Tekst źródłowy strony Teoria Galois

{{inne znaczenia|wprowadzenia w teorię Galois|[[Grupa Galois|formalny opis teorii]]}}
[[Plik:evariste galois.jpg|thumb|[[Évariste Galois]] (1811–1832)]]

'''Teoria Galois''' – dział [[Matematyka wyższa|matematyki wyższej]] definiowany dwojako:
* w sensie węższym jest to gałąź [[Algebra abstrakcyjna|algebry abstrakcyjnej]] stosująca [[Teoria grup|teorię grup]] do badania [[Ciało (matematyka)|ciał]] i [[wielomian]]ów;
* w sensie szerszym jest badanie różnych [[Struktura matematyczna|struktur]] za pomocą ich grup [[automorfizm]]ów<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Galois_theory Galois theory]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-15].</ref>.

Dziedzinę tę stworzył w I połowie XIX wieku [[Évariste Galois]], od którego nazwiska jest nazwana. Opisał on związki między [[Miejsce zerowe|pierwiastkami]] rzeczywistych i zespolonych [[wielomian]]ów za pomocą [[Grupa permutacji|grup permutacji]]; [[zasadnicze twierdzenie teorii Galois]] podaje [[Równoważność|warunek równoważny]] na rozwiązalność równania wielomianowego przez [[pierwiastnik]]i<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Galois teoria | id = 3903769 | data dostępu = 2023-02-15 }}</ref>. Tym sposobem podał on nowy dowód [[Twierdzenie Abela-Ruffiniego|twierdzenia Abela-Ruffiniego]] i rozszerzył ten wynik negatywny o wynik pozytywny – wskazując, kiedy rozwiązanie równań tym sposobem jest możliwe. Galois podał też wszystkie [[Ciało skończone|ciała skończone]]{{fakt|data=2023-02}}. Późniejsi badacze jak [[Richard Dedekind]], [[Leopold Kronecker]], [[Emil Artin]] i inni opracowali nowe podejście do tej dyscypliny, oparte na badaniu [[Rozszerzenie ciała|rozszerzeń ciał]] oraz automorfizmów tych rozszerzeń. Ten obszar badań bywa nazywany '''algebraiczną teorią Galois'''<ref>{{otwarty dostęp}} [https://webapps.uz.zgora.pl/syl/index.php?/course/showCourseDetails/897145 Wstęp do algebraicznej i różniczkowej teorii Galois – opis przedmiotu], webapps.uz.zgora.pl [dostęp 2023-02-15].</ref> dla kontrastu z późniejszą '''różniczkową teorią Galois''', która bada rozwiązalność liniowych [[Równanie różniczkowe|równań różniczkowych]]<ref>{{otwarty dostęp}} [https://www.usosweb.uj.edu.pl/kontroler.php?_action=katalog2/przedmioty/pokazPrzedmiot&kod=WMI.II-RTG-S Różniczkowa teoria Galois], usosweb.uj.edu.pl [dostęp 2023-02-15].</ref>.

Teoria Galois dostarcza też prostego dowodu [[Zasadnicze twierdzenie algebry|zasadniczego twierdzenia algebry]]{{fakt|data=2023-02}}. Czasem do wyników tej dziedziny zalicza się też warunek konstruowalności pewnych figur przez [[konstrukcje klasyczne]], ponieważ jest on sformułowany w języku rozszerzeń ciał. Daleko idącą abstrakcją teorii Galois jest teoria [[Połączenie Galois|połączeń Galois]]{{fakt|data=2023-02}}.

== Historia ==
Początki teorii Galois sięgają badań nad [[Funkcja symetryczna|funkcjami symetrycznymi]] – współczynniki wielomianu są (z dokładnością do znaku) [[Wielomian symetryczny elementarny|elementarnymi wielomianami symetrycznymi]] pierwiastków. Przykładowo <math>(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab,</math> gdzie <math>a + b</math> i <math>ab</math> są wielomianami elementarnymi stopni pierwszego i drugiego dwóch zmiennych.

