Tekst źródłowy strony Tabela rozkładu liczb całkowitych Gaussa na czynniki pierwsze

Liczba [[Liczby całkowite Gaussa|całkowita Gaussa]] jest zerem, jedną z czterech jedności <math>(\pm 1, \pm i),</math> liczbą pierwszą Gaussa lub liczbą złożoną. Artykuł stanowi tabela liczb całkowitych Gaussa <math>x + yi,</math> których norma nie przekracza 1000 i ich rozkład na czynniki pierwsze. Liczby [[Liczby całkowite Gaussa|pierwsze Gaussa]] oznaczone są w tabeli etykietą (p). Rozkład na czynniki obejmuje również opcjonalną [[Element odwracalny|jedność]] pomnożoną przez potęgi liczb pierwszych Gaussa dla większej przejrzystości zapisu.

Zwrócić uwagę należy na istnienie wymiernych liczb pierwszych (tzn. liczb pierwszych ze zbioru liczb całkowitych), które nie są liczbami pierwszymi Gaussa<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Adam Neugebauer |tytuł = Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb |data = 2018 |data dostępu = 2022-06-26 |isbn = 978-83-7267-710-5 |wydanie = I |miejsce = Kraków |wydawca = Wydawnictwo Szkolne OMEGA |oclc = 1055646686 |url = https://www.worldcat.org/title/matematyka-olimpijska-1-algebra-i-teoria-liczb/oclc/1055646686}}</ref>. Przykładem jest wymierna liczba pierwsza 5, która w zbiorze <math>\mathbb{Z}[i]</math> jest rozkładalna na czynniki: <math>5= (2-i) (2+i),</math> nie jest w związku z tym liczbą pierwszą Gaussa.

== Konwencje ==
Druga kolumna tabeli zawiera tylko liczby z pierwszej ćwiartki, tzn. liczby, których część rzeczywista <math>x</math> jest dodatnia, a część urojona <math>y</math> jest nieujemna. Tabelę można było jeszcze bardziej uprościć sprowadzając liczby do tych z pierwszej [[Układ współrzędnych kartezjańskich#Ćwiartki i oktanty|oktanty]] płaszczyzny zespolonej przy użyciu obserwacji, że <math>y+xi=i (x-yi).</math>

Rozkłady na czynniki nie są wyjątkowe w tym sensie, że jednostka może zostać wchłonięta przez dowolny inny czynnik z wykładnikiem równym jeden. Na przykład <math>4+2i = -i (1+i)^2 (2+i)</math> można zapisać również jako <math>4+2i = (1+i)^2 (1-2i).</math> Ta niejednoznaczność została rozwiązana zgodnie z następującą konwencją: czynniki są liczbami pierwszymi z prawej półpłaszczyzny zespolonej o wartości bezwzględnej części rzeczywistej większej lub równej wartości bezwzględnej części urojonej.

Wpisy są sortowane według rosnącej normy <math>x^2 + y^2</math> {{OEIS|id=001481}}. Tabela jest kompletna do maksymalnej normy na końcu tabeli w tym sensie, że każda liczba złożona lub pierwsza z pierwszej ćwiartki pojawia się w drugiej kolumnie.

Liczby pierwsze Gaussa występują tylko dla pewnego podzbioru norm {{OEIS|id=A055025}}. Jest to bardziej przejrzysta wersja dwóch innych ciągów: {{OEIS|id=A103431}}, {{OEIS|id=A103432}}.

