Tekst źródłowy strony Test Shapiro-Wilka

'''Test Shapiro–Wilka''' – standardowy [[test statystyczny]], wykorzystywany do testowania normalności danych. Został opublikowany w 1965 roku przez [[Samuel Sanford Shapiro|Samuela Shapiro]] i [[Martin Wilk|Martina Wilka]].
{{Spis treści||150px}}

== Teoria ==
Załóżmy, że pobraliśmy próbę <math>x_1, \dots, x_n</math> i chcemy sprawdzić czy pochodzi z [[Rozkład normalny|rozkładu normalnego]]. [[Weryfikacja hipotez statystycznych|Hipoteza zerowa]] i alternatywna w teście '''Shapiro–Wilka''' ma następującą postać:
: <math>H_0{:}</math> Próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym
: <math>H_1{:}</math> Próba nie pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym.
W celu przeprowadzenia testu wykorzystuje się statystykę <math>W{:}</math>
* Uporządkuj obserwacje niemalejąco: <math>y_1 \leqslant y_2 \leqslant \ldots \leqslant y_n</math>
* Oblicz: <math>\mathit{SSE} = \sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2</math>
* Jeżeli <math>n</math> jest parzyste, niech <math>m = \frac{n}{ 2},</math> w przeciwnym razie <math>m = \frac{n-1}{ 2}</math>
* Używając stabelaryzowanych wartości <math>a_i</math> oblicz <math>b = \sum_{i=1}^m a_i(y_{n+1-i}-y_i)</math>
* Oblicz statystykę <math>W = \frac{b^2}{\mathit{SSE}}</math>
* Porównaj wynik ze stabelaryzowanymi wartościami dla odpowiednich poziomów ufności i liczebności próby.

== Przykład ==
W celu zilustrowania procesu, załóżmy, że mamy następujące obserwacje:
: <math>x_1 = 6, x_2=1, x_3= -4, x_4=8, x_5= -2, x_6=5, x_7=0.</math>
* Sortując otrzymujemy: <math>y_1 = -4, y_2= -2, y_3=0, y_4=1,y_5=5, y_6=6, y_7=8.</math>
* Obliczając <math>\mathit{SSE} = \sum_{i=1}^7 (y_i-\bar{y})^2 = 118</math>
* Dla wartości <math>n=7</math> z odpowiednich tabel otrzymujemy kolejne wartości: <math>a_7 = 0{,}6233, a_6 = 0{,}3031, a_5 = 0{,}1401, a_4 = 0{,}0000</math> oraz wartość <math>b=0{,}6233(8+4)+0{,}3031(6+2)+0{,}1401(5-0)=10{,}6049</math>
* Wartość statystyki <math>W = \frac{10{,}6049^2}{118}=0{,}9530</math>

Wartość teoretycznej statystyki <math>W</math> na poziomie istotności <math>5\%</math> i <math>n=7</math> wynosi <math>0{,}803.</math> Ponieważ ta wartość jest mniejsza niż otrzymana z testu, nie mamy powodu odrzucić hipotezy, że próba pochodzi z rozkładu normalnego.

== Porównanie z innymi testami ==
Analiza porównawcza przy użyciu metod Monte Carlo pokazała, że test Shapiro–Wilka ma największą moc spośród testów badających normalność: [[Test Andersona-Darlinga|testu Andersona–Darlinga]], [[Test Kołmogorowa-Smirnowa|testu Kołmogorowa–Smirnowa]] czy [[Test Lillieforsa|testu Lillieforsa]]<ref>{{Cytuj |autor = Nornadiah Mohd Razali, Yap Bee Wah |tytuł = Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests |czasopismo = Journal of Statistical Modeling and Analytics |data = 2011 |wolumin = Vol. 2 No. 1 |s = 21–33 |url = https://www.nbi.dk/~petersen/Teaching/Stat2017/Power_Comparisons_of_Shapiro-Wilk_Kolmogorov-Smirn.pdf}}</ref>.

== Modyfikacja testu ==
Oryginalnie zaproponowane podejście ograniczało się do próbek poniżej 50 obserwacji. Royston w 1995 roku zaproponował [[algorytm]] AS R181, który mógł być wykorzystany w zakresie <math>3 \leqslant n \leqslant 5000.</math>

== Zobacz też ==
* [[test Andersona-Darlinga]]
* [[test Jarque-Bera]]
* [[test Kołmogorowa-Smirnowa]]
* [[test Lillieforsa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* S.S. Shapiro, M.B. Wilk., ''An Analysis of Variance Test for Normality'', Biometrika, Vol. 52, No. 3/4. (Dec., 1965), s. 591–611
* Nornadiah Mohd Razali, Yap Bee Wah, ''Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests'', Journal of Statistical Modeling and Analytics, Vol. 2 No. 1, 21–33, 2011

== Linki zewnętrzne ==
* [http://www.real-statistics.com/statistics-tables/shapiro-wilk-table/ Tabele wartości dla testu Shapiro–Wilka] {{lang|en}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Testy normalności rozkładu|Shapiro-Wilka]]
[[Kategoria:Statystyka nieparametryczna]]
[[Kategoria:Miary podobieństwa dwóch rozkładów]]