Tekst źródłowy strony Teoria mnogości

[[Plik:Venn A intersect B.svg|mały|[[Diagram Venna]] ilustrujący [[część wspólna|część wspólną]] dwóch [[zbiór|zbiorów]]]]
[[Plik:Diagonal argument.svg|mały|Zbiór wszystkich [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest [[Moc zbioru|równoliczny]] ze zbiorem wszystkich [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]]]]

'''Teoria mnogości''', '''teoria zbiorów'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3942402 | tytuł = mnogości teoria | data dostępu = 2022-10-04 }}</ref> – dział [[Matematyka|matematyki]] zaliczany do jej [[Podstawy matematyki|działów podstawowych]] (fundamentalnych); bada on [[Zbiór|zbiory]], zwłaszcza te [[Nieskończoność|nieskończone]], a także ich uogólnienia jak [[Klasa (matematyka)|klasy]].

Zbiory były rozważane przez ludzi od czasów niepamiętnych, a o nieskończoności zaczęto pisać najpóźniej w [[Starożytna Grecja|starożytnej Grecji]]. Mimo to za początki tej teorii uznaje się koniec XIX wieku, kiedy niemiecki matematyk [[Georg Cantor]] zapoczątkował systematyczne badania zbiorów nieskończonych, definiując je i klasyfikując. Początkowo wzbudzało to kontrowersje; do krytyków Cantora należeli między innymi [[Leopold Kronecker]] i [[Henri Poincaré]]{{fakt|data=2023-02}}. Mimo to inni uczeni uznali te rozważania za doniosłe; przykładowo [[David Hilbert]] umieścił jedno z zagadnień teorii mnogości na początku swojej listy [[Problemy Hilberta|23 największych problemów]] stojących przed matematyką XX-wieczną. Po odkryciu [[paradoks]]ów tzw. [[Naiwna teoria mnogości|naiwnej teorii mnogości]] udało się sformułować teorię zbiorów jako [[Teoria (logika)|teorię aksjomatyczną]]; jej standardową wersją jest [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyka ZF]] uwieńczona w latach 30. XX wieku. Stała się ona podstawą innych działów matematyki, ponieważ do pojęcia zbioru zredukowano inne szeroko używane obiekty jak [[Liczba|liczby]], [[Funkcja|funkcje]] oraz inne [[Relacja (matematyka)|relacje]]; teoria mnogości stała się tak źródłem [[model]]i różnych teorii formalnych. W kolejnych dekadach pojawiły się:
* autonomiczne subdyscypliny jak [[opisowa teoria mnogości]];
* równoważne sformułowania pewnych założeń, zwłaszcza [[Aksjomat wyboru|pewnika wyboru]];
* wyniki badań [[Metamatematyka|metamatematycznych]] nad teorią mnogości, np. niezależność niektórych postulatów od aksjomatyki ZF lub jej rozszerzeń.

W latach 20. XXI wieku teoria mnogości dalej jest rozwijana, np. prowadzone są [[Seminarium (zajęcia)|seminaria]] na jej temat<ref>{{otwarty dostęp}} [https://matematyka.ujk.edu.pl/?p=1723 Jubileusz 10 lat działalności Seminarium z Teorii Mnogości i Topologii], matematyka.ujk.edu.pl, 19 lutego 2021 [dostęp 2023-02-15].</ref>.

Nauka ta bywa uznawana za część [[Logika matematyczna|logiki matematycznej]]; przykładowo wśród laureatów [[Nagroda Schocka|Nagrody Rolfa Schocka]] w dziedzinie filozofii i logiki znalazł się [[Saharon Szelach]] badający głównie zbiory i ich [[Moc zbioru|moce]].

