Tekst źródłowy strony Siedemnastokąt foremny

[[Plik:Regular heptadecagon.svg|thumb|200px|Siedemnastokąt foremny]]
'''Siedemnastokąt foremny''' to [[Wielokąt|siedemnastokąt]] [[zbiór wypukły|wypukły]] o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych – każdy z nich ma miarę <math>\tfrac{180^\circ\cdot(17-2)}{17} \approx 158{,}82^\circ.</math>

== Konstruowalność ==
Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił [[Carl Friedrich Gauss]] w [[1796]]<ref group="uwaga">Gauss tak był dumny z tego odkrycia, że zażyczył sobie, aby figurę tę wyryto na jego grobie, jednak jego życzenie nie zostało spełnione, ponieważ ze względów technicznych trudno było wykuć siedemnastokąt tak, by widoczne było, że nie jest on kołem. Zamiast tego na grobie Gaussa umieszczono siedemnastoramienną gwiazdę.</ref>, pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później – składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne.

=== Konstrukcja Richmonda ===
[[Plik:Regular Heptadecagon Inscribed in a Circle.gif|thumb|465px|Konstrukcja Richmonda]]
Jedną z elegantszych konstrukcji jest konstrukcja podana przez [[Herbert William Richmond|Herberta Williama Richmonda]] w 1893 roku<ref>Richmond, H.W. ''A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides'', Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893.</ref><ref>{{cytuj stronę|url=http://web.archive.org/web/*/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html|tytuł=Constructing the Heptadecagon|data dostępu=2009-03-24}}</ref>:
# Narysuj duży [[okrąg]] o środku w [[Punkt (geometria)|punkcie]] <math>O.</math>
# Narysuj [[średnica|średnicę]] <math>UV.</math>
# Skonstruuj [[Symetralna odcinka|symetralną]] tej średnicy, przecinającą okrąg w punkcie <math>A.</math>
# Znajdź na [[odcinek|odcinku]] <math>OA</math> taki punkt <math>B,</math> by długość <math>OB</math> była równa <math>\tfrac14</math> długości <math>OA</math> (dwukrotnie znajdując środek).
# Narysuj odcinek <math>BV.</math>
# Znajdź na odcinku <math>OV</math> taki punkt <math>C,</math> by kąt <math>\angle OBC</math> był równy <math>\tfrac14</math> kąta <math>\angle OBV</math> (dwukrotnie konstruując [[Dwusieczna kąta|dwusieczną]]).
# Znajdź na odcinku <math>UO</math> taki punkt <math>D,</math> by kąt <math>\angle DBC</math> był równy połowie [[kąt prosty|kąta prostego]] (miał miarę 45°).
# Narysuj okrąg oparty na średnicy <math>DV.</math> Punkt przecięcia tego okręgu z odcinkiem <math>OA</math> oznacz <math>E.</math>
# Narysuj okrąg o środku <math>C</math> i [[Promień (geometria)|promieniu]] <math>CE.</math> Niech <math>F</math> i <math>G</math> będą punktami przecięcia tego okręgu ze średnicą <math>UV.</math>
# Narysuj odcinki prostopadłe do średnicy <math>UV</math> w punktach <math>F</math> i <math>G.</math> Punkty przecięcia tych odcinków z dużym okręgiem oznacz <math>V_3</math> i <math>V_5.</math>
# Punkty <math>V,</math> <math>V_3</math> i <math>V_5</math> są kolejno zerowym, trzecim i piątym [[Wierzchołek (geometria)|wierzchołkiem]] siedemnastokąta foremnego, pozostałe wierzchołki mogą być łatwo znalezione, np. wierzchołek <math>V_4</math> poprzez skonstruowanie dwusiecznej kąta <math>\angle V_3 OV_5,</math> a pozostałe poprzez odkładanie na okręgu odcinka <math>V_3 V_4.</math>

