Tekst źródłowy strony Rozkład normalny

{{Rozkład prawdopodobieństwa infobox
 |nazwa                     = Rozkład normalny
 |typ                       = ciągły
 |wykres                    = Normal Distribution PDF.svg
 |opis wykresu              = Czerwona linia odpowiada standardowemu rozkładowi normalnemu
 |wykres_dystrybuanty       = Normal Distribution CDF.svg
 |opis wykresu dystrybuanty = Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
 |parametry                 = <math>\mu</math> [[parametr położenia|położenie]] ([[Liczby rzeczywiste|liczba rzeczywista]])<br /><math>\sigma^2>0</math> podniesiona do kwadratu [[parametr skali|skala]] (liczba rzeczywista)
 |nośnik                    = <math>x \in\mathbb{R}</math>
 |prawdopodobieństwo        = <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right)</math>
 |dystrybuanta              = <math>\frac12 \left(1+\mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right)</math>
 |wartość_oczekiwana        = <math>\mu</math>
 |mediana                   = <math>\mu</math>
 |moda                      = <math>\mu</math>
 |wariancja                 = <math>\sigma^2</math>
 |skośność                  = <math>0</math>
 |kurtoza                   = <math>0</math><!-- TO JEST "EXCESS CURTOSIS", NIE "SIMPLE CURTOSIS". PROSIMY NIE ZAMIENIAĆ TEJ WARTOŚCI NA ZWYKŁĄ KURTOZĘ, RÓWNĄ 3. -->
 |entropia                  = <math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)</math>
 |momenty                   = <math>M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
 |char                      = <math>\chi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
 |odkrywca                  = [[Abraham de Moivre]] (1733)<ref>Abraham de Moivre, „Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')<sup>''n''</sup> in Seriem expansi” (wydrukowany 12 listopada 1733 w Londynie).</ref>
}}
'''Rozkład normalny''', '''rozkład Gaussa'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3948282 | tytuł = rozkład normalny | data dostępu = 2021-09-30}}</ref> (w literaturze francuskiej zwany rozkładem [[Pierre Simon de Laplace|Laplace’a]]-[[Carl Friedrich Gauss|Gaussa]]) – jeden z najważniejszych [[rozkład prawdopodobieństwa|rozkładów prawdopodobieństwa]], odgrywający ważną rolę w statystyce. [[Wykres funkcji]] prawdopodobieństwa tego rozkładu jest [[Krzywa|krzywą]] w kształcie dzwonu (tak zwaną krzywą dzwonową).

Przyczyną jego znaczenia jest częstość występowania w naturze. Jeśli jakaś wielkość jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu każdego z tych czynników jej rozkład będzie zbliżony do normalnego ([[centralne twierdzenie graniczne]]) – dlatego można go bardzo często zaobserwować w danych<ref group=uwaga>Ściślej: można zaobserwować rozkłady bardzo zbliżone do rozkładu normalnego. Rozkład normalny zakłada niezerowe prawdopodobieństwo dla każdej możliwej liczby rzeczywistej. W rzeczywistości wszelkie zmienne są ograniczone, na przykład nie ma ludzi o ujemnym wzroście ani o wzroście kilometra, jednak rozkłady spotykane w praktyce są tak bardzo zbliżone do rozkładu normalnego, że różnica ta nie ma znaczenia.</ref>. Ponadto rozkład normalny ma interesujące właściwości matematyczne, dzięki którym oparte na nim metody statystyczne są proste obliczeniowo<ref group="uwaga">Te właściwości to na przykład: Suma i różnica dwóch zmiennych o rozkładach normalnych ma rozkład normalny. Logarytm z gęstości rozkładu normalnego to funkcja kwadratowa, dzięki czemu [[metoda najmniejszych kwadratów]] stosowana w [[Regresja liniowa|regresji liniowej]] dla rozkładu normalnego błędów jest [[Metoda największej wiarygodności|metodą największej wiarygodności]].</ref>.