== Rozkład na czynniki ==
{| class="wikitable sortable"
!Norma
!Liczba
!Czynniki
|-
|<math>2</math>
|<math>1+i</math>
|(p)
|-
|<math>4</math>
|<math>2</math>
|<math>-i (1+i)^2</math>
|-
|<math>5</math>
|<math>2+i</math><br /><math>1+2i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>8</math>
|<math>2+2i</math>
|<math>-i (1+i)^3</math>
|-
|<math>9</math>
|<math>3</math>
|(p)
|-
|<math>10</math>
|<math>1+3i</math><br /><math>3+i</math>
|<math>(1+i) (2+i)</math><br /><math>(1+i) (2-i)</math>
|-
|<math>13</math>
|<math>3+2i</math><br /><math>2+3i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>16</math>
|<math>4</math>
|<math>-(1+i)^4</math>
|-
|<math>17</math>
|<math>1+4i</math><br /><math>4+i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>18</math>
|<math>3+3i</math>
|<math>(1+i) \cdot 3</math>
|-
|<math>20</math>
|<math>2+4i</math><br /><math>4+2i</math>
|<math>(1+i)^2 (2-i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (2+i)</math>
|-
|<math>25</math>
|<math>3+4i</math><br /><math>4+3i</math><br /><math>5</math>
|<math>(2+i)^2</math><br /><math>i (2-i)^2</math><br /><math>(2+i) (2-i)</math>
|-
|<math>26</math>
|<math>1+5i</math><br /><math>5+i</math>
|<math>(1+i) (3+2i)</math><br /><math>(1+i) (3-2i)</math>
|-
|<math>29</math>
|<math>2+5i</math><br /><math>5+2i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>32</math>
|<math>4+4i</math>
|<math>-(1+i)^5</math>
|-
|<math>34</math>
|<math>3+5i</math><br /><math>5+3i</math>
|<math>(1+i) (4+i)</math><br /><math>(1+i) (4-i)</math>
|-
|<math>36</math>
|<math>6</math>
|<math>-i (1+i)^2 \cdot 3</math>
|-
|<math>37</math>
|<math>1+6i</math><br /><math>6+i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>40</math>
|<math>2+6i</math><br /><math>6+2i</math>
|<math>-i (1+i)^3 (2+i)</math><br /><math>-i (1+i)^3 (2-i)</math>
|-
|<math>41</math>
|<math>4+5i</math><br /><math>5+4i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>45</math>
|<math>3+6i</math><br /><math>6+3i</math>
|<math>i (2-i) \cdot 3</math><br /><math>(2+i) \cdot 3</math>
|-
|<math>49</math>
|<math>7</math>
|(p)
|-
|<math>50</math>
|<math>1+7i</math><br /><math>5+5i</math><br /><math>7+i</math>
|<math>i (1+i) (2-i)^2</math><br /><math>(1+i) (2+i) (2-i)</math><br /><math>-i (1+i) (2+i)^2</math>
|-
|<math>52</math>
|<math>4+6i</math><br /><math>6+4i</math>
|<math>(1+i)^2 (3-2i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (3+2i)</math>
|-
|<math>53</math>
|<math>2+7i</math><br /><math>7+2i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>58</math>
|<math>3+7i</math><br /><math>7+3i</math>
|<math>(1+i) (5+2i)</math><br /><math>(1+i) (5-2i)</math>
|-
|<math>61</math>
|<math>5+6i</math><br /><math>6+5i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>64</math>
|<math>8</math>
|<math>i (1+i)^6</math>
|-
|<math>65</math>
|<math>1+8i</math><br /><math>4+7i</math><br /><math>7+4i</math><br /><math>8+i</math>
|<math>i (2+i) (3-2i)</math><br /><math>(2+i) (3+2i)</math><br /><math>i (2-i) (3-2i)</math><br /><math>(2-i) (3+2i)</math>
|-
|<math>68</math>
|<math>2+8i</math><br /><math>8+2i</math>
|<math>(1+i)^2 (4-i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (4+i)</math>
|-
|<math>72</math>
|<math>6+6i</math>
|<math>-i (1+i)^3 \cdot 3</math>
|-
|<math>73</math>
|<math>3+8i</math><br /><math>8+3i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>74</math>
|<math>5+7i</math><br /><math>7+5i</math>
|<math>(1+i) (6+i)</math><br /><math>(1+i) (6-i)</math>
