Tekst źródłowy strony Symetria cząsteczkowa

'''Symetria cząsteczkowa''' określana jest przez operacje symetrii przekształcające cząsteczkę w postać równoważną, czyli nierozróżnialną od postaci pierwotnej (postać równoważna może, lecz nie musi, być identyczna z postacią pierwotną). Podczas wykonywania operacji symetrii atomy tego samego rodzaju ulegają zamianie miejscami ([[permutacja]]) jeśli nie leżą na danym elemencie symetrii. Wyjątkiem jest operacja identyczności, która pozostawia wszystkie atomy na swoich miejscach (postać identyczna). Symetria cząsteczki wpływa na takie istotne właściwości jak: [[reaktywność chemiczna|reaktywność]], parametry [[spektroskopia|spektroskopowe]], [[Elektryczny moment dipolowy|moment dipolowy]], [[aktywność optyczna]] itd.

W internecie można znaleźć szereg narzędzi dotyczących grup symetrii. Są one przydatne zarówno w celach dydaktycznych, jak i naukowych. Poniższe tytuły należy wkleić w przeglądarkę internetową.

* Symmetry@Otterbein – Symmetry Resources at Otterbein University – oferuje narzędzie pomocne w nauce algorytmu przyporządkowującego cząsteczkę do punktowej grupy symetrii.
* Character tables for chemically important point groups – oferuje spis tabel charakterów punktowych grup symetrii, spis własności grup, narzędzia pozwalające na rozkład reprezentacji grup, narzędzia pomocne przy korzystaniu z programów do obliczeń kwantowo-chemicznych.
* OSU Http Server on the Applied Crystallography Group DEC Alpha Homepage – oferuje tabele grup punktowych i [[Grupa przestrzenna|przestrzennych]] w notacji Hermanna–Mauguina, opisy własności grup, opisy grup odniesione do pomiaru dyfrakcyjnego, rozbudowany artykuł na temat dyfrakcji proszkowej.

== Operacje i elementy symetrii ==
Jak widać z poniższej tabeli, symetria cząsteczkowa definiowana jest przez cztery rodzaje (nietożsamościowych) elementów – i opartych na nich operacjach – symetrii: osi obrotu, osi przemiennej obrotu, płaszczyzny symetrii oraz [[Symetria środkowa|środka symetrii]].

[[Plik:Formaldehyde symmetry elements.svg|thumb|Cząsteczka formaldehydu i jej elementy symetrii]]

{| class="wikitable"
|-
! element symetrii (symbol) !! operacja symetrii (symbol) !! uwagi
|-
| element tożsamości <math>E</math> || <math>\hat E</math> operacja tożsamościowa || wszystkie atomy i wiązania pozostają na swoich miejscach
|-
| ''n''-krotna oś obrotu <math>C_n</math> || <math>\hat C_n</math> obrót o kąt <math>2\pi/n</math> || ''N''-krotny obrót wokół osi <math>C_n</math> jest równoważny operacji tożsamościowej.
|-
|płaszczyzna symetrii<br><math>\sigma</math> || <math>\hat{\sigma}</math> odbicie w płaszczyźnie || poniższe trzy elementy/operacje symetrii są szczególnymi przypadkami symetrii płaszczyznowej
|-
|płaszczyzna symetrii (wertykalna)<br><math>\sigma_\mathrm{v}</math> || <math>\hat{\sigma}_\mathrm v</math> odbicie w płaszczyźnie zawierającej oś główną ||
|-
|płaszczyzna symetrii (diagonalna)<br><math>\sigma_\mathrm{d}</math> || <math>\hat{\sigma}_\mathrm{d}</math> odbicie w płaszczyźnie dwusiecznej kąta pomiędzy dwoma osiami dwukrotnymi, prostopadłymi do osi głównej ||
|-
|płaszczyzna symetrii (horyzontalna)<br><math>\sigma_\mathrm h</math> || <math>\hat{\sigma}_\mathrm h</math> odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do osi głównej ||
|-
| ''n''-krotna oś przemienna <math>S_n</math> || <math>\hat S_n</math> obrót o kąt <math>2\pi/n</math> i odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu || <u>brak osi przemiennej oznacza, że molekuła będzie posiadała [[izomeria optyczna|izomery optyczne]]</u> (będzie [[aktywność optyczna|aktywna optycznie]]).
|-
| środek symetrii <big><math>i</math></big> || <big><math>\hat i</math></big> inwersja odwzorowująca każdy punkt <math>(x, y, z)</math> w <math>(-x, -y, -z)</math> ||
|}

== Symetria w ujęciu teorii grup ==
[[Teoria grup]] dostarcza prostego i efektywnego narzędzia do opisu symetrii cząsteczki. Pozwala ona również na przewidywanie wielu użytecznych [[Właściwość fizyczna|właściwości fizycznych]] i [[Właściwość chemiczna|chemicznych]] cząsteczek wyłącznie na podstawie analizy ich symetrii.

Weźmy niepusty zbiór <math>G</math> z działaniem dwuargumentowym <math>\ast: G\times G \longrightarrow G,</math> <math>\forall x,y \in G \;\exists! \; z \in G: x\ast y = z</math> (czyt. Dla każdego <math>x</math> i <math>y</math> należących do <math>G,</math> istnieje dokładnie jeden <math>z</math> należący do <math>G,</math> że <math>x \ast y = z</math>).

W naszym przypadku elementami zbioru <math>G</math> są elementy symetrii, a działaniem dwuargumentowym jest złożenie elementów symetrii.