== Definicja rozkładu normalnego ==
Istnieje wiele równoważnych sposobów zdefiniowania rozkładu normalnego. Należą do nich: [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|funkcja gęstości]], [[dystrybuanta]], momenty, [[kumulanta|kumulanty]], [[Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)|funkcja charakterystyczna]], [[funkcja tworząca momenty]] i [[funkcja tworząca kumulanty]].
Wszystkie [[kumulanta|kumulanty]] rozkładu normalnego wynoszą 0 oprócz pierwszych dwóch.
{{Wikiźródła|tekst=nie|Tablica rozkładu normalnego|tablicę rozkładu normalnego}}

=== Funkcja gęstości ===
[[Plik:Standard deviation diagram.svg|thumb|Ilustracja reguły trzech sigm]]
{{Zobacz też|funkcja wykładnicza|pi}}
[[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa]] rozkładu normalnego ze średnią <math>\mu</math> i [[odchylenie standardowe|odchyleniem standardowym]] σ (równoważnie: wariancją <math>\sigma^2</math>) jest przykładem [[Funkcja błędu|funkcji Gaussa]]. Dana jest ona wzorem:
: <math>f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-(x-\mu )^2}{2\sigma^2}\right).</math>

Fakt, iż [[zmienna losowa]] <math>X</math> ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną <math>\mu</math> i [[wariancja|wariancją]] <math>\sigma^2</math> zapisuje się często <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2).</math>

'''Uwaga:''' W wielu źródłach rozkład normalny jest oznaczany przez <math>\mathcal N(\mu, \sigma).</math>

Jeśli <math>\mu=0</math> i <math>\sigma=1,</math> to rozkład ten nazywa się ''standardowym rozkładem normalnym'', jego funkcja gęstości opisana jest wzorem:
: <math>\phi_{0, 1}(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right).</math>

We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu. W rozkładzie normalnym prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej ([[Cecha statystyczna|cechy statystycznej]]) znajduje się w odległości nie większej (mniejszej) niż jedno odchylenie standardowe od średniej wynosi w przybliżeniu 68,3%. Prawdopodobieństwo to wynosi odpowiednio 95,5% i 99,7%, dla odległości dwóch i trzech odchyleń standardowych od średniej ([[Odchylenie standardowe|reguła trzech sigm]]). [[Punkt przegięcia]] krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.

=== Dystrybuanta ===
{{Zobacz też|dystrybuanta}}
Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna <math>X</math> ma wartości mniejsze bądź równe <math>x</math> i w kategoriach funkcji gęstości wyrażana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:
: <math>P(X \leqslant x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi} } e^\frac{-(u-\mu)^2}{2\sigma^2}\,du.</math>

Całki powyższej nie da się obliczyć dokładnie, metodą analityczną. W konkretnych zagadnieniach do obliczenia wartości dystrybuanty stosuje się [[całkowanie numeryczne]] lub korzysta z tablic statystycznych. Tablice zawierają dane dla dystrybuanty ''standardowego'' rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczanej jako Φ i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach <math>\mu = 0</math> i <math>\sigma = 1{:}</math>
: <math>\Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt.</math>

Związek dystrybuanty <math>\Phi</math> i dystrybuanty rozkładu normalnego <math>X</math> o dowolnie zadanych parametrach <math>\mu</math> i <math>\sigma</math> otrzymuje się za pomocą ''standaryzowania rozkładu'' (zob. też poniżej).
: <math>P(X \leqslant x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math>

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego może być wyrażona poprzez funkcję specjalną (nieelementarną, przestępną), tzw. [[funkcja błędu|funkcję błędu]] jako:
: <math>\Phi(z) = \frac{1}{2} \left(1+\operatorname{erf}\,\frac{z}{\sqrt{2}}\right).</math>

=== Funkcje tworzące ===
==== Funkcja charakterystyczna ====
[[Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)|Funkcją charakterystyczną]] rozkładu normalnego jest
: <math>\varphi(t) = \exp\left(i\mu t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right).</math>

W przypadku standardowego rozkładu normalnego ma ona postać:
: <math>\varphi(t) = \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right).</math>

== Własności ==
# Jeśli <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)</math> oraz <math>a, b</math> są [[liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]], to <math>aX + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2).</math>
# Jeśli <math>X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)</math> i <math>X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)</math> oraz zmienne <math>X_1, X_2</math> są niezależne, to <math>X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2).</math>
# Jeśli <math>X_1, \dots, X_n</math> są [[Zdarzenia losowe niezależne|niezależnymi]] zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna <math>X_1^2 + \ldots + X_n^2</math> ma [[rozkład chi kwadrat|rozkład chi-kwadrat]] z <math>n</math> stopniami swobody.