== Rys historyczny ==
{{Grafika rozwinięta

| całkowita szerokość = 200
| liczba kolumn = 2

| grafika1 = BBolzano.jpg
| grafika2 = Georg Cantor2.jpg
| grafika3 = Ernst Zermelo.jpeg
| grafika4 = ThoralfSkolem-OB.F06426c.jpg
| grafika5 = Adolf Abraham Halevi Fraenkel.jpg
| grafika6 = JohnvonNeumann-LosAlamos.jpg

| opis = Pionierzy teorii mnogości – w kolejnych wierszach:<br />
[[Bernard Bolzano]] (XVIII–XIX w.),<br />
[[Georg Cantor]] (XIX–XX w.),<br />
[[Ernst Zermelo]] (XIX–XX w.),<br />
[[Thoralf Skolem]] (XIX–XX w.),<br />
[[Abraham Fraenkel]] (XIX–XX w.),<br />
[[John von Neumann]] (XX w.).
}}
Już matematycy [[Starożytna Grecja|starożytnej Grecji]] byli zaintrygowani [[Nieskończoność|nieskończonością]] i pozornymi paradoksami spowodowanymi przez używanie pojęcia nieskończoności w rozumowaniach logicznych – ''pozornymi'', ponieważ z biegiem czasu paradoksy te zostały wyjaśnione i, po należytym uściśleniu używanych pojęć, wyeliminowane.

W 1638 roku [[Galileusz]]<ref>Galileo Galilei, ''Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze'', 1638.</ref> zauważył, że [[liczby naturalne]] i kwadraty liczb naturalnych można powiązać przez [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczną]] odpowiedniość <math>n\leftrightarrow n^2.</math> Ponieważ zbiór kwadratów liczb naturalnych jest właściwym [[podzbiór|podzbiorem]] zbioru liczb naturalnych (co więcej, o [[Dopełnienie zbioru|dopełnieniu]] nieskończonym), Galileusz uznał, że jest to paradoks wskazujący, iż pojęć typu ''większy/mniejszy'' nie można stosować w odniesieniu do zbiorów nieskończonych.

W pierwszej połowie XIX wieku [[Bernard Bolzano]] rozważał zbiory nieskończone, sugerując przez pewne przykłady, że zbiory nieskończone to takie, dla których istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorem a jego właściwym podzbiorem.

W 1874 roku [[Georg Cantor]] opublikował [[publikacja naukowa|pracę]], która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. [[Leopold Kronecker|Leopolda Kroneckera]]), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora, z roku 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia [[moc zbioru|mocy]] (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory ''A'' i ''B'' są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy ''A'' wszystkim elementom ''B'' w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór liczb naturalnych <math>\mathbb N</math> jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór [[liczby algebraiczne|liczb algebraicznych]], ale już nie tej samej co zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R.</math> W związku z tą obserwacją Cantor sformułował następujący problem:
: [[Hipoteza continuum|Zagadnienie continuum]] (CH): Przypuśćmy, że ''A'' jest nieskończonym podzbiorem <math>\mathbb R.</math> Czy można wówczas znaleźć albo [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcję]] pomiędzy <math>\mathbb N</math> a ''A'', albo bijekcję pomiędzy <math>\mathbb R</math> a ''A''? Innymi słowy, czy ''A'' jest równoliczny albo z <math>\mathbb N</math> albo z <math>\mathbb R</math>?

[[David Hilbert]], w swojej liście [[Problemy Hilberta|23 problemów]] przedstawionych na kongresie w Paryżu w 1900 roku, jako pierwszy problem postawił zagadnienie continuum Cantora.

[[Ernst Zermelo]] w 1908 przedstawił pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogości<ref>Zermelo, Ernst: ''Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I''. „Math. Ann.” 65 (1908), s. 261–281.</ref>. Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermela była poprawiona niezależnie przez [[Thoralf Skolem|Thoralfa Skolema]] i [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]] około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te znane są jako [[aksjomaty Zermela-Fraenkla]] (ZF). Wkład do aksjomatyzacji miał także [[John von Neumann]], i jego nazwisko też czasem jest zaznaczane w tym kontekście.

W 1939/40 [[Kurt Gödel]] dowiódł, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym [[aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]] i uogólnioną hipotezą continuum (GCH)<ref>Gödel, Kurt: ''Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis''. ''Proc. nat. Acad. Sci. USA'' 25 (1939), s. 220–224.</ref><ref>Gödel, Kurt: ''The consistency of the continuum hypothesis''. „Annals of Mathematical Studies.” 3, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1940.</ref>. Wynik ten oznaczał, że nie można dać odpowiedzi negatywnej na pierwszy problem Hilberta, ale problemu tego jeszcze nie rozstrzygał.

