Tekst źródłowy strony Tau Kendalla

'''Tau Kendalla''' – [[Statystyka (funkcja)|statystyka]] będąca jedną z [[Miara zależności|miar monotonicznej zależności]] dwóch [[zmienna losowa|zmiennych losowych]]. Służy w praktyce do opisu korelacji między [[Skala porządkowa|zmiennymi porządkowymi]].

== Tau Kendalla dwóch zmiennych losowych ==
Ogólnie tau Kendalla jest definiowane jako<ref name="Foundations">{{Cytuj pismo|nazwisko=Trivedi|imię=Pravin K.|nazwisko2=Zimmer|imię2=David M.|tytuł=Copula Modeling: An Introduction for Practitioners|url=http://www.nowpublishers.com/product.aspx?product=ECO&doi=0800000005&section=x1-59r4|czasopismo=Foundations and Trends in Econometrics|oznaczenie=Volume 1 Issue 1 DOI:10.1561/0800000005|data dostępu=2008-05-16}}</ref>:
: {{wzór|<math>\tau=\operatorname{P}[(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0]-\operatorname{P}[(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0].</math>|1}}

Można też wyrazić tau Kendalla w terminach [[kopuła (matematyka)|kopuł]]<ref name="Foundations" />:
: <math>\tau=4\int\limits_0^1\int\limits_0^1 C(u_1,u_2)\operatorname{d}C(u_1,u_2)-1.</math>

== Tau Kendalla z próby ==
Zwykle [[estymator|estymuje się]] tau Kendalla dane wzorem {{LinkWzór|1}} na podstawie [[próba statystyczna|próby statystycznej]].

Aby je obliczyć, należy zestawić [[obserwacja statystyczna|obserwacje]] z próby we wszystkie możliwe pary, a następnie podzielić te pary na trzy możliwe kategorie:
* '''pary zgodne''' – porównywane zmienne w obrębie tych dwóch obserwacji zmieniają się w tę samą stronę, tzn. albo w pierwszej obserwacji obydwie są większe niż w drugiej, albo obydwie mniejsze. Liczba takich par w próbie będzie dalej oznaczana przez <math>P.</math>
* '''pary niezgodne''' – zmienne zmieniają się w przeciwną stronę, to znaczy jedna z nich jest większa dla tej obserwacji w parze, dla której druga jest mniejsza. Liczba takich par w próbie będzie oznaczana przez <math>Q.</math>
* '''pary wiązane''' – jedna ze zmiennych ma równe wartości w obydwu obserwacjach. Liczba takich par w próbie będzie oznaczana przez <math>T.</math>

Estymator tau Kendalla obliczany jest wówczas ze wzoru:
: <math>\tau=\frac{P-Q}{P+Q+T}.</math>

Warto zauważyć, że:
: <math>P+Q+T={N\choose 2}=\frac{N(N-1)}{2},</math>

gdzie <math>N</math> to liczność próby, tak więc wzór ten można przedstawić w postaci:
: <math>\tau=2\frac{P-Q}{N(N-1)}.</math>

== Interpretacja ==
Tau Kendalla stanowi różnicę między [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwem]], że porównywane zmienne będą układały się w tym samym porządku dla dwóch obserwacji, a prawdopodobieństwem, że ułożą się w przeciwnym porządku.

Tau Kendalla przyjmuje wartości od –1 do 1 włącznie. +1 oznacza, że każda ze zmiennych rośnie przy wzroście drugiej. –1 oznacza że każda maleje przy wzroście drugiej. Tym samym tau Kendalla, podobnie jak [[korelacja rangowa]] i [[Współczynnik korelacji rang Spearmana|rho Spearmana]] jest miarą [[zależność zmiennych losowych|monotonicznej zależności]] zmiennych losowych.

Ponieważ liczba par zgodnych, niezgodnych i wiązanych, a zatem również wartość tau nie zmienia się pod wpływem [[Ranga (statystyka)|rangowania]], tau Kendalla można uważać za jedną ze statystycznych [[metody rangowe|metod rangowych]].

== Istotność statystyczna ==
Istotność statystyczna wyniku tau Kendalla jest równa jeden minus prawdopodobieństwo, że taki wynik może powstać przypadkowo dla zmiennych niezależnych. Ponieważ tau Kendalla jest metodą rangową, a rozkład rang jest niezależny od rozkładu zmiennych rangowanych (o ile nie ma rang wiązanych), więc określenie istotności nie wymaga żadnych założeń odnośnie do rozkładów w próbie.

