowodu zmienna/stała <math>n</math> nie jest nigdzie zdefiniowana, z kolei <math>n_0</math> nie ma nigdzie zastosowania.
* w sekcji ''kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu'' - może warto zastąpić <math>p</math> inną literą, nie kojarzącą się z liczbami pierwszymi?
* Użyta literatura jest wspaniała. Tym bardziej boli, że niektóre sekcje nie mają przypisów. Uważam, że byłoby bardzo dobrze, gdyby uzupełnione zostały przypisy w:
** warunek konieczny >> przykłady
** zbieżność bezwzględna ('''koniecznie!''' Wiele zdań w tej sekcji koniecznie wymaga źródeł!)
** kryterium Bertranda >> wersja graniczna
** kryterium Leibniza (koniecznie!)
** kryterium Dirichleta (koniecznie!)
** szeregi funkcyjne (w tym wstępie, gdzie je definiujesz te szeregi, przydałoby się jakieś źródło do tych faktów o zbieżności punktowej i jednostajnej)
* w sekcji ''szeregi funkcyjne'' - może zamiast zbioru <math>A</math>, użyć innej litery? Litera "A" u nas już jest oznaczeniem szeregu <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>. Taka zbieżność oznaczeń może być myląca dla niezorientowanego czytelnika. Szczególnie rzucało mi się to w oczy, gdy napisałeś "A" poza środowiskiem TeXowskim. Ale nawet po poprawie na język TeX i tak nadal sugeruję zmianę oznaczenia na inną literę.
* w sekcji ''szeregi funkcyjne'' mam obiekcje co do czytelności definicji. Wydaje mi się, że lepiej byłoby napisać: ''niech <math>(f_n)</math> będzie ciągiem funkcji <math>f_n\colon A \to \mathbb{R} \ \ (n\in\mathbb{N})</math>''. Osoba mająca odrobinę do czynienia z matematyką zrozumie Twoją definicję, ale jakiś laik/zagubiony student może się pogubić w definicji jaką zaproponowałeś. Twoja definicja jest jakby tego typu: ''niech <math>n \ (n\in\mathbb{N})</math> będzie ciągiem liczb naturalnych''. Powoduje to pewien dysonans u czytelnika, który początkowo myśli, ze <math>n</math> jest liczbą naturalną. Podobny dysonans moim zdaniem powoduje Twoja definicja, w której najpierw definiujesz funkcje, a potem mówisz, że ta funkcja <math>f_n</math> jest ciągiem. Oczywiście w pełni rozumiem co masz na myśli, ale obawiam się, że niewprawiony czytelnik może poczuć się zagubiony przy tak nieściśle postawionej definicji i zrozumieć, że ta funkcja jest ciągiem, a nie, że jest to ciąg takich funkcji.
Ogólnie artykuł napisany jest moim zdaniem bardzo solidnie. Po poprawie wskazanego przeze mnie błędu w dowodzie i dodaniu przynajmniej „koniecznych” przypisów, będę gotów zagłosować za. :)<big>'''[[Wikipedysta:Mariusz Swornóg|<span style="font-family:Monotype Corsiva;">Mariusz Swornóg</span>]]'''</big> <small>([[Dyskusja wikipedysty:Mariusz Swornóg|dyskusja]] • [[Special:Contributions/Mariusz Swornóg|edycje]])</small> 23:56, 8 sie 2017 (CEST)
: Poprawiłem merytorycznie ten dowód, o którym wspomniałem. {{ping|Loxley}}, sprawdź, czy wg Ciebie jest teraz ok. Mam jeszcze jedną uwagę-spostrzeżenie. W wielu miejscach brakuje mi zdefiniowania przy danej zmiennej, czy mówimy o liczbach naturalnych/całkowitych/rzeczywistych... Oczywiście stosujesz w większości przypadków w tym artykule typowe oznaczenia, np. <math>n</math>, <math>k</math>, na liczby naturalne, <math>x</math>, <math>\varepsilon</math> na liczby rzeczywiste. Ale jednak pamiętajmy, do kogo kierujemy ten artykuł. Będą z niego korzystać masowo głównie początkujący studenci. I dla początkujących studentów moim zdaniem warto pisać (nawet kosztem wrażeń estetycznych) za każdym razem o jakiego typu liczbie mówimy. Np. zamiast ''...dla każdej liczby <math>\varepsilon>0</math> istnieje taka liczba <math>n_0</math>, że dla dowolnego <math>n \geq n_0</math> i dla dowolnego <math>k</math>...'' ja bym dla początkującego studenta napisał: ''...dla każdej liczby rzeczywistej <math>\varepsilon>0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>n_0</math>, że dla dowolnej liczby naturalnej <math>n</math> takiej, że <math>n \geq n_0</math> i dla dowolnego <math>k</math> naturalnego...''. Cóż, jest więcej tekstu, więcej mało potrzebnych szczegółów, gorsza estetyka, no ale jednak chyba rozwieją się wątpliwości niedoświadczonego studenta, albo licealisty. Co o tym sądzisz/sądzicie?<big>'''[[Wikipedysta:Mariusz Swornóg|<span style="font-family:Monotype Corsiva;">Mariusz Swornóg</span>]]'''</big> <small>([[Dyskusja wikipedysty:Mariusz Swornóg|dyskusja]] • [[Special:Contributions/Mariusz Swornóg|edycje]])</small> 00:15, 9 sie 2017 (CEST)