Problem continuum został rozstrzygnięty przez [[Paul Cohen|Paula Cohena]] w 1963/64<ref>Cohen, Paul: ''The independence of the continuum hypothesis''. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 50 (1963), s. 1143–1148.</ref><ref>Cohen, Paul J.: ''The independence of the continuum hypothesis. II''. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 51 (1964), s. 105–110.</ref><ref>Cohen, Paul J.: ''Set theory and the continuum hypothesis''. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1966.</ref>. Okazało się, że nie można udowodnić CH. Zgodnie z wcześniejszym wynikiem Gödla, hipotezy tej nie można też zaprzeczyć (na gruncie ZFC), a więc jest ona niezależna od standardowych aksjomatów teorii mnogości. Ważną także stała się, użyta w dowodzie, odkryta przez Cohena, metoda [[forsing]]u.

== Naiwna teoria mnogości ==
Pojęcie '''naiwna teoria mnogości''' jest używane dla określenia metod stosowanych w początkowym okresie rozwoju tej dyscypliny matematycznej i oznacza podejście oparte na intuicyjnym (nieformalnym) traktowaniu zbiorów. Na przykład w naiwnej teorii mnogości istnienie zbioru będącego sumą dwóch danych zbiorów jest „oczywiste”, podczas gdy obecnie wymagane jest przyjęcie [[Aksjomat sumy|aksjomatu sumy]]. Tym niemniej dla wielu zastosowań teorii mnogości podejście takie jest wystarczające.

Odkrycie przez [[Bertrand Russell|Bertranda Russella]] paradoksów logicznych związanych z pojęciem [[zbiór|zbioru]] sprowokowało Ernsta Zermela do sformułowania w 1908 roku aksjomatycznej teorii zbiorów. Aksjomaty, które wyłoniły się z wielu podejść do aksjomatyzacji matematyki i są obecnie najczęściej używane, noszą nazwę aksjomatów Zermela-Fraenkla. Początkowo ustalenie listy obowiązujących aksjomatów nie zmieniło charakteru rozważań i badań, ale rozwój metod stosowanych w teorii mnogości i zwiększająca się liczba nieintuicyjnych wyników spowodowały zwiększone wyczulenie matematyków na sposób, w jaki używają aksjomatów. Seria twierdzeń wykorzystujących [[aksjomat wyboru]] (AC) i godzących w tak zwany ''zdrowy rozsądek'' (np. wynik [[Felix Hausdorff|Hausdorffa]] i potem dalej idący [[Paradoks Banacha-Tarskiego|paradoksalny rozkład kuli]] podany przez polskich matematyków [[Stefan Banach|Stefana Banacha]] i [[Alfred Tarski|Alfreda Tarskiego]] w 1924) spowodowała zwracanie zwiększonej uwagi na aksjomaty potrzebne dla przeprowadzanych dowodów.

== Aksjomatyczna teoria mnogości ==
Aksjomatyzacja teorii mnogości była częściowo motywowana potrzebą uniknięcia paradoksów formułowanych w początkowym okresie rozwoju teorii. Później, wraz z pewnym dążeniem do formalizacji całej matematyki na gruncie teorii mnogości i z odkryciami Gödela i Cohena dotyczącymi niezależności pewnych stwierdzeń matematycznych, formalne podejście do teorii mnogości stało się koniecznością.