Jako pierwszy formalnie ujął to szesnastowieczny matematyk francuski [[François Viète]] w tzw. [[Wzory Viète’a|wzorach Viète’a]] dla dodatnich pierwiastków rzeczywistych. W opinii osiemnastowiecznego matematyka brytyjskiego [[Charles Hutton|Charlesa Huttona]]{{odn|Funkhouser|1930|s=357–365}} wyrażenie współczynników wielomianu za pomocą pierwiastków (nie tylko dodatnich) zostało po raz pierwszy w pełni zrozumiane przez siedemnastowiecznego matematyka francuskiego [[Albert Girard|Alberta Girarda]]; Hutton pisze:
<blockquote>…[Girard był] pierwszą osobą, która zrozumiała ogólną metodę tworzenia współczynników potęg z sum pierwiastków i ich iloczynów. Był pierwszym, który odkrył zasady sumowania potęg pierwiastków dowolnego równania.</blockquote>

W duchu tym [[Wyróżnik wielomianu|wyróżnik]] należy postrzegać jako symetryczną funkcję pierwiastków odzwierciedlającą ich własności – jest on równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastek wielokrotny, a dla wielomianów kwadratowych i sześciennych jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ich pierwiastki są rzeczywiste i różne oraz ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para różnych sprzężonych pierwiastków zespolonych.

Ogólne rozwiązanie równań sześciennych zostało częściowo podane przez żyjącego na przełomie XV i XVI wieku matematyka włoskiego [[Scipione del Ferro|Scipione del Ferrę]]; nie opublikował on jednak swoich wyników – jego metoda dawała rozwiązanie tylko dla jednej z trzech klas tych równań, które nie wymagają brania pierwiastków kwadratowych z [[Znak liczby|liczb ujemnych]]. Należy jednak zaznaczyć, że nie znano jeszcze wówczas [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]]. Rozwiązanie to zostało niezależnie odkryte na nowo w 1535 roku przez [[Niccolò Tartaglia|Niccolò Fontanę Tartaglię]], który podzielił się tym sekretem z [[Girolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] prosząc go o jego niepublikowanie. Cardano rozszerzył otrzymane rozwiązanie o dwa pozostałe przypadki wykorzystując jako kroki pośrednie pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych; zob. [[Równanie sześcienne#Wzory Cardano|metoda Cardano]]. Po odkryciu prac Ferra stwierdził on, że metoda Tartaglii nie jest już więcej tajemnicą, dlatego opublikował pełne rozwiązanie w pracy z [[1545]] roku pt. ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars Magna]].'' Jego student [[Lodovico Ferrari]] podał rozwiązania dla wielomianów czwartego stopnia, które Cardano zawarł w swoim ''Ars Magna.''

Kolejnym kamieniem milowym była praca francusko-włoskiego matematyka [[Joseph Louis Lagrange|Josepha Louisa Lagrange’a]] z 1770 roku zatytułowana ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'', w której korzystając z opracowanej przez siebie metody znanej dziś jako [[rezolwenty Lagrange’a]] analizował on rozwiązania Cardano i Ferrariego dla równań trzeciego i czwartego stopnia poprzez wyrażanie ich jako ''permutacji'' pierwiastków. Poprzez wprowadzenie pomocniczego wielomianu trzeciego stopnia podejście to umożliwiło całościowe traktowanie rozwiązań, co niejako położyło podwaliny pod teorię grup i teorię Galois. Należy zaznaczyć, że Lagrange nie rozpatrywał ''złożeń'' permutacji. Ponadto metoda Lagrange’a nie obejmowała równań piątego stopnia i wyższych, gdyż rezolwenta ma wtedy wyższy stopień.

Fakt, iż nie można podać ogólnego rozwiązania równań piątego stopnia wyrażonych przez ''[[pierwiastnik]]i'', został nieomalże dowiedzione przez [[Paolo Ruffini]]ego w [[1799]] roku: kluczem było wykorzystanie [[Grupa permutacji|''grup'' permutacji]], a nie tylko pojedynczej permutacji. Rozwiązanie przez niego podane zawierało lukę, którą [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] uważał za możliwą do uzupełnienia; mimo wszystko nie udało się jej usunąć nikomu, aż do 1824 roku, kiedy to norweski matematyk [[Niels Henrik Abel]] opublikował dowód twierdzenia znanego dziś jako [[twierdzenie Abela-Ruffiniego]].