{{Wikiźródła|tekst=nie|Tablica rozkładu normalnego|tablicę rozkładu normalnego}}
Dla małych prób tablice podają Siegel i Castellan (1988). Rozkład tau bardzo szybko dąży do rozkładu normalnego, więc dla prób <math>N\geqslant 10</math> można już stosować [[rozkład normalny]] (Hays 1988).

== Wersje ==
Tau Kendalla ma dobrą interpretację i właściwości statystyczne, jednak wartości 1 i –1 nie wystąpią, gdy którakolwiek z porównywanych zmiennych ma tę samą wartość dla dwóch obserwacji. Intuicyjnie wydawałoby się, że miara pokazująca zależność dwóch zmiennych powinna dawać maksymalną wartość (czyli tu 1) jeśli porównamy jakąś zmienną z nią samą. W przypadku tau Kendalla nie będzie to jednak prawda, o ile zmienna przyjmie dla dwóch obserwacji tę samą wartość.

Zaproponowano szereg innych estymatorów z próby tau Kendalla, które nie mają tej właściwości. Dwa z nich, nazywane są '''tau-b''' i '''tau-c'''. Dla odróżnienia miara opisana wcześniej nazywana bywa '''tau-a'''. Miary te różnią się wartością tylko w przypadku występowania par wiązanych. 

Współczynnik tau-b (<math>\tau_B</math>) zdefiniowany w następujący sposób<ref>{{Cytuj |autor = M. G. Kendall |tytuł = THE TREATMENT OF TIES IN RANKING PROBLEMS |czasopismo = Biometrika |data = 1945 |data dostępu = 2023-11-30 |issn = 0006-3444 |wolumin = 33 |numer = 3 |s = 239–251 |doi = 10.1093/biomet/33.3.239 |url = https://academic.oup.com/biomet/article-lookup/doi/10.1093/biomet/33.3.239 |język = en}}</ref><ref>{{Cytuj |autor = Alan Agresti |tytuł = Analysis of ordinal categorical data |data = 2010 |data dostępu = 2023-11-30 |isbn = 978-0-470-08289-8 |wydanie = 2. ed |opis = Wiley series in probability and statistics |miejsce = Hoboken, NJ |wydawca = Wiley}}</ref>:

: <math>\tau_B = \frac{P-Q}{\sqrt{(n_0-n_1)(n_0-n_2)}}</math>,

gdzie ''P'' to liczba par zgodnych, ''Q'' to liczba par niezgodnych, ''n<sub>0</sub>'' to liczba wszystkich par (<math>n_0=N(N-1)/2</math>), zaś ''n<sub>1</sub>'' i ''n<sub>2</sub>'' wyznaczone są dla wartości wiązanych za pomocą następujących wzorów:

: <math>n_1 = \sum_i t_i (t_i-1)/2 </math>, gdzie t<sub>i</sub> to liczba powiązanych wartości pierwszej zmiennej dla ''i''-tej grupy wiązań

: <math>n_2 = \sum_j u_j (u_j-1)/2 </math>, gdzie u<sub>j</sub> to liczba powiązanych wartości pierwszej zmiennej dla ''j''-tej grupy wiązań

Współczesne [[Język programowania|języki programowania]] stosowane do analizy danych, takie jak [[R (język programowania)|R]] lub [[Python]], stosują domyślnie wersję tau-b<ref>{{Cytuj |tytuł = cor function - RDocumentation |data dostępu = 2023-11-30 |opublikowany = www.rdocumentation.org |url = https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/cor |język = en}}</ref><ref>{{Cytuj |tytuł = scipy.stats.kendalltau — SciPy v1.11.4 Manual |data dostępu = 2023-11-30 |opublikowany = docs.scipy.org |url = https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.kendalltau.html}}</ref>.