Elementami [[uniwersum (matematyka)|uniwersum]] dowolnego [[Struktura matematyczna|modelu]] teorii mnogości są zbiory, a jedyną [[relacja (matematyka)|relacją]] w jej [[język (logika)|języku]] jest relacja należenia. W języku tym swoją interpretację posiadają wszystkie „sensowne” obiekty matematyczne. Na przykład funkcje to pewne zbiory [[para uporządkowana|par uporządkowanych]] (które oczywiście również są zbiorami); a według von Neumanna liczba 0 to [[zbiór pusty]]; liczba 1 to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty; liczba 2 to zbiór, którego jedynymi elementami są liczba 1 i zbiór pusty i tak dalej. Podobnie można zakodować również bardziej skomplikowane byty (na przykład [[liczby rzeczywiste]], rozmaite [[algebra|struktury algebraiczne]] czy [[topologia|przestrzenie topologiczne]]) oraz zapisywać twierdzenia ich dotyczące. Tak naprawdę potrzeba do tego jedynie zbioru pustego, relacji należenia i aksjomatów teorii mnogości<ref group="uwaga">Matematyków interesuje tu jedynie fakt, że można w ten sposób (używając zbioru jako [[pojęcie pierwotne|pojęcia pierwotnego]]) sformalizować matematykę. Nikt nie uprawia np. geometrii, posługując się jedynie pojęciem zbioru, relacją należenia i wywodząc wszystkie twierdzenia wprost z aksjomatów teorii mnogości. Wcześniej, przed powstaniem ''aksjomatycznej teorii mnogości'', próbowano oprzeć matematykę na pojęciach ''liczby'' i ''wielkości''.</ref>.

''Standardowym zestawem aksjomatów teorii mnogości przyjmowanym dzisiaj w matematyce jest [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|układ Zermela-Fraenkla]] z aksjomatem wyboru, czyli ZFC''.

W pierwszej połowie XX wieku używanie aksjomatu wyboru było uznawane za kontrowersyjne, ale i tak akceptowane. W praktyce wszyscy w zasadzie używali i używają aksjomatu wyboru, ale większość matematyków nie jest tego w pełni świadoma. W teorii mnogości ciągle istnieje zainteresowanie dowodami na gruncie tylko ZF. Jednym z tego powodów jest rozwój aksjomatów sprzecznych z aksjomatem wyboru, jak na przykład [[aksjomat determinacji|AD]].

Po odkryciu twierdzeń o [[Twierdzenie Gödla|niezupełności]]<ref>Gödel, Kurt: ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I''. „Monatshefte f. Math.” 38 (1931), s. 173–198.</ref> oraz w wyniku późniejszych prac Gödla i Cohena, zmienił się charakter badań w teorii mnogości. Dowody niezależności pewnych zdań od aksjomatów ZF(C) i szczegółowa analiza istotności założeń twierdzeń są typowym zjawiskiem we współczesnej, aksjomatycznej teorii mnogości. Wśród zdań niezależnych od aksjomatów ZFC, czyli takich, że ani one, ani ich [[negacja|negacje]] nie wynikają z aksjomatów ZFC, rozważa się na przykład:
* [[hipoteza continuum|hipotezę continuum]] (CH)
* [[uniwersum konstruowalne|aksjomat konstruowalności]] (V=L)
* [[aksjomat Martina]] (MA)
* [[PFA (aksjomat)|PFA]]
* [[diament Jensena|◊]] Jensena
* [[hipoteza Suslina|hipotezę Suslina]]
* [[hipoteza Kurepy|hipotezę Kurepy]]

i wiele innych. Założenie jednego z tych zdań (lub ich kombinacji) jako dodatkowej przesłanki może pomóc matematykowi w wykazaniu, że jakieś stwierdzenie nie jest sprzeczne z aksjomatami ZFC.

== Inne teorie ==
Warto zauważyć, że ZFC nie jest jedyną możliwą formalizacją teorii mnogości. Istnieje szereg pokrewnych systemów, ale po prostu nie zyskały one tak wielkiej popularności jak ZFC. Ponadto rozważane też są aksjomatyzacje teorii mnogości całkowicie odmienne od ZFC. Najbardziej znanymi przykładami są
* układ nazywany ''New Foundations'' (NF), zapoczątkowany przez amerykańskiego logika [[Willard Van Orman Quine|Willard Van Orman Quine’a]], oraz jego modyfikacja NFU<ref>Holmes, M.R.: ''Elementary Set Theory with a Universal Set'', „Cahiers du Centre de logique”, 10, Academia, Louvain-la-Neuve (Belgium), 1998. {{ISBN|2-87209-488-1}}.</ref>,
* układ ZFA, który jest otrzymany z ZFC przez zastąpienie aksjomatu regularności przez jego silne zaprzeczenie<ref>Aczel, Peter: ''Non-well-founded sets''. „CSLI Lecture Notes”, 14. Stanford University, Center for the Study of Language and Information, Stanford, CA, 1988. {{ISBN|0-937073-22-9}}.</ref>.