Choć Ruffini i Abel dowiedli, że ''ogólne'' rozwiązanie równań piątego stopnia nie istnieje, to jednak istnieją ''szczególne'' rozwiązania pewnych równań piątego stopnia; przykładem może być wielomian <math>(x - 1)^5.</math> Dokładne kryterium określające rozwiązalność ''danego'' wielomianu piątego lub wyższego stopnia zostało sformułowane przez [[Évariste Galois|Évariste’a Galois]] w 1830 roku, który pokazał, że rozwiązalność wielomianu jest równoważna temu, czy grupa permutacji jego pierwiastków ma określoną strukturę – w języku współczesnym: czy jego [[grupa Galois]] jest [[Grupa rozwiązalna|rozwiązalna]]. Grupa ta jest zawsze rozwiązalna dla wielomianów stopnia czwartego i mniejszych, jednak nie zawsze dla wielomianów stopnia piątego i wyższych, co tłumaczy, dlaczego nie istnieją ogólne rozwiązania równań wyższych stopni.

Twórcy teorii, Abel i Galois, zwracali uwagę na znaczenie ich odkryć dla teorii funkcji zespolonych, np. [[Funkcje eliptyczne|funkcji eliptycznych]]; później okazało się, że mieli rację: odpowiednie grupy Galois niezależnie zdefiniowano topologicznie, jako grupy [[Nakrycie|przekształceń nakrywających]] [[Rozgałęzienie|rozgałęzionych]] [[Nakrycie|nakryć]] [[Sfera|sfery]].

Teoria Galois, a właściwie prace Galois, Abela i Ruffiniego nie znalazły szerokiego oddźwięku wśród współczesnych, co było zarówno kwestią mody (brak zainteresowania matematyką dyskretną), jak i zwięzłości stylu oraz krótkiego życia twórców. Teoria Galois uzyskała rozgłos dzięki [[Joseph Liouville|Josephowi Liouville’owi]], który wydał prace Galois i [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille’owi Jordanowi]], a głównie jego ''Traité des substitutions et des équations algebraique'' z 1870 roku. Jordan podjął badania tam, gdzie zakończyła je śmierć Galois, co umożliwiło dalszy rozwój teorii grup.

Teoria Galois podlegała dalszemu rozwojowi w XX wieku, np. opracowano teorię Galois dla pierścieni, znalazła także szereg zastosowań w [[Liczby algebraiczne|teorii liczb algebraicznych]], [[Algebra nad ciałem|teorii algebr nad ciałami]], w [[Geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]]; rozwinęły się z niej nowe dziedziny, np. [[Kohomologia Galois|kohomologie Galois]]. W samej teorii Galois wciąż intensywnie badane jest na przykład [[#Odwrotne zagadnienie Galois|zagadnienie odwrotne teorii Galois]].

== Podejście klasyczne ==
Może się zdarzyć, że dla danego wielomianu niektóre z jego pierwiastków związane są ze sobą różnego rodzaju [[Równanie algebraiczne|równaniami algebraicznymi]]. Przykładowo może okazać się, że dla dwóch spośród jego pierwiastków oznaczanych dalej <math>A</math> i <math>B</math> spełnione jest równanie <math>A^2 + 5B^3 = 7.</math> Zasadniczą ideą teorii Galois jest rozpatrywanie tych [[Permutacja|permutacji]] (uporządkowań) pierwiastków, dla których ''dowolne'' równanie algebraiczne spełniane przez te pierwiastki jest ''nadal spełniane'' po zmianie uporządkowania pierwiastków. Istotne jest zastrzeżenie ograniczenia się do równań algebraicznych o współczynnikach [[Liczby wymierne|wymiernych]] (można również określić pewne [[Ciało (matematyka)|ciało]], do którego powinny należeć współczynniki, lecz w poniższych prostych przykładach wykorzystywane będzie ciało liczb wymiernych).

Permutacje te tworzą razem [[Grupa permutacji|grupę permutacji]] nazywaną [[Grupa Galois|grupą Galois]] wielomianu (nad liczbami wymiernymi). Wyjaśnione to zostanie w przykładzie.

=== Przykład: równanie kwadratowe ===
Niech dane będzie [[równanie kwadratowe]]
: <math>x^2 - 4x + 1 = 0.</math>

Rozwiązując je znajduje się dwa pierwiastki
: <math>A = 2 + \sqrt 3,</math>
: <math>B = 2 - \sqrt 3.</math>

Równaniami algebraicznymi spełnianymi przez <math>A</math> i <math>B</math> są m.in.
: <math>A + B = 4</math>
oraz
: <math>AB = 1.</math>

Oczywiście zamieniając w dowolnym z powyższych równań kolejność pierwiastków <math>A</math> i <math>B</math> uzyskuje się inne prawdziwe zdanie. Przykładowo <math>A + B = 4</math> staje się po prostu <math>B + A = 4.</math> Co więcej, choć jest to mniej oczywiste, że jest tak dla ''każdego'' [[Równanie algebraiczne|równania algebraicznego]] o współczynnikach wymiernych spełnianego przez pierwiastki <math>A</math> i <math>B;</math> dowiedzenie tego wymaga teorii [[Wielomian symetryczny|wielomianów symetrycznych]].