Tau-c (<math>\tau_C</math>), znane również pod nazwą Tau-c Stewarta-Kendalla, zalecane gdy liczba wiązań jest duża i różna w przypadku obu zmiennych, zdefiniowane jest następująco<ref>{{Cytuj |autor = Kenneth J. Berry, Janis E. Johnston, Sammy Zahran, Paul W. Mielke |tytuł = Stuart’s tau measure of effect size for ordinal variables: Some methodological considerations |czasopismo = Behavior Research Methods |data = 2009-11-01 |data dostępu = 2023-11-30 |issn = 1554-3528 |wolumin = 41 |numer = 4 |s = 1144–1148 |doi = 10.3758/BRM.41.4.1144 |język = en}}</ref>:

: <math>\tau_C = \frac{2 (P-Q)}{N^2 \frac{(m-1)}{m}} = \tau_A \frac{N-1}{N} \frac{m}{m-1}</math>,


gdzie ''m'' to mniejsza z dwóch liczb: liczby unikalnych wartości pierwszej zmiennej i liczby unikalnych wartości drugiej zmiennej. 

== Związki z innymi miarami ==
=== Współczynnik korelacji ===
[[Współczynnik korelacji]] Pearsona służy do oceny liniowej zależności pomiędzy dwiema zmiennymi. Tau Kendalla mierzy zależność monotoniczną. Współczynniki te mierzą co innego, więc ich wartości nie są bezpośrednio porównywalne.

Tau Kendalla jako metoda rangowa jest odporne na [[obserwacja odstająca|obserwacje odstające]], w przeciwieństwie do współczynnika korelacji.

Tau Kendalla jako [[statystyka nieparametryczna|metoda nieparametryczna]] nie czyni żadnych założeń dotyczących rozkładu zmiennych w populacji, nadaje się zatem do dowolnych rozkładów. Współczynnik korelacji ma poprawne wyprowadzenie matematyczne tylko dla [[wielowymiarowy rozkład normalny|wielowymiarowego rozkładu normalnego]], dla innych rozkładów może nie mieć sensownej interpretacji, niepoprawnie działają również [[Poziom istotności|testy istotności statystycznej]].

=== Rho Spearmana ===
Tau Kendalla i rho Spearmana to dwie miary zależności monotonicznej zmiennych losowych. Inne jest jednak ich wyprowadzenie i interpretacja. Tau Kendalla należy interpretować w kategoriach prawdopodobieństwa, natomiast rho Spearmana należy interpretować w kategoriach procentu [[wariancja|wariancji]] rang jednej zmiennej, wyjaśnianej przez drugą zmienną.

Między tymi wartościami zachodzi nierówność<ref>{{cytuj pismo |nazwisko=Durbin|imię=J.|nazwisko2=Stuart|imię2=A.S. |tytuł=Inversions and rank correlations |czasopismo=Journal of Royal Statistical Society Series |data=1951 |oznaczenie=B 2 |strony=303–309}}</ref><ref name="Foundations" />:
: <math>\frac{3}{2}\tau-\frac{1}{2}\leqslant \rho\leqslant \frac{1}{2}+\tau-\frac{1}{2}\tau^2\ \operatorname{dla}\ \tau\geqslant 0,</math>
: <math>\frac{1}{2}\tau^2+\tau-\frac{1}{2}\leqslant \rho\leqslant \frac{3}{2}\tau+\frac{1}{2}\ \operatorname{dla}\ \tau\leqslant 0.</math>

Podawane jest też<ref>{{cytuj książkę|nazwisko=Daniels|imię=H.E.|tytuł=Rank correlation and population models|wydawca=J R Statist Soc B (1950), 171–181}}</ref><ref>Siegel i Castellan (1988).</ref> grubsze oszacowanie: <math>-1\geqslant3\tau-2\rho_s\geqslant1.</math>

Można też pokazać, że jeśli przedstawimy łączny rozkład dwuwymiarowy zmiennych X i Y w postaci unormowanej do 1 [[Macierz stochastyczna|macierzy prawdopodobieństwa]] <math>m\times k</math> o elementach <math>[p_{ij}],</math> wówczas obydwie te wielkości dają się przedstawić za pomocą średnich ważonych z [[minor]]ów stopnia drugiego (Kowalczyk 2000):

: <math>\tau=\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{q=i+1}^m\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{r=j+1}^k 2\begin{vmatrix}
p_{ij} & p_{ir}\\
p_{qj} & p_{qr}
\end{vmatrix},</math>