Układy te są jednak traktowane bardziej jako ciekawostki niż główne narzędzie dla matematyków.

Należy także wspomnieć, że miały miejsce również inne próby stworzenia teorii stanowiącej podstawy matematyki – jak [[Intuicjonizm (matematyka)|intuicjonizm]] postulujący jako fundament matematyki [[teoria liczb|teorie liczb]], bliski mu [[konstruktywizm (matematyka)|konstruktywizm]] postulujący oparcie podstaw matematyki na koncepcjach [[Finityzm|finitystycznych]], jak [[rekurencja]], czy obliczalność, a z bardziej współczesnych – [[teoria kategorii]].

== Współczesne badania w teorii mnogości ==
Zgodnie z [[MSC 2000|klasyfikacją badań naukowych w matematyce]] prowadzoną przez [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne]], teoria mnogości (oznaczona kodem 03Exx) jest traktowana jako część [[logika matematyczna|logiki matematycznej]] (razem z [[teoria dowodu|teorią dowodu]], [[teoria modeli|teorią modeli]], [[teoria rekursji|teorią rekursji]] i logiką algebraiczną). Aktualne badania w teorii mnogości są opisywane za pomocą kolejnego podziału na 21 poddziały. Poniżej przedstawiono kilka współczesnych dziedzin teorii mnogości.

=== Relacje podziałowe (03E02) ===
Twierdzenia podziałowe mają swoje korzenie w początkach teorii mnogości i [[kombinatoryka|kombinatoryki]]. Następujące dwa twierdzenia (należące do ''klasycznych'' rezultatów w teorii mnogości) oddają charakter badań w tej poddziedzinie:
* '''[[Twierdzenie Ramseya]]''' mówiące, że jeśli zabarwić wszystkie pary nieuporządkowane liczb naturalnych używając dwóch kolorów, białego i czerwonego, to można znaleźć nieskończony zbiór liczb naturalnych, taki że wszystkie pary z tego zbioru mają ten sam kolor.
* '''[[Twierdzenie Erdősa-Rado]]''' stwierdzające, że jeśli <math>|A|\geqslant (2^\kappa)^+</math> i wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru <math>I</math> pokolorujemy używając dwóch kolorów, to można znaleźć zbiór <math>B\subseteq A</math> taki, że <math>|B|=\kappa^+</math> oraz wszystkie pary elementów <math>B</math> mają ten sam kolor.

Jedną z pierwszych lektur dla zainteresowanych w tej tematyce może być [[monografia]] Erdősa, Hajnala, Máté i Rado<ref>Erdős, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard: ''Combinatorial set theory: partition relations for cardinals''. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 106. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984. {{ISBN|0-444-86157-2}}.</ref>.

=== Zbiory uporządkowane i ich współkońcowość; teoria PCF (03E04) ===
{{Osobny artykuł|Teoria PCF}}
Ta tematyka badań była stworzona przez [[Saharon Szelach|Saharona Szelacha]] w [[lata 90. XX wieku|latach 90. XX wieku]]<ref>Shelah, Saharon: ''Cardinal arithmetic''. „Oxford Logic Guides”, 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. {{ISBN|0-19-853785-9}}.</ref>. Głównym odkryciem Shelaha było, że pomimo dużej kolekcji wyników niezależnościowych w [[arytmetyka liczb kardynalnych|arytmetyce liczb kardynalnych]], wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zostanie zadane właściwe pytanie. Przez analizowanie zbioru możliwych współkońcowości zredukowanych porządków produktowych stworzył on [[Teoria PCF|teorię PCF]] z której wywnioskował nowe prawa klasycznej [[Arytmetyka|arytmetyki]] liczb kardynalnych. Do najbardziej znanych wyników Shelaha należy następujący.
* '''Twierdzenie Shelaha''': <math>\aleph_\omega^{\aleph_0}\leqslant 2^{\aleph_0}+\aleph_{\omega_4}</math>

Powszechnie znaną (choć niekoniecznie popieraną) tezą Shelaha jest, że jeśli zinterpretować właściwie [[Problemy Hilberta|pierwszy problem Hilberta]] (używając podejścia motywowanego przez teorię PCF), to ma on odpowiedź pozytywną<ref>Shelah, Saharon: ''The generalized continuum hypothesis revisited''. „Israel J. Math.” 116 (2000), s. 285–321.</ref>.