{{ping|Mariusz Swornóg}}, z całym szacunkiem, produkujesz takie ilości tekstu, że odniesienie się do tego co piszesz jest prawie niemożliwe. W dyskusjach ze mną możesz zawsze darować sobie kurtuazję polegającą na chwaląniu interlokutora w pierwszym zdaniu - wówczas przesłanie będzie nieco bardziej przejrzyste. (Uszczuplenie podpisu też wyszłoby wszystkim na zdrowie.) Zrobiłem kilka kosmetycznych poprawek w haśle o które prosiłeś. Co do rozpisywania wszystkiego co gdzie należy jestem raczej na nie. Istnieją pewne konwencje, które wprowadzono po to by żyło się łatwiej. Gdyby podchodzić w taki sposób do sprawy, z haseł fizycznych należałoby wyrugować konwencję sumacyjną Einsteina. Pozdrawiam, [[Wikipedysta:Loxley|Loxley]] ([[Dyskusja wikipedysty:Loxley|dyskusja]]) 13:31, 12 sie 2017 (CEST)
:Myślę, że stosowane konwencje zależą od tego, do kogo kierujemy tekst. A odbiorcą tego tekstu będą głównie studenci I/II roku studiów technicznych/matematycznych, którzy nie muszą znać tych konwencji. I dla nich bardziej czytelny byłby tekst ze wskazaniem, o jakich liczbach mowa.<big>'''[[Wikipedysta:Mariusz Swornóg|<span style="font-family:Monotype Corsiva;">Mariusz Swornóg</span>]]'''</big> <small>([[Dyskusja wikipedysty:Mariusz Swornóg|dyskusja]] • [[Special:Contributions/Mariusz Swornóg|edycje]])</small> 13:41, 12 sie 2017 (CEST)
:: Nie potrafię uwierzyć by ktoś chciał podstawić za ''k'' liczbę <math>-\sqrt{5}</math>; takie dylematy mogą się pojawiać we wczesnych klasach gimnazjum, a nie na studiach technicznych. [[Wikipedysta:Loxley|Loxley]] ([[Dyskusja wikipedysty:Loxley|dyskusja]]) 13:46, 12 sie 2017 (CEST)