: <math>\rho=\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{q=i+1}^m\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{r=j+1}^k w_{ijqr}\begin{vmatrix}
p_{ij} & p_{ir}\\
p_{qj} & p_{qr}
\end{vmatrix},</math>

gdzie:
: <math>w_{ijqr}=12\left( \operatorname{Sc}_{row}(q)-\operatorname{Sc}_{row}(i)\right) \left( \operatorname{Sc}_{col}(r)-\operatorname{Sc}_{col}(j)\right),</math>
a <math>\operatorname{Sc}_{row}</math> i <math>\operatorname{Sc}_{col}</math> to tzw. [[skory gradacyjne]] (''grade scores''):
: <math>\operatorname{Sc}_{row}(i)=\left( \sum_{a=1}^{i-1}\sum_{b=1}^k p_{ab}\right) +\frac{1}{2}\sum_{b=1}^k p_{ib},</math>
: <math>\operatorname{Sc}_{col}(j)=\left( \sum_{a=1}^m\sum_{b=1}^{j-1}p_{ab}\right) +\frac{1}{2}\sum_{a=1}^m p_{aj}.</math>

== Analiza odpowiedniości oparta na tau ==
Klasyczna [[analiza odpowiedniości]] (inna nazwa: analiza korespondencji) jest metodą statystyczną, która wszystkim możliwym wartościom dwóch [[Skala nominalna|zmiennych nominalnych]] przyporządkowuje takie liczby (tzw. scory), aby przy pewnych założeniach maksymalizować [[współczynnik korelacji Pearsona]] między tymi zmiennymi.

Zespół prof. [[Elżbieta Pleszczyńska|Elżbiety Pleszczyńskiej]] opracował odpowiedniki klasycznej analizy odpowiedniości, zwane [[gradacyjna analiza odpowiedniości|gradacyjną analizą odpowiedniości]] (GCA), które maksymalizują rho Spearmana oraz tau Kendalla<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Kowalczyk|imię=T. |nazwisko2=Pleszczyńska|imię2=E. |nazwisko3=Ruland|imię3=F. |autor4=(red.) |tytuł=Grade Models and Methods for Data Analysis with Applications for the Analysis of Data Populations | data=2004 |seria=Studies in Fuzziness and Soft Computing vol. 151 |wydawca=Springer Verlag |miejsce=Berlin Heidelberg New York |isbn=9783540211204}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[Współczynnik gamma|gamma Kruskala]]
* [[korelacja rangowa]]
* [[Współczynnik korelacji rang Spearmana|rho Spearmana]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Abdi |imię=H. |tytuł= Kendall rank correlation |url= http://www.utdallas.edu/~herve/Abdi-KendallCorrelation2007-pretty.pdf |data=2007 |wydawca=w N.J. Salkind (red.): Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks (CA): Sage.}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Daniels |imię=H.E. |tytuł=Rank correlation and population models |data=1950 |wydawca=J R Statist Soc B, 171–181}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Everitt |imię=B.S. |tytuł=The analysis of contingency tables |data=1977 |miejsce=Londyn |wydawca=Chapman & Hall}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Hays |imię=W.L. |tytuł=Statistics |data=1988 |wydanie=4 |miejsce=Nowy Jork |wydawca=CBS College Publishing}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kendall |imię=M.G. |tytuł=A New Measure of Rank Correlation |data=1938}} Biometrika, 30, 81-89.
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kendall |imię=M.G. |tytuł=Rank Correlation Methods |data=1948 |miejsce=Londyn |wydawca=Charles Griffin & Company Limited |wydanie=1}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kowalczyk |imię=Teresa |tytuł=Link between grade measures of dependence and of separability of pairs of conditional distributions |wydawca=Statistics and Probability Letters 46 (2000), 371-379}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kruskal |imię=W.H. |tytuł=Ordinal Measures of Association |data=1958}} Journal of the American Statistical Association, 53(284), 814-861.
* {{cytuj książkę |nazwisko=Siegel |imię=S. |nazwisko2=Castellan |imię2=N.J. |tytuł=Nonparametric statistics for the behavioral sciences |data=1988 |wydanie=2 |miejsce=Nowy Jork |wydawca=McGraw-Hill}}
* Statsoft: '' [[Statistica]] Electronic Manual''

[[Kategoria:Miary zależności]]
[[Kategoria:Statystyka nieparametryczna]]