System algebraiczny <math>(G,\ast)</math> nazywamy grupą, jeżeli są spełnione następujące własności:

* Działanie <math>\ast</math> jest jednoznaczne (co wynika z jego definicji). Złożenie dwóch elementów symetrii jest pewnym dobrze określonym elementem (np. obrót cząsteczki [[woda|H<sub>2</sub>O]] o 180° i odbicie lustrzane w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny cząsteczki dają operację identyczności i tylko ją).
* Działanie <math>\ast</math> jest zamknięte ze względu na zbiór <math>G</math> (co wynika z jego definicji). Złożenie dwóch elementów symetrii danej grupy symetrii jest elementem symetrii tej samej grupy. (np. obrót cząsteczki [[woda|H<sub>2</sub>O]] o 180° i odbicie lustrzane w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny cząsteczki dają operację identyczności, która również należy do grupy symetrii cząsteczki wody).

* Działanie <math>\ast</math> jest [[Łączność (matematyka)|łączne]], czyli: <math>\forall x,y,z \in G\; (x\ast y) \ast z = x\ast (y \ast z)</math>
* Istnieje dokładnie jeden element <math>e</math> należący do grupy, który [[Komutator (matematyka)|komutuje]] i nie zmienia żadnego elementu danej grupy: <math>\forall x \in G\; \exists! \;e \in G: x\ast e = e \ast x = x.</math> Jest to element jednostkowy działania <math>\ast.</math> W przypadku grup symetrii elementem jednostkowym złożenia elementów symetrii jest element tożsamościowy.
* Każdy element grupy posiada dokładnie jeden element odwrotny (zdefiniowany przez element jednostkowy), który również należy do grupy: <math>\forall x \in G\; \exists! \;x^{-1} \in G: x\ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = e.</math> Np. w grupie symetrii cząsteczki wody każdy element symetrii jest jednocześnie swoim elementem odwrotnym.
* Jeżeli działanie <math>\ast</math> jest przemienne: <math>\forall x,y \in G\; x\ast y = y \ast x,</math> to grupę nazywamy [[Grupa przemienna|abelową]].

Liczba operacji tworzących daną grupę nazywa się rzędem grupy <math>h.</math> W większości wypadków grupy symetrii punktowych są [[grupa przemienna|nieprzemienne]] (nie[[Niels Henrik Abel|abelowe]]), czyli kolejność wykonywania operacji symetrii jest istotna <math>x\ast y \neq y \ast x.</math> Wyjątkiem są np. [[grupa cykliczna|grupy cykliczne]].

Zbiór [[Liczby całkowite|liczb całkowitych]] z działaniem dodawania, rozumianym jako zwykłe dodawanie w arytmetyce, jest grupą abelową. Zbiór kwadratowych, nieosobliwych [[macierz]]y [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] stopnia <math>n</math> z działaniem mnożenia, rozumianym jako [[mnożenie macierzy]], jest grupą nieabelową.

=== Punktowe grupy symetrii ===
Jedną z zalet formalizmu teorii grup w opisie symetrii cząsteczkowej jest to, że wszystkie możliwe struktury cząsteczek można łatwo zaklasyfikować do jednej ze względnie małej liczby teoretycznie dopuszczalnych grup symetrii. Grupy symetrii mają charakter punktowy, gdyż wszystkie elementy symetrii danej grupy przecinają się w jednym punkcie, który pozostaje niezmieniony bez względu na wykonywane operacje symetrii.

Poniższy schemat umożliwia jednoznaczne zaklasyfikowanie (w notacji Schoenfliesa) struktury cząsteczki do jednej z grup symetrii (dla wybranych grup w nawiasach klamrowych podano elementy danej grupy symetrii, a obok przykład cząsteczek):
# Sprawdź czy cząsteczka należy do jednej z grup specjalnych:
## cząsteczki linowe:
##* <math>\mathrm C_{\infty \mathrm v}</math> <math>\{E,\;2\,C_\infty,\; \infty\, \sigma_\mathrm v \}</math> {{chem2|CO, HCl, HCN, C2HF}}
##* <math>\mathrm D_{\infty \mathrm h}</math> <math>\{E,\;2\,C_\infty,\; \infty\, \sigma_\mathrm v,\; i,\; 2\,S_\infty,\; \infty\, C'_2 \}</math> {{chem2|CO2, O2, C2H2}}
## symetrie wielościanów foremnych (obecna więcej niż jedna oś obrotu wyższego rzędu <math>C_n \; \mbox{dla}\; n>2</math>):
##* grupa tetraedryczna <math>\mathrm T_\mathrm d</math> <math>\{E,\;8\,C_3,\; 3\,C_2,\; 6\, S_4,\; 6\, \sigma_\mathrm d \}</math> {{chem2|CH4, P4, P4O10,}} [[urotropina]]
##* grupa <math>\mathrm T_\mathrm h</math> nie zawiera osi 3-krotnych leżących w płaszczyźnie symetrii
##* grupa <math>\mathrm T</math> nie zawiera płaszczyzn symetrii
##* grupa oktaedryczna <math>\mathrm O_\mathrm h</math> <math>\{E,\;8\,C_3,\;6\, C_4,\; 3\,C_2,\;i,\; 8\, S_6,\;6\, S_4,\; 3\, \sigma_\mathrm h,\; 6\, \sigma_\mathrm d\}</math> {{chem2|SF6,}} [[Kuban (węglowodór)|kuban]]
##* grupa <math>\mathrm O</math> nie zwiera płaszczyzn symetrii
##* grupa ikosaedryczna <math>\mathrm I_\mathrm h</math> <math>\{E,\;
15\,C_5,\;
12\, (C_5)^2,\;
20\,C_3,\;
15\,C_2,\;
i,\;
12\, S_{10},\;
12\, (S_{10})^3,\;
20\, S_6,\;
15\, \sigma\}</math> {{chem2|C20, C60}}
##* grupa <math>\mathrm I</math> nie zawiera płaszczyzn symetrii