=== Parametry rozkładu normalnego ===
* [[wartość oczekiwana]]: <math>\mu</math>
* [[mediana]]: <math>\mu</math>
* [[wariancja]]: <math>\sigma^2</math>
* [[odchylenie standardowe]]: <math>\sigma</math>
* [[Współczynnik skośności|skośność]]: <math>0</math>
* [[kurtoza]]: <math>0</math> (lub 3, przyjmując dawniej używaną definicję).
{{Ukryj
|tytuł = Dowód, że <math>\mu</math> jest wartością oczekiwaną

|1 =
Zgodnie z definicją, wartość oczekiwaną rozkładu normalnego można wyznaczyć obliczając wartość całki
:: <math>E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}x \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}x e^{-\big(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\big)^2}dx</math>

w celu uproszczenia można wprowadzić nową zmienną <math>y</math>
: <math>y=\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}} \Rightarrow x = y\sqrt{2}\sigma + \mu</math> (a więc granice całkowania nie zmieniają się),
: <math>dy = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx \Rightarrow dx = \sqrt{2}\sigma dy,</math>

przy czym granice całkowania pozostają bez zmian. Zatem
:: <math>\begin{align}
E(X) &= \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} (y\sqrt{2}\sigma + \mu)e^{-y^2} \sqrt{2}\sigma dy \\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (y\sqrt{2}\sigma + \mu)e^{-y^2}dy \\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Bigg( \sqrt{2}\sigma \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy + \mu\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy \Bigg) \\
&= \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \Bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy \Bigg)_{=0}^{(1)} + \frac{\mu}{\sqrt{\pi}} \Bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy\Bigg)_{=\sqrt{\pi}}^{(2)} \\
&= \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} \\
&= \mu
\end{align}</math>

cbdo. Przy wyprowadzeniu skorzystano z:
: <math>(1) = \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy = \frac{1}{2}\int_{+\infty}^{+\infty} e^{-z}dz = 0,</math>
: <math>z = y^2</math> (granice całkowania się zmieniają),
: <math>dz = 2ydy \Rightarrow dy = \frac{dz}{2y},</math>

: <math>(2) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy</math> – [[całka Poissona]].
}}

=== Standaryzowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ===
Konsekwencją własności 1 jest możliwość przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego.

Jeśli <math>X</math> ma rozkład normalny ze średnią <math>\mu</math> i wariancją <math>\sigma^2,</math> wtedy:
: <math>Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.</math>

Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym N(0, 1). Ważną konsekwencją jest postać dystrybuanty:
: <math>P(X \leqslant x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2} \left(1+\mbox{erf}\,\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right).</math>

Odwrotnie, jeśli <math>Z</math> jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, to:
: <math>X=\sigma Z+\mu</math>

jest zmienną o rozkładzie normalnym ze średnią <math>\mu</math> i wariancją <math>\sigma^2.</math>

Standardowy rozkład normalny został stablicowany i inne rozkłady normalne są prostymi transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób możemy używać tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego do wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu normalnego o dowolnych parametrach.

=== Generowanie wartości losowych o rozkładzie normalnym ===
W symulacjach komputerowych zdarza się, że potrzebujemy wygenerować wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Istnieje kilka metod, najprostszą z nich jest odwrócenie dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. Są jednak metody bardziej wydajne, jedną z nich jest [[transformacja Boxa-Mullera]], w której dwie zmienne losowe o [[rozkład jednostajny|rozkładzie jednostajnym]] (prostym do wygenerowania – patrz [[generator liczb losowych]]) są transformowane na zmienne o rozkładzie normalnym.

Transformacja Boxa-Mullera jest konsekwencją własności 3 i faktu, że [[rozkład chi kwadrat|rozkład chi-kwadrat]] z dwoma stopniami swobody jest [[rozkład wykładniczy|rozkładem wykładniczym]] (łatwym do wygenerowania).

=== Centralne twierdzenie graniczne ===
Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że (przy pewnych założeniach) rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to tak zwane [[centralne twierdzenie graniczne]].