Można więc wnosić, że grupa Galois wielomianu <math>x^2 - 4x + 1</math> składa się z dwóch permutacji: permutacji tożsamościowej, która pozostawia <math>A</math> i <math>B</math> niezmienionymi oraz permutacja [[Transpozycja (matematyka)|transponująca]], która zamienia <math>A</math> i <math>B.</math> Jest to [[grupa cykliczna]] rzędu dwa, jest więc [[Izomorfizm|izomorficzna]] z <math>\mathbb Z_2.</math>

Można by przypuszczać, iż <math>A</math> i <math>B</math> związane są ze sobą jeszcze jednym równaniem algebraicznym,
: <math>A - B - 2\sqrt{3} = 0,</math>
które ''nie'' jest spełnione przy zamianie <math>A</math> i <math>B.</math> Równanie to nie jest jednak istotne, gdyż nie ma ono współczynników wymiernych; w szczególności liczba <math>-2\sqrt{3}</math> jest [[Kwadratowa liczba niewymierna#Pierwiastek kwadratowy liczby niekwadratowej jest niewymierny|niewymierna]].

Podobnie ma się rzecz z dowolnym wielomianem kwadratowym <math>ax^2 + bx + c,</math> gdy <math>a, b, c</math> są liczbami wymiernymi.
* Jeżeli wielomian ma tylko jeden pierwiastek, np. <math>x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2,</math> to grupa Galois jest [[Grupa trywialna|trywialna]], tzn. zawiera wyłącznie permutację tożsamościową.
* Jeżeli ma on dwa różne ''wymierne'' pierwiastki, przykładowo <math>x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1),</math> to grupa Galois znowu jest trywialna.
* Jeżeli ma ona dwa ''niewymierne'' pierwiastki (także, gdy są one [[Liczby zespolone|zespolone]]), to grupa Galois zawiera dwie permutacje, jak w powyższym przykładzie.

=== Przykład: równanie dwukwadratowe ===
Zadaniem jest opisanie grupy Galois, znowu nad ciałem [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]], wielomianu
: <math>x^4 - 10x^2 + 1,</math>
który może być zapisany jako
: <math>(x^2 - 5)^2 - 24.</math>

Ma on cztery pierwiastki:
: <math>A =  \sqrt 2 + \sqrt 3,</math>
: <math>B =  \sqrt 2 - \sqrt 3,</math>
: <math>C = -\sqrt 2 + \sqrt 3,</math>
: <math>D = -\sqrt 2 - \sqrt 3.</math>

Istnieją 24 sposoby ich uporządkowania, jednak nie wszystkie z tych permutacji należą do grupy Galois. Elementy grupy Galois muszą zachowywać dowolne równanie algebraiczne o współczynnikach wymiernych zawierające <math>A, B, C, D.</math> Jednym z nich jest
: <math>A + D = 0.</math>

Jednakże ponieważ
: <math>A + C = 2\sqrt 3 \ne 0,</math>
to permutacja
: <math>(A, B, C, D) \mapsto (A, B, D, C)</math>
nie jest dozwolona: przekształca ona poprawne równanie <math>A + D = 0</math> w nieprawidłowe równanie <math>A + C = 0.</math>

Innym równaniem, które spełniają pierwiastki jest
: <math>(A + B)^2 = 8.</math>
Wyklucza ona kolejne permutacje, takie jak np.
: <math>(A, B, C, D) \mapsto (A, C, B, D).</math>

Kontynuując w ten sposób okazuje się, że jedynymi permutacjami (spełniającymi jednocześnie oba równania) są
: <math>(A, B, C, D) \mapsto (A, B, C, D),</math>
: <math>(A, B, C, D) \mapsto (C, D, A, B),</math>
: <math>(A, B, C, D) \mapsto (B, A, D, C),</math>
: <math>(A, B, C, D) \mapsto (D, C, B, A),</math>
w ten sposób grupa Galois jest izomorficzna z [[Grupa czwórkowa Kleina|czwórkową grupą Kleina]].