jeśli nie należy do grup specjalnych to:
# <li value=2>Czy brak osi obrotu <math>C_n</math>? Jeśli takiej osi nie ma to cząsteczka będzie należeć do grupy:
#* <math>\mathrm C_1</math> <math>\{E\}</math> {{chem2|CHClBrI}}
#* <math>\mathrm C_\mathrm s</math> <math>\{E,\;
\sigma_\mathrm h \}</math> {{chem2|ClBrC=CHI}}
#* <math>\mathrm C_\mathrm i</math> <math>\{E,\;
i \}</math> {{chem2|FClHC-CHClF}}

jeśli żadna z powyższych sytuacji to:
# <li value=3>Czy posiada wyłącznie przemienną oś obrotu o parzystej krotności <math>S_{2n} \; \mbox{dla}\; n>1</math>? Jeśli tak, to cząsteczka należy do grupy <math>\mathrm S_\mathrm n</math> np. <math>\mathrm S_4</math> <math>\{E,\;
S_4,\;
C_2,\;
(S_4)^3
\}</math> {{chem2|C(C6H5)4, C(CH2Cl)4}}

jeśli żadna z powyższych sytuacji to cząsteczka powinna posiadać oś <math>C_n</math> (nie wynikającą z obecności osi <math>S_{2n}</math>) i wtedy:
# <li value=4>jeśli cząsteczka nie posiada osi <math>C_2</math> prostopadłych do osi głównej <math>C_n</math> to:
#* gdy obecna <math>\sigma_\mathrm h</math> to cząsteczka należy do jednej z grup <math>\mathrm C_\mathrm{nh}</math> np. <math>\mathrm C_\mathrm{2h}</math> <math>\{E,\;
C_2,\;
i,\;
\sigma_\mathrm h
\}</math> {{chem2|\mathit{trans-}FHC=CHF}}
#* gdy obecne <math>n \; \sigma_\mathrm v</math> to cząsteczka należy do grupy <math>\mathrm C_\mathrm{nv}</math> np. <math>\mathrm C_\mathrm{2v}</math> <math>\{E,\;
C_2,\;
2\,\sigma_\mathrm v
\}</math> {{chem2|H2O, HCOH, C3H8, C6H12}} (wzór dla [[propan]]u dotyczy konformacji o najniższej energii, wzór dla [[cykloheksan]]u dotyczy konformacji łódkowej)
#* gdy brak płaszczyzn symetrii to cząsteczka należy do grupy <math>\mathrm C_\mathrm{n}</math> np. <math>\mathrm C_\mathrm{2}</math> <math>\{E,\;
C_2
\}</math> {{chem2|H2O2, C(CHCl)2}}
# jeśli cząsteczka posiada <math>n</math> osi obrotu <math>C_2</math> prostopadłych do osi głównej <math>C_n</math> to:
#* gdy obecna <math>\sigma_\mathrm h</math> to cząsteczka należy do jednej z grup <math>\mathrm D_\mathrm{nh}</math> np. <math>\mathrm D_\mathrm{2h}</math> <math>\{E,\;
3\,C_2,\;
i,\;
3\,\sigma
\}</math> {{chem2|C2H4, B2H6,}} [[naftalen]], [[antracen]], [[piren]]
#* gdy obecne <math>n \; \sigma_\mathrm d</math> to cząsteczka należy do grupy <math>\mathrm D_\mathrm{nd}</math> np. <math>\mathrm D_\mathrm{3d}</math> <math>\{E,\;
2\,C_3,\;
3\,C_2,\;
i,\;
2\,S_6,\;
3\,\sigma_\mathrm d
\}</math> {{chem2|C6(CH3)6, C2H6, C6H12}} (wzór dla [[etan]]u dotyczy konformacji naprzemianległej, wzór dla cykloheksanu dotyczy konformacji krzesełkowej)
#* gdy brak płaszczyzn symetrii to cząsteczka należy do grupy <math>\mathrm D_\mathrm{n}</math> np. <math>\mathrm D_\mathrm{3}</math> <math>\{E,\;
2\,C_3,\;
3\,C_2,
\}</math> {{chem2|C2H6, [Co(en)3]Cl3}} (wzór dla etanu dotyczy konformacji naprzeciwległej, en oznacza [[Etylenodiamina|etylenodiaminę]])

Uwagę należy zwrócić na możliwość występowania izomerii. Różne izomery mogą posiadać różne symetrie (należeć do różnych grup symetrii) – np. rotamery [[etan]]u.