=== Opisowa teoria mnogości (03E15) ===
{{Osobny artykuł|Opisowa teoria mnogości}}
Głównym zainteresowaniem matematyków są tutaj ''definiowalne'' obiekty w [[przestrzeń polska|przestrzeniach polskich]]. [[Zbiór borelowski|Zbiory borelowskie]] czy też [[zbiór rzutowy|zbiory rzutowe]] oraz ich własności są uznane za warte badania nawet przez matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność. Ponieważ wszystkie przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne (a nawet więcej), to każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a także pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej. Wyniki uzyskiwane w opisowej teorii mnogości mają często duże znaczenia dla [[teoria miary|teorii miary]], [[topologia|topologii]] czy też [[Układ dynamiczny|systemów dynamicznych]]. W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą borelowskich relacji [[relacja równoważności|równoważności]] oraz działań [[grupa (matematyka)|grup]] (przede wszystkim grup polskich, tzn. [[grupa topologiczna|grup topologicznych]] będących przestrzeniami polskimi).

=== Współczynniki kardynalne prostej rzeczywistej (03E17) ===
Głównym obiektem zainteresowań tutaj są różne [[funkcja kardynalna|funkcje kardynalne]] określane na przestrzeniach polskich. Jak już wspomniano powyżej, każda z doskonałych przestrzeni polskich jest traktowana jako jedna z możliwych realizacji prostej. Większość (choć nie wszystkie) z funkcji kardynalnych ''tłumaczy się'' z jednej przestrzeni na drugą, a przykładowymi funkcjami kardynalnymi są współczynniki występujące w [[diagram Cichonia|diagramie Cichonia]]. Studia współczynników kardynalnych mają dwa oblicza: z jednej strony związane są one z pogłębianiem naszych metod kombinatorycznych (w celu uzyskania wyników w ZFC), z drugiej strony mają one duży wpływ na rozwój [[forsing]]u (w celu uzyskania dowodów niezależnościowych).

=== Dowody niesprzeczności i niezależności (03E35) ===
Ten dział obejmuje wszystkie dowody forsingowe wykazujące niesprzeczność pewnych stwierdzeń. Wyniki które można zbiorowo opisać stwierdzeniem, że ''każde rozmieszczenie wartości <math>\aleph_1</math> i <math>\aleph_2</math> w diagramie Cichonia, które jest zgodne z nierównościami diagramu i dwoma dodatkowymi równościami jest niesprzeczne z ZFC'' są częścią prac w tej tematyce. Innym przykładami zastosowania forsingu (niemającymi nic wspólnego z funkcjami kardynalnymi) są następujące dwa wyniki.
* Jest niesprzeczne z ZFC, że dla każdej funkcji <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> można znaleźć zbiór <math>A \subseteq \mathbb R,</math> który nie jest [[zbiór pierwszej kategorii|pierwszej kategorii]] i taki, że obcięcie <math>f|_A</math> jest [[funkcja ciągła|ciągłe]]<ref>Shelah, Saharon: ''Possibly every real function is continuous on a non-meagre set''. „Publ. Inst. Math. (Beograd)” (N.S.) 57(71) (1995), s. 47–60.</ref>.
* Jest niesprzeczne z ZFC, że dla każdej funkcji <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> można znaleźć zbiór <math>A \subseteq \mathbb R,</math> który nie jest [[zbiór miary zero|miary zero]] i taki, że obcięcie <math>f|_A</math> jest ciągłe<ref>[[Andrzej Rosłanowski|Rosłanowski, Andrzej]]; Shelah, Saharon: ''Measured creatures''. „Israel J. Math.” 151 (2006), s. 61–110.</ref>.