== Podejście współczesne ==
{{osobny artykuł|grupa Galois}}
We współczesnym podejściu wychodzi się od [[Rozszerzenie ciała|rozszerzenia ciała]] <math>L/K</math> (czytaj: ''L'' przez ''K'') i bada grupę [[automorfizm]]ów ciała <math>L/K;</math> są to odwzorowania postaci <math>\alpha\colon L \to L,</math> gdzie <math>\alpha(x) = x</math> dla wszystkich <math>x</math> należących do <math>K.</math> Obserwując [[Punkt stały|punkty stałe]] wspomnianych automorfizmów bada się w istocie najmniejsze rozszerzenie ciała, w którym dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe (tzn. ma wszystkie [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastki]]).

Związek między tymi dwoma podejściami jest jak następuje. Współczynniki badanego wielomianu powinny być wybrane z ciała bazowego <math>K.</math> Ciało nakrywające <math>L</math> powinno być ciałem uzyskanym poprzez dołączenie pierwiastków badanego wielomianu do ciała bazowego. Każda permutacja pierwiastków spełniających równania algebraiczne, jak to opisano wyżej, odpowiada pewnemu automorfizmowi <math>L/K</math> (i na odwrót).

W pierwszym z powyższych przykładów badano rozszerzenie <math>\mathbb Q(\sqrt 3)/\mathbb Q,</math> gdzie <math>\mathbb Q</math> jest ciałem [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]], zaś <math>\mathbb Q(\sqrt 3)</math> jest ciałem uzyskanym z <math>\mathbb Q</math> poprzez dołączenie <math>\sqrt 3.</math> W drugim przypadku badano rozszerzenie <math>\mathbb Q(A, B, C, D)/\mathbb Q.</math>

Istnieje kilka istotnych powodów, dla których dziś preferuje się raczej podejście współczesne, a nie klasyczne podejście opisane wyżej:
* Wyrażenie [[Podstawowe twierdzenie teorii Galois|podstawowego twierdzenia teorii Galois]] jest istotnie prostsze.
* W wielu działach matematyki wykorzystanie ciała bazowego innego niż <math>\mathbb Q</math> jest kluczowe. Przykładowo w [[Algebraiczna teoria liczb|algebraicznej teorii liczb]] teorię Galois wykorzystuje się często stosując jako ciała bazowe [[Ciało liczbowe|ciała liczbowe]], [[Ciało skończone|ciała skończone]], czy [[Ciało lokalne|ciała lokalne]].
* Badanie rozszerzeń nieskończonych jest znacząco prostsze, co znowu jest sprawą kluczowej wagi w algebraicznej teorii liczb, gdzie na przykład rozważa się często [[Absolutna grupa Galois|absolutną grupę Galois]] ciała <math>\mathbb Q</math> określoną jako grupę Galois <math>K/\mathbb Q,</math> gdzie <math>K</math> jest [[Ciało algebraicznie domknięte|domknięciem algebraicznym]] <math>\mathbb Q.</math>
* Umożliwia rozważanie [[Rozszerzenie ciała|rozszerzeń nierozdzielczych]]. Problem ten nie powstaje w ramach teorii klasycznej, ponieważ zawsze cicho zakłada się, iż arytmetyka ma miejsce w ciele [[Charakterystyka (algebra)|charakterystyki]] zero. Mimo wszystko w teorii liczb i [[Geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]] spotyka się często ciała niebędące charakterystyki zero.
* Usuwa raczej sztuczne poleganie na poszukiwaniu pierwiastków wielomianu: różne wielomiany mogą dawać te same rozszerzenia ciał, zaś podejście współczesne dostrzega związek między tymi wielomianami.

== Grupy rozwiązalne i rozwiązania pierwiastnikowe ==
Abel zauważył, że ciało <math>L</math> powstaje z ciała <math>K</math> przez dołączenie pewnej liczby pierwiastków różnych stopni z elementów ciała <math>K,</math> gdy grupa Galois rozszerzenia <math>L/K</math> jest przemienna – stąd też pochodzi inna nazwa tych grup: [[Grupa przemienna|grupa abelowa]]. Oznacza to, że pierwiastki wielomianu dają się wyrazić przez elementy ciała <math>K</math> przy pomocy ''[[pierwiastnik]]ów'', tzn. czterech działań ciała i pierwiastków elementów z ciała.