|-
|<math>80</math>
|<math>4+8i</math><br /><math>8+4i</math>
|<math>-i (1+i)^4 (2-i)</math><br /><math>-(1+i)^4 (2+i)</math>
|-
|<math>81</math>
|<math>9</math>
|<math>3^2</math>
|-
|<math>82</math>
|<math>1+9i</math><br /><math>9+i</math>
|<math>(1+i) (5+4i)</math><br /><math>(1+i) (5-4i)</math>
|-
|<math>85</math>
|<math>2+9i</math><br /><math>6+7i</math><br /><math>7+6i</math><br /><math>9+2i</math>
|<math>i (2-i) (4+i)</math><br /><math>i (2-i) (4-i)</math><br /><math>(2+i) (4+i)</math><br /><math>(2+i) (4-i)</math>
|-
|<math>89</math>
|<math>5+8i</math><br /><math>8+5i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>90</math>
|<math>3+9i</math><br /><math>9+3i</math>
|<math>(1+i) (2+i) \cdot 3</math><br /><math>(1+i) (2-i) \cdot 3</math>
|-
|<math>97</math>
|<math>4+9i</math><br /><math>9+4i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>98</math>
|<math>7+7i</math>
|<math>(1+i) \cdot 7</math>
|-
|<math>100</math>
|<math>6+8i</math><br /><math>8+6i</math><br /><math>10</math>
|<math>-i (1+i)^2 (2+i)^2</math><br /><math>(1+i)^2 (2-i)^2</math><br /><math>-i (1+i)^2 (2+i) (2-i)</math>
|-
|<math>101</math>
|<math>1+10i</math><br /><math>10+i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>104</math>
|<math>2+10i</math><br /><math>10+2i</math>
|<math>-i (1+i)^3 (3+2i)</math><br /><math>-i (1+i)^3 (3-2i)</math>
|-
|<math>106</math>
|<math>5+9i</math><br /><math>9+5i</math>
|<math>(1+i) (7+2i)</math><br /><math>(1+i) (7-2i)</math>
|-
|<math>109</math>
|<math>3+10i</math><br /><math>10+3i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>113</math>
|<math>7+8i</math><br /><math>8+7i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>116</math>
|<math>4+10i</math><br /><math>10+4i</math>
|<math>(1+i)^2 (5-2i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (5+2i)</math>
|-
|<math>117</math>
|<math>6+9i</math><br /><math>9+6i</math>
|<math>i \cdot 3 \cdot (3-2i)</math><br /><math>3 \cdot (3+2i)</math>
|-
|<math>121</math>
|<math>11</math>
|(p)
|-
|<math>122</math>
|<math>1+11i</math><br /><math>11+i</math>
|<math>(1+i) (6+5i)</math><br /><math>(1+i) (6-5i)</math>
|-
|<math>125</math>
|<math>2+11i</math><br /><math>5+10i</math><br /><math>10+5i</math><br /><math>11+2i</math>
|<math>(2+i)^3</math><br /><math>i (2+i) (2-i)^2</math><br /><math>(2+i)^2 (2-i)</math><br /><math>i (2-i)^3</math>
|-
|<math>128</math>
|<math>8+8i</math>
|<math>i (1+i)^7</math>
|-
|<math>130</math>
|<math>3+11i</math><br /><math>7+9i</math><br /><math>9+7i</math><br /><math>11+3i</math>
|<math>i (1+i) (2-i) (3-2i)</math><br /><math>(1+i) (2-i) (3+2i)</math><br /><math>(1+i) (2+i) (3-2i)</math><br /><math>-i (1+i) (2+i) (3+2i)</math>
|-
|<math>136</math>
|<math>6+10i</math><br /><math>10+6i</math>
|<math>-i (1+i)^3 (4+i)</math><br /><math>-i (1+i)^3 (4-i)</math>
|-
|<math>137</math>
|<math>4+11i</math><br /><math>11+4i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>144</math>
|<math>12</math>
|<math>-(1+i)^4 \cdot 3</math>
|-
|<math>145</math>
|<math>1+12i</math><br /><math>8+9i</math><br /><math>9+8i</math><br /><math>12+i</math>
|<math>i (2-i) (5+2i)</math><br /><math>(2+i) (5+2i)</math><br /><math>i (2-i) (5-2i)</math><br /><math>(2+i) (5-2i)</math>
|-
|<math>146</math>
|<math>5+11i</math><br /><math>11+5i</math>
|<math>(1+i) (8+3i)</math><br /><math>(1+i) (8-3i)</math>
|-
|<math>148</math>
|<math>2+12i</math><br /><math>12+2i</math>
