Tekst źródłowy strony Rozszerzenie Picarda Vessiot

Rozważmy [[Równanie różniczkowe|liniowe równanie różniczkowe jednorodne]]
: <math>y^{(n)}+a_1 y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y' +a_n y=0</math>

o współczynnikach w [[Algebra różniczkowa|ciele różniczkowym]] K. Mówimy, że M jest rozszerzeniem Picarda Vessiot ciała K, jeżeli

# M=K<math>(u_1,...,u_n),</math> gdzie <math>u_1,\dots,u_n</math> są liniowo niezależnymi (nad ciałem stałych) rozwiązaniami rozważanego równania (przez K<math>(u_1,\dots,u_n)</math> rozumiemy najmniejsze ciało różniczkowe zawierające K,<math>u_1,\dots,u_n</math>).
# M ma to samo ciało stałych co K

Aby sprawdzić 1. warunek wystarczy znaleźć [[wrońskian]] <math>u_1,\dots,u_n</math>

'''Tw.''' Jeśli K ma [[Charakterystyka|charakterystykę]] 0 oraz jego ciało stałych jest [[Ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domknięte]], to dla każdego liniowego równania różniczkowego jednorodnego istnieje rozszerzenie Picarda Vessiot.

== Przykłady ==
1. Dołączanie całki (''adjunction of an integral'')

Niech K będzie ciałem różniczkowym charakterystyki 0. Niech u będzie elementem większego ciała różniczkowego, u'=a ∈ K, gdzie, a nie jest pochodną żadnego elementu K. Wtedy u jest [[Liczba przestępna|przestępny]] nad K, K(u) jest rozszerzeniem Picarda Vessiot ciała K oraz jego różniczkowa grupa Galois jest izomorficzna z addytywną grupą stałych w K.

2. Dołączanie exponenta całki (''adjunction of an exponential of an integral'')

Niech K będzie ciałem różniczkowym, u elementem spełniającym równanie y'-ay=0, a ∈ K. Przypuśćmy, że K(u) ma to samo ciało stałych, co K. Wtedy K(u) jest rozszerzeniem Picarda Vessiot, jego różniczkowa grupa Galois jest izomorficzna z pewną podgrupą multiplikatywnej grupy niezerowych stałych w K.

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kaplansky |imię=Irving |tytuł=An introduction to differential algebra}}

[[Kategoria:Algebra różniczkowa]]