=== Okręgi Carlyle’a ===
[[Plik:Regular Heptadecagon Using Carlyle Circle.gif|thumb|465px|Konstrukcja z wykorzystaniem okręgów Carlyle’a]]
Inną znaną metodą konstrukcji siedemnastokąta foremnego jest algorytm wykorzystujący [[Okrąg Carlyle’a|okręgi Carlyle’a]]<ref>DeTemple, D. W. {{cytuj stronę|url=http://web.archive.org/web/20130619080613/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf|tytuł=Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions}}</ref>:
# Narysuj okrąg o środku <math>O.</math>
# Przez punkt <math>O</math> poprowadź poziomą prostą <math>k,</math> punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz <math>Q</math> i <math>P</math> (po lewej i prawej stronie punktu <math>O</math> odpowiednio).
# Narysuj symetralną <math>l</math> średnicy <math>QP,</math> punkt jej przecięcia z okręgiem (znajdujący się ponad prostą <math>k</math>) oznacz <math>R.</math>
# Narysuj symetralną <math>m</math> promienia <math>QO,</math> jego środek oznacz <math>S.</math>
# Zakreśl łuk o środku <math>S</math> przechodzący przez <math>P,</math> jego przecięcie z prostą <math>m</math> (poniżej prostej <math>k</math>) oznacz <math>T.</math>
# Narysuj okrąg o środku <math>T</math> przechodzący przez punkt <math>R,</math> punkty jego przecięcia z prostą <math>k</math> oznacz <math>A_1</math> i <math>A_0</math> (po lewej i prawej stronie prostej <math>l</math> odpowiednio).
# Znajdź środki odcinków <math>OA_0</math> i <math>OA_1</math> i oznacz je odpowiednio <math>U</math> i <math>V.</math>
# Zakreśl łuk o środku <math>U</math> przechodzący przez <math>R,</math> punkt jego przecięcia z prostą <math>k</math> (po prawej stronie prostej <math>l</math>) oznacz <math>B_0.</math>
# Zakreśl łuk o środku <math>V</math> przechodzący przez <math>R,</math> punkt jego przecięcia z prostą <math>k</math> (po prawej stronie prostej <math>l</math>) oznacz <math>B_1.</math>
# Znajdź na prostej <math>l</math> taki punkt <math>W</math> (powyżej prostej <math>k</math>), aby <math>|OW| = |QB_1|.</math>
# Narysuj odcinek <math>WB_0,</math> znajdź jego środek i oznacz go <math>X.</math>
# Narysuj okrąg o środku <math>X</math> przechodzący przez <math>R,</math> punkt jego przecięcia z prostą <math>k</math> (położony po prawej stronie punktu <math>P</math>) oznacz <math>C_0.</math>
# Narysuj okrąg o środku <math>C_0</math> i promieniu <math>OP,</math> punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz <math>P_1</math> i <math>P_{16}.</math>
# Punkty <math>P_{16},</math> <math>P</math> i <math>P_1</math> są trzema kolejnymi wierzchołkami siedemnastokąta foremnego – pozostałe wierzchołki znajdujemy poprzez odkładanie odcinka <math>PP_1</math> na wyjściowym okręgu.

== Własności ==
Konstruowalność równoważna jest faktowi, że [[trygonometria|funkcje trygonometryczne]] kąta <math>2\pi/17</math> można wyrazić jedynie przez cztery działania arytmetyczne oraz wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Książka Gaussa ''Disquisitiones Arithmeticae'' zawiera poniższy wzór, przedstawiony tu we współczesnej notacji<ref>Nishiyama, Y. {{cytuj stronę|url=http://www.osaka-ue.ac.jp/zemi/nishiyama/math2010/gauss.pdf|tytuł=Gauss’ Method of Constructing a Regular Heptadecagon}}</ref>:
: <math>\cos\frac{2\pi}{17} = -\frac{1}{16} + \frac{1}{16} \sqrt{17} + \frac{1}{16} \sqrt{34-2\sqrt{17}} + \frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17} - \sqrt{34-2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}.</math>

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld|adres=Heptadecagon |tytuł=Heptadecagon |data dostępu=12 grudnia 2020}}

{{wielokąty}}

[[Kategoria:Wielokąty foremne]]