W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie, jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów.
* [[Rozkład dwumianowy]] z parametrami <math>(n, p)</math> jest w przybliżeniu normalny dla dużych <math>n</math> i <math>p</math> nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą <math>\mu = np</math> i odchylenie standardowe <math>\sigma = \sqrt{ np (1-p) }.</math>
* [[Rozkład Poissona]] z parametrem <math>\lambda</math> jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości <math>\lambda.</math> Przybliżony rozkład normalny ma średnią <math>\mu = \lambda</math> i odchylenie standardowe <math>\sigma = \sqrt{\lambda}.</math>

Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów.

=== Nieskończona podzielność ===
Rozkład normalny należy do rozkładów mających własność [[nieskończona podzielność|nieskończonej podzielności]].

== Występowanie ==
Rozkład normalny (lub [[wielowymiarowy rozkład normalny]]) jest często stosowanym założeniem, w praktyce jednak nigdy nie jest ściśle realizowany. Rozkład normalny ma bowiem niezerową [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|gęstość prawdopodobieństwa]] dla dowolnej wartości zmiennej losowej, podczas gdy w rzeczywistości zmienne są zawsze ograniczone, a często nieujemne.

Mimo to rzeczywisty rozkład jest często bardzo zbliżony do normalnego, stąd zwykle zakłada się, że zmienna ma rozkład normalny. Nie należy jednak robić tego bez sprawdzenia jak wielkie są rozbieżności. Rozkłady dalekie od normalnego (np. z [[Obserwacja odstająca|elementami odstającymi]]) mogą sprawić, że wyniki metod statystycznych będą mylnie interpretowane.

Przykładem są tu metody [[regresja liniowa|regresji liniowej]] oraz [[Współczynnik korelacji Pearsona|korelacji Pearsona]], które, choć zdefiniowane dla dowolnych rozkładów, mają sensowną interpretację tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego wektora próbki. Jeśli w próbce występują elementy odstające, co jest szczególnym przypadkiem rozkładu dalekiego od normalnego, korelacja może przyjąć dowolną wartość między <math>-1</math> a <math>+1,</math> bez względu na rzeczywistą zależność między zmiennymi losowymi. Także regresja będzie dawała błędne rezultaty.

=== Inteligencja ===
Inteligencja mierzona [[test inteligencji|testami inteligencji]] uważana jest za zmienną o rozkładzie normalnym. W praktyce testy dają wyniki skwantowane, a nie ciągłe. W dodatku ich wyniki są ograniczone do pewnego przedziału. Przybliżenie jest jednak wystarczające.

=== Wzrost ===
Podobnie wzrost człowieka może być uznany w przybliżeniu za zmienną o rozkładzie normalnym. Musimy wtedy oczywiście założyć, że wartość oczekiwana rozkładu wynosi na przykład 170&nbsp;cm, a odchylenie standardowe jest wystarczająco małe, aby przypadek ludzi o ujemnym wzroście miał znikomo małe prawdopodobieństwo.

=== Natężenie źródła światła ===
Natężenie światła z pojedynczego źródła zmienia się w czasie i zazwyczaj zakłada się, że ma rozkład normalny. Zgodnie z [[mechanika kwantowa|mechaniką kwantową]] światło jest strumieniem [[foton]]ów. Zwykłe źródło światła, świecące dzięki termicznej emisji, powinno świecić w krótkich przedziałach czasu zgodnie z [[Rozkład Poissona|rozkładem Poissona]]. W dłuższym przedziale czasowym (dłuższym niż [[czas koherencji]]) dodawanie się do siebie niezależnych zmiennych prowadzi w przybliżeniu do rozkładu normalnego.

=== Błędy pomiaru ===
Wielokrotne powtarzanie tego samego pomiaru daje wyniki rozrzucone wokół określonej wartości. Jeśli wyeliminujemy wszystkie większe przyczyny błędów, zakłada się, że pozostałe mniejsze błędy muszą być rezultatem dodawania się do siebie dużej liczby niezależnych czynników, co daje w efekcie rozkład normalny. Odchylenia od rozkładu normalnego rozumiane są jako wskazówka, że zostały pominięte [[błąd systematyczny|błędy systematyczne]]. To stwierdzenie jest centralnym założeniem [[rachunek błędów|teorii błędów]].

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Wawrzynek |imię = J. |tytuł = Metody opisu i wnioskowania statystycznego |wydawca = Wydawnictwo [[Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu|Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu]] |miejsce = Wrocław |rok = 2007 |strony = 62 |isbn = 978-83-7011-859-4}}

{{Rozkłady statystyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rozkłady ciągłe]]