|<math>(1+i)^2 (6-i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (6+i)</math>
|-
|<math>149</math>
|<math>7+10i</math><br /><math>10+7i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>153</math>
|<math>3+12i</math><br /><math>12+3i</math>
|<math>i \cdot 3 \cdot (4-i)</math><br /><math>3 \cdot (4+i)</math>
|-
|<math>157</math>
|<math>6+11i</math><br /><math>11+6i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>160</math>
|<math>4+12i</math><br /><math>12+4i</math>
|<math>-(1+i)^5 (2+i)</math><br /><math>-(1+i)^5 (2-i)</math>
|-
|<math>162</math>
|<math>9+9i</math>
|<math>(1+i) \cdot 3^2</math>
|-
|<math>164</math>
|<math>8+10i</math><br /><math>10+8i</math>
|<math>(1+i)^2 (5-4i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (5+4i)</math>
|-
|<math>169</math>
|<math>5+12i</math><br /><math>12+5i</math><br /><math>13</math>
|<math>(3+2i)^2</math><br /><math>i (3-2i)^2</math><br /><math>(3+2i) (3-2i)</math>
|-
|<math>170</math>
|<math>1+13i</math><br /><math>7+11i</math><br /><math>11+7i</math><br /><math>13+i</math>
|<math>(1+i) (2+i) (4+i)</math><br /><math>(1+i) (2+i) (4-i)</math><br /><math>(1+i) (2-i) (4+i)</math><br /><math>(1+i) (2-i) (4-i)</math>
|-
|<math>173</math>
|<math>2+13i</math><br /><math>13+2i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>178</math>
|<math>3+13i</math><br /><math>13+3i</math>
|<math>(1+i) (8+5i)</math><br /><math>(1+i) (8-5i)</math>
|-
|<math>180</math>
|<math>6+12i</math><br /><math>12+6i</math>
|<math>(1+i)^2 (2-i) \cdot 3</math><br /><math>-i (1+i)^2 (2+i) \cdot 3</math>
|-
|<math>181</math>
|<math>9+10i</math><br /><math>10+9i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>185</math>
|<math>4+13i</math><br /><math>8+11i</math><br /><math>11+8i</math><br /><math>13+4i</math>
|<math>i (2-i) (6+i)</math><br /><math>i (2-i) (6-i)</math><br /><math>(2+i) (6+i)</math><br /><math>(2+i) (6-i)</math>
|-
|<math>193</math>
|<math>7+12i</math><br /><math>12+7i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>194</math>
|<math>5+13i</math><br /><math>13+5i</math>
|<math>(1+i) (9+4i)</math><br /><math>(1+i) (9-4i)</math>
|-
|<math>196</math>
|<math>14</math>
|<math>-i (1+i)^2 \cdot 7</math>
|-
|<math>197</math>
|<math>1+14i</math><br /><math>14+i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>200</math>
|<math>2+14i</math><br /><math>10+10i</math><br /><math>14+2i</math>
|<math>(1+i)^3 (2-i)^2</math><br /><math>-i (1+i)^3 (2+i) (2-i)</math><br /><math>-(1+i)^3 (2+i)^2</math>
|-
|<math>202</math>
|<math>9+11i</math><br /><math>11+9i</math>
|<math>(1+i) (10+i)</math><br /><math>(1+i) (10-i)</math>
|-
|<math>205</math>
|<math>3+14i</math><br /><math>6+13i</math><br /><math>13+6i</math><br /><math>14+3i</math>
|<math>i (2+i) (5-4i)</math><br /><math>(2+i) (5+4i)</math><br /><math>i (2-i) (5-4i)</math><br /><math>(2-i) (5+4i)</math>
|-
|<math>208</math>
|<math>8+12i</math><br /><math>12+8i</math>
|<math>-i (1+i)^4 (3-2i)</math><br /><math>-(1+i)^4 (3+2i)</math>
|-
|<math>212</math>
|<math>4+14i</math><br /><math>14+4i</math>
|<math>(1+i)^2 (7-2i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (7+2i)</math>
|-
|<math>218</math>
|<math>7+13i</math><br /><math>13+7i</math>
|<math>(1+i) (10+3i)</math><br /><math>(1+i) (10-3i)</math>
|-
|<math>221</math>
|<math>5+14i</math><br /><math>10+11i</math><br /><math>11+10i</math><br /><math>14+5i</math>
|<math>i (3-2i) (4+i)</math><br /><math>(3+2i) (4+i)</math><br /><math>i (3-2i) (4-i)</math><br /><math>(3+2i) (4-i)</math>