=== Reprezentacje grup ===
Wygodną metodą formalnego przedstawienia grupy jest wykorzystanie zapisu [[macierz]]owego. [[Reprezentacja grupy]] to zbiór macierzy opisujących operacje symetrii danej grupy. Złożenie dwóch operacji symetrii opisane jest mnożeniem macierzy tych operacji. Przykładowo: grupa <math>\mathrm C_\mathrm{2h}</math> zawiera następujące elementy symetrii: <math>E,\;
C_2,\;
i,\;
\sigma_\mathrm h
.</math> Tabela mnożenia tej grupy wygląda następująco:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| <math>\mathrm C_\mathrm{2h}</math> || <math>E</math> || <math>C_2</math> || <math>i</math> || <math>\sigma_\mathrm h</math>
|-
| <math>E</math> || <math>E</math> || <math>C_2</math> || <math>i</math> || <math>\sigma_\mathrm h</math>
|-
| <math>C_2</math> || <math>C_2</math> || <math>E</math> || <math>\sigma_\mathrm h</math> || <math>i</math>
|-
| <math>i</math> || <math>i</math> || <math>\sigma_\mathrm h</math> || <math>E</math> || <math>C_2</math>
|-
| <math>\sigma_\mathrm h</math> || <math>\sigma_\mathrm h</math> || <math>i</math> || <math>C_2</math> || <math>E</math>
|}

Na przykład złożenie obrotu <math>\hat C_2</math> oraz operacji inwersji <math>\hat i</math> daje symetrie płaszczyznowa <math>\hat \sigma_\mathrm h{:}</math>
: <math>\underbrace{\begin{pmatrix}
     -1 & 0 & 0 \\
      0 & -1 & 0 \\
      0 & 0 & 1
\end{pmatrix}}_{C_2} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}
    -1 & 0 & 0 \\
    0 & -1 & 0 \\
    0 & 0 & -1
\end{pmatrix}}_i = \underbrace{\begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -1
\end{pmatrix}}_{\sigma_\mathrm h}</math>

Ważną właściwością macierzy reprezentujących operacje symetrii jest to, iż ich [[Ślad (algebra liniowa)|ślad]] (suma elementów leżących na przekątnej) pozostaje niezmienny podczas wykonywania [[przekształcenie unitarne|przekształceń unitarnych]] i [[przekształcenie podobieństwa|podobieństwa]].

==== Reprezentacje nieprzywiedlne ====
Istnieje wiele możliwych reprezentacji danej grupy symetrii. Zbiór macierzy operacji symetrii o najniższych możliwych [[Macierz#Wprowadzenie i oznaczenia|stopniach]] jest zbiorem [[reprezentacja nieprzywiedlna|reprezentacji nieprzywiedlnych]] danej grupy i jednoznacznie ją charakteryzuje. Znajomość macierzy operacji dla danej reprezentacji nie jest koniecznością. W praktyce wystarczy znać ślady tych macierzy, które w teorii reprezentacji są nazywane charakterami. Charaktery i inne informacje o danej grupie symetrii są zebrane w postaci tabel charakterów. Formalizm ten pozwala na bardziej intuicyjne podzielenie elementów symetrii na klasy. Np. Dwie operacja obrotu wokół różnych osi <math>C_3</math> są ze sobą powiązane obrotem układu współrzędnych. Obu operacjom przyporządkowane są inne macierze, ale ponieważ ślad macierzy jest niezmiennikiem, to charaktery obu macierzy powinny być takie same. W poniższej tabeli widzimy dwuelementową klasę obrotów wokół osi <math>C_3.</math> Tabele wykorzystywane w chemii podsumowują istotne właściwości fizyko-chemiczne wynikające z symetrii danej cząsteczki. Informacje zawarte w tabeli charakterów ilustruje poniższy przykład grupy <math>\mathrm D_\mathrm{3d}.</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! <math>\mathrm D_\mathrm{3d}</math> || <math>E</math> || <math>2\,C_3</math> || <math>3\,C_2</math> || <math>i</math> || <math>2\,S_6</math> || <math>3\,\sigma_\mathrm d</math>
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{1g}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || || <math>x^2 + y^2, z^2</math>
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{2g}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>R_z</math> ||
|-
| <math>\mathrm E_\mathrm g</math> || <math>2</math> || <math>-1</math> || <math>0</math> || <math>2</math> || <math>-1</math> || <math>0</math> || <math>(R_x, R_y)</math>
| <math>(x^2 - y^2, xy)(xz,yz)</math>
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{1g}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> ||
|
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{2u}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>z</math> ||
|-
| <math>\mathrm E_\mathrm u</math> || <math>2</math> || <math>-1</math> || <math>0</math> || <math>-2</math> || <math>1</math> || <math>0</math> || <math>(x, y)</math> ||
|-
| <math>\mathrm I</math>
|colspan=6| <math>\mathrm{II}</math> || <math>\mathrm{III}</math> || <math>\mathrm{IV}</math>
|}

I – Symbole reprezentacji nieprzywiedlnych grupy w notacji Mullikena. Reprezentacje jednowymiarowe – <math>\mathrm A</math> (symetryczne względem obrotu wokół osi głównej), <math>\mathrm B</math> (antysymetryczne względem obrotu wokół osi głównej), dwuwymiarowe – <math>\mathrm E,</math> trójwymiarowe – <math>\mathrm T.</math> Indeksy oznaczają reprezentacje: <math>1/2</math> – symetryczne/antysymetryczne względem obrotu wokół osi <math>C_2</math> prostopadłej do osi głównej (lub płaszczyzny symetrii <math>\sigma_\mathrm v</math>); prim/bis – symetryczne/antysymetryczne względem <math>\sigma_\mathrm h;</math> <math>\mathrm g / \mathrm u</math> – symetryczne/antysymetryczne względem środka symetrii.

II – Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych grupy symetrii. Każda kolumna reprezentuje jedną z '''''klas symetrii''''' (np. C<sub>3</sub>). Rząd (współczynnik liczbowy) danej klasy oznacza liczbę [[automorfizm|sprzężonych]] (skoniugowanych) operacji symetrii – np. dwa obroty wokół różnych osi C<sub>3</sub> (sprzężone operacje symetrii posiadają takie same ślady). Suma rzędów klas symetrii, równa całkowitej ilości operacji symetrii w danej grupie, nazywana jest '''''rzędem grupy'''''. W przypadku grupy <math>\mathrm D_\mathrm{3d}</math> rząd równy jest 12.

