Tekst źródłowy strony Sfera

{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[Sfera (ujednoznacznienie)|inne znaczenia]]}}
{{Definicja intuicyjna|Sfera to powierzchnia [[kula|kuli]].}}
[[Plik:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|thumb|270px|Sfera]]

'''Sfera''' (z [[Język grecki|gr.]] σφαῖρα ''sphaîra'' „kula, piłka”) – uogólnienie pojęcia [[Okrąg|okręgu]] na więcej [[Wymiar (matematyka)|wymiarów]]. Jest to zbiór wszystkich [[punkt (geometria)|punktów]] ([[miejsce geometryczne]]) w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] oddalonych o ustaloną odległość od wybranego punktu. Ustalona odległość nazywa się ''promieniem sfery'', wybrany punkt nazywa się ''środkiem sfery''. Zwykle przyjmuje się dodatkowo, że promień musi być dodatni<ref>{{cytuj książkę|imię=Fritz|nazwisko=Reinhardt|imię2=Heinrich|nazwisko2=Soeder|tytuł=Atlas matematyki|wydawca=Prószyński i S-ka|rok=2003|isbn=83-7469-189-1|strony=201}}</ref>. Tak zdefiniowany zbiór jest [[brzeg (matematyka)|brzegiem]] [[kula|kuli]] o tym samym środku i promieniu<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3974401 | tytuł = sfera | data dostępu = 2021-10-03 }}</ref>. Zazwyczaj jako przestrzeń metryczną rozpatruje się [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeń euklidesową]].

== Sfera w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej ==
Najczęściej mówimy o sferze w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej]]. Taka sfera jest dwuwymiarową powierzchnią opisywaną wzorem:
: <math>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2,</math>

gdzie <math>(x_0, y_0, z_0)</math> to współrzędne '''środka sfery''', a wartość <math>r</math> jest nazywana '''promieniem sfery'''. Często dodatkowo zakłada się, że <math>r>0</math> (sfera z zerowym promieniem to przypadek zdegenerowany, w którym nie wszystkie typowe własności są zachowane). 

W tym samym układzie współrzędnych sfera może być opisana za pomocą [[Równanie parametryczne|równania parametrycznego]]:
: <math>\begin{cases}x(\alpha, \beta) = x_0 + r\cos\alpha \cos\beta \\[2pt] y(\alpha, \beta) = y_0 + r\sin\beta \\[2pt] z(\alpha, \beta) = z_0 + r\sin\alpha \cos\beta \end{cases}</math>

gdzie:
* <math>\alpha \in [-\pi, \pi),</math>
* <math>\beta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].</math>

Parametry <math>\alpha, \beta</math> są odpowiednio ''długością i szerokością geograficzną'' w odpowiednim [[Układ współrzędnych sferycznych|układzie współrzędnych sferycznych]] związanym ze środkiem sfery

W układzie współrzędnych sferycznych, równanie sfery o promieniu <math>r</math> i środku znajdującym się w środku układu współrzędnych, przyjmuje postać <math>r(\alpha, \beta) = r = const</math> dla dowolnych kątów <math>\alpha \in [-\pi, \pi), \beta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].</math>

== Związane pojęcia ==
'''Cięciwa sfery''' to [[odcinek]] o końcach na sferze.

'''Średnica sfery''' to:
* cięciwa przechodząca przez środek sfery
* długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia sfery.

'''[[Pole powierzchni]] sfery''' wyraża się wzorem:
: <math>S=4\pi r^2.</math>

'''[[Koło wielkie|Okrąg wielki]]''' sfery to okrąg o promieniu tej sfery, o środku w jej środku.

[[Krzywizna Gaussa]] sfery w każdym jej punkcie wynosi:
: <math>K = \frac{1}{r^2}.</math>

== Sfera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej ==
{{zobacz też|hipersfera}}
Pojęcie sfery może być zdefiniowane w [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] dowolnego [[wymiar (matematyka)|wymiaru]]. Wówczas w przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej sfera może być opisana następującym wzorem:
: <math>\sum_{j=1}^n (x_j-s_j)^2 =r^2,</math>

gdzie <math>x_j</math> to <math>j</math>-ta [[Układ współrzędnych|współrzędna]] [[punkt (geometria)|punktu]] na sferze, <math>s_j</math> to <math>j</math>-ta współrzędna jej środka, <math>r</math> to promień sfery. W tym ujęciu [[okrąg]] jest szczególnym przypadkiem sfery w przestrzeni dwuwymiarowej, a zbiór dwóch punktów jest sferą w przestrzeni jednowymiarowej.

Sfera w przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej jest czasem nazywana ''sferą m-wymiarową'' i oznaczana <math>S^m,</math> gdzie <math>m = n-1,</math> ponieważ taka sfera jest powierzchnią <math>m</math>-wymiarową. Dla przykładu, zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią, czyli obiektem dwuwymiarowym; dlatego to sfera dwuwymiarowa, <math>S^2.</math> Jeżeli <math>m>2</math> (tzn. <math>n>3</math>), to taka uogólniona sfera jest nazywana też '''hipersferą'''.

== Uogólnienia ==
Sfera jest też pojęciem [[topologia|topologii]], w której oznacza [[przestrzeń topologiczna|przestrzeń topologiczną]] [[homeomorfizm|homeomorficzną]] z <math>n</math>-wymiarową hipersferą. Sfera rozpatrywana w topologii ma więc te same topologiczne własności jak hipersfera, tzn. jest to <math>n</math>-wymiarowa [[rozmaitość topologiczna|rozmaitość]] bez [[Brzeg (matematyka)|brzegu]], [[Przestrzeń zwarta|zwarta]] i jest [[Homotopia#Homotopijna równoważność|homotopijnie równoważna]] z <math>n</math>-hipersferą.

[[Hipoteza Poincarégo|Uogólniona hipoteza Poincarégo]] (włącznie z potwierdzonym już przypadkiem 3-wymiarowym) stwierdza, że jest też odwrotnie – każda <math>n</math>-wymiarowa rozmaitość bez brzegu, zwarta i mająca typ homotopijny <math>n</math>-hipersfery jest homeomorficzna z <math>n</math>-hipersferą.

== Zobacz też ==
{{Wikisłownik|sfera}}
{{Commonscat|Spheres}}
* [[pas sferyczny]]
* [[pseudosfera]]
* [[rogata sfera Alexandera]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |autor link=Krzysztof_Ciesielski_(matematyk) |nazwisko=Ciesielski |imię=Krzysztof |nazwisko2=Pogoda |imię2=Zdzisław |autor link2=Zdzisław Pogoda |tytuł=Bezmiar Matematycznej Wyobraźni |miejsce=Warszawa |wydawca=[[Prószyński i S-ka]] |rok=2005 |isbn=83-7337-932-0 |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2010/03/kacik-przestrzenny-2-najmocniejsze-twierdzenie-stereometrii/ | autor = Michał Kieza  | tytuł = Kącik przestrzenny (2): Najmocniejsze twierdzenie stereometrii | data = marzec 2010 | data dostępu = 2024-11-02 }}

{{Bryły obrotowe}}
{{Kwadryki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Elipsoidy]]
[[Kategoria:Kwadryki obrotowe]]