=== Inne aspekty forsingu i modeli boole’owskich (03E40) ===
Ta tematyka jest blisko związana z uzyskiwaniem dowodów niezależnościowych dyskutowanym powyżej. Różnica pomiędzy tymi dwoma działami jest taka, że tutaj matematycy są bardziej zainteresowani w rozwoju teorii forsingu niż udowodnieniem niesprzeczności szczególnego zdania. Zwykle jednak te badania idą w parze i rozważany szczególny problem jest często punktem wyjściowym do rozwoju ogólnej teorii. Klasycznym przykładem monografii w tej dziedzinie jest książka Shelaha<ref>Shelah, Saharon: ''Proper and improper forcing''. „Perspectives in Mathematical Logic.” Springer-Verlag, Berlin, 1998. {{ISBN|3-540-51700-6}}.</ref>.

=== Hipoteza continuum i aksjomat Martina (03E50) ===
Hipoteza continuum i jej konsekwencje od samego zarania teorii mnogości były w centrum zainteresowań matematyków. Jednym z powodów tego stanu rzeczy było, że CH ma ciekawe konsekwencje. Wiele z tych konsekwencji było odkrytych przez polskiego matematyka [[Wacław Sierpiński|Wacława Sierpińskiego]]<ref>Sierpiński, Wacław: ''Hypothèse du continu''. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y., 1956.</ref>.

Wśród ciekawych wyników związanych z CH można wspomnieć następujące twierdzenie wrocławskiego matematyka [[Michał Morayne|Michała Moraynego]]<ref>Morayne, Michał: ''On differentiability of Peano type functions''. „[[Colloquium Mathematicum|Colloq. Math.]]” 48 (1984), nr 2, s. 261–264.</ref>
: '''Twierdzenie''': CH jest równoważne ze stwierdzeniem, że ''istnieje funkcja <math>f=(f_1, f_2)\colon \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R</math> taka, że <math>f(\mathbb R)=\mathbb R\times \mathbb R</math> oraz dla każdego <math>x \in \mathbb R,</math> albo istnieje pochodna <math>f'_1(x)</math> lub istnieje pochodna <math>f'_2(x)</math>''.

Ponieważ [[aksjomat Martina]] jest wygodnym narzędziem uogólniającym CH, zaczyna on zajmować rolę wcześniej okupowaną przez hipotezę continuum. Znaczna część konsekwencji CH ma swoje odpowiedniki przy założeniu MA+~CH.

=== Duże liczby kardynalne (03E55) ===
{{Osobny artykuł|Duże liczby kardynalne}}
[[Duże liczby kardynalne]] to liczby kardynalne mające własności wykluczające możliwość udowodnienia niesprzeczności ich istnienia na gruncie ZFC. Przykładami takich liczb są [[liczba nieosiągalna|liczby nieosiągalne]] czy też dużo większe [[liczba mierzalna|liczby mierzalne]] czy też liczby Woodina. Badania tych obiektów są ściśle związane z badaniami [[Aksjomat determinacji|aksjomatów determinacji]] oraz forsingiem dla niesprzeczności naruszeń hipotezy liczb singularnych SCH.

=== Aksjomaty determinacji (03E60) ===
{{Osobny artykuł|Aksjomat determinacji}}
Pierwsza [[gry nieskończone|gra nieskończona]], tzw. [[Zbiór pierwszej kategorii#Gra Banacha-Mazura|gra Banacha-Mazura]] była wprowadzona przez polskiego matematyka [[Stanisław Mazur (matematyk)|Stanisława Mazura]]. Aksjomaty determinacji związane z pewnymi grami nieskończonymi i postulujące, że te gry są zdeterminowane (tzn. jeden z graczy ma strategię zwycięską), były rozważane po raz pierwszy przez polskich matematyków [[Jan Mycielski (matematyk)|Jana Mycielskiego]], [[Hugo Steinhaus|Hugona Steinhausa]] i Stanisława Świerczkowskiego<ref>Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: ''A mathematical axiom contradicting the axiom of choice''. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.</ref><ref>J. Mycielski, S. Świerczkowski: ''On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness''. „[[Fundamenta Mathematicae]]”. 54 (1964), s. 67–71.</ref>. Kiedy w [[lata 70. XX wieku|latach 70. XX wieku]] [[Donald A. Martin]] udowodnił, że gry na zbiory borelowskie są zdeterminowane (w ZFC) a istnienie liczby mierzalnej implikuje determinację gier na [[zbiór analityczny|zbiory analityczne]]<ref>Martin, Donald A.: ''Borel determinacy''. „Ann. of Math.” (2) 102 (1975), nr 2, s. 363–371.</ref><ref>Martin, Donald A.: ''Measurable cardinals and analytic games''. „Fund. Math.” 66 (1969/1970), s. 287–291.</ref>, wzrosło zainteresowanie aksjomatami determinacji (zarówno w pełnej formie, jak i ograniczonych do pewnych klas zbiorów). Badania te są zwykle powiązane z badaniami dużych liczb kardynalnych. Rekomendowanym źródłem w tej dziedzinie jest monografia [[W. Hugh Woodin|Hugh Woodina]]<ref>Woodin, W. Hugh: ''The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal''. „De Gruyter Series in Logic and its Applications”, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. {{ISBN|3-11-015708-X}}.</ref>.