III – Ta sekcja zawiera informacje o tym jak współrzędne kartezjańskie <math>(x, y, z)</math> oraz obroty wokół osi kartezjańskiego układu odniesienia <math>(R_x, R_y, R_z )</math> są transformowane (do jakich reprezentacji nieprzywiedlnych należą) w danej grupie symetrii.

IV – Ta sekcja zawiera informacje o tym jak kwadraty współrzędnych <math>(x^2, y^2, z^2)</math> oraz iloczyny mieszane współrzędnych <math>(xy, xz, yz, x^2 \pm y^2, x^2 + y^2 + z^2)</math> są transformowane (do jakich reprezentacji nieprzywiedlnych należą) w danej grupie symetrii.

=== Iloczyn prosty reprezentacji ===
Iloczyn prosty odgrywa dużą rolę w zastosowaniach teorii grup w chemii (zob. Chemia kwantowa). Praktyczne wyznaczanie iloczynu prostego dwóch reprezentacji jest niezwykle proste – charaktery reprezentacji iloczynu prostego są iloczynami charakterów mnożonych reprezentacji, co ilustruje poniższe równanie:

<math>\chi_l(\Gamma_1 \otimes\Gamma_2) = \chi_l(\Gamma_1)\chi_l(\Gamma_2)</math>

<math>\chi_l(\Gamma)</math> – charakter klasy <math>l</math> w reprezentacji <math>\Gamma</math>

Przykład pokazany w poniższej sekcji (Redukowanie reprezentacji przywiedlnych) ilustruje otrzymywanie iloczynów prostych dla niektórych kombinacji reprezentacji nieprzywiedlnych grupy <math>\mathrm C_\mathrm{4v}.</math>

=== Redukowanie reprezentacji przywiedlnych ===
Redukcja reprezentacji przywiedlnej do nieprzywiedlnej matematycznie odpowiada rozłożeniu [[wektor]]a (reprezentacja przywiedlna) na [[kombinacja liniowa|kombinację liniową]] wektorów [[baza (przestrzeń liniowa)|bazy]] (reprezentacji nieprzywiedlnych danej grupy). Korzysta się tu z [[wielkie twierdzenie o ortogonalności|wielkiego twierdzenia o ortogonalności]], a ściślej: z [[twierdzenie o ortogonalności charakterów|twierdzenia o ortogonalności charakterów]] (zwanego też „małym twierdzeniem o ortogonalności”). Procedura redukcji polega na:
* przemnożeniu śladów reprezentacji przywiedlnej przez ślady danej reprezentacji nieprzywiedlnej grupy symetrii (dla odpowiednich klas symetrii),
* przemnożeniu uzyskanego wyniku przez odpowiednie rzędy klas,
* podzielenie sumy uzyskanych wyników przez rząd grupy,
* powtórzeniu powyższych 3 punktów dla każdej reprezentacji nieprzywiedlnej danej grupy symetrii.
Zgodnie z powyższymi regułami reprezentację przywiedlną możemy przedstawić jako kombinację liniową reprezentacji nieprzywiedlnych:

<math>\Gamma_\mathrm{r} = \sum a(\Gamma_\mathrm{nr}) \Gamma_\mathrm{nr}</math>

<math>\Gamma_\mathrm{r}</math> – reprezentacja przywiedlna (redukowalna)

<math>\Gamma_\mathrm{nr}</math> – reprezentacja nieprzywiedlna (nieredukowalna)

<math>a(\Gamma_\mathrm{nr})</math> – współczynnik w kombinacji liniowej, które wyrażają się wzorem:

<math>a(\Gamma_\mathrm{nr}) = \frac{1}{h} \sum_l \chi_l(\Gamma_\mathrm{r})\chi_l(\Gamma_\mathrm{nr})h_l</math>