Pojęcie [[Grupa rozwiązalna|grupy rozwiązalnej]] z [[Teoria grup|teorii grup]] umożliwia określenie, czy dany wielomian jest rozwiązalny za pomocą pierwiastników w zależności od tego, czy jego grupa Galois ma własność rozwiązalności ([[twierdzenie Galois]]). Dokładniej, każde rozszerzenie ciała <math>L/K</math> odpowiada [[Grupa ilorazowa|grupie ilorazowej]] w [[Ciąg (teoria grup)|ciągu kompozycyjnym]] grupy Galois. Jeżeli grupa ilorazowa ciągu kompozycyjnego jest [[Grupa cykliczna|cykliczna]] rzędu <math>n,</math> a odpowiadające jej rozszerzenie ciała zawiera [[Pierwiastek z jedynki|pierwiastek pierwotny z jedynki]], to jest to rozszerzenie pierwiastnikowe i elementy <math>L</math> mogą być wówczas wyrażone za pomocą [[Pierwiastkowanie|pierwiastka]] <math>n</math>-tego stopnia pewnego elementu z <math>K.</math>

Jeżeli wszystkie grupy ilorazowe ciągu kompozycyjnego są cykliczne, to grupę Galois nazywa się ''rozwiązalną'' i wszystkie elementy odpowiadającego ciała dają się wyrazić za pomocą wyciągania pierwiastków, brania iloczynów i sum elementów ciała bazowego, którym zwykle jest <math>\mathbb Q.</math>

Jednym z donioślejszych triumfów teorii Galois był dowód, że dla każdego <math>n > 4</math> istnieją wielomiany stopnia <math>n,</math> które nie są rozwiązalne przy pomocy pierwiastników – tzw. [[twierdzenie Abela-Ruffiniego]]. Jest to spowodowane faktem, iż dla każdego <math>n > 4</math> [[Grupa permutacji|grupa symetryczna]] <math>S_n</math> zawiera [[Grupa prosta|prostą]], niecykliczną [[Podgrupa normalna|podgrupę normalną]] ([[Grupa alternująca|podgrupę alternującą]]).

=== Przykład: nierozwiązywalne równanie piątego stopnia ===
[[Bartel Leendert van der Waerden|Van der Waerden]] cytuje wielomian <math>f(x) = x^5 - x - 1.</math> Na mocy [[Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych|twierdzenia o pierwiastkach wymiernych]] nie ma on wymiernych miejsc zerowych. Podobnie nie ma on czynników liniowych [[Arytmetyka modularna|modulo]] <math>2</math> lub <math>3.</math>

Wielomian <math>f(x)</math> rozkłada się na <math>(x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)</math> modulo <math>2,</math> co oznacza, że jej grupą Galois modulo <math>2</math> jest grupa cykliczna rzędu <math>6.</math>

Ponieważ <math>f(x)</math> nie ma czynnika kwadratowego modulo <math>3,</math> to jej grupa Galois modulo <math>3</math> ma rząd <math>5.</math>

Wiadomo<ref>V.V. Praslov, Polynomials. (2004), twierdzenie 5.4.5(a).</ref>, że grupa Galois modulo [[Liczby pierwsze|liczba pierwsza]] jest izomorficzna z [[Podgrupa|podgrupą]] grupy Galois nad liczbami wymiernymi. Grupa permutacji pięciu obiektów o operacjach rzędów szóstego i piątego musi być grupą symetryczną <math>S_5,</math> która to musi być grupą Galois <math>f(x).</math> Jest to jeden z prostszych przykładów nierozwiązywalnego wielomianu piątego stopnia. [[Serge Lang]] twierdził, że Artin szczególnie lubił ten przykład.