== Polscy matematycy w teorii mnogości ==
{{związana kategoria|Polscy teoretycy mnogości}}

Teoria mnogości, podobnie jak topologia, jest jedną z tych dziedzin matematyki, w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Matematycy związani zarówno z [[warszawska szkoła matematyczna|warszawską szkołą matematyczną]], jak i ze [[lwowska szkoła matematyczna|szkołą lwowską]], byli zainteresowani problemami w teorii mnogości, choć często zainteresowania te były motywowane ich pracami w topologii czy też [[Analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]]. Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w kraju, jak i poza jego granicami.

Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych ważny wkład w rozwój teorii mnogości mieli:
{{Układ wielokolumnowy |szerokość=13em <!-- od 7 do 13 --> |liczba=2 |
* [[Stefan Banach]]
* [[Witold Hurewicz]]
* [[Bronisław Knaster]]
* [[Kazimierz Kuratowski]]
* [[Jerzy Łoś (logik)|Jerzy Łoś]]
* [[Edward Marczewski]]
* [[Stanisław Mazur (matematyk)|Stanisław Mazur]]
* [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]]
* [[Otton Nikodym]]
* [[Helena Rasiowa]]
* [[Czesław Ryll-Nardzewski]]
* [[Wacław Sierpiński]]
* [[Roman Sikorski]]
* [[Hugo Steinhaus]]
* [[Alfred Tarski]]
* [[Stanisław Ulam]].
}}

== Zobacz też ==
{{Wikibooks|Teoria mnogości}}
* [[formalizm (matematyka)|formalizm]]
* [[intuicjonizm (matematyka)|intuicjonizm]]
* [[logicyzm]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* [http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci Logika i teoria mnogości] (materiały dydaktyczne [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego|MIMUW]] na studia informatyczne I stopnia)
* [http://www.mimuw.edu.pl/~sl/teaching/03_04/WTM/skrypt-03.ps.gz Wykład ze Wstępu do Teorii Mnogości i Logiki] z wydziału [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego|MIMUW]] autorstwa Jerzego Tiuryna (.ps)

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = SetTheory | tytuł = Set Theory }} [dostęp 2024-06-02].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Set_theory Set theory]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/set-theory/v-1 Set theory]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].
{{SEP2|2018-08-07}}
* {{SEP3 |url = set-theory/ |autor = Joan Bagaria |tytuł = Set Theory |data = 2014-10-08 | tytuł polski = (Teoria mnogości) }}
* {{SEP3 |url = settheory-early/ |autor = José Ferreirós |tytuł = The Early Development of Set Theory |data = 2016-07-01 | tytuł polski = (Wczesny rozwój teorii mnogości) }}
* {{SEP3 |url = settheory-alternative/ |autor = M. Randall Holmes |tytuł = Alternative Axiomatic Set Theories |data = 2017-09-12 | tytuł polski = (Alternatywne aksjomatyczne teorie mnogości) }}
* {{SEP3 |url = nonwellfounded-set-theory/ |autor = Lawrence S. Moss |tytuł = Non-wellfounded Set Theory |data = 2018-04-24 | tytuł polski = (Niedobrze ufundowana teoria mnogości) }}

{{Podstawy matematyki}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria mnogości| ]]