<math>h</math> – rząd grupy

<math>h_l</math> – rząd klasy <math>l</math>

Dla przykładu, rozważmy redukcję kilku wybranych iloczynów prostych reprezentacji nieredukowalnych grupy symetrii <math>\mathrm C_\mathrm{4v}{:}</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! <math>\mathrm C_\mathrm{4v}</math> || <math>E</math> || <math>C_2</math> || <math>2\,C_4</math> || <math>2\,\sigma_\mathrm v</math> || <math>2\,\sigma_\mathrm d</math> || || przykładowa redukcja reprezentacji E²
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{1}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || || <math>1/8\cdot[4\cdot1\cdot1 + 4\cdot 1\cdot1 + 0\cdot1\cdot2 + 0\cdot1\cdot2+0\cdot1\cdot2] = 1</math>
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{2}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || || <math>1/8\cdot[4\cdot1\cdot1 + 4\cdot 1\cdot1 + 0\cdot1\cdot2 + 0\cdot(-1)\cdot2+0\cdot(-1)\cdot2] = 1</math>
|-
| <math>\mathrm B_\mathrm{1}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || || <math>1/8\cdot[4\cdot1\cdot1 + 4\cdot 1\cdot1 + 0\cdot(-1)\cdot2 + 0\cdot1\cdot2+0\cdot(-1)\cdot2] = 1</math>
|-
| <math>\mathrm B_\mathrm{2}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || || <math>1/8\cdot[4\cdot1\cdot1 + 4\cdot 1\cdot1 + 0\cdot(-1)\cdot2 + 0\cdot(-1)\cdot2+0\cdot1\cdot2] = 1</math>
|-
| <math>\mathrm E</math> || <math>2</math> || <math>-2</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || || <math>1/8\cdot[4\cdot2\cdot1 + 4\cdot (-2)\cdot1 + 0\cdot0\cdot2 + 0\cdot0\cdot2+0\cdot0\cdot2] = 0</math>
|-
|colspan="6"| '''wybrane iloczyny proste''' || '''reprezentacje nieprzywiedlne po redukcji'''
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{1} \mathrm A_\mathrm{2}</math> || <math>1\cdot1=1</math> || <math>1\cdot1=1</math> || <math>1\cdot1=1</math> || <math>1\cdot(-1)= -1</math> || <math>1\cdot(-1)= -1</math> || <math>\mathrm A_\mathrm{2}</math>
|-
| <math>\mathrm A_\mathrm{1} \mathrm B_\mathrm{2} \mathrm E</math> || <math>1\cdot1\cdot 2=2</math> || <math>1\cdot1\cdot (-2)=-2</math> || <math>1\cdot(-1)\cdot 0= 0</math> || <math>1\cdot(-1)\cdot 0= 0</math> || <math>1\cdot1\cdot 0= 0</math> || <math>\mathrm E</math>
|-
| <math>\mathrm E^2</math> || <math>2\cdot2=4</math> || <math>-2\cdot(-2)=4</math> || <math>0\cdot0=0</math> || <math>0\cdot0=0</math> || <math>0\cdot0=0</math> || <math>\mathrm A_1 + \mathrm A_2 + \mathrm B_1 + \mathrm B_2</math>
|}

== Zastosowania ==
=== [[Chemia kwantowa]] ===
Formalizm chemii kwantowej wykorzystuje równania rachunku operatorowego do znajdowania [[wartość oczekiwana|wartości oczekiwanych]] <math>\langle\hat{A}\rangle</math> rozmaitych [[obserwabla|obserwabli]] <math>\hat{A}.</math> Wartość oczekiwana obserwabli opisana jest wzorem: <math>\langle\hat{A}\rangle_\psi = \int\limits^\infty_{-\infty}\psi^*\hat{A}\psi \mathrm d \tau,</math> gdzie <math>\psi</math> jest [[funkcja falowa|funkcją falową]] układu, a [[całka|całkowanie]] przebiega po jego wszystkich wartościach zmiennych.

Użyteczność teorii grup w rozważaniach kwantowo-chemicznych bierze się z łatwości, z którą metoda ta pozwala odrzucić będące równe zeru rozwiązania powyższego równania ''bez wykonywania żmudnych obliczeń'', wyłącznie na podstawie analizy symetrii cząsteczki.

Przykładowo, jeśli weźmiemy operator energii – hamiltonian <math>\hat{H}</math> – to wartość energii oddziaływania dwóch stanów opisanych funkcjami falowymi <math>\psi_i,</math> <math>\psi_j</math> jest dana wzorem: <math>E_\mathrm{eff} = \int\limits^\infty_{-\infty}\psi_i^*\hat{H}\psi_j \mathrm d \tau.</math> Energia ta będzie niezerowa tylko wtedy gdy reprezentacja nieprzywiedlna iloczynu prostego: reprezentacji <math>\psi_i,</math> reprezentacji <math>\hat{H}</math> i reprezentacji <math>\psi_j</math> zawiera całkowicie symetryczną reprezentację nieprzywiedlną <math>\mathrm A_\mathrm{1}</math> lub <math>\mathrm A_\mathrm{1g}.</math> Ponieważ hamiltonian musi być całkowicie symetryczny (energia nie może być zależna od operacji symetrii cząsteczki), twierdzenie to sprowadza się do niezwykle ważnego praktycznie stwierdzenia: '''energia oddziaływania dwóch stanów może być niezerowa tylko wtedy, gdy reprezentacje <math>\psi_i</math> i <math>\psi_j</math> należą do tej samej reprezentacji nieredukowalnej grupy symetrii danej cząsteczki'''<ref>F. Albert Cotton, ''Chemical Applications of Group Theory'', John Wiley & Sons, 1990, s. 110. {{ISBN|0-471-51094-7}}.</ref>.

W wielu programach do obliczeń kwantowo-chemicznych (np. GAUSSIAN) teoria grup jest wykorzystywana w algorytmach obliczeniowych lub w celu przyspieszenia obliczeń.

==== ''Symmetry Adapted Linear Combinations'' ====
''Symmetry Adapted Linear Combinations'' (SALC) jest metodą wykorzystującą [[operator projekcji]] do generowania [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowych]] np. orbitali atomowych czy współrzędnych atomów, tak aby uzyskane funkcje spełniały warunki symetrii cząsteczki (ich symetrie należały do reprezentacji nieprzywiedlnych odpowiedniej grupy symetrii). W ten sposób konstruować można w prosty sposób takie użyteczne obiekty jak np. orbitale [[hybrydyzacja (chemia)|zhybrydyzowane]], [[orbital molekularny|orbitale molekularne]] ([[orbital|LCAO MO]]) czy dokonywać analizy drgań cząsteczkowych. Jednym z bardzo prostych i ilustratywnych przykładów wykorzystania techniki SALC jest konstrukcja orbitali molekularnych dla [[aromatyczność|aromatycznych]] układów π-elektronowych [[metody półempiryczne|metodą Hückla]].