|-
|<math>225</math>
|<math>9+12i</math><br /><math>12+9i</math><br /><math>15</math>
|<math>(2+i)^2 \cdot 3</math><br /><math>i (2-i)^2 \cdot 3</math><br /><math>(2+i) (2-i) \cdot 3</math>
|-
|<math>226</math>
|<math>1+15i</math><br /><math>15+i</math>
|<math>(1+i) (8+7i)</math><br /><math>(1+i) (8-7i)</math>
|-
|<math>229</math>
|<math>2+15i</math><br /><math>15+2i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>232</math>
|<math>6+14i</math><br /><math>14+6i</math>
|<math>-i (1+i)^3 (5+2i)</math><br /><math>-i (1+i)^3 (5-2i)</math>
|-
|<math>233</math>
|<math>8+13i</math><br /><math>13+8i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>234</math>
|<math>3+15i</math><br /><math>15+3i</math>
|<math>(1+i) \cdot 3 \cdot (3+2i)</math><br /><math>(1+i) \cdot 3 \cdot (3-2i)</math>
|-
|<math>241</math>
|<math>4+15i</math><br /><math>15+4i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>242</math>
|<math>11+11i</math>
|<math>(1+i) \cdot 11</math>
|-
|<math>244</math>
|<math>10+12i</math><br /><math>12+10i</math>
|<math>(1+i)^2 (6-5i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (6+5i)</math>
|-
|<math>245</math>
|<math>7+14i</math><br /><math>14+7i</math>
|<math>i (2-i) \cdot 7</math><br /><math>(2+i) \cdot 7</math>
|-
|<math>250</math>
|<math>5+15i</math><br /><math>9+13i</math><br /><math>13+9i</math><br /><math>15+5i</math>
|<math>(1+i) (2+i)^2 (2-i)</math><br /><math>i (1+i) (2-i)^3</math><br /><math>-i (1+i) (2+i)^3</math><br /><math>(1+i) (2+i) (2-i)^2</math>
|}
{| class="wikitable sortable"
!Norma
!Liczba
!Czynniki
|-
|<math>256</math>
|<math>16</math>
|<math>(1+i)^8</math>
|-
|<math>257</math>
|<math>1+16i</math><br /><math>16+i</math>
|(p)<br />(p)
|-
|<math>260</math>
|<math>2+16i</math><br /><math>8+14i</math><br /><math>14+8i</math><br /><math>16+2i</math>
|<math>(1+i)^2 (2+i) (3-2i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (2+i) (3+2i)</math><br /><math>(1+i)^2 (2-i) (3-2i)</math><br /><math>-i (1+i)^2 (2-i) (3+2i)</math>
|-
|<math>261</math>
|<math>6+15i</math><br /><math>15+6i</math>
|<math>i \cdot 3 \cdot (5-2i)</math><br /><math>3 \cdot (5+2i)</math>
|-
|<math>265</math>
|<math>3+16i</math><br /><math>11+12i</math><br /><math>12+11i</math><br /><math>16+3i</math>
|<math>i (2-i) (7+2i)</math><br /><math>i (2-i) (7-2i)</math><br /><math>(2+i) (7+2i)</math><br /><math>(2+i) (7-2i)</math>
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|}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor = Greg Dresden; Wayne M. Dymàček |tytuł = Finding Factors of Factor Rings over the Gaussian Integers |czasopismo = American Mathematical Monthly |data = 2005 |wydanie = 7 |wolumin = 112 |s = 602–611 |doi = 10.2307/30037545 |jstor = 30037545}}
* {{Cytuj |autor = Ellen Gethner; Stan Wagon; Brian Wick |tytuł = A Stroll Through the Gaussian Primes |czasopismo = American Mathematical Monthly |data = 1998 |wydanie = 4 |wolumin = 105 |s = 327–337 |doi = 10.2307/2589708}}
* {{Cytuj |autor = H. Matsui |tytuł = A bound for the least Gaussian prime omega with alpha < arg(omega) < beta |czasopismo = Archiv der Mathematik |data = 2000 |wydanie = 6 |wolumin = 74 |s = 423–431 |doi = 10.1007/s000130050463}}

== Linki zewnętrzne ==
* [https://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html Liczby pierwsze Gaussa]
* [https://mathworld.wolfram.com/PrimeFactorization.html Rozkład na czynniki pierwsze]

[[Kategoria:Liczby zespolone]]