Tekst źródłowy strony Szereg Gregory’ego

'''Szereg Gregory’ego''' – rozwinięcie funkcji [[Funkcje cyklometryczne|arcus tangens]] w [[Wzór Taylora|szereg Taylora]]. Szereg Gregory’ego został odkryty w 1668 roku przez [[James Gregory|Jamesa Gregory’ego]] oraz kilka lat później niezależnie przez [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Leibniza]]. Przypadek <math>x=1</math> jest wzorem Leibniza na obliczanie liczby <math>\pi</math><ref>{{Cytuj |autor = Eric W. Weisstein |tytuł = Gregory Series |data dostępu = 2022-06-27 |opublikowany = mathworld.wolfram.com |url = https://mathworld.wolfram.com/ |język = en}}</ref>.

== Szereg ==
Szereg wygląda następująco
: <math>\int_0^x \, \frac{du}{1+u^2} = \operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots</math>

Szereg podobny jest do rozwinięcia w szereg Taylora funkcji [[Funkcje trygonometryczne|sinus]], który w mianownikach, zamiast kolejnych liczb nieparzystych, ma [[silnia|silnie]] kolejnych liczb nieparzystych, zob. [[wzór Taylora#Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne|wzór Taylora]].

== Historia ==
Najwcześniejszą osobą, której można z całą pewnością przypisać znajomość szeregu, jest [[Madhawa z Sangamagramy|Madhava z Sangamagramy]] (ok. 1340 – ok. 1425). Pierwotna wzmianka (jak w przypadku większości prac Madhavy) zaginęła, ale kilku jego następców z założonej przez niego szkoły astronomii i matematyki w Kerali przypisuje mu to odkrycie. Konkretne wzmianki o szeregu znajdują się w dziele ''Tantrasangraha'' Nilakantha Somayaji (ok. 1500)<ref>{{Cytuj |autor = K.V. Sarma |tytuł = Tantrasamgraha with English translation |s = 48 |archiwum = http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_2/20005a5d_s1.pdf}}</ref><ref>''Tantrasamgraha'', ed. K.V. Sarma, trans. V.S. Narasimhan in the Indian Journal of History of Science, issue starting Vol. 33, No. 1 of March 1998.</ref>, traktacie ''Yuktibhāṣā'' Jyeṣṭhadevy (ok. 1530)<ref>{{Cytuj |autor = K.V. Sarma; S. Hariharan |tytuł = A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy – An analytic appraisal |archiwum = http://www.new.dli.ernet.in/insa/INSA_1/20005ac0_185.pdf}}</ref> oraz komentarzu ''Yukti-dipika'' autorstwa Sankary Variyara, gdzie podano go w wersetach 2.206–2.209<ref>{{Cytuj |autor = C.K. Raju |tytuł = Cultural Foundations of Mathematics: The Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from India to Europe in the 16th C. CE |data = 2007 |isbn = 978-81-317-0871-2 |wydawca = Pearson Education India |s = 231}}</ref>.

Odkrycie szeregu jest przypisywane Gregory’emu na podstawie dwóch publikacji z 1668 r.: ''Geometriae pars universalis'' (''Powszechna część geometrii''), ''Exercitationes geometrica'' (''Ćwiczenia geometryczne'').

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Carl B. Boyer, ''A history of mathematics'', wydanie drugie, John Wiley & Sons, Inc., s. 386, 1991.
* Gupta, RC (1973). „The Madhava–Gregory series”. ''Mathematical Education''. '''7''': 67–70.

{{Trygonometria}}

[[Kategoria:Szeregi]]