==== Stereochemia reakcji pericyklicznych ====
Ta ważna klasa reakcji chemicznych (np. [[cyklizacja]] [[olefiny|olefin]], [[reakcja Dielsa-Aldera]]) posiada, oparte na symetrii orbitali, „reguły wyboru” ([[reguły Woodwarda-Hoffmanna]]<ref>{{Cytuj |autor = R.B. Woodward, Roald Hoffmann |tytuł = The Conservation of Orbital Symmetry |czasopismo = Angewandte Chemie International Edition in English |data = 1969-11-01 |issn = 1521-3773 |wolumin = 8 |numer = 11 |s = 781–853 |doi = 10.1002/anie.196907811 |język = en}}</ref>) pozwalające na przewidywanie stereochemii reakcji (dozwolone/niedozwolone sterycznie).

==== Teoria pola ligandów ====
Analiza symetrii w kontekście teorii grup stanowi istotny element [[teoria pola ligandów|teorii pola ligandów]], dostarczającej opisu wiązań chemicznych i właściwości [[związki kompleksowe|związków kompleksowych]].

=== [[Spektroskopia]] ===
==== Widmo elektronowe ====
Aby dowiedzieć się czy przejście elektronowe pomiędzy stanem <math>\psi_i</math> i <math>\psi_j</math> jest możliwe, należy rozpatrzeć całkę momentu przejścia <math>\int\limits^\infty_{-\infty}\psi_i^*\hat{P}\psi_j \mathrm d \tau,</math> do kwadratu której proporcjonalna jest intensywność przejścia. <math>\hat P</math> oznacza operator momentu przejścia, którym najczęściej jest operator elektrycznego momentu dipolowego. Składowe elektrycznego momentu dipolowego transformują się tak jak współrzędne kartezjańskie <math>x, y, z.</math> Całka będzie różna od zera, jeżeli reprezentacja funkcji podcałkowej zawiera w rozkładzie reprezentacji pełnosymetrycznej <math>\mathrm A_\mathrm{1}</math> lub <math>\mathrm A_\mathrm{1g}.</math> Inaczej: przejście będzie dozwolone, jeżeli reprezentacja iloczynu prostego stanu początkowego i końcowego będzie równa przynajmniej jednej z reprezentacja współrzędnych <math>x, y, z.</math> Stan podstawowy układu zamknięto powłokowego jest pełnosymetryczny.

W kompleksach metali przejściowych ligandy, które generują pole elektryczne o symetrii oktaedrycznej, powodują rozszczepienie orbitali <math>\mathrm d</math> na dwa poziomy <math>\mathrm e_\mathrm g</math> i <math>\mathrm t_\mathrm {2g}.</math> Jeżeli rozważymy przejście typu d-d, to będzie ono zabronione zgodnie z [[Reguła Laporte’a|regułą Laporte’a]]. W praktyce przejście zachodzi dzięki sprzężeniu wibronowemu, ale charakteryzuje się niską intensywnością.

==== Widmo oscylacyjne ====
Atomy budujące cząsteczkę chemiczną wykonują złożone drgania będące sumą tzw. [[Drgania własne cząsteczki|drgań normalnych]]<ref>E. Bright Wilson Jr., J.C. Decius, Paul C. Cross, ''Molecular Vibrations'', Dover Publications, Inc., 1955, s. 17. {{ISBN|0-486-63941-X}}.</ref>. Każde z drgań normalnych posiada charakterystyczną częstotliwość, przy której obserwowane mogą być pasma [[Spektroskopia w podczerwieni|w widmach absorpcji w podczerwieni (IR)]] i/lub w widmach [[Efekt Ramana|rozproszenia Ramana]]. Ponieważ spektroskopie te opierają się na różnych zasadach fizycznych (absorpcja kwantu energii elektromagnetycznej w podczerwieni lub rozproszenie (nieelastyczne) kwantu energii elektromagnetycznej), posiadają one różne [[reguły wyboru]]. Praktycznie oznacza to, iż w zależności od symetrii molekuły pewne drgania będą widoczne w widmach absorpcji w podczerwieni a inne drgania będą widoczne w widmach rozproszenia Ramana. Absorpcja w podczerwieni możliwa jest gdy dane drganie normalne zmienia moment dipolowy cząsteczki. Składowe wektora momentu dipolowego <math>\mu_x, \mu_y, \mu_z</math> transformują tak jak współrzędne kartezjańskie <math>x, y, z.</math> Informacja do których reprezentacji nieprzywiedlnych te współrzędne należą znajduje się w sekcji III tabel charakterów (zob. Reprezentacje nieprzywiedlne). Aby stwierdzić czy dane drganie normalne będzie obserwowalne (aktywne) w widmach podczerwonych wystarczy sprawdzić, czy należy ono do tej samej reprezentacji nieprzywiedlnej do której należy przynajmniej jedna ze współrzędnych kartezjańskich. Z kolei rozproszenie Ramana zachodzi gdy dane drganie zmienia polaryzowalność cząsteczki. Składowe [[Polaryzowalność|tensora polaryzowalności]] wymienione są w sekcji IV tabel charakterów. Drganie normalne będzie ramanowsko aktywne gdy należy do reprezentacji do której należy również chociaż jeden element tensora polaryzowalności.