{{ping|Loxley}}, proponuję maksymalnie, jak tylko się da, stabelaryzować treści zawarte w tym artykule. 
Układ tabelaryczny: 
*merytorycznie w niczym nie ustępuje wersji tekstowej, 
*uwalnia Czytelnika od żmudnego przedzierania się przez mało przyjazny tekst matematyczny 
*jest graficznie dużo ciekawszy, 
*daje Czytelnikowi poczucie (być może złudne, ale dobre i to) panowania nad przestrzenią pojęć i własności
To jest tylko szkic, ale myślę, że powinno to pójść w tym kierunku:
{| class="wikitable" style="text-align:left"
! Kryterium
! badane wyrażenie
! warunek na zbieżność
! warunek na rozbieżność
! warunek, przy którym</br> kryterium zawodzi
|-
|rowspan=2 | [[Kryterium d'Alemberta|d’Alamberta]]
|<math>D_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}</math>
| <math> D_n \leqslant r</math> </br> <small>dla dostatecznie dużych ''n'' i pewnego ''r''<1 </small>
| <math> D_n > 1</math>  </br><small>dla dostatecznie dużych <math>n</math> </small>
| <math>\limsup_{n \to \infty} D_n = 1.</math>
|-
|<math>D=\lim_{n\to\infty} D_n  </math>
| <math>D<1</math>
| <math>D>1</math>
| <math>D = 1</math>
|-
| rowspan=2 |  [[Kryterium Cauchy'ego|Cauchy’ego]]
| <math>C_n=\sqrt[n]{a_n}</math>
| <math>\limsup_{n\to \infty}C_n<1</math> 
| <math>\liminf_{n\to \infty}C_n>1</math>
| <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} =1 </math>. 
|-
| <math>C=\lim_{n\to\infty}C_n</math>
| <math>C<1</math>
| <math>C>1</math>
| <math>C =1 </math>. 
|-
| rowspan=2 | [[Kryterium Raabego|Raabego]]
| <math>R_n = n\cdot \Big(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \Big)</math>
| <math> R_n \geqslant r</math>   </br> <small>dla dostatecznie dużych ''n'' i pewnego ''r'' > 1 </small> <ref group="mini">Warunek ten można zwięźle zapisać: <math>\limsup_{n\to \infty} R_n > 1</math></ref>
| <math> R_n \leqslant 1</math> </br><small>dla dostatecznie dużych ''n'' </small>
| <math> R_n > 1</math>   </br><small>dla dostatecznie dużych ''n''  </small>
|-
| <math>R=\lim_{n\to\infty}  R_n</math>
| <math> R>1</math>  
| <math> R<1</math>
| <math> R=1</math>   
|-
| [[Kryterium Schlömilcha|Schlömilcha]]
| <math>S_n = n\cdot \ln \frac{a_n}{a_{n+1}}</math>
| <math>\liminf_{n\to \infty} S_n >1</math> 
|  <math>S_n\le 1 </math> </br> <small>dla dostatecznie dużych ''n''  </small>
|
|-
| rowspan=2 | [[Kryterium Kummera|Kummera]]
| <math>K_n = c_n\cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}</math> </br> gdzie <math>\scriptstyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{c_n} = \infty</math>
| <math> K_n \geqslant r</math>  </br> <small>dla dostatecznie dużych <math>n</math> i pewnego <math>r>0</math> </small>
| <math> K_n \leqslant 0</math>  </br> <small>dla dostatecznie dużych <math>n</math> </small>
|
|-
| <math>K = \lim_{n\to \infty} K_n</math> 
|
| 
|
|-
| rowspan=2 | [[Kryterium Bertranda|Bertranda]]
| <math>B_n = \ln n\bigg(n\cdot\Big(\frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \Big) -1 \bigg)</math>
| <math>\liminf_{n\to \infty} B_n > 1</math>
| <math>\limsup_{n\to \infty} B_n < 1</math>
| <math>\lim_{n\to \infty} B_n = 1</math>
|-
| <math>B = \lim_{n\to \infty} B_n</math> 
|
| 
|
|}  
{{Uwagi|=mini}} 

{| class="wikitable" style="text-align:left"
! Kryterium
! założenie
! warunek na </br>zbieżność A
! warunek na </br>rozbieżność A
! warunek na </br>zbieżność B
! warunek na </br>rozbieżność B
|-
| [[Kryterium porównawcze|porównawcze]]
| <math>a_n\leqslant b_n</math> </br> <small>dla dostatecznie dużych ''n'' </small>
| rowspan=2| zbieżność B
| rowspan=2|
| rowspan=2|
| rowspan=2|rozbieżność A
|-
| [[Kryterium porównawcze|porównawcze]] </br> ułamkowe
| <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant \frac{b_{n+1}}{b_n}</math> </br> <small>  dla dostatecznie dużych ''n'' </small>
|-
| rowspan=2 | [[Kryterium porównawcze|porównawcze]] </br> graniczne
| <math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}<\infty</math> 
| zbieżność B
|
|
| rozbieżność A
|-
| <math>0< \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}</math> <ref group="mini">jeśli <math>0< \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}<\infty</math>, to zbieżność (rozbieżność) szeregu A jest równoważna zbieżności (rozbieżności) szeregu B</ref>
|
| rozbieżność B
| zbieżność A
|
|}
{{Uwagi|=mini}}

pozdrawiam [[Wikipedysta:Sinousty|Sinousty]] ([[Dyskusja wikipedysty:Sinousty|dyskusja]]) 01:57, 19 sie 2017 (CEST)

Kryterium Cauchy'ego można rozszerzyć, a dokładnie część z rozbieżnością, na granicę górną zamiast dolnej. Tak jest na przykład w książce Sierpińskiego "Działania Nieskończone". [[Wikipedysta:Adam1234567891011|Adam1234567891011]] ([[Dyskusja wikipedysty:Adam1234567891011|dyskusja]]) 15:50, 22 lis 2017 (CET)