Tekst źródłowy strony Teoria punktów stałych

{{dopracować|źródła=2010-11}}
{{Grafika rozwinięta

| całkowita szerokość = 200
| liczba kolumn = 2

| grafika1 = Bohr Brouwer Zurich1932.tif
| grafika2 = Stefana Banach - ستيفان بناخ.jpg
| grafika3 = Bronislaw Knaster.jpeg
| grafika4 = SchauderJuliusz Moscow1935.tif
| grafika5 = AlfredTarski1968 (cropped).jpeg
| grafika6 = Ernst Witt.jpeg

| opis = Autorzy [[Twierdzenie o punkcie stałym|twierdzeń o punktach stałych]] – w kolejnych wierszach:
[[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L.E.J. Brouwer]] (1881–1966)<br />
[[Stefan Banach]] (1892–1945)<br />
[[Bronisław Knaster]] (1893–1980)<br />
[[Juliusz Schauder]] (1899–1943)<br />
[[Alfred Tarski]] (1901–1983)<br />
[[Ernst Witt]] (1911–1991)
}}
'''Teoria punktów stałych''' – dział [[matematyka|matematyki]] zajmujący się [[Równanie|równaniami]] postaci ''f''(''x'')=''x'', gdzie ''f'' jest pewną [[Funkcja|funkcją]]. Podstawowe zagadnienie tej teorii to pytanie, przy jakich założeniach o [[zbiór|zbiorze]] ''X'' i o funkcji <math>f\colon X\to X</math> powyższe równanie ma rozwiązanie, zwane [[Punkt stały|punktem stałym]]. Bada się też własności zbiorów jego rozwiązań. 

Problem ten ma wiele wariantów, gdyż:
* rozważana dziedzina może mieć najróżniejsze [[Struktura matematyczna|struktury]] – może to być np. [[przestrzeń topologiczna]], [[przestrzeń metryczna|metryczna]] lub [[Częściowy porządek|zbiór uporządkowany]];
* rozważana funkcja może mieć najróżniejsze własności – może być [[Funkcja ciągła|ciągła]], [[Kontrakcja (matematyka)|zwężająca]] lub [[Funkcja monotoniczna|monotoniczna]];
* funkcja ''f'' może działać z pewnego podzbioru w całą przestrzeń; zob. np. [[alternatywa Leraya-Schaudera]] dla [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]].

Przez to teoria punktów stałych przenika się z innymi dyscyplinami jak [[Analiza matematyczna|analiza]], [[topologia]] czy [[teoria porządku]].

Udowodniono szereg [[Twierdzenie o punkcie stałym|twierdzeń o punkcie stałym]] – o istnieniu takich argumentów dla pewnych funkcji. Pierwsze z nich ogłoszono najpóźniej na początku XX wieku; przykładowo z 1910 roku pochodzi  [[Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym|twierdzenie Brouwera]]<ref>L.E.J. Brouwer, ''Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich'', „Math. Ann.”, '''69''' (1910), s. 176–180.</ref>. Podano też twierdzenia mówiące, że to zbiór ma [[własność punktu stałego]] w sensie topologii; przykład to [[twierdzenie Schaudera-Tichonowa]]. W latach 20. XXI wieku istnieje osobne czasopismo poświęcone takim zagadnieniom<ref>[https://www.springer.com/journal/11784 Journal of Fixed Point Theory and Applications], springer.com [dostęp 2023-08-25].</ref>.

== Miejsce wśród innych dyscyplin ==
Teoria punktów stałych nie jest osobną kategorią w spisie [[MSC 2000|MSC 2020]], jednak są w nim działy zawierające w nazwie punkty stałe, m.in. w sekcjach:
* 32: ''Several complex variables and analytic spaces'',
** 32H: ''Holomorphic mappings and correspondences'',
* 37: ''Dynamical systems and ergodic theory'',
** 37C: ''Smooth dynamical systems: general theory'',
** 37J: ''Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems'',
* 47: ''Operator theory'',
* 54: ''General topology'',
* 55: '' Algebraic topology'',
** 55M: ''Classical topics in algebraic topology'',
* 58: ''Global analysis, analysis on manifolds''<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html?t=&s=fixed+point&btn=Search&ls=s 2020 Mathematics Subject Classification]'' {{lang|en}}, mathscinet.ams.org [dostęp 2023-08-25].</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Literatura ==
* [[Andrzej Granas]], James Dugundji, ''[https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-387-21593-8 Fixed Point Theory]'', Springer-Verlag, New York 2003, {{ISBN|0-387-00173-5}}.
* Ravi P. Agarwal, Maria Meehan, Donal O'Regan, ''[https://www.cambridge.org/core/books/fixed-point-theory-and-applications/AEE5787C4DA3319318B82EC6F82DF53F Fixed Point Theory and Applications]'', [[Cambridge University Press]], 2009, {{ISBN|978-051154300-5}}.

{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria punktów stałych| ]]