Weźmy dla przykładu cząsteczkę wody <math>\mathrm C_\mathrm{2v}.</math> Ta trójatomowa cząsteczka ma trzy drgania normalne. Liczba drgań normalnych molekuły nieliniowej jest równa <math>3N - 6,</math> gdzie <math>N</math> – liczba atomów. Aby określić symetrię drgań normalnych należy:
* wyznaczyć reprezentację przywiedlną drgań (dla każdej operacji symetrii danej grupy ustalić które atomy nie ulegają przemieszczeniu podczas wykonywania danej operacji i dla tych atomów ustalić czy współrzędne kartezjańskie atomu przekształcane są na same siebie (+1) czy na swoje lustrzane odbicie (-1)); dla wody reprezentacja ta ma postać: <math>E: 9,\; C_2: -1,\; \sigma_\mathrm v (xz): 3,\; \sigma_\mathrm v (yz): 1,</math>
* zredukować reprezentację (zob. Redukowanie reprezentacji przywiedlnych); dla wody reprezentacja nieprzywiedlna ma postać: <math>3\,\mathrm A_1 + \mathrm A_2 + 3\,\mathrm B_1 +2\,\mathrm B_2,</math>
* usunąć reprezentacje translacji (transformujące jak współrzędne kartezjańskie <math>x, y, z</math> – sekcja III tabeli grupy) i rotacji cząsteczki (transformujące jak obroty <math>R_x, R_y, R_z</math> – sekcja III tabeli grupy); dla wody są to: <math>\mathrm A_1 \,(z),\; \mathrm A_2\,(R_z),\; 2\,\mathrm B_1\,(x, R_y),\; 2\,\mathrm B_2\,(y, R_x).</math>

W rezultacie otrzymujemy trzy rzeczywiste drgania normalne wody: <math>2\,\mathrm A_1</math> ([[Drgania własne cząsteczki|symetryczne rozciąganie i zginanie]]) oraz <math>\mathrm B_1</math> ([[Drgania własne cząsteczki|asymetryczne rozciąganie]]). Wszystkie trzy drgania normalne wody będą dawały pasma w widmach absorpcji w podczerwieni i widmach rozproszenia Ramana ponieważ do obu reprezentacji nieredukowalnych należą współrzędne kartezjańskie i elementy tensora polaryzowalności.

==== Widmo rotacyjne ====
Rozkład masy molekuły w przestrzeni charakteryzuje tensor momentu bezwładności. Możemy przeprowadzić jego diagonalizację, to jest wybrać taki układ współrzędnych, że wszystkie składowe (poza trzema diagonalni <math>I_a, I_b, I_c</math>) będą równe zeru.

Cząsteczki należące do grup <math>\mathrm C_{\infty \mathrm v}</math> i <math>\mathrm D_{\infty \mathrm h}</math> zaliczamy do rotatorów liniowych, w których moment bezwładności względem osi <math>C_\infty</math> jest zerowy, a pozostałe dwa są sobie równe. Cząsteczki należące do grupy <math>\mathrm D_{\infty \mathrm h}</math> posiadają środek symetrii, czyli nie posiadają trwałego momentu dipolowego, z czego wynika, że nie dają absorpcyjnego widma rotacyjnego.

Cząsteczki należące do grup <math>\mathrm T_\mathrm d,</math> <math>\mathrm O_\mathrm h</math> i <math>\mathrm I_\mathrm h</math> zaliczamy do rotatorów sferycznych, w których wszystkie 3 składowe tensora momentu bezwładności są sobie równe. Rotatory sferyczne nie posiadają trwałego momentu dipolowego, więc nie są aktywne w absorpcyjnym widmie rotacyjnym. Są one jednak aktywne w widmie oscylacyjno-rotacyjnym.

Cząsteczki posiadające oś główną o krotności większej niż 2 zaliczamy do rotatorów symetrycznych, w których dwie składowe tensora bezwładności są sobie równe.

W rotacyjnym widmie Ramana nie będą aktywne rotatory sferyczne, ponieważ dla nich tensor polaryzowalności jest w pełni izotropowy. Rotacyjne widmo Ramana mają molekuły należące do grupy symetrii <math>\mathrm D_{\infty \mathrm h},</math> które są nieaktywne w absorpcyjnym widmie rotacyjnym.

Od typu rotatora zależy wyrażenie na energię poziomu rotacyjnego i reguły wyboru w przejściach rotacyjnych.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Joseph J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', Allyn and Bacon, Inc., 1984. {{ISBN|0-205-07963-6}}.
* F. Albert Cotton, ''Chemical Applications of Group Theory'', John Wiley & Sons, 1990. {{ISBN|0-471-51094-7}}.
* Daniel C. Harris, Michael D. Bertolucci, ''Symmetry and spectroscopy: an introduction to vibrational and electronic spectroscopy'', Oxford University Press, 1978. {{ISBN|0-486-66144-X}}.
* Thomas Engel, ''Quantum Chemistry and spectroscopy'', Pearson Education Inc., 2010. {{ISBN|0-321-61504-2}}.
* Alan Vincent, ''Molecular Symmetry and Group Theory'', John Wiley & Sons, 2001. {{ISBN|978-0471-48939-9}}.
* David M. Bishop, ''Group Theory and Chemistry'', Dover Publications, Inc., 1973. {{ISBN|0-486-67355-3}}.
* Boris S. Tsukerblat, ''Group Theory in Chemistry and Spectroscopy'', Dover Publications, Inc., 2006. {{ISBN|0-486-45035-X}}.
* Lucjan Piela, ''Idee chemii kwantowej'', Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, Dodatek C. {{ISBN|83-01-14000-3}}.
* Joanna Sadlej, ''Spektroskopia molekularna'', Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2002. {{ISBN|83-204-2705-3}}.

[[Kategoria:Spektroskopia]]
[[Kategoria:Chemia kwantowa]]
[[Kategoria:Chemia fizyczna]]