== Zastosowania w konstrukcjach klasycznych ==
{{osobny artykuł|konstrukcje klasyczne}}

Teoria Galois podaje rozwiązania zadań konstrukcyjnych wykonywanych za pomocą [[Konstrukcje klasyczne|cyrkla i linijki]]; w tym przedstawia ona elegancką charakteryzację stosunków długości, które mogą być skonstruowane tą metodą, dzięki czemu względnie łatwo<ref group="uwaga">Odpowiednie rozszerzenie ciała, zwykle liczb wymiernych, powstaje przez dołączenie do niego współrzędnych konstruowanych punktów; konstrukcja jest wykonalna, gdy grupa Galois jest 2-grupą.</ref> odpowiedzieć na takie klasyczne problemy geometrii jak:
* Dlaczego nie jest możliwe w ogólnym przypadku [[Trysekcja kąta|podzielenie kąta na trzy równe części]]?,
* Czy można dla danego sześcianu [[Podwojenie sześcianu|skonstruować sześcian o dwa razy większej objętości]]?,
* Czy można [[Kwadratura koła|skonstruować kwadrat o polu równym danemu kołu]]? (wykorzystując fakt, iż liczba [[pi]] (π) jest [[Liczba przestępna|przestępna]]);
* Które [[wielokąt]]y foremne są [[Wielokąt konstruowalny|wielokątami konstruowalnymi]]?<ref group="uwaga">W szczególności umożliwiło to na przejrzyste uzasadnienie obserwacji [[Carl Friedrich Gauss|Carla Friedricha Gaussa]], że [[wielokąt foremny]] o <math>n</math> bokach można zbudować za pomocą cyrkla i liniału, gdy w rozkładzie <math>n</math> na [[Czynnik pierwszy|czynniki pierwsze]] występują tylko: <math>2</math> (w dowolnej [[Potęgowanie|potędze]]) i różne [[Liczby Fermata|liczby pierwsze Fermata]] (w pierwszej potędze).</ref>.

== Odwrotne zagadnienie Galois ==
Wszystkie grupy skończone mogą wystąpić jako grupy Galois. Można podać konstrukcje rozszerzenia ciała z daną grupą skończoną jako grupą Galois rozszerzenia, o ile nie wskaże się uprzednio ciała wyjściowego.

Należy więc wskazać ciało <math>K</math> oraz grupę skończoną <math>G.</math> [[Twierdzenie Cayleya]] mówi, że <math>G</math> jest (z dokładnością do izomorfizmu) podgrupą [[Grupa permutacji|grupy symetrycznej]] <math>S</math> elementów <math>G.</math> Wybrawszy niewiadome <math>\{x_\alpha\},</math> po jednej dla każdego elementu <math>\alpha</math> grupy <math>G,</math> dołącza się je do ciała <math>K,</math> aby uzyskać ciało <math>F = K\bigl(\{x_\alpha\}\bigr).</math> Ciało <math>F</math> zawiera ciało <math>L</math> symetrycznych [[Funkcja wymierna|funkcji wymiernych]] zmiennych <math>\{x_\alpha\}.</math> Grupą Galois rozszerzenia <math>F/L</math> jest <math>S,</math> co wynika z podstawowego wyniku Emila Artina. Grupa <math>G</math> działa na <math>F</math> poprzez zawężenie działania grupy <math>S.</math> Jeżeli <math>M</math> jest ciałem stałym tego działania, to z [[Podstawowe twierdzenie teorii Galois|podstawowego twierdzenia teorii Galois]] wynika, że <math>G</math> jest grupą Galois <math>F/M.</math>

Otwartym problemem jest dowiedzenie istnienia rozszerzenia ciała liczb wymiernych <math>\mathbb Q</math> dla danej grupy skończonej jako jego grupy Galois. Hilbert brał udział w rozwiązywaniu problemu dla wszystkich grup symetrycznych i alternujących. [[Igor Shafarevich]] dowiódł, że każda rozwiązalna grupa skończona jest grupą Galois pewnego rozszerzenia <math>\mathbb Q.</math> Rozwiązano odwrotny problem Galois dla wybranych nieabelowych [[Grupa prosta|grup prostych]]. Wykazano istnienie rozwiązań dla wszystkich poza co najwyżej jedną ([[Grupa Mathieu|grupą Mathieu]] M<sub>23</sub>) z 26 sporadycznych grup prostych. Istnieje nawet wielomian o współczynnikach całkowitych, którego grupą Galois jest [[Grupa monstrum|grupa Monster]].

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj pismo | nazwisko = Funkhouser | imię = H. Gray | tytuł = A short account of the history of symmetric functions of roots of equations | czasopismo = American Mathematical Monthly | rok = 1930 | wolumin = 37 | wydanie = 7 | doi = 10.2307/2299273 | odn = tak}}

== Literatura dodatkowa ==

; Polskojęzyczna
* {{cytuj książkę |nazwisko = Balcerzyk |imię = Stanisław |tytuł = Wstęp do algebry homologicznej |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1970}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Białynicki-Birula |imię = Andrzej |autor link = Andrzej Białynicki-Birula |tytuł = Zarys algebry |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1987}}
* {{cytuj książkę|autor=J. Browkin|autor link = Jerzy Browkin|tytuł=Teoria ciał|seria = [[Biblioteka Matematyczna]] | tom = 49|wydawca=PWN|miejsce=Warszawa|rok=1977|wydanie=1|strony=}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Lang |imię = Serge |autor link = Serge Lang |tytuł = Algebra |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1973}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Więsław |imię = Witold |autor link = Witold Więsław |tytuł = Grupy, pierścienie, ciała |wydawca = Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego |rok = 1983}}

; Anglojęzyczna

* {{cytuj książkę |autor = [[Emil Artin]] |tytuł = Galois Theory |wydawca = Dover Publications |rok = 1998 |isbn=0-486-62342-4}} (''Przedruk wydania drugiego poprawionego z 1944 roku, Wydawnictwa Uniwersytetu Notre Dame'').
* {{cytuj książkę |autor = Jörg Bewersdorff |tytuł = Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective| wydawca = American Mathematical Society |rok = 2006 |isbn=0-8218-3817-2}}.
* {{cytuj książkę |autor = Harold M. Edwards |autor link = Harold Edwards (matematyk) |tytuł = Galois Theory |wydawca = [[Springer-Verlag]] |rok = 1984 |isbn=0-387-90980-X}} ''(Oryginalna praca Galois z wyczerpującym komentarzem).''
* {{cytuj książkę |autor = [[Nathan Jacobson]]| tytuł = Basic Algebra I |wydanie = II |wydawca = W.H. Freeman and Company |rok = 1985 |isbn=0-7167-1480-9}} ''(Rozdział 4 stanowi wprowadzenie do podejścia wykorzystującego teorię ciał do teorii Galois).''
* {{cytuj książkę |nazwisko = Janelidze |imię = G. |nazwisko2 = Borceux |imię2 = Francis |tytuł = Galois theories |wydawca = [[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-80309-0 |rok = 2001}} ''(Książka stanowi wprowadzenie do teorii Galois Grothendericka i pewnych jej uogólnień zmierzając do [[grupoid]]ów Galois).''
* {{cytuj książkę |nazwisko = Lang |imię = Serge |autor link = Serge Lang |tytuł = Algebraic Number Theory |wydawca = [[Springer-Verlag]] |miejsce = Berlin, Nowy Jork |isbn = 978-0-387-94225-4 |rok = 1994}}
* {{cytuj książkę |autor = M.M. Postnikov |tytuł = Foundations of Galois Theory |wydawca = Dover Publications |rok = 2004 |isbn = 0-486-43518-0}}
* {{cytuj książkę |autor = [[Ian Stewart (matematyk)|Ian Stewart]] |tytuł = Galois Theory |wydawca = Chapman and Hall| rok = 1989 |isbn = 0-412-34550-1}}
* {{cytuj książkę |nazwisko =Völklein |imię = Helmut |tytuł = Groups as Galois groups: an introduction |wydawca = [[Cambridge University Press]] |isbn = 978-0-521-56280-5 |rok = 1996}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = van der Waerden |imię = Bartel Leendert |autor link = Bartel Leendert van der Waerden |tytuł = Algebra |rok = 1930}}
* {{cytuj stronę |url = http://www.math.upenn.edu/~pop/Research/files-Res/Japan01.pdf |tytuł = (Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic |nazwisko = Pop |imię = Florian |autor link = Florian Pop |rok = 2001}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{Pismo Delta | url = temat/matematyka/algebra/2017/09/18/Symetrie_cial_i_grupy_teoria_Galois/ | autor = Maria Donten-Bury | tytuł = Symetrie ciał i grupy: teoria Galois | data = październik 2017 | data dostępu = 2022-07-02 }}

; Obcojęzyczne
* {{MathWorld|adres=GaloisTheory |tytuł=Galois Theory |data dostępu=12 grudnia 2020}}

Samouczki on-line dotyczące teorii Galois można znaleźć na:
* https://web.archive.org/web/20201019222130/http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
* http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
* http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Podręczniki online w językach francuskim, niemieckim, włoskim i angielskim znajdują się na:
* http://www.galois-group.net/

{{Wielomiany}}
{{Działy algebry}